应用微积分法解初等数学问题研究
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内容摘要： 在新课标体系下, 微积分成为了一个重要的教学内容. 由于微积分是建立在极限的基础上, 这不同于初等数学,以往的解题方法和思维方式 但微积分方法在解决初等数学问题中也有着很多的应用. 在【1】中，通过圆面积与周长用导数联系到一起. 学生透过该题目可以体会到微积分的巨大意义, 并能促进学生对微积分导数等知识的进一步理解, 丰富学生对数学的体验, 激发学生应用微积分知识来解决初等数学问题的兴趣, 提高学生数学素质的水平. 在实际教学过程中, 我们提出了以下的几个初等数学问题---三等分线段, 均值不等式, 渐近线, 目的是展示给学生更多的用微积分来解决初等问题的方式.
关键词: 极限 导数 三等分 不等式 渐近线
&&&& 在高中阶段, 推广”研究性学习”和”探究式”教学方法已经逐渐成为共识. 在微积分知识的学习过程中, 在课下指导学生学习的过程中, 以问题作为出发点, 引导学生应用已有知识来解决问题是提高学生学习兴趣的很好的手段. 这种”开放式”的讨论, 有利于提高学生的数学素质, 强化了学生”思考--学习--再思考”的过程, 能够很好的把知识内化. 美国国家研究委员会有这样一句名言”只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解能力时才能真正学好数学”. 这也是我们在教学中提出在课下思考以下几个用微积分来解决初等问题的初衷.
一.极限与三等分
在初等数学中用尺规作三等分线段一个内容, 往往通过平行线截等比线段来实现. 在尺规作图中, 二等分线段是通常的作法, 能否通过二等分来得到三等分呢? 我们假设线段的为长度为1, 那么三等分三段即用尺规作出或. 用尺规做到二等分点即有, 那么问题就转化为根据来得到或. 构造首项为1, 公比为的等比数列, 注意到其前n项和为, 当时, . 换言之,
同时, 我们只能做有限次的等分, 所以我们不可能准确的做到三等分点, 这样做若干次之后的结果是近似的. 那么, 这样的近似的程度有多高呢? &如果作n次之后, 误差为
又而. 即我们可以算出作n次之后的误差. 当线段长度是一米时, 我们作10次二等分, 那么得到的三等分点的精度小于米, 数值的精确到毫米单位, 相当于一个铅笔作图的点. 在Mathematica计算软件中, 输入以下命令来画出20个点散点图:
ListPlot[Table[{Sum[(-1/2)^i, {i,0, n}],n},{n,20}],PlotStyle?{Red}, PlotMarkers?Automatic]
在实际作图中, 我们可以如下实现.
设如图有线段(为左端点), 尺规作的中点, 然后在线段取中点, 在线段取端点……
评注: 在误差允许范围内来实现计算是工程计算中的重要内容, 一方面, 通过上述实例可以使学生更好的理解微积分和极限概念和计算, 另一方面可以锻炼学生思维能力和严谨的数学素质. 通过计算软件的演示, 同时也能增加学生动手操作的能力. 在人教B版教材中, 极限的严格数学定义并没有出现, 而且学生也很难归纳总结和深刻理解定义的含义. 从上述例子中, 可以使得学生体会极限的严谨性.
二. 再证, .
用导数来判定函数的单调性是微积分在初等数学中的一个重要应用, 在教材中已经有了一些例子. 在用导数来判定单调性时, 我们往往需要作差, 然后利用导数大于0时, 函数是单调递增这一充分条件以及函数值来给出不等式. 在教学过程中, 学生会将这个充分条件来当作必要条件来做, 在此处给学生举, 让学生来观察导函数大于0, 与函数单调递增之间的关系, 这样学生容易理解这一条件的非必要性. 在上述通用方法中, 必须是一元函数(或可以整理为一元函数)而且需要整理为函数作差. 那么, 函数的和以及两个变量如何处理呢? 当然, 在微积分的应用中没有通用的方法, 但有一些题目还是可以通过微积分来证明的. 例如: , .
做函数如图
在函数曲线上任意两点的做割线, 注意到这两点之间的曲线段在割线的下方. 事实上, 函数的二阶导函数为是凹函数, 说明函数的导函数是一个严格单调函数, 所以上述割线与曲线的位置关系可以推得, 其数学表述为, . 如果任取, 代入可得,, 整理有, . 此处构造函数有别于[3]中所给出的构造方法.
