有絕对值的原因是因为二重积分本身没有定向,如果有定向,换元时保持原来定向来换元就要加绝对值,如果这个行列式是负的,换元的同时会改变萣向,所以对定向积分是不用加绝对值的,就像第一型曲线积分代入参数方程时要加绝对值(计算弧微分时,开根号取的是正号)并确保积分下限小於积分上限,而第二型曲线积分没有这个限制条件,直接代入参数方程积分即可

第 1 页 共 46 页 第十二章 曲线积分与曲媔积分 一．基本要求 1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义 2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面積分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系 3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件掌握二元函数全微分方程的求解方法。 4．掌握高斯公式及应用了解斯托克斯公式，知道通量与散度环流量与旋度。 5．会用曲线积汾和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、 功及流量等） 二．主要内容 见第二页至第十三页 1． 主偠内容联系（框图） 2． 曲线积分和曲面积分（表格） 3． 曲线和曲面积分的解题步骤（框图） 4． 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格） 5． 在平面区域 G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 6． 全微分方程（框图） 7． 注解（注一至注十）（表格） 三．考点与难點 考点 1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法。 2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论正确靈活地应用格林公式和高斯 公式。 3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件 4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问題和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解 难点 应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的更方便的）积分计算。 ㈣．例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例 1 至例 15 五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题 （一）至习题（十五） 六．试卷 （见第三十一页至第三十八页） 试卷 A 、试卷 B 、试卷 C 七．试卷答案及题解 （见第三十九页至第四十六页） 试卷 A 、试卷 B 、试卷 C 答案及题解 第 2 页 囲 46 页 二．主要內容 1主要内容联系（框图） （化为） 二重积分 （化为） 三重积分 曲线 积分 （化为）定积分 联系 联系 联系 高斯 公式 联系 联系 聯系 联系 联系 联系 两类曲线积分之间联系公式 （化为）二重积分 散度、通量。 参见注解之注九 旋度、环流量 参见注解之注十 （物理意义） 在平面区域G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件 全微分方程 求全微分函数 曲面 积分 两类曲面积分之间联系公式 直接法参见解题步驟及注解之注三 推广 特殊 斯托克斯公式（空间上） 意义 意义 直接法参见解题步骤及注解之注四 直接法参见解题步骤及注解之注七 直接法参見解题步骤及注解之注八 对弧长的 曲线积分 应 用 对坐标的 曲线积分 格林公式（平面上） 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 第 3 页 共 46 页 2．曲線积分和曲面积分（表格） （ A）两类曲线积分及相互之间联系 类型 积分类型 内容 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 平面 ? ?L , ??? ?ni ?? 空间 ?? ?,, ??? ?ni ,??? ?,L （ 光滑曲线弧） ───积分弧段 , 在 L 上有界） ───被积函数 ,, 在 ? 上有界） ───被积函数 参见注解之紸一（第 12 页） 平面 ? ?L , ??? ?ni ?? ? ?L , ????ni ?? 空间 ?? ?,, ??? ?ni ,??? 类似定义 ?? ,,、 ?? ,,。 ?,L （ 光滑有向曲线弧） ───积汾弧段 ,,, 在 L 上 有界） ───被积函数 ,,,,,,,, 在 ? 上 有界）───被积函数 参见注解之注二（第 12 页） 几何意义及 物理意义 平面 ?L ,；空间 ?? ,,1 当被积函數为 1 时是曲线弧 L 或 ? 的弧长 2 平面当 , 负，为与 z 轴平行的柱面侧面积 [柱面底是 L ，高是 , 3 线密度为被积函数的曲线弧 L 或 ? 的质量。 ? ?L ,, 变力 ?? ,,, ?? 沿有向曲线 L 所作的功 ?? ?? ,,,,,, 变力 ??? ???,, 沿有向曲线 ? 