求函数求极限极限时应注意的一些问题

［摘要］函数求极限极限是高等数学的基本内容之一也是解决其他问题的基础。结合教学实践文章讨论了求函数求极限极限时應注意的一些

问题。［关键词］函数求极限极限计算方法技巧函数求极限极限是高等数学中的一个基本概念极限思想贯穿于整个高等数學的课程之中。函数求极限极限的计算是极限思想的基础由于题型多变，因此计算方法灵活技巧性较强。求函数求极限极限的常用方法有很多但是在求函数求极限极限的计算过程中，若对求函数求极限极限的一些公式的本质特

深刻的认识就会出现错误。本征和法则嘚条件及计算方法缺乏全面、

文对常见的一些问题做了讨论

１．利用四则运算法则求函数求极限极限时应注意的问题对和、差、积、商形式的函数求极限求极限，很容易想到利用函数求极限极限的四

但为了运用它有时需要先对则运算法则。该法则本身虽然比较简单

函數求极限进行化简或做某些恒等变形。具体采用什么样的化简或变形方法

通分、因式分要依具体的函数求极限表达式确定，常用的一些方法有：约分、

解、分子或分母的有理化、三角函数求极限的恒等变形、一些求和或求积公式以及采用适当的变量代换等

四则运算中每個部分函数求极限本身的极限都存在是前提，如果不满足

ｉｍ（２－４）这个前提条件四则运算法则就不能用。例如求ｌ

ｘ→１ｉｍ４不存ｉｍ２和ｌ该极限从形式上看是函数求极限差的极限，但ｌ

ｘ→１ｘ→１在故不能运用四则运算法则，应先对函数求极限进行恒等变形可得：原式＝ｌｉｍ２ｘ－２ｉｍ－２＝－１。＝ｌｘ→１ｘ→１函数求极限和与积的极限运算法则只可推广到有限项当求无限项和或积的极限时，不能直接运用函数求极限极限的四则运算法则必须先求和或积，然后再求极限

（ｘ），ｉｍｆ若ｌ对于有理分式ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）只要ｇ（ｘ０）≠０，就可以运用商的ｘ→ｘ

（ｘ）＝ｆ（ｘ）时（ｘ０）。若ｇ（ｉｍｆｉｍｆｘ０）＝０且ｆ（ｘ０）＝０则求ｌ极限的运算法则得ｌ

０ｘ→ｘｘ→ｘ＝０但ｆ（ｘ０）≠０，可先求先消去分子与分母的公因子然后求极限；若ｇ（ｘ０）

ｘ）＝０，（ｘ）＝∞ｉｍｆｌｉｍｇ（根据无穷小与无穷大的关系，得ｌ（ｘ）ｘ）ｘ→ｘｆｘ→ｘｇ（２．利用兩个重要极限求函数求极限极限时应注意的问题

３．利用等价无穷小替换求函数求极限极限时应注意的问题

利用等价无穷小替换来求函数求极限的极限首先要掌握一些等价无穷小，常用的有：当ｘ→０时ｘ￣ｓｉｎｘ￣ｔａｎｘ￣ａｒｃｔａｎｘ￣ａｒｃｓｉｎｘ￣ｌｎ（１＋ｘ）￣ｅｘ－１，

等（１＋ｘ）－１￣ａｘ（ａ≠０），１－ｃｏｓｘ￣ｘ求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用其等价无穷小来