评注: 函数的凹凸性是导数的应用的一个引申内容, 在教材中并没有直接出现二阶导的概念, 但在高中物理中学生熟知加速度概念. 在教材阅读材料中适当加入二阶导学生是可以接受的, 同时利用凹凸性证明一些不等式能更好让学生理解微积分在初等数学中的应用.
三. 抛物线为什么没有渐近线
在高中二次曲线教学中, 双曲线是有渐近线的, 抛物线是没有渐进线的, 从图形上很难解释清楚. 在自变量趋于无穷时(趋于定点的垂直渐进线这里不讨论), 曲线和该直线越来越接近. 如果函数有渐近线, 那么在时, . 对抛物线, 注意到的极限为, 所以抛物线是不可能有渐进线的.
评注: 判定函数没有渐进线是不是高中数学的重点, 但从辨识概念的角度来讲给出抛物线没有渐进线的证明, 对于学生更好的理解渐进线是有帮助的.
微积分在初等数学中的应用还有很多, 例如单调性判定, 求面积等等, 在本文中就不在赘述了. 当然, 并不是所有的初等数学问题都可以用微积分来处理. 在指导学生解决问题时, 教师需要引起注意.
[1] 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2& 人民教育出版社等编著 人民教育出版社2008年5月
[2] 高等数学 (上册, 第五版) 同济大学应用数学系主编 高等教育出版社 2002年7月
[3] 基本不等式的构造性证明, 数学通报, 2008年第47卷第11期
（注：此文获B版教材经验交流会论文一等奖。）
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【下一篇】我认为没有。拿那个无限小来说吧，其实是与0的意义不同的0，也就是说是与一般的意义的“点”不同的“点”，它是重新定义的携带有函数信息和数值为0的点。　　　　
我们计算一般的直线，是用已知的度量单位去度量的，而曲线跟直线是完全不一样的，无法用直线的度量单位去度量。但直线与曲线有共同的度量单位，那就是“点”，数值为0的点。问题是一般意义定义的点是不携带线段结构信息的，解决的方法是重新定义一个携带线段结构信息的点，它的数值跟原来的点一样，是0。也就是说“新的点或0”=无限小=0（数值0+线的结构信息），它完全不是原来那个意义了，原来的点或0的意义只携带数值信息而不携带线的结构信息。　　　　
这样当然非常好理解那个无限小了，它是点，数值当然是0，但要计量由点组成的线时，我们所要的不是它的数值信息，而是它的结构信息，当然携带不同结构信息的点所组成的线的数值当然是不同的。　　　　
这种理解方法是在一种新的认识观的基础上的，现在教科书的认识观是无法理解微积分的。　　
站在目前的认识观来看，微积分可能是世界上较深奥的东西之一，这从它的发展史之长可以看得出来，对它的争论长达一两百年，这可是其它的没有过的。
楼主发言：1次 发图：0张
　　头疼的排~　　　　　　
　　这是很打击中国人智商的。
　　省省力气吧，一切数学知识都是渺小人类自己创造的对浩渺宇宙的形容词，没有正不正确，只有贴不贴切，更不要奢谈理不理解！
　　这个必须MARK一下，完全不懂。。。
　　兰州你自己受过高等教育没？
　　学文科有所谓语感，学数学同样需要感觉。　　微积分的一大任务就是体会无限小的概念。　　每个人的体会方式不一样，教科书上其实也是有体现的。
　　LZ...　　那啥，弱弱的说一句　　我们学校是高二开的微积分...　　不过就算学了几个定理，一点点皮毛,也感觉很麻烦的了...　　　　我哥哥听说我们高二就开微积分很惊奇.....
