盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取2次,每次取1只,求下列事件的概率1.取到的2只都是次品2.取到的2只中,正品、次品各一只3.取到的2只中至少有1只正品._百度作业帮
盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取2次,每次取1只,求下列事件的概率1.取到的2只都是次品2.取到的2只中,正品、次品各一只3.取到的2只中至少有1只正品.
因为是有放回的,所以取出来的就可以是重复的,那么它的基本事件容量为36.1.取到两个都是次的基本事件有4个,那么它的概率就是4/36=1/9.2.取到一正一次的基本事件有16个,概率是4/9.3.至少有一正的基本事件有32个,概率就是8/9
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随机变量的数字特征和正态分布
作者：佚名&&&&文章来源：本站原创&&&&点击数：&&&&更新时间：&&&&
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【课标要求】　　（1）了解离散性随机变量的期望与方差的含义与作用，会根据离散型随机变量的分布列求出期望与方　 　　　差，并体会它们各自的作用。　　（2）了解正态分布的概率密度曲线的函数式及其图像和性质，初步了解标准正态分布的三倍标准差原　 　　　则及其在日常生活、生产和学习中的应用。【教学目的】　　（1）了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望。　　（2）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。【教学重点】　　（1）离散型随机变量的期望和方差的概念。　　（2）正态分布的性质和理解。【教学难点】　　（1）根据离散型随机变量的分布列求出期望和方差。　　（2）正态分布的性质和理解。【教学过程】一、期望和方差　　引例：甲乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：
0．4　　那么如何评价两名射手的射击水平呢?　　分析：评价的因素应该有两方面：(1)射击n次的平均射击环数；(2)射击的稳定程度。　　（一）射击n次的平均射击环数　　　　　先分析射手甲的n次射击的平均环数。　　　　　根据射手射击所得环数ξ的分布列，估计在n次射击中大约有　　　　　次得8环；　　　　　次得9环；　　　　　次得10环。　　　　　故在n次射击的总环数大约为：　　　　　，　　　　　从而，预计n次射击甲射手的平均环数为。　　　　　同理可得，n次射击乙射手的平均环数为。　　　　　平均环数9是由射手射击所得环数的分布列得到的，　　　　　是一个只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平。　　　　　这说明两射手的射击的平均水平相当。　　　　　对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，　　　　　即已知各个（i=0，1，2，…，10），可以同样预计他任意n次射击的平均环数：　　　　　…。1、数学期望　　一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
…　　则称…… 为ξ的数学期望，简称期望。　　说明：　　（1）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。　　*（2）若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
…　　于是……　　　　　　＝……)……)＝。　　注意：由于，所以， 。　　（二）射击的稳定程度　　　　　下面分析射手甲的射击的稳定程度。　　　　　根据射手射击所得环数ξ的分布列，估计在n次射击中大约有：　　　　　次得8环；　　　　　次得9环；　　　　　次得10环。　　　　　所以　　　　　　　　 。　　　　　同理　　　　　　　　 。　　　　　所以，射手甲的稳定性好于射手乙。　　　　　对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，　　　　　即已知各个（i=0，1，2，…，10），可以同样预计他任意n次射击环数的方差。2、方差　　对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…， ，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么　　＝＋＋…＋＋…　　称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望。3、标准差　　的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作，标准差与随机变量本身有相同的单位。　　说明：　　（1）随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波　 　　　动、集中与离散的程度。　　*（2）方差的性质：　　　　　①＝；　　　　　②；　　　　　③。　　证明：　　②　　　　　　　　　　　　　　　　。　　③　　　　 　　　　 。二、二点分布、二项分布和超几何分布的数字特征1、二点分布　　若服从二点分布，则，。2、二项分布　　若，则，。显然，二点分布是二项分布的特殊情形（）。3、超几何分布　　若服从参数为的超几何分布，则。三、正态分布1、总体密度曲线　　设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线。它反映了总体在各个范围内取值的概率。总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积。　　　　　2、正态分布密度函数　　总体密度曲线可用下面函数的图象来（近似）表示：　　函数称为正态函数，其图象称为正态曲线。正态分布一般记为。　　若，则，。 　　说明：　　(1)正态分布是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布。　　(2)当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，　 　　其相应的函数表示式是，(-∞＜x＜+∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线。3、正态曲线的性质　　（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交；　　（2）曲线关于直线x=μ对称；　　（3）当x=μ时，曲线位于最高点；　　（4）当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)。并且当曲线向左、右两边无限　 　　　延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。　　（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越　 　　　“瘦高”，总体分布越集中。4、正态总体取值的概率　　　　　　　　　　　　在区间(μ-σ，μ+σ)、(μ-2σ，μ+2σ)、(μ-3σ，μ+3σ)内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%。【例题选讲】　　1、袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数。　　（1）求的概率分布列；　　（2）求的数学期望。　　解析：　　（1）依题意的取值为0、1、2、3、4。　　　　 =0时，取2黑，p(=0)=；=1时，取1黑1白，p(=1)=；　　　　 =2时，取2白或1红1黑，p(=2)= +；　　　　 =3时，取1白1红，p(=3)= ；=4时，取2红，　　　　 概率p(=4)= 。
