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研究储油罐的变位识别与罐容表标定.doc
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储油罐的变位识别与罐容表标定(2010全国数学建模竞赛A题论文)
导读：储油罐的变位识别与罐容表标定，本文主要通过建立储油罐储油的体积与油位高度、储油罐纵向倾角、横向倾角的函数关系式，要求我们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，要求建立建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，根据我们所建立的数学模型确定变位参数，本题为储油罐在变位情况下的识别和罐容表标定的问题，储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要本文主要通过建立储油罐储油的体积与油位高度、储油罐纵向倾角、横向倾角的函数关系式讨论了储油罐的变位识别以及倾斜储油罐罐容表标定的问题。对于问题一，首先利用多项式拟合和积分逼近两种方法得到在没有变位情况下的储油罐储油量与油位高度的函数关系，通过误差分析比较，发现积分方法的26π精度更高，其函数关系为：y=[(15x?9?2.8(x?0.6)2)+]×1.3083。当发生45π2倾斜角为4.10的纵向变位时，由于油位高度不同，分为3种情况进行讨论，得到储油量Vn与油位高度H的分段函数关系式，其平均误差为3.81%，将误差体积与油位高度的函数关系式记为误差因子?Vn，把?Vn代入分段函数关系式中可得到修正后的储油量V(H)与油位高度H关系式：V(H)=Vn+?Vn，其平均误差为0.3%，通过修正后V(H)与H的关系式即可得到油位高度间隔为1cm时的罐容表标定值。对于问题二，计算同时发生了纵向倾斜和横向倾斜的储油罐储油量与油位高度以及变位参数的关系时，将横向变位与纵向变位分开讨论。在只发生纵向变位情况下，由于球冠体体积与圆柱体积计算方法不同，也将两者分开计算。在计算圆柱体积时，利用类似问题一中分类讨论的方法进行解决。对于计算倾斜球冠体积，利用积分对左右两边球冠体计算得：Vl=∫Sldhl和Vr=∫Srdhr。当发生横00hlhr向变位时，可证明油罐内油的形状不会发生变化，只是油位探针指数h1发生了变化，利用几何关系h=(h1?R)cosβ+R将h1转化为探针处油面真实高度h，即可得到储油体积与油位高度的函数关系式，再对αβ采用了遍历的方法代入到储油最体积与油位高度的函数关系式，得到误差最小的一组αβ即为所求变位参数，后通过关系式可以得到油位高度间隔为10cm时的罐容表标定值。 关键词：数据拟合 定积分 误差因子 一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。又给出了罐体纵向倾斜变位的示意图及罐体横向偏转变位的截面示意图。要求我们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。1、为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。要求建立建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。2、对于所给的的实际储油罐，要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。再利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据我们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验我们模型的正确性与方法的可靠性。二、模型假设与符号说明2.1模型假设1、假设所给附件中数据没有错误；2、假设储油罐不会因为变位而发生变形；3、假设油罐内的储油不会因为温度而发生压缩或挥发；2.2符号说明y：无变位进油时储油罐内储油量；x：无变位进油时储油罐内油位高度；xn：第n次无变位出油时储油罐内油位高度(n=1,2,3???74)；yn：第n次无变位出油时储油罐内储油量(n=2,3???74)；bn：第n次无变位出油时的某油位高度与前一油位高度对应的(n=2,3???74)； a：储油罐横截面椭圆长半轴；b：储油罐横截面椭圆短半轴；h：无倾斜变位时储油罐储油横截面弓形高度；l： 储油罐长度；S(h): 无倾斜变位时储油罐储油高度为h横截面弓形面积；V(x)：无倾斜变位时储油罐储油高度为x的体积；O： 储油罐中心；H： 储油罐油液面中点处测得的垂直油罐底面之高；h： 储油罐油浮子显示的油位高度；S1(x): 发生倾斜变位时在x位置时储油罐储油横截面弓形面积；α： 纵向倾斜角度；β：横向倾斜角度；Vl：储油罐左端球冠体部分的储油体积；Vm：储油罐中间圆柱体部分的储油体积；Vr：储油罐右端球冠体部分的储油体积；r：球冠体所在球的半径；hl：液面高端的液面高；hr：液面底端的液面高；h1：横向倾斜变位时浮子与储油罐底面的距离； 三、问题分析本题为储油罐在变位情况下的识别和罐容表标定的问题，文中分别给出有变位时和无变位时油液高度与储油量的数据，根据题目中所分变位情况的不同，具体将整个问题分为两问进行求解。对于问题一，油罐为椭圆柱，给出了无变位倾斜和倾斜角为4.1的变位倾斜中油位高度和储油量的数据。对于无变位倾斜，一种方法是利用多项式拟合出油位高度和储油量的变化曲线，从而得到油位高度和储油量的函数关系，并进行了误差检验和分析。