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函数极限的十种求法
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你可能喜欢幂指型函数极限的求法,高等数学,幂指函数,求极限-大学生社区-赛氪
幂指型函数极限的求法
高航·浙江大学
阅读数2985
这里我把幂指函数和幂指数列统称为&幂指型&，简单地说，幂指型就是指底数和指数上都出现未知量的形式。如果用严格的定义叙述的话，我们把可以表示为\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)&0)\)的函数称为幂指函数，把可以表示为\(a_n=f(n)^{g(n)}(f(n)&0)\)的数列称为幂指数列。求解幂指型的极限是高等数学中的一个难点，我们并不是很喜欢这种形式。因此，无论是研究生考试，还是大学生数学竞赛，计算幂指型极限的问题经常出现。那么，解决这一类问题有什么技巧呢？本文介绍的是幂指型函数求极限的方法。
幂指型函数\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)&0)\)，如果这里\(f(x),g(x)\)的极限都存在，那么这个问题就很简单了，我们可以证明，如果\(f(x),g(x)\)的极限分别是\(A,B\)，那么幂指型的极限是\(A^B\)。这个证明并不困难，本文不予赘述。如果\(f(x)\)的极限是0，而\(g(x)\)的极限是\(+\infty\)，也可以证明这个幂指型的极限是0.因此，上面提到的两种问题比较简单，一般来说竞赛中不会遇到。所以竞赛中如果遇到这种幂指型的问题，基本上不要想着试图分别求出底数和指数的极限这样的&美差事&了。我们面对的往往是&\(\infty^0\)&&\(1^\infty\)&&\(0^0\)&这三种&未定型&。下文将要介绍的是&未定幂指型&函数极限的求法。
方法一：取对数法
这是&幂指型&函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于\(\ln f{(x)^{g(x)}} = g(x)\ln f(x)\)，\(f{(x)^{g(x)}} = {e^{g(x)\ln f(x)}}\)。由于指数函数的连续性，求解幂指型\(f(x)^{g(x)}\)的极限的问题就归结为求\(g(x)\ln f(x)\)的极限问题。至于\(g(x)\ln f(x)\)这种极限到底该怎么求，这里方法就由取对数后式子的特征来决定了，本文不予赘述。很多参考书在这里直接从原来的幂指型开始变形，这样后面每一步计算都带着底数\(e\)，会显得计算比较复杂。这里我推荐的做法是&先取对数再说&，即先对原来的幂指型取对数，然后设法求取完对数后式子的极限，最后得到答案，不要忘了这个答案是取过对数的，最终需要加上底数\(e\)。这样的好处是容易对取完对数后式子进行分析，不会因为式子太复杂而迷糊。取对数之前，指数的位置上有自变量，这让我们束手无策。而取完对数以后就把自变量从指数的位置上&放下来&，这是取对数法最大的好处，起到了删繁就简的效果，这是对问题的解决有所裨益的地方。此方法可以用一句口诀概括：&幂指型求极限，先取对数再说&。接下来我们看一些例子：
例1：计算极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(x + {e^x})^{\frac{1}{x}}}\)
分析：先取对数 \(\ln {(x + {e^x})^{\frac{1}{x}}} = \frac{{\ln (x + {e^x})}}{x}\)
取对数后的形式是\(\infty\over\infty\)型且不难求导数，洛必达法则是很好的方法。
最后不要忘了1不是最终的结果，是取过对数后式子的极限。因此原来的幂指型极限是\(e\)。
\(\therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {x + {e^x}} \right)^{\frac{1}{x}}} = {e^1} = e\)
一般的参考书或教科书，过程是这么写的：
这么书写看起来非常流畅，一气呵成，但是关键的变形一直在指数上，而书写的时候指数是比较小的。幸好这个式子并不复杂，我们可以看清楚。如果式子复杂一些，我们看的时候可能就存在一些困难了。所以单独把取完对数的形式拉出来，后面的思路可以看得更清晰。这是我比较喜欢的过程，也可以很好地体现取对数的作用。
例2：（第一届大学生数学竞赛（非数学组）预赛）
求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{2x}} + \cdots + {e^{nx}}}}{n}} \right)^{\frac{e}{x}}}\)，其中\(n\)是给定的正整数。
分析：虽然出现了\(x \)和\(n\)但是\(n\)可以当作常数来对待。式子是幂指型，因此先取对数再说。要注意的是虽然分子可以看成等比数列求和的形式，但是现在我们不清楚是否求和后的形式更利于解决问题，所以先放着，不要过于着急变形。
取对数后结果是：\(\frac{{e\ln \left( {\frac{{{e^x} + {e^{2x}} + \cdots + {e^{nx}}}}{n}} \right)}}{x}\)，这个形式是\(0\over0\)型，求导数没有太大的难度，所以用洛必达法则。由于分子接下来考虑进行求导，这里上面用等比数列求和并没有太大的意义。在解题的时候着急地进行变形并不是一种很好的习惯，一定要看有没有需要。
例3：（第二届大学生数学竞赛（非数学组）预赛）
求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{ - x}}{(1 + \frac{1}{x})^{{x^2}}}\)