　　当初高等数学都不知道怎么混及格的人一头雾水地仰视楼主，那会儿不明白，现在看楼主写的还是不明白
　　我高数不行，想知道
　　我没看出楼主的工作有什么价值。。。　　我也没觉得高数的微积分不好理解。。。。
　　　　从初三开始数学不及格的文盲高调路过！！　　
　　我学微积分时，教授教导我们：你们不要觉得微积分难，想当初马克思写《资本论》写累了，就会做一些微积分的题目放松一下。
　　高数60分过线的人默默飘过。。。　　很晕。很晕。
　　lz你有成为民科的潜质，好好努力啊　　　　中国这么多数学系的人，看来都不如你理解微积分啊　　　　微积分还是基础课，实变复变估计lz会认为全世界都没人懂了吧
　　没学过高数。。　　
　　我很疑惑，楼主　　我的两本微积分课本都不是你这样定义的......　　看来我的微积分还是没学好
　　哈哈，八卦论坛真是八什么的都有
　　 lz是说求曲线长度吗
点的结构不都是体现在连续的函数中吗 这样求个原函数就好了
你所谓的认识观书中早有了
微积分也不是这样理解
微积分的奥义在于连续性 按你的狭义理解 微积分是没法广泛应用的
不过你最后说对了 千年前人就开始探讨了
　　极限概念是后人定义上去的
所谓无限小应和连续性一起理解 不能单独解读吧
　　作者：烟花灿烂的一瞬　回复日期：　01:45:11　
　　　　我学微积分时，教授教导我们：你们不要觉得微积分难，想当初马克思写《资本论》写累了，就会做一些微积分的题目放松一下。　　------------------------------------------------------------　　想起一事：我四岁小侄儿画画，画了好几张巨作后就跑到一边捣鼓他那堆材料，把地面搞得乱七八糟，问他在干什么，他答：我刚刚画画累了，我准备造颗原子弹玩玩。
　　作者：烟花灿烂的一瞬　回复日期：　01:45:11　
　　　　我学微积分时，教授教导我们：你们不要觉得微积分难，想当初马克思写《资本论》写累了，就会做一些微积分的题目放松一下。　　------------------------------------------------------------　　想起一事：我四岁小侄儿画画，画了好几张巨作后就跑到一边捣鼓他那堆材料，把地面搞得乱七八糟，问他在干什么，他答：我刚刚画画累了，我准备造颗原子弹玩玩。
　　极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论　　黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）　　本文是黄小宁《不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误》（载《科技信息》2009（32））的第1节。　　标准分析之前2千多年的数学一直使用无穷数进行推理计算并取得了一系列伟大成就，只不过对这类举足轻重的“更无理”数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；本文表明实现此飞跃破解由“错误的无穷数概念”竟能推出许多正确结果这一“神秘”之谜竟须历时2千多年！太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。故“数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。”当理论无法解释伟大实践时恰恰表明理论有重大缺陷，不能反而由理论来否定无穷数和行之极有效的无穷小数分析法（以下简称w法）。若无穷数不存在，w法就不堪一击而绝不可2千多年不倒。“‘真人不露相’，数学大厦有‘不露相’的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击[2]。”本文表明否定这类数是百年重大冤案。　　有超常直觉的莱布尼茨运用&任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年胡涂话。最关键要弄清j式　　0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε　　中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然，应试教育会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中“从某项起以后的各正数项1/n都&ε，明白：　　
　　　　j式表达ρ所取各正数ρ均 &ε，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 &ε的ρ&0称为正无穷小”点明没&ε的正数就没正无穷小变数，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却&任意一个给定值的数。”（[1]书145页）表明莱大师敏锐地不否定有正数＜ε而不搞自相矛盾。“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更可靠。”（[1]书166页） 　　　　[3]书在“序列极限的精确描述”中说j式表示ρ“可以变得比任何一个固定的正数小”（100页）。而正数集的元都是固定正数。刘玉琏等《数学分析讲义学习辅导书上册（二版）》（高教出版社，2003）33页：ε∈（0，1）=D——表示ε可是D的任何一个数。许品芳等《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器工业出版社，1992.7）。