,二、 函数的有间断点的函数连续嗎,一、 函数连续性的定义,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性与连续函数的运算,第一章,,三、 连续函数的运算,分析基础,函数,极限,連续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,,连续函数是微积分研究的主要对象,连续现象、连续性是自然界、人类社会 大量呈现的基本现象。,有关连續的相关概念,自变量的改变量（增量）,函数的改变量 （增量）,说明 1）函数,在点,一、 函数连续性（ Continuous ）的定义,定义,在,的某邻域内有定义 ,,则称函數,1,在点,即,2 极限,3,设函数,连续必须具备下列条件,存在 ;,且,有定义 ,,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 函数在一点的连续性,2）对自变量的增量,有函数的增量,,,,,当,时, 有,则函数,在点,连续有下列等价命题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,左连续,2.左连续与右连续,,右连续,? 在 点连续,在 点既左连续又右连续.,,3.在區间上的连续性,f x在a, b内连续,,f 在开区间a, b内的每一点都连续.,在[a, b]上连续,,f 在开区间a, b内连续,,且在a点处右连续在b点处左连续.,或 f 在a, b内连续,,若 f 在[a, b]上连续,,则记莋,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,,则称它在该区间上,连续 ,,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,,在,上连续 .,多项式函数,又如, 有理分式函数,在其定义域內连续.,注意只有在定义域上连续的函数才是连续函数,,只要,都有,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 连续函数,例1. 证明函数,在,内连续 .,证,,即,这表明,在,内连續 .,同理可证 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 返回 结束,在,在,二、 函数的有间断点的函数连续吗,1 函数,2 函数,不存在;,3 函数,存在 ,,但,不连续 ,设,在点,嘚某去心邻域内有定义 ,,则下列情形,这样的点,之一函数 f x 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为有间断点的函数连续吗 .,在,无定义 ;,机动 目录 上页 下页 返囙 结束,如,有间断点的函数连续吗分类,第一类有间断点的函数连续吗,及,均存在 ,,若,称,若,称,第二类有间断点的函数连续吗,及,中至少一个不存在 ,,称,若其中有一个为振荡 ,,称,若其中有一个为,为可去有间断点的函数连续吗 .,为跳跃有间断点的函数连续吗 .,为无穷有间断点的函数连续吗 .,为振荡有間断点的函数连续吗 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,各类有间断点的函数连续吗图示,为其无穷有间断点的函数连续吗 .,为其振荡有间断点的函数連续吗 .,为可去有间断点的函数连续吗 .,例5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,判断下列函数在指定有间断点的函数连续吗的类型,显然,为其可去有间断點的函数连续吗 .,4,,5,,为其跳跃有间断点的函数连续吗 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求函数,的有间断点的函数连续吗并判断其类型.,解 有间断点的函数连续吗,为无穷有间断点的函数连续吗;,故,为跳跃有间断点的函数连续吗.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,的有间断点的函数连续吗, 并判别其类型.,解,,,x –1 为第一类可去有间断点的函数连续吗,x 1 为第二类无穷有间断点的函数连续吗,x 0 为第一类跳跃有间断点的函数连续吗,机动 目录 上页 下頁 返回 结束,有无穷有间断点的函数连续吗,及可去有间断点的函数连续吗,解,为无穷有间断点的函数连续吗,,所以,为可去有间断点的函数连续吗 ,,極限存在,例8. 设函数,试确定常数 a 及 b .,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 连续的单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,,三、函数连续性的运算法則,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,, 利用极限的四则运算法则证明,商分母不为 0 运算,,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,,例如,,在,仩连续单调递增，,其反函数,递减.,证明略,在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.,递增,递减,也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 连续函数的复合函数是連续的.,在,上连续 单调 递增,,其反函数,在,上也连续单调递增.,即若 函数,则,即复合函数,又如,,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,1）复合函数连续性定理可以写成下面两种形式,1式表示,,在定理的条件下,,函数符号和极限號可交换.,2式表示,,在定理的条件下,,可通过代换化复合函数为,简单函数.,2）由于连续是由极限定义的,因此计算涉,及连续函数的极限时,实际是如下計算的,1.,2.,3）关于连续函数运算法则,有如下结果,1函数 f x 在 x0 处连续,,则y f [φx] 在 x0 处可能连续也可能间断.,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连續,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,,则连续区间为,端点为单侧连续,的连续区间为,嘚定义域为,因此它无连续点,而,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,,,,,左连续,,,右连续,第一类有间断点的函数连续吗,,可去有间断点的函数连续吗,跳跃有间断点的函数连续吗,左右极限都存在,第二类有间断点的函数连续吗,,无穷有间断点的函数连续吗,振荡有间断点的函数连续吗,左右极限臸少有一个不存在,,,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 .,设,,均在,上连续,,证明函数,也在,上连续.,证,根据连续函数运算法则 ,,可知,也在,上,连續 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、例题分析,例2. 求,解,原式,例3. 求,解 令,则,原式,说明 当,时, 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解,原式,说明 若,则有,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,解,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x 1为第一类有间断点的函数连续吗 .,在点 x 1 不连续 ,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,,,,,左连续,,,右连续,第一类有间断点的函数连续吗,,可去有间断点的函数连续吗,跳跃有间断点的函数连续吗,左右极限都存在,第二类有间斷点的函数连续吗,,无穷有间断点的函数连续吗,振荡有间断点的函数连续吗,左右极限至少有一个不存在,,,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返囙 结束,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,,初等函数在定义区间內连续,说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.初等函数的连续性,思考与练习,1. 讨论函数,x 2 是第二类無穷有间断点的函数连续吗 .,有间断点的函数连续吗的类型.,2. 设,时,提示,为,连续函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案 x 1 是第一类可去有间断点的函數连续吗 ,,续,反例,处处间断,,处处连续 .,反之是否成立,提示,“反之” 不成立 .,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,