分析：如果看成\(\frac{{{{(1 + \frac{1}{x})}^{{x^2}}}}}{{{e^x}}}\)，这里分子求导很麻烦，洛必达法则看起来前途黯淡。虽然出现了\({\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}\)但是暂时也看不到怎么用。这里出现了幂指型，还是先取对数再看情况。
取对数后得到的是\( - x + {x^2}\ln (1 + \frac{1}{x})\)，作变量代换\(t={1\over x}\)是比较好的一种思路。读者可以思考一下其他的思路。
通过这个题目，我们可以再次领略到先取对数的好处。
方法二：等价代换法
利用等价无穷小（或无穷大）作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的方法。由于\(\ln f{(x)^{g(x)}} = g(x)\ln f(x)\)，如果\(f(x)\sim\phi (x),g(x)\sim\psi (x)\)，自然有\(g(x)\ln f(x)\sim\psi (x)\ln \phi (x)\)，于是\(f(x)^{g(x)}\sim\phi(x)^{\psi(x)}\).
由此我们可以得到：如果\(f(x) & 0,\phi (x) & 0,f(x)\sim\phi (x),g(x)\sim\psi (x)\)，而\(\lim f(x)^{g(x)}\)存在，那么\(\lim \phi(x)^{\psi(x)}=\lim f(x)^{g(x)}\)。这个结论的证明本文不予赘述，有兴趣的读者可以自己推演。这表明，幂指型也可以使用等价替换法求极限。
例4：求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\cot x}}\)
分析：这里使用等价无穷小（大）代换将非常简单.
解：\(\because \cot x = \frac{1}{{\tan x}}\sim\frac{1}{x}\)
\(\therefore\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\cot x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\frac{1}{x}}} = e\)
如果不太习惯直接在幂指型中进行等价代换，我们可以按照上一种思路，先去取对数，再对取对数以后的形式用等价代换。
方法三：配凑法
前面说过，幂指型函数\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)&0)\)，如果这里\(f(x),g(x)\)的极限都存在，那么这个问题就很简单了。虽然题目往往不会出现这种好事，但是有时候我们可以对前面的形式进行配凑，强行变成这种形式，然后求极限。
一般来说，配凑法往往利用重要极限\(\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)，所以一般用于求解&\(1^\infty\)&型极限。若\(\alpha(x)&0\)，\(\alpha(x)\)是无穷小量，那么
如果\(\alpha(x)\beta(x)\)的极限存在，那么就达到配凑法求解极限的目的了。因此我们可以考虑先求\(\alpha(x)\beta(x)\)的极限。
例5：求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\frac{{\arctan x}}{x})^{\frac{3}{{x\sin x}}}}\)
分析：这里是&\(1^\infty\)&型，可以尝试用配凑法求极限。
\(\frac{{\arctan x}}{x} = 1 + \frac{{\arctan x - x}}{x}\)，先进行变形，然后进行配凑。
总结：上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法，最常规的方法是取对数法，后面两种方法有一定技巧性，不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们，我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。
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还没解决or用着不爽？来撩18被浏览3,520分享邀请回答355 条评论分享收藏感谢收起求函数极限的方法有几种？具体怎么求？_百度知道
求函数极限的方法有几种？具体怎么求？
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有以下几种方法：
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41.直接求法：3；2.罗必答法则.公式法.两边夹法则
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通过约分使分母不会为零，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理，如果趋向于无穷我来说几个基础的：①利用函数连续性：lim f(x) = f(a)
x-&gt，需要通过练习来熟练;a（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）②恒等变形当分母等于零时。第二：若分母出现根号，可以配一个因子是根号去除。③通过已知极限特别是两个重要极限需要牢记。具体的还是需要通过习题来熟练，就不能将趋向值直接代入分母：无穷大的倒数为无穷小）当然还会有其他的变形方式。第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的：第一：因式分解，可以通过下面几个小方法解决
还得记住两个重要极限
什么是函数极限？
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