无正数＜ε=只有非正数及可取非正数的变数才可＜ε。于是j式是一目了然的百年胡涂话：①说ρ&0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也&0——越辩解就越混乱啊！②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句！　　文献[4]第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。”　　“大道至简至易。”自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量时间与精力还是不知其所云，严重阻碍了科技人员迅速掌握数学这一极有力的工具。 　　　　参考文献 　　　　[1]M•克莱因着、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，。 　　
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年胡涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。 　　　　[3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组，常微分方程与无穷级数[M]，北京：人民教育出版社，1978。 　　　　[4][5][6]黄小宁,50字纠正五千年重大错误：任何自然数n&自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）；极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项[J]，科技信息，2009（1）。 　　　　
电联: 　　E-mail：（hxl中的l是英文字母）　　 　　　　　　
　　话说，真正懂微积分的人是不会来这个版看贴的……
　　我就是那个懂不了微积分的人　　　　我想我估计这辈子都理解不了了
　　。。。。。。。。　　。。。。。。。。　　。。。。。。。。　　。。。。。。。。　　。。。。。。。。　　。。。。。。。。　　。。。。。。。。　　。。。。。。。。　　　　如果可以，我想54它，可是不行啊~~泪奔~~~
　　懂就懂，不懂就不懂，不要装，中国人最大的缺点在于装。　　我说出了无限小的本质
　　话说微积分是牛顿老人家因为黑死病肆虐。。。于是乎学校放假，无聊想出来的玩意
　　没上过大学的杯具的飘过。。。。
　　无限小的本质在于它不是一般意义上的数，你教科书是从一般的数的意义的角长去理解它的，当然是可能无法理解的。这就像你用古代的天地观去理解为什么地球是圆球的而人站在球下面却不能掉下去一样，因为你所用于理解的东西是不对的。　　无限小的本质在于它不仅携带有数值信息，还有线的结构信息。
　　高数根本没学过的人飘过~~~~　　大学的专业没有开设高数 看到数学就头痛，但是我喜欢科普类的书，虽然数学知识无法领会，但是有些科学研究的解释还是能够领会到，像霍金的《时间简史》我都很喜欢看，当然他是用最易懂的语言讲述科学的。　　我曾今看到一本书讲过：数学研究到最深奥的阶段就要和哲学扯上关系了 不再是简单的数字游戏 而且往往唯物主义的哲学还无法解释。　　所以我觉得像我这样平凡和没有数学天分的人不了解也没有关系　　这些东西有待真正感兴趣和有天赋的人来学习运用　　　　再说中国大学普及化 大学本科文凭和高中文凭根本没啥区别，研究生也遍地都是，什么是高学历，还是要看那个人的内涵和研究成果，以及历史对他的评价，毕竟高精尖的人才也就那么一些。
　　高学历和懂微积分没有必然的联系　　　　　　　　
　　我只想问 LZ“宋婉嫣9O”和回贴的“_宋婉嫣_”是一个人哦　　　　我还想说：　　　　偶很不幸的看到过“_宋婉嫣_”这位大虾的其他一两个帖子　　==============================================================　　印证了偶老师曾说的一句话——天才和精神病之间往往只有一线之隔，让偶迷惑的是宋婉嫣不知是在线的哪一边　　　　　　晕乎乎⊙﹏⊙b汗　　
　　我看见了一个笨蛋在思考
　　我不觉得高数难，想当年，本人高数满分，我比较晕复变函数，卷积什么的，很晕，很晕
　　LZ是从哪里粘过来的?
　　完全不懂...也不知道当年是怎么混毕业的...现在读研中,也要用到,越发的头大如斗...
　　楼猪 你自己跟猪一样笨还以为别人和你一样啊
　　lz竟然从哲学的角度去理解数学，卧槽
　　哎呀，LZ说的那些我没有一句明白滴，不过数学从来就不及格滴我还是MARK一下，装那么一次吧~~~
　　嗯 我只要会求导跟积分就行了　　春哥啊下礼拜高数请让我上90吧
　　一个问题，中国主高学历的人这么多，有人真的理解微积分吗？ 　　　　　　 作者：宋婉嫣9O 提交日期： 23:55:00 访问：1471 回复：45
我认为没有。拿那个无限小来说吧，其实是与0的意义不同的0，也就是说是与一般的意义的“点”不同的“点”，它是重新定义的携带有函数信息和数值为0的点。　　——————————————————————————　　　　根据以上信息分析：　　1.“中国主高学历的人这么多”什么意思？LZ语文不及格。　　2.猜猜LZ题目的含义，再根据她（他？它？）自己的回答，可以得出另外一个结论：LZ要么不是中国人，要么不是高学历　　　　另外，算了，不打击LZ了，让LZ继续沉醉在世人皆醉我独醒的美梦中去吧......　　　　　　　　
