设函数f（x）是实数集R上的单调增函数，令F（x）=f（x）-f（2-x）．（1）求证：F（x）在R上是单调增函数；（2）若F（x1）+F（x2）＞0，求证：x1+x2＞2．
（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则F（x1）-F（x2）=[f（x1）-f（2-x1）]-[f（x2）-f（2-x2）]=[f（x1）-f（x2）]+[f（2-x2）-f（2-x1）]；∵f（x）是实数集R上的增函数，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，由x1＜x2，得-x1＞-x2，∴2-x1＞2-x2，∴f（2-x1）＞f（2-x2），∴f（2-x2）-f（2-x1）＜0，∴[f（x1）-f（x2）]+[f（2-x2）-f（2-x1）]＜0；即F（x1）＜F（x2）；∴F（x）是R上的增函数．（2）证明：∵F（x1）+F（x2）＞0，∴F（x1）＞-F（x2）＞0；由F（x）=f（x）-f（2-x）知，-F（x2）=-[f（x2）-f（2-x2）]=f（2-x2）-f（x2）=f（2-x2）-f[2-（2-x2）]=F（2-x2），∴F（x1）＞F（2-x2）；又F（x）是实数集R上的增函数，所以x1+＞2-x2．，即x1+x2＞2．
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（1）用单调性的定义来证明F（x）是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；（2）由F（x1）+F（x2）＞0，得到F（x1）＞-F（x2）＞0；由F（x）=f（x）-f（2-x）变形，得F（2-x2），即F（x1）＞-F（x2）＞0，从而证出结论．
本题考点：
抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
考点点评：
本题考查了利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用，是有一定难度的题目
扫描下载二维码函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么Y=—f(x+40)与y=f(6—x)图像之间A.关于直线X=5对称B.关于直线X=1对称C.关于点（5,0）对称D.关于点（1,0）对称
我们知道,如果f（x）满足f（-x）＝－f（x）,则f（x）关于原点对称!如果f（-x）＝f（x）,则f（x）关于y轴对称!总结推广：若f（-x＋T1）＝－f（x＋T2）,则必然是关于一个点中心对称!且这个点的坐标为（（-x＋T1＋x＋T2）/2 ,0）,即（（T1＋T2）/2,0）若f（-x＋T1）＝f（x＋T2）,则必然关于某条直线成轴对称,且这条直线为x＝（-x＋T1＋x＋T2）/2＝（T1＋T2）/2你的这道题属于f（-x＋T1）＝－f（x＋T2）型!所以必然是关于某点中心对称!这个点为（（4＋6）/2,0）
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是x+4吧(x+4+6-x)/2=5且f外面一正一负所以关于(5,0)对称选C
扫描下载二维码分析：（1）由题意知f（x）在R上是增函数，则a≥-2-a2a≤2+a2即-2≤a≤2，则a范围．（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即|x-a|＜1x，-1x＜x-a＜1x，x-1x＜a＜x+1x，故只要x-1x＜a且a＜x+1x在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要x-1x的最大值小于a且x+1x的最小值大于a即可．由此可知答案．（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta∈(2a，(a+2)24)，即存在a∈（2，4]，使得t∈(1，(a+2)28a)即可，由此可证出实数t的取值范围为(1，98)．解答：解：（1）f(x)=x|x-a|+2x=x2+(2-a)x，x≥a-x2+(2+a)x，x＜a由f（x）在R上是增函数，则a≥-2-a2a≤2+a2即-2≤a≤2，则a范围为-2≤a≤2；（4分）（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜1x，-1x＜x-a＜1x，x-1x＜a＜x+1x，故只要x-1x＜a且a＜x+1x在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要x-1x的最大值小于a且x+1x的最小值大于a即可，（6分）而当x∈[1，2]时，(x-1x)′=1+1x2＞0，x-1x为增函数，(x-1x)max=32；当x∈[1，2]时，(x+1x)′=1-1x2＞0，x+1x为增函数，(x+1x)min=2，所以32＜a＜2；（10分）（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）则当a∈（2，4]时，由f(x)=x2+(2-a)x，x≥a-x2+(2+a)x，x＜a得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x对称轴x=a-22＜a，则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x对称轴x=a+22＜a，则f（x）在x∈(-∞，a+22]为增函数，此时f（x）的值域为(-∞，(a+2)24]，f（x）在x∈[a+22，a)为减函数，此时f（x）的值域为(2a，(a+2)24]；由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta∈(2a，(a+2)24)，即存在a∈（2，4]，使得t∈(1，(a+2)28a)即可，令g(a)=(a+2)28a=18(a+4a+4)，只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，(g(a))max=g(4)=98，故实数t的取值范围为(1，98)；（15分）同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为(1，98)；综上所述，实数t的取值范围为(1，98)．（16分）点评：本题考查函数性质的综合应用，解题时要认真审题．
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科目：高中数学
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+π6)(x∈R)B、f(x)=2sin(2πx+π6)(x∈R)C、f(x)=2sin(πx+π3)(x∈R)D、f(x)=2sin(2πx+π3)(x∈R)
科目：高中数学
（;深圳一模）已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设g(x)=xf′(x)&，&m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
科目：高中数学
（;上海模拟）已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：上海模拟
题型：解答题
已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：深圳一模
题型：解答题
已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设g(x)=xf′(x)&，&m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．设奇函数f（x）定义在（-π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为 ___ ．
设g（x）=，∴g′（x）=2x，∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（-x）===g（x）∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（-π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，∴g（x）＜g（），x∈（0，π），或g（x）＞g（-），x∈（-π，0），∴，或．故x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（-，0）∪（，π）．故答案为：（-，0）∪（，π）
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求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之
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