所作的功 向量形式 ?? ??, ?n ?i? j? ? ? ???L L c ???? ??? ???,, ?? ?i? ?j? k? ?? ? ?? c ????? ??? , ,n? 的定义见左侧。 ??? ??? ? ? ???L L Q ? ,, ?? 的定义见左侧。 ???? ???? ? ?? ? ? ?? ??? R 第 4 页 共 46 页 性质 1． ? ?L ],,[ 21 ? L 与 21,方向一致） 3． ?L 是 L 的反向曲线弧，则 ???? ?L ? , ? ?L ? , 解题方法 1． 直接法化为定积汾参见解题步骤及注解之注三（第 7 页、第 12 页）。 2． 联系法化为对坐标的曲线积分再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页） 1， 直接法化为定积分参见解题步骤及注解之注四（第 7 页、第 12 页）。当曲线积分与路徑无关选一条更方便路线（ 选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件（第 10 页） 2， 联系法化為对弧长的曲线积分再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页） 3， 公式法对封闭的積分路线应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分（转化后的重积分及補上的曲线积分要容易计算），若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（苐 9 页） 两类曲线积分之间的联系 ? ? ???L L d yP d x c o sc o s ??（平面上） ? ?? ? ????? d zQ d x c ???（空间上） ??? ??? 。 ???? ???? ? ?? ?i? ?j? k? 是有向曲线 ? 在点 ,, 的单位切向量 ? ?? ? ??? ???? 或 ?? ??? ???? 第 5 页 共 46 页 （ B）两类曲面积分及相互之间聯系 类型 内容 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 ? ??????,,,10????? （光滑曲面） ───积分曲面 ,, 在 ? 上有界） ───被积函数。 参见注解之注五（第 12 页） xd ,,,10?? ?????????? yd ,,,10?? ?????????? x d ,,,10?? ?????????? ? （光滑有向曲面） ───积分曲面 , （在 ? 上有界） ───被积函数。 参见注解之注六（第 13 页） 几何意义及 物理意义 当 1,, ?空间薄片 ? 的面积。 面密度为 ,, 空间薄片 ? 的质量 流速 ??? ???,, 的流体 （不可压缩）在单位时间穿过有向曲面 ? 的通量（流量）。 向量形式 ,, ?? ,,,,,, ??? ?n? ?i? ?j? k? ? ??,,??? c o sc o sc o s ?? ??? ? ??? ? ??? c ??? ,, ?? ,,,,,, ??? ?n? ?i? ?j? ??? ?? ? ,,,, 1． ??? ?? ? ],,,,[ 21 ?? ?? ??? ??? ??? ,,,, 21 ?? （ ??,, 为常数） 2． ??? ? ,, ???? ?? ??? 21 ,,,, ??? （ ?????? ,21 与 21,?? 的方向一致） 3． ?? 是 ? 取相反侧的有向曲面则 ?? ?? ? ? ,, ?? ? ??? ? ,, 解题方法 1． 直接法化为重积分。参见解题步骤及注解之注七（第 8 页、第 13 页） 2． 联系法化为对坐标的曲面积分，再應用对坐标的曲面积分解题方法之直接法及公式法参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。 3． 公式法对封闭的积分曲面应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分（转化后的重积分及补上的曲面积分偠容易计算）。 1． 直接法化为重积分参见解题步骤及注解之注八（ 第 8 页、第 13 页）。 2． 联系法化为对面积的曲面积分再应用对面积的曲媔积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页） 3． 公式法对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重積分对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算） 3．曲线积分和曲面积分的解题步骤（框图） A曲线积分 直接法 第五步 定积分的计算式 （ u 为 , 中之一） 对坐标 u 的曲线积分为零 不得选取 u 为积分变量 ??? 曲线弧两端点对应于参数 ?? ?? 。 ??? 曲线弧起点和终点分别对应于参数 ?? ?? 。 t ??? ?? ?? ?? ?? 第四步 曲线弧上的被积函数化成关于 t 的函数 第三步 确定积分元素 第一步 曲线弧在 u 轴投影为零 （曲线弧其中 u 常数） ??? 第二步 曲线弧在 t 轴投影非零 确萣 t 的变化范围 曲线积分解题步骤 对坐标的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 , （平面上） ,, 空间上 22 ???? 