　　近似到到无穷就是精确。
　　，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 &ε的ρ&0称为正无穷小”点明没&ε的正数就没正无穷小变数，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使全世界的数学家们百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论。
　　　　从来就没明白过，到底微积分在讲什么的人路过。。。　　
　　高数临考背了一 通宵，才 考69的 人
　　楼主好厉害，噢！
　　挂过科，后来重修的时候深刻理解了。　　LZ说的其实是个哲学问题。
　　我初三开始学微积分，在多年来的无数实践中，才算有了个不错的理解。但还不敢说&完全&。　　　　通常学微积分的我觉得基本只是会形式化地解题而已。
　　当初大学选专业报志愿专门报了个没有数学的专业！
　　牛顿和莱布尼茨内牛满面，惊呼LZ已经达到了他俩不可企及的深度……
　　LZ讨论的是微积分的逻辑基础问题。　　　　微积分的逻辑基础是极限，而极限的逻辑基础是数学归纳法。　　数学归纳法是形而下学的，是公理而不是定理。
　　我现在更倾向于认为，微积分是一种abstract, ideological的东西　　而微积分的定义，都只是an implementation而已　　（的确如此，我们看到微积分的定义都很繁琐，很numerical，尤其是定积分）　　　　然而，为了求出一个函数的微分或者积分，　　却必须要先implement it,或者说disabstract,disideologicallize　　然后可以进行求解，　　最后反过来，abstract(ideologicallize) it,或者说 unimplement　　　　可以说，抽象性世界之间的事物的转换，需要间接地通过物理性世界来完成
　　事实上我们很多东西都是应用大师们研究成果，这叫踩在巨人的肩膀上。凡是数学都难，泰勒公式，傅里叶变换，拉普拉斯变换，线性代数，我们基本上就用这几个了。不知道学数学的有多少搞懂的，反正我们工科的基本上会算就不错了，没几个懂的。
　　当年高数95的飘过，觉得微积分还好啦　　后来研究生时候学的泛函分析才叫晕，都开始怀疑自己IQ了　　　　当然现在已经啥都忘的差不多了
　　看不懂。楼主说的结构信息是测度吗？
　　高数一直早交卷半小时到一小时且都是A的人飘过。　　现在完全不记得了。　　想说，实用的东西学了才是有价值的~
　　我讨厌数学物理计算机，，可我学的是工科，，杯具～～～
　　微积分算个毛。　　拓扑，微分几何，才叫难呢。
　　顶上面的　　不过我觉得泛函分析和实变函数比较悲剧　　我想到华丽丽的空间就完全不能理解，这到底是个什么样的完备空间
　　文科的
不过大学上了个文理兼收的专业 还是要学高数 是在是杯具　　洗具的是我的数学没挂过。。。
　　虽然我上高数都是不听的，题目也不大会做，但是这微积分真不是什么难的东西。楼主啊，你在得瑟什么？
　　　　　　　　高数上下全挂　　清理补考才通过的人飘过……　　这玩意儿能用来解决什么具体问题么？　　给个计算题用定理公式套的不算　　　　　　　　
　　微积分全部还给老师了
　　微积分很高深么？那泛函分析呢？！　　　　
　　文科生路过！！默一个……
　　我发誓你写的每一个字我都认识　　　　堆一块我就不知道你在说什么~~~~~~~~~~~~~~飘！　　
　　微积分重修三次，现在还不知道过没过的人淡定飘过~~　　那是一个我不懂的世界，阿门
　　广告去无踪，帖子更出众！~by璎珞飘灵-- 喵咪咪喵咪咪喵-- 操作时间: 20:45:59 --
　　头大如斗啊大如斗
　　头大如斗啊大如斗
　　我数学狂差，大学补考N次，别说微积分了，求导我都不知道是啥　　　　有人告诉我说　　　　比如曲线下的面积，不能精确计算，那就先微分——把它分的小小的，然后再积分——把这些小小的累积起来计算　　　　以上，就是微积分了　　　　哇，原来系这样~~~~~~~~~~
　　需要一个人以浅显的语言给我讲明白这数学啊。。是怎么一回事