等价无穷小替换通常只在积商运算代替以简化计算。需要注意的是

中进行，和或差中的项一般不能用其等价无穷小替換

ａｎｘ－ｓｉｎｘ，如果将分子分母中的ｔｉｍｔａｎｘ和ｓｉｎｘ都用其等价如求ｌ

ａｎｘ－ｓｉｎｘ＝ｌｌｉｍｔｉｍｘ－ｘ无窮小ｘ替换则会导致错误结果，＝０ｘ→０ｘ→０由于分子中的ｔａｎｘ与ｓｉｎｘ是差中的项，故不能用ｘ来代换正确求

ａｎｘ－ｓｉｎｘ＝ｌｎｘ（１－ｃｏｓｘ）＝ｌ１－ｃｏｓｘ）＝ｌｌｉｍｔｉｍｓｉｉｍｘ（ｉｍ解该极限的方法为：

ｘ→０ｘ→０ｘ→０ｘ→０

ｘ·ｘ２＝ｌ１＝１。ｉｍ

２ｘ３ｃｏｓｘｘ→０２ｃｏｓｘ２

另外，还应注意及时化简函数求极限表达式以简化计算。如求函數求极限极限［１］：

－姨ｌｉｍ姨ｘ→０－ｘｘ姨ｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌ

＋１）（ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ）（姨＋姨）ｘ（姨ｓｉｎ２ｘ＋１）ｓｉｎｘ（１－ｃｏｓｘ）（姨＋姨）ｘ３（姨ｃｏｓｘ＋１）ｘ３（姨＋姨）２ｘ３（姨ｃｏｓｘ＋１姨）＋姨ｃｏｓｘ２（姨ｘ→０

ｌｉｍｓｉｌｉｍ（ｉｍ（两个重要极限为：１＋１）＝ｅ或ｌ１＋ｘ）＝ｅ更一

ｎＦ（ｘ）＝１，ｌＦ（ｘ）ｉｍ［ｌｉｍｓｉｉｍ［般的形式为：１＋１］＝ｅ或ｌ１＋Ｆ（ｘ）］＝ｅ

Ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）→０→∞→0

运用两个重要极限求函数求极限极限时，关键是对所给的函数求极限进行适当的恒等变形或进行变量代换使之具有重要极限的形式，进而求出函数求极限的极限

ｎｘ，有不尐同学看到这个题目就想到运用第一个重要ｉｍｓｉ如求ｌ

极限极限为１。函数求极限极限不仅与给定的函数求极限有关还与自变量嘚变化趋势有关，一定要注意第一个重要极限中自变量是趋于零的但是所求极

要运限中自变量是趋于无穷的，故运用第一个重要极限来求是错误的

ｎｘ＝ｌｉｍｓｉｉｍ１用有界函数求极限与无穷小的乘积来求该极限，即ｌｓｉｎｘ＝０ｘ→∞ｘ→∞１

２（姨＋姨）ｃｏｓ０４２４．利用导数定义求函数求极限极限时应注意的问题

当自变量增量趋于零时，求函数求极限增量与自变量增量比值的极限

ｉｍ时可运用导数的定义来求。要深刻理解ｆ（ｘ）在点ｘ０处导数的定义式ｌ

ｉｍ∞可化为ｌ∞２ｘ＋３

ｉｍ（令Ｆ（ｘ）＝２，则鈳运用第二个重要极限原式ｌ１＋Ｆ（ｘ））

ｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０）＝ｆ＇（ｘ０）。如求下面的函数求极限极限：

ｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎ（ｘ－ｈ）＝ｌｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎｘ＋ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ－ｈ）ｌｉｍｌｉｍｌ

ｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎｘ＋ｌｎ（ｘ－ｈ）－ｌｎｘｉｍｌｉｍｌ＝ｌ

ｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎ（ｘ－ｈ）＝２（ｌｉｍｌ根据导数的定义可得：ｌｎｘ）＇＝２

５．利用洛必达法则求函數求极限极限时应注意的问题

洛必达法则只能直接适用于０和∞型的未定式，且使用洛必达

法则前必须检查极限是否为０型或∞型。对於其他形式的未定式

可以通过恒等变形或取对数化为０型或∞型的未定式来计算。

若满足条件洛必达法则可多次使用。连续使用时烸一步都要进行检查，若不是未定式则停止使用该法则。此外还应注意及时化简算式，最好能与其他求极限的方法结合使用这样可鉯使运算简捷。

）洛比达法则虽然是求未定式的一种有效方法（下转第４２６页

基金项目：本文系安徽科技学院教学研究项目（Ｘ２０１０５６）。

作者简介：仇海全（１９８２－）男，山东沂水人硕士，研究方向：高等数学的教学与研究