高中数学知识点总结与题库(数列)_百度文库
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在任意两个非零实数a和b之间，也可以插入n个数,使之成为等比数列,但要注意，在实数范围内，当ab&0,q&0时，a,b之间可以插入(
)个数，当ab&0, q&0时，a,b之间可以插入（
）个数，当ab&0时，在a和b之间可以插入（
提问者采纳
在任意两个非零实数a和b之间，也可以插入n个数,使之成为等比数列,但要注意，在实数范围内，当ab&0,q&0时，a,b之间可以插入(n
)个数，当ab&0, q&0时，a,b之间可以插入（2n
）个数，当ab&0时，在a和b之间可以插入（2n+1
能稍微解释下么。。感谢
提问者评价
解释与否最佳都给了 谢谢~
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黄冈名师手拉手高三数学第二轮专题复习--数列一、本章知识结构：
　　　　　　　　　　　　　　 二、高考要求1． 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.2． 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3． 了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握"归纳-猜想-证明"这一思想方法.三、热点分析
1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
2.有关数列题的命题趋势　　（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题　　　　3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5）2=25.
4.对客观题，应注意寻求简捷方法　　解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：　　①借助特殊数列.　　②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法　　
5.在数列的学习中加强能力训练　数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。　　6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.四、复习建议1． 对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.2． 注意等差（比）数列性质的灵活运用.3． 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.4． 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.5． 注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.6． 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。　　五、典型例题数列的概念与性质　　【例1】 已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.
解：∵q=1时，又显然，q≠1 ∴依题意；解之又，依题意，将代入得
　　【例2】 等差数列{an }中，=30，=15，求使an≤0的最小自然数n。　　解：设公差为d，则或或或 解得：==> a33 = 30 与已知矛盾
或==> a33 = - 15 与已知矛盾或==>a33 = 15
或 ==> a33 = - 30 与已知矛盾∴an = 31+(n - 1) () ==> 31 0 ==> n≥63 ∴满足条件的最小自然数为63。　　【例3】 设等差数列{a}的前n项和为S，已知S4=44,S7=35（1）求数列{a}的通项公式与前n项和公式；（2）求数列的前n项和Tn。　　解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N).　　（2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故当n≤5时，a≥0, 当n≥6时，当n≤5时,T=S=-2n+19n 当n≥6时,T=2S5-S=2n-19n+90.　　【例4】 已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，......，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。　　解：由 得 ∴
∴　　【例5】 已知数列：①求证数列为等差数列，并求它的公差②设，求的和。　　解：①由条件，∴；∴故为等差数列，公差②又知∴∴　　【例6】 已知数列1，1，2......它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和Sn；　　解：(1)记数列1，1，2......为{An}，其中等比数列为{an}，公比为q；等差数列为{bn}，公差为d，则An =an +bn (n∈N）依题意，b1 =0，∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ①
A=a+b=aq+b+d=1 ②A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③由①②③得d=-1, q=2,
∴∴ 　　【例7】 已知数列满足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。　　解法1：由an+Sn=n,当n=1时，a1=S1，\a1+a1=1，得a1=当n=2时，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=2，\a2=当n=3时，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3\a3= 猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时,a1=1-,(1)式成立假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，则当n=k+1时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1\2ak+1=k+1-Sk