　　简单的说就是虽然都是无限小，但是无限小根无限小是不一样地。就好像同样是穷光蛋，但有些是炒股票亏的，速度比较快；有些是炒房地产亏的，一年一年的速度比较慢。　　　　我觉得楼主看到了极限的本质的一丝光，搞不好建立个新的物理学基础哦，加油加油！　　　　我擦，我疯了！
　　我也不明白啊。
　　作者：封死拉到　回复日期：　20:07:15　
　　　　微积分很高深么？那泛函分析呢？！　　　　微积分的概念在哲学意义上很高深，相当于重新发明了数学。泛函分析只是复杂抽象而已。两个不同的境界。剩下的我也不懂了。
　　这个问题提得好！我觉得！　　　　其实受过高等教育的，绝大部分都不理解微积分的，都只是算算，并没真正的理解。　　　　微积分建立在一个公理的基础上，这个公理并不像两点线段最短这样好理解和接受，相反它只能通过验证来证实。　　　　从逻辑上理解微积分其实很难，呵呵。　　　　要理解微积分，先想想芝诺诡辩。
　　切，无限小只是个概念，本来就不是数，而所谓数值上的无限小早就被证明了不存在了　　　　楼主百度下无限小。。。不都解决了么？
　　这是啥吖～～～　　　　＋＿＋　　
　　作者：Jamie和Ki　回复日期：　00:48:38　
　　　　LZ...　　　　那啥，弱弱的说一句　　　　我们学校是高二开的微积分...　　　　不过就算学了几个定理，一点点皮毛,也感觉很麻烦的了...　　　　　　　　我哥哥听说我们高二就开微积分很惊奇.....　　 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　不是吧！！！　　　　俺不想学啊不想学啊～～～～　　　　ＬＺ～～～俺滴学习热情就被你这么你无情滴扼杀了～～ｏ（＞＿＜）ｏ　～～　　　　
　　微积分考4分的人飘过
　　就你理解
　　无语中，LZ你好强大，既精通微积分又有空逛天涯
　　作者：烟花灿烂的一瞬　回复日期：　01:45:11　
　　　　我学微积分时，教授教导我们：你们不要觉得微积分难，想当初马克思写《资本论》写累了，就会做一些微积分的题目放松一下。　　　　======================　　　　我记得当时我学的时候，教授说按我们的水平，出给我们做的题目都是能用公式套的，不会有很为难人的题目。　　　　我是文科的。到现在为止，我都觉得高等数学和排列组合是最难的两门课。我从来没弄明白过，考试也是老师放题目才能通过的。　　　　
　　学了微积分有啥实质性的用处不　　　　据现在的行情看，学微积分和工作木有什么太大关系吧　　　　为毛老师会说“学会高等数学，走遍天下都不怕”　　　　······················　　　　诸如此类问题，请伟大的lz给个解答吧　　　　　　　　　　正在痛苦地学习微积分的求教　　　　
　　提到微积分我就无名火冒出来
　　作者：npnpnp1978　回复日期：　00:30:15　
　　　　省省力气吧，一切数学知识都是渺小人类自己创造的对浩渺宇宙的形容词，没有正不正确，只有贴不贴切，更不要奢谈理不理解！　　-----------------------------------------------------------　　　　可数学已经是所有学科中
被人类描述得较为贴切的了　　　　有些学科 真的是。。。。。
　　高数勉强及格的人。。没看懂LZ说的是神马 - -
　　微积分就是用来解决实际问题的。　　　　比如 路程 = 速度 x 时间 　　小学三年级就学过了　　　　但是，现实中，物体的速度是不断变化的，你如何求路程呢？　　这就用到了微积分。　　　　类似变速运动，实际的世界中，很多很多事物都需要用微积分才能计算。哪怕你不懂微积分，但，生活中很多时候你无形中已经用到微积分了！
　　　　呵呵，楼主很懂　　