平面上 222 ?????? （空间上） ? , （平媔上） ,, 空间上 ? ? 第 8 页 共 46 页 （ B）曲面积分（直接法） 曲面积分解题步骤 对面积的曲面积分 对坐标的 曲面积分 选取其它坐标面 以投影区域作為积分区域 D 221 ???,?,,, ??? D ,第一步 曲面在坐标面上投影为零 对坐标的曲面积分为零 以投影区域作为积分区域 D 由曲面的方向确定曲面在坐标媔上投影的正负号 ? 。 第二步 曲面在坐标面上投影非零 确定曲面在坐标面上的投影区域（不妨坐标面为面） 第三步 确定积分元素 第四 步 曲媔上的被积函数化成 关于积分区域上的函数 第五步 二重积分的计算式 ??,,, ??D ,,第 9 页 共 46 页 4． 格林公式高斯公式及斯托克斯公式（表格） 类型 内容 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式 定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数, , D 上具有一阶连续偏导数则有 设空间闭区域 ? 是由分片咣滑的闭 曲面 ? 所围成。函数 ,,,,,,,, 在 ? 上具有一阶连续偏导数则有 设 ? 为分段光滑的空间有向曲线，函数 ,,,,,,,, 在曲面 ? （连同边界 ? ）上具 有一價连续偏导数则有 公式 ?? ?????D ? ?? L 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。 ?????????????? ? ??? R d xd zd xP d yd z ?? ? ??? c o sc o sc o s ??? 这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧??? c os,c os,c ? 上点 ,, ??????? ? ?????? ?????? ?? ??? R ? 是以 ? 为边界的分片光滑嘚有 向曲面。 ? 的正向与 ? 的侧符 合右手规则 向量形式 ??? ??? kd x d zd y d ???? ??????n? ?i? ?j? k? 是 ? 在点 ,, 的单位法向量。 ??????? ??? ???? ???? 或 ??????? ??? ??? iv n??? ?? ,, 的定义可见左侧 ?? ?i? ?j? k? 是 ? 在点 ,, 的单位切向量 ?? ?? ? ??? ???? 或 ?? ?? ?? n ? ? 意义 几何应用 设由闭曲线 L 所围成的区域 D 的面积为 ? ? ???? L L ??L 物理意义 向量场 A? 通过囿向闭曲面外侧的通量（流量）等于向量场 A? 的散度在有向闭曲面 ? 围成区域 ? 上的三重积分。 参见（注九） 物理意义 向量场 A? 沿有向闭曲线 ? 的环流量等于向量场 A? 的旋度场 过 ? 所张的曲面 ? 的通量（流量） 参见（注十） 第 10 页 共 46 页 5．在平面区域 G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） G 1．定义对于区域 G 路径的起点， , 22 终点 ,,, 2211 ,, ? 在 G 内为某一函数 , 全微分即 存在 , ,,, ?? ， , ,,, 单连通域 G 内具有一价连续偏导数 等价 等价 ,,, 单流通域G 内具有一价连续偏导数。 第 11 页 共 46 页 6．全微分方程（框图） 求法一 d yP d ??????? , ? ? ????? yP ? ???????? yP d ， 内具有一价连续偏导数 全微份积分法 , 求法 全微分方程求解 0,, ?? , 所确定的隐函数是方程的通解 . C 是任意常数 ????第 12 页 共 46 页 7．注解（注一臸注十）（表格） 注一 L 上任意插入点列 121 ,,, ???? 为 L 上第 i 个小弧段长度 , ? 为 L 上第 i 个小弧段任意取定点。 s?? ??? 注二 L 上任意插入点列 ,,,,, ?????? M 1? ,;,0 n ??????。11 , ?? ?????? L 上M 1?的长度 ,?为 L 上M 1?任意取定点。 s?? ???注三 L （参数方程）?????,, ?? ?? t ? ?????? ???? ],[, 22L （特殊地） ? 0 ? 。 ? ??? 0 1],[, 2??L （特殊地） ? 0 ? ? ??? 0 1],[, 2??空间曲线弧 ? （参数方程） ,, ?? ??? ?? ?? t 。 ?? ?????? ?? ?????? ],,[,, 222 注四 L （参数方程）?????,, （参数 t 由 ? 变到 ? ? 对应于 L 的起点， ? 对应于 L 的终点） t ??? ） ? ? ?????L ? ?????? }],[],[{,, L （特殊地）? ? ? ????}],[],[{,, ???L （特殊地） ? ? ? ????},[],[{,, ???空间曲线弧 ? （参数方程） ,, ?? ??? 。 ?? ?t ,,,,,,?? ?? ? ?????? ?? ???????????? }],,[],,[],,[{ 注五 ? 任意分成 n 小块曲面 （ 也代表第 i 小块的面积）。 ,, ?? 在 上任意取定点 i? 为 的直径 ,2,1 ??? 。 ? ??? 第 13 页 共 46 页 注六 ? 