另一种方法可以首先利用积分初步确定储油量与油位高度的函数表达式，为了简化表达式，用契比雪夫多项式进行逼近，得到近似计算公式?161π?V(x)≈?[T1(x)?T3(x)?T5(x)+...+T(x)]+?×abl2k+1222π(2k+1)[4?(2k+1)]π??0 确定了储油量与油位高度的函数表达式，最后进行了检验。对于倾斜角为4.1的变位倾斜，由于倾斜时液面发生了变化，假设液面中点到罐底的距离为H，易知液面不同，H的值也不同。通过分析可知，H分为三个区间，对于不同的区间，轴向横截面的面积积分是相同的，但是体积积分由于高度在不同的区间中而不同，所以进行体积积分时要分段进行。对于积分求解得到的储油体积与油位高度的函数关系式，结合附件中的数据，可算出误差，将误差和对应油位高度进行拟合得到油位高度与误差油量的函数关系式作为误差因子代入储油体积与油位高度的函数关系式，得到了改进后储油体积与油位高度的函数关系式。由函数关系式可算出发生倾斜变位时的罐容表。对于问题二，由于横向偏转变位对纵向偏转后储油罐内油的形状没有影响，因此可把两种变位对储油量与油位高度的关系影响分开考虑。对于纵向偏转，由于球冠体体积的计算与中间圆柱体体积计算不同，可把两者分开计算。对于中间圆柱体，用类似于问题一的方法将H分为三个区间进行积分，可以求得中间圆柱体体积与油位高度的函数关系式。对于横向偏转，易知在发生偏转时储油截面的形状没有发生变化，在进行计算时可根据倾斜状态对应的水平状态液面是否超过中间平面将其分为两个区间，分别计算对应的横向倾斜时的油位高度。将横向偏转时得到的高度结合发生纵向偏转时高度的变化得到同时发生横向和纵向偏转时的油位高度，即可得到储油体积与油位高度的函数关系式，利用附表中的数据，求出误差最小的αβ，即为所要求的纵向倾角和横向倾角；然后根据建立的模型对罐体变位后的罐容表进行标定。 0四、模型的建立与求解4.1问题一模型的建立与求解4.1.1罐体无变位时罐容表的确定1、方法一：基于多项式拟合的方法确定罐容表（1）数据拟合题目附件1《实验采集数据表》中给出了当罐体无变位时进油或出油时罐内油位高度与累积加油量或累积出油量的对应关系。分析表中数据，发现当无变位出油时，如果知道测量时刻的罐内油量，就可以确定罐内油位高度与此刻罐内储油量的对应关系。因此，可用无变位进油时附表1中所给的数据来计算油位高度与储油量的对应关系。结合附表1中所给出的无变位进油时油位高度与累积加油量的值，考虑到罐内初始油量为262L，可以得到罐内的油位高度与对应的罐内储油量的值，以流水号11到15为例，如表1所示，其余对应关系见附表1：
表1：流水号11到15的储油量和油位高度的对应关系表流水号11121415 储油量(L)312 362 462 512 油位高度(mm) 159.02 176.14 208.50 223.93由于油罐为椭圆柱，由实际可知罐内储油量与油位高度不会严格成一元线性关系。利用MATLAB编程画出罐内储油量与罐内油位高度变化的曲线图与最小二乘拟合图，二次拟合与三次拟合分别如图1和图2：图1：储油量与油位高度的曲线图和二次多项式拟合曲线及残差图 图2：储油量与油位高度的曲线图和三次多项式拟合曲线及残差图由残差图可以看出三次拟合相对于二次拟合的结果更精确，则罐内储油量y（单位为L)与罐内油位高度x(单位为mm)的拟合三次多项式为：y=?2.4×10?6x3+0..7x?49上述拟合的多项式就是罐内储油量与油位高度的对应函数关系，由此可制定出罐体无变位时的罐容表。（2）误差分析利用附件1《实验采集数据表》中所给出的无变位第n(其中n=1,2,L,74)次出油时油位高度xn的值，将其带入拟合三次多项式中，可以求得相应的yn， 设bn=yn?yn?1，则bn表示在已知出油时的某油位高度与前一油位高度对应的出油量。由于无变位出油时每次出油量均量为50L，可设cn=(bn?50)/50，cn为拟合多项式得到的出油量与试验得到的出油间隔比较的相对误差。设w1=∑cn/73，则w1表示平均误差。分别取n从1到5为例得误差如下表2： n=273表2：通过拟合得到方程的误差表拟合得到的储油量 bn bn?50 cn ω1 n4.1376.211 2..15 0.51 1.36
其余误差见附表2，通过误差表可以看出利用数据拟合得到的三次多项式来计算罐容表的平均误差w1为1.13%，最大误差为5.6%。以上为通过数据拟合来确定罐容表，下面给出利用积分计算罐容表的方法。2、方法二：基于契比雪夫多项式的逼近法确定罐容表在确定罐容表时，当知道储油罐横截面椭圆的长半轴a，短半轴b和储油横截面弓形的高度h以及油罐的长度l时，那么储油罐中的油的体积可以用最佳平方逼近多项式去求得。 （1） 积分初步确定储油体积函数图3：小椭圆油罐横截面x2y2如图3，设小椭圆油罐截面方程为：2+2=1，图中带阴影部分为储油罐ab横截面，横截面为弓形，高为h，h垂直于椭圆长半轴，利用定积分求解储油罐储油的体积。设阴影部分弓形面积为s(h)，在图3中选取纵坐标y为积分变量，而它的变化区间为[?b,h?b]，相应于[?b,h?b]上任一小区间[y,dy]的窄条面积近y2似于高为dy，底为2a(1?2的窄矩形的面积，如图4所示： b2图4： 积分微元图 从而得到面积元素为：y2dA=(2a(1?2)dy b2y2以dA=(2a(1?2)dy为被积表达式，在闭区间[?b,h?b]上作定积分，便b得所求弓形横截面积为：2ah?b22s(h)=b?ydy ∫?bb2包含总结汇报、计划方案、经管营销、高中教育、表格模板、农林牧渔、行业论文以及储油罐的变位识别与罐容表标定(2010全国数学建模竞赛A题论文)等内容。本文共8页
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