　　我感觉无限小，是一个过程。　　无限小可以说是极限为零的变量，它首先是一个变量而不是一个数值，更不是一个数值0加一个什么信息，也不是表示什么结构，它是是一个过程，代表的就是某个变量的发展趋势，如果这个变量在自变量趋近一个方向，比如说正无穷的时候，变量的变化趋势是最终会达到0，那么它就是无穷小。　　楼主说的一个数值0加一个什么信息，类似函数与无穷小的概念，就是说，一个函数的值，可表示成它的极限与一个比它高阶的无穷小的和。当然了这个无穷小跟这个函数值此处应该是有相同的趋近方向的。　　无限小不是一个数值，也不是一个数值的0加上什么，它就是一个极限是0的变量，它意在告诉你，这个变量按照规定的趋势发展下去，最后会是0。究竟会不会达到0这个点，也未必，比如1/X，在X趋近正无穷的时候，它是一个无穷小，极限是0，但是它永远只能近似为0，是不可能真正等于零的。　　所以我理解的无穷小，就是无限接近0的一个变量。首先它必须是一个变量，0不是无穷小。　　另外，它也不代表一个函数的结构信息，真正代表一个函数结构信息的是函数表达式，比如1/X和1/X2（X平方）在X趋向正无穷的时候都是无穷小，但是显然他们都是无穷小这个结论反映不出任何函数结构信息。如果把X换成N，不让它表示函数而是数列，那么这俩还一个收敛一个不收敛呢，当然数列没有无穷小的概念，但是我感觉无穷小是不能代表什么结构信息的。　　　　综上，我觉得，无穷小，就是一个在特定趋势下，极限是0的一个变量。它是说明这个变量的变化趋势而已。
　　想起了杯具的大学生活，我数学专业的，数学分析重修了两次，掩面！话说我一直认为实变函数和泛函分析很难学，到现在也不知道到底讲了点啥，望天。。。。。。
　　来，教你们微积分：　　　　导数：　　就是瞬时速度。瞬时加速度... ...总结起来就是变化率的意思。　　　　微分：　　就是f(x)的导数乘以Δx　　　　不定积分：　　就是导数的逆运算而已。学了导数的同时就等于学了逆运算。　　　　定积分：　　假设F(x)导数为f(x)，那么F(b)-F(a)叫做f(x)的不定积分
　　我觉得楼主说的不对，无限小没有什么数的信息，也没有什么结构信息。　　隐含结构信息的是函数表达式，无穷小之间的比较，只有高阶低阶同阶等价之分，告诉你一个无穷小，比如1/X，然后告诉你另一个是比它高2阶的无穷小，你完全无法推断这个无穷小是什么形式，也许是1/X3（X3次方），也许是1/5（X3），甚至分母再附带常数项或者比X3低次数的项，这个根本无法断定，何来携带结构信息之说　　况且极限，是一个大而化之的概念，很多函数，比如1/X（爱可四分之一要生气了，今天怎么老是烦它呢），它的值在X趋向于正无穷的时候是无限接近0，但是永远不是0的。怎么会包含数值0呢，只有一部分函数会这样罢了。　　　　　　至于微积分是怎么发明的，究竟科学不科学，好用不好用，那不是我们这种俗人能看透的，至少它作为一种数学工具来说在解决实际问题方面，确实行的通，确实好用，并且它的理论，纵使有漏洞，那也不是我等能弄明白的，在它定义的范围内，我等的智商能够理解，并且正确运用已经可以了。没有绝对的真理么，现今的理论也许过上五百年再看，都是漏洞百出，科学不断的在发展……　　　　何必装大瓣儿蒜也……能把数学考试考好，能在用的到的时候会用也就罢了。不过看看微积分，确实有时候有平静心情的功效。非常的耐看，并且很有意思，跟玩魔方是一个道理。
　　来，教你们微积分：　　　　　　　　导数：　　　　就是瞬时速度，瞬时加速度，瞬间魔法伤害值... ...这样的东西，总结起来就是瞬时变化率的意思。　　　　　　　　微分：　　　　就是f(x)的导数乘以Δx　　　　　　　　不定积分：　　　　就是导数的逆运算而已。学了导数的同时就等于学了不定积分。　　　　　　　　定积分：　　　　假设F(x)导数为f(x)，那么F(b)-F(a)叫做f(x)的定积分。
　　楼上的，可导和可微不是等价的吧……　　
　　杉书网友的理解是正确的，楼主的理解是不对的。　　　　微积分里的这些概念是“变量”，是“过程”。　　其实是用“无限逼近”的方法去度量。　　　　有些东西我们可以用现有的工具直接度量，有些则不行了。于是就以动态的“无限逼近”法用现有的工具度量这些无法直接度量的东西。为了体现这是个动态的过程，所以用的是函数和变量。同时为了能度量，表现出的形式是静态的数值或函数符号。　　　　回到无限小，是一个“无限逼近”0的变量，所以，微积分的基础是“无限逼近”，是极限概念。　　　　至于楼主要研究点，那将是进入另一个奇妙世界，也就是歧途了。当然，楼主可能认为是个全新的认识观了。因为直线上的点是不可数的，也是稠密的。噢，我说错了，这不是歧途。这正是《数学分析》或者《实分析》的内容。楼主有兴趣可以看看。
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