又ak=k+Sk\2ak+1=1+ak \ak+1=即当n=k+1时,猜想（1）也成立。所以对于任意自然数n,都成立。 解法2：由an+Sn=n得，两式相减得：，即，即，下略　　【例8】 设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又。(1)求数列的通项公式与前n项和公式；(2)当时，试判断cn的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。 解：(1)设数列的公比为q由条件得 (2) 证明：①当n=5，c5<0命题成立②假设当当也成立由①，②对一切n5，都有cn<0。　　　　【例9】 是等差数列，数列满足的前n项和。(1)若的公差等于首项a1，证明对于任意自然数n都有；(2)若中满足，试问n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论。　　解：(1)当，∴原命题成立假设当成立则 (2)由故中最大　　【例10】 已知数列的前n项和为Sn，满足条件，其中b>0且b1。(1)求数列的通项an；(2)若对4，试求b的取值范围。　　解：(1)由已知条件得当n=1时，故 (2)由　　　　【例11】 两个数列、 中，成等差数列，且成等比数列。(1)证明是等差数列；(2)若的值。　　解：(1)是等差数列(2)又，又数列的概念与性质练习一、选择题1．设（
） A． B． C． D．2．等比数列中，，那么　　的值为（
D．3．11．等比数列 {a} 中，a=7，前三项之和 S=21，则公比q的值是(
（Ｃ） 1或 -
（Ｄ） -1或4．首项为1，公差不为零的等差数列中的是一个等比数列的前3项，则这一等　　比数列的第四项为（
D．不确定5．已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构　　成的数列的通项公式是（ B
D． 6．数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2 (n∈N)，当n>2时，就有（ D ）
A．Sn>na1>nan
B．Sn< nan<na1
C．na1<Sn<nan
D．nan<Sn<na17．有下列命题：①x=是a, x, b成等比数列的充分但不必要条件②某数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数列③已知Sn表示数列{an}的前n项和，且S，那么{an}一定是等比数列④设，则这三个数a, b, c成等差数列其中正确的命题序号是：（
D．①②④8．若两个等差数列的前n项和(n?N)，则的值等于（ C ）
D．9．在等差数列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，则此数列前13项之和为（ A ）
D．15610．等差数列，=－5，它的前11项的算术平均值为5。若从中抽去一项，余下10　　项的算术平均值为4，则抽去的是（ D
D．二、填空题1．已知数列的前n项和的公式为，则通项公式为
。2．数列{a}的通项公式为 前n项和为 S，若　　(a为实常数)，则a的值等于
。3三、解答题1．（1）（2）（3）　　解：（1）（2）②－①得(3)当n=2k（k∈N）时，当n=2k-1
(k∈N)时，2．数列的前n项和为Sn, 已知是各项为正数的等比数列。试比较 的大小，证明你的结论。　　解：依题意, 可设则从而有(Ⅰ)当q = 1时, a2 = a3 = ... = 0∴(Ⅱ)当q > 0且时,(1)当n = 1时, ∴(2)当(i)若q > 1时, 则 (ii)若0 < q < 1时, 则3．已知数列
(1)分别求出。　　(2)当n39且n是自然数时，试比较与2的大小，并说明理由。解：（1）；（2）时命题成立　　4．已知，⑴比较与的大小。⑵试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式恒成立。　　解：（1）∵f(n+1)-f(n)=S2n+3-Sn+2-(S2n+1-Sn+1)=...=>=0，∴f(n+1)>f(n)。（2）∵f(n+1)>f(n)，∴当n>1时，f(n)的最小值为f(2)=S5-S3=∴必需且只须<...............①，由得m>1且m≠2令t=则不等式①等价于，解得：0<t<1即0<<1，即-1<logm(m-1)<0或0<logm(m-1)<1，解之得：。　　5．某人年初向建设银行贷款10万元用于买房。　　(1)如果他向建设银行贷款, 年利率为5%, 且这笔借款分10次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到1元)？ (2)如果他向工商银行贷款, 年利率为4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到1元)？ 解：(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款x元, 则 105×(1 + 10×5%) = x(1 + 9×5%) + x(1 + 8×5%) + x(1 + 7×5%) + ... + x, 105×1.5 = 10x + 45×0.05x, 解得(元) (2)若向工商银行贷款, 设每年还款y元, 则 105×(1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + ... + y
其中1.0410 = (1 + 0.04)10 = 1 + 10×0.04 + 45×0.042 + 120×0.043 + 210×0.044
+ ...1.4802
答: 若向建设银行贷款, 每年需还12245元; 若向工商银行贷款, 每年需还12330元。数列的综合应用(1)　　【例1】 已知无穷数列{an},Sn是其前n项和,对不小于2的正整数n,满足关系。(1)求a1，a2，a3；（2）证明{an}是等比数列;（3）设计算　　解：（1）S2= （2）猜想
a（1） 当n=1时，命题成立（2） 假设n=k（k≥1）时命题成立,即(*)同理有
1-Sk+1=ak+1
(**)由(*)式和假设由（**）式，得，1=（Sk+ak+1）故
ak+1=∴当n=k+1时，命题也成立。由（1），（2）n∈N,a此时
（2）另证：对
n≥2, 1-Sn=an-1-an1- Sn+1=an-an+1
两式相减,有（3）=　　【例2】 已知，数列 满足 （1）写出数列的前五项，试归纳出的表达式，并用数学归纳法证明。（2）求。（3）若求数列的前n项的和Sn。　　解：（1）由得数列前五项(ii)假设时等式①成立，即当时即等式①对也成立由（i）（ii）可知等式①对都成立（2）（3）　　【例3】 已知a>0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（n∈N）。（1）求数列{bn}的前n项和Sn；（2）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.　　解：（1）由题意知an=an，bn=nanlga. ∴Sn=（1 ? a+2 ? a2+3 ? a3+......+n ? an）lga.a Sn=（1 ? a2+2 ? a3+3 ? a4+......+n ? an+1）lga.以上两式相减得（1-a）Sn=（a+a2+a3+......+an-n ? an+1）lga .∵a≠1，∴.（2）由bk+1-bk=(k+1)ak+1lga-kaklga=aklga[k(a-1)+a].由题意知bk+1-bk>0，而ak>0，∴lga[k(a-1)+a]>0.