　　　　 ∴分布列为　　（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=。　　2、有10件产品，其中3件是次品。从中任取2件，若抽到的次品数为，求的分布列，期望和方差。　　解析：10件产品中有3件次品，从中任取两件，次品数可能取值为0，1，2。　　　　　，，。
　　　　　的分布列为　　　　　，　　　　　。　　注意：求解步骤：　　①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；　　②求ξ取各个值的概率，写出分布列；　　③根据分布列，求Eξ或。　　3、一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品。从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止。求在取得正品之前已取出次品数的期望。　　解析：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3。　　　　　 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则　　　　　 。　　　　　 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则　　　　　 。　　　　　 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则　　　　　 。　　　　　 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，　　　　　 。　　　　　 所以，；　　　　　 。　　4、已知有6只电器元件，其中有两只次品和4只正品。每次随机抽取一只测试，不放回，直到2只次品都找到为止。设需要测试的次数为，求的分布列。　　解析：(前两次均检出次品)；　　　　　 (前两次1只正品1只次品，第3次次品)；　　　　　 (前三次2只正品1只次品，第4次次品；或前4次均为正品)；　　　　　 (前四次3只正品1只次品，第5次取到正品或次品)。　　说明：前4个均为正品，则后边两个一定为次品，不必检验。另外，得到5个检验结果，最后一个便可以确定正次品，不必检验。　　5、学校文娱队的每位队员唱歌跳舞至少会一项。已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人。现从中选出2人，设表示选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且。　　（1）求文娱队的人数；　　（2）写出的分布列，并计算。　　解析：设文娱队中既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队共有人，其中只会唱歌，或只会跳舞的有人。　　（1）由得。　　　 　所以，即，解得。　　　 　所以，文娱队共有5人，其中2人既会唱歌，也会跳舞。只会唱歌，或只会跳舞的有3人。　　（2）可能取值有0，1，2。　　　　 ，，。
　　　 　所以的分布列为　　　 　所以。　　6、、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是、、，队队员是、、，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
A队队员胜的概率
B队队员胜的概率
　　现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设、队最后得分分别为，。　　（1）求，的概率分布；　　（2）求，　　解析：　　（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0。　　　　　　　　　　根据题意知，所以　　　　　　　（Ⅱ）；　　　　　因为，所以。　　7、某一年龄段人寿保险中，在一年保险期内，每个被保险人需交纳保费元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元。经统计，此年龄段一年内意外死亡的概率为，非意外死亡的概率为，则需满足什么条件，保险公司能够盈利？　　解析：设为盈利数，则　　　　　，，。　　　　　所以。　　　　　因此，当时，盈利的期望大于零。　　8、在某一项有奖销售中，每10万张奖券中有一个一等奖，奖金10000元；两个二等奖，奖金各50000元；500个三等奖，奖金各100元；10000个四等奖，奖金各5元。试求每张奖券奖金的期望值。若每张奖券售价2元，销售一张的平均获利是多少?(假设所有奖券全部售完)　　解析：设每张奖券可获得的奖金数为，则　　　　　，，，　　　　　，。　　　　　。　　　　　如果每张奖券2元，销售一张平均获利0.8元。　　9、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ。　　(1)； 　　(2)；　　(3)。　　答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5。　　10、服从标准正态分布的随机变量的概率密度是，。试确定的奇偶性，增减区间和最值。　　解析：，所以是偶函数。　　　　　因为关于单调递减，即关于单调递减，　　　　　所以时， 单调递增，时，单调递减。　　　　　因此，，即最大值为。　　　　　又恒成立，并且无限增大时，无限接近于0，即无最小值。　　　　　。
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概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤
浙大第四版（高等教育出版社）
概率论的基本概念
写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）
，n表小班人数
（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）
10，11，12，………，n，………
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一]
00，100，，，，，，
设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为： 或A－
AB+AC 或A－
（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为： 或AB－ABC或AB－C
（3）A，B，C中至少有一个发生
表示为：A+B+C
（4）A，B，C都发生，
表示为：ABC
（5）A，B，C都不发生，
表示为：或S－
（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生
相当于中至少有一个发生。故
表示为：。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：中至少有一个发生。故
（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故
表示为：AB+BC+AC
设A，B是两事件且P
0.7. 问 1 在什么条件下P
AB 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P
AB 取到最小值，最小值是多少？
0.7即知AB≠φ，（否则AB
φ依互斥事件加
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2011高考数学复习点拨：列分布列、求期望须“三思”
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