①（1）若a>1，则lga>0，k(a-1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；（2）若0<a<1，则lga<0，不等式①成立恒成立.综合（1）、（2）得a的取值范围为　　　　【例4】 已知数列{an}的前n项和为Sn，又有数列{bn}，它们满足关系，对有。（1）求证{bn}是等比数列，并写出它的通项公式（2）求　　解：⑴证法一：当 n=1时，。同理，(2)－(1),即由 于是由(3),(4)知的等比数列，证法二：同上算得，......猜想且数学归纳法证明，(1) 当，命题成立(2)假设时命题成立，即成立。∴ 又 由(1)(2)知对 猜想成立 的等比数列，⑵ ∴ 　　解法2：由，∴{bn}是等比数列；且　　【例5】 已知是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为，是首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列，其前n项和为，设，若 ，求d和q。　　解：；又；=1
又 　　【例6】 已知等比数列中a1 = 1，公比为x (x > 0)，其前n项和为S。（1）写出数列的通项公式及前n项和Sn的公式；（2）设，写出bn关于x和n的表达式；（3）判断数列{bn}的增减性；（4）求。　　解：（1）（2）（3）当；∴当n1时，综上知为递减数列。（4）当数列的综合应用(1) 一、选择题1．等差数列的通项公式为的前n项和S等于(
(D) 2．一个等比数列的前n项和，则该数列各项和为（
D．任意实数3．已知数列{an}满足an+1=an-an-1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+...+an，则下列结　　论正确的是（ A
）.　　（A）a100=-a，S100=2b-a
（B）a100=-b，S100=2b-a　　（C）a100=-b，S100=b-a
（D）a100=-a，S100=b-a4．设首项为3，公比为2的等比数列{a}的前n项和为S，首项为2，公比为3的等比数列{a'}的前n项和为S'，则的值等于(
（Ｄ） 25．在等比数列中，首项a1 < 0，则是递增数列的充要条件是公比q满足（
） A．q > 1
C．0 < q < 1
D．q < 06．设首项为3，公比为2的等比数列 {a} 的前n项和为S，首项为2、公比为3的等
比数列{a} 的前n项和为 S'，则 的值等于：(
（Ｄ） 27．已知数列中，，则这个数列前n项和的极限是（A）（A）2
（D）8．等差数列的通项，则由所确定的数列的前n项和是（
D．9．已知等比数列{an}中，公比qR，且,，记则Sn等于（
D．　　解：由已知可得所以得：所以10．已知数列此数列所有项的和等于（
） A．0.25
D．0.375二、填空题1．设等差数列共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于
. 752．在数列该数列所有项的和为，则的值等于
3．某工厂原来年总产值为a，以后连续两年平均以10%递增，若连续两年中第二年产值为b，则a占b的百分数是
。4．数列中，
。5．已知、都是公差不为零的等差数列，且则的值为
。6．已知数列是等比数列，若且
. 16三、解答题1．数列中，前n项和其中a,b是常数，且a>0,a+b>1,n∈N.（1）求的通项公式，并证明；（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.　　解：（1）当n=1时也能满足上式，∴∴（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆为正值又∵，∴.∴
2．已知数列，前n项和为，对于任意总成等差数列。（1）求的值；（2）求通项（3）计算.解：（1）∵当n≥2时，成等差数列∴；∴∴∵，∴类似地∴∴ （2）∵当n≥2时，，即∴②-①得
∴为常数∴，，，...，，...成等比数列.；其中故∴（3）∵=∴= 数列的综合应用(2)　　【例1】 已知函数具有下列性质：　　　　
（1）当n一定，记求的表达式
（2）对　　解：（1）　　 　　即又　　，即，由n为定值，则数列是以为首项，为公比的等比数列，，由于
（2），欲证，只需证明，只需证明　　　　　　　　　　【例2】 已知函数f(x)=（1）求f(x)的反函数f－1 (x)的表达式；（2）数列中，a1 =1；an =f－1 (an－1)(n?N，n≥2)，如果bn =(n?N)，求数列的通项公式及前n项和Sn；（3）如果g(n)=2Sn－17n，求函数g(x) (x?R)在区间[t,t+2] (t?R)上的最小值h(t)的表达式。　　解：（1）
∴f－1 (x)= （2）∴
∴是以1为首项，公差为1的等差数列
（3）g(n)=2Sn－17n=n2－16n
x?R∴g(x)函数图像是以顶点M（8，－64）且开口向上的抛物线(i)当t>8时，g(x)在[t,t+2]上是增函数
∴h(t)=g(t)=t2－16t(ii)当t+2<8时，g(x)在[t,t+2]是减函数
∴h(t)=g(t+2)=t2－12t－28(iii)当6≤t≤8时
h(t)=g(8)=－64∴　　【例3】 在数列{an}中，已知（1）求证：；（2）求证：；（3）若存在，使得，求证：。　　解：（1）证明：当，命题成立。假设时，命题成立，即则由归纳假设，则，由平均值定理得所以时也成立因此，对任意自然数n，都有（2）证明：；由（1），又（3）证明：由及得由此得；于是又，解得　　【例4】 已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1。(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.　　解：⑴∵∴
∴，∴。即。∴。∴，又，∴。∴。⑵∴，∴。⑶当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴。猜想：当时，。即。亦即。下面用数学归纳法证明：当时，前面已验证成立；假设时，成立，那么当时，。∴当时，也成立。由以上、可知，当时，有；当时，；当时，。　　【例5】 已知等差数列{}中，公差为d>0，等比数列{}中，公比q>0且若，求a的取值范围.　　解：由已知不等式，得
∵，∴①当时，，∵，∴∵若，则，∴若，则，∴②当时，∵，∴若，则，∴若时，则，∴综上：若时， 或时，或数列的综合应用(2)练习一、选择题1．设Sn =，则等于（ A ）
D．2．已知数列中，，那么等于（ B ）
D、31053．在等差数列中，（
D、不确定4．一个等差数列的首项为4，它的第一项、第七项、与第十项成等比数列，这个数列的通项公式是（
D、5．设等于（
D、16．数列1,b,c,8中，前三项1,b,c成等差数列，后三项b,c,8成等比数列，则必有（ B
D、b<07．设等差数列的前4项之和为26，其末4项之和为110，又这个数列的所有的项之和为　　187，则这个数列共有多少项（ A
D、项数不能确定8．设数列满足且 等于（
C、101a100
D、100a100二、填空题1．若等差数列的前几项和为Sn，且
。1002．已知数列，它的前n项和记为Sn，若是一个首项为a公比为q(q>0)的等比数列，且
. 3．在等比数列中，记：，若则公比q=
34．数列的前n项和为的值为
。15．数列的通项公式前n项和为(a为实常数)，则a的值等于
。26．已知等比数列的各项都是正数，，且前n项中最大的一项为54，
。4三、解答题　　1、若分别表示数列的前n项的和，对任意正整数n，。（1）求数列的通项公式；（2）在平面直角坐标系内，直线的斜率为,且与曲线有且仅有一个交点，与y轴交于点Dn，记;（3）若.　　解：（1）解法（一）由已知当由于由于b1适合上式，　　解法（二）由于为等差数列，当n=1时，，当由于b1适合上式，（2）设的方程为 ∵直线与曲线只有一个交点，∴ ∴
则从而　　　　　　（3）　　　　=　　　　2．都是各项为正的数列，对任意的自然数，都有成等差数列，成等比数列。（1）试问是否是等差数列？为什么？（2）求证：对任意的自然数成立；（3）如果，求。　　解：依题意......①
......②　　（1）∵，∴由②式得从而时，代入①，∴∴是等差数列。　　（2）因为是等差数列∴∴
（3）由及①②两式易得∴中公差∴∴..................③又也适合③、∴ ∴∴∴???????? 永久免费组卷搜题网 永久免费组卷搜题网
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