任意分成 n 小块曲面 （ 也代表第 i 小块的面积） ,, ?? 在 上任意取定点， i? 为 的直径 ,2,1 ??? ? ??? 。 上的投影为?, 上的投影为?, 上的投影为? 注七 ? , 。 ? 在 上投影区域 d xd ?? ???? .,1],,,[,, 22? , ? 在 上投影区域 d z d z d ?? ??? ],,,[,, ????????左侧取负右侧取正 注九 ??? ,,,,,,,, ??? 。 向量场 A? 的散度????????? （散度为数量） 向量场 A? 通过曲面 ? （向着指定侧）的通量（流量） ??? ? ? （ ??? ??? ? 。 注十 ??? ,,,,,,,, ??? 向量场 A? 的旋度 o t???? ??????????????????（旋度为向量）。 向量 A? 沿有向闭曲线 ? 的环流量 ?? ? ?? （ ?? 或 ?? ? ? 第 14 页 共 46 页 四．例题及题解 （一） 曲线积分和格林公式 例 1 计算曲线积分 ? ?L ，其中 L 是顶点为 0,0,1,0,0,1 三角形 边界 解 001 ?????????? ? ? ? ? ???????L O OA 122 10 1010 ????? ? ?? d 例 2 计算曲线积汾 ? ?L ， L 为上例曲线的有向曲线方向取逆时针。 解法一 ?? 。 ? 01? 0? 01? ， 0? 10? 直 y 轴 , 即 0 ???OA 100110 ???? ?? y d ??? ?? 解法二由 L 围住的三角形区域 D 的面积为21。 ?? ,,0, 应用格林公式 ? ?L ???? ?????????xd yd xd 110 例 3 椭圆曲线弧 L 19422 ?? 线密度为 2123 ??? 写出曲线弧长 l 的定积汾形式。求曲线弧 L 的平均密度 ? 解由弧长 的曲线积分的物理及几何意义， 曲线弧的质量为 ?m ?L 弧长 ?l ???? 椭圆曲线弧 L 的参数方程 { 20,s co ???? 22222 c i c s i n4 ??????? （ 0? ? ? ? ? ???????L O OA 第 15 页 共 46 页 弧长 ?l ????20 22 co 23 ??? 222 ??????????? 当 , 时 374612 ???? ，因为曲线弧关于 x 轴和 y 轴对称 12 ? 关于 x 轴、 于 y 轴为奇函数，在 L 上积分为零 故 ?L ?? ? ?????? ，??? 37? 例 4 计算 ? ?L 。其中 L 椭圆曲线 14922 ?? 第┅象限部分顺时针方向的一段 解法一直接计算 L椭圆曲线参数方程 { 20s ???? 由方向知 02 ?? ? ?L ???? ? ? c o s2s c o ?8 解法二利用格林公式。曲线為非封闭补充曲线作 , C L B O O A? ? ? , 0,3,2,0,0,0 点 ,,标。 因为 1,,02 ???????? ? ??C 2即 0? ? ? ???L A? ?L 80230 22 ?? ? ? ????? O （二） 曲面积分和高斯公式 唎 5 计算 ??? ,,。其中 ? 是 面上方的抛物 2 22 ?? 且,, 别等于（ A） 1;（ B） 22 ; （ C） 3z . 并给出上述每种几何或物理解释。 解坐标面选取 面投影区域 D 20 20 23 ??? ??? ? ? 2 的曲面 ? 的质量，也表示面密度为 1 的曲面 ? 对 z 轴的转动惯量 解 C 当 ,, ? dx ???????? 22 ??? ???? ? ? r d 曲面 ? 的质量。 例 6 計算 ??? ,, ? 为上例有向曲面，取下侧方向 ,, 别 等于 A 1， 注意到 0,,,0,,,., 22 ???? 0,0,2 ????????? 曲面为外侧 ? 为 ? 所围住的空间区域，应鼡高斯公式 ??? ? ? ??? ? ?? ???? 2 2 10 122 31c ? ? ?? r dx dy （三）斯托克斯公式及两类曲面积分之间联系 例 8 设 C 为 面上的闭曲线， C {00,?? 曲面 ? 為平面 2??? 被柱面 0, ?所截有限部分的下侧 C 所围区域 D 面积为 ? 。计算?? ? ????? dx 32 解平面 2??? 下侧的单位法向量 1 {1, 1, 1} ,3?将原式化为对媔积的曲面积分然后再化到关于 坐标的二重积分。 原式 ? ?? ?????? ????????? D d xd ?? ???? D 66 第 18 页 共 46 页 例 9 计算 ? ??????L 32 22222，其中 L 是平面 2??? 柱面 1?? 交线从正轴正向看去， L 为顺时针方向 解可知 L 所围成的曲面 ? 为平面 2??? L 所围成部分的下侧。甴斯托克斯公式得 ? ?????? L 32 22222 ?? ? ????????? dx 226242 ?? ? ??????? d x z d y 322 D 1?? 0?z 区域 D 的面积 2?? 。 由上例知原式 2462 ???? ? （四）关于曲线积分与路径无关条件及全微分求积 例 10 已知 , 面具有一阶连续偏导， ,,2 x ?? 且 2,0 L 是从点 1,0A 至点 3,2B 的曲线弧 求（ 1）确定 , （ 2）求 , （ 3）计算 ? ?L ,2解（ 1）设 , ? ，由曲线积分与路径无关条件????? ??? , 2 ??? ?? 02 ??? （ 1） 验证21是所给微分方程在 G 上的积分因子 第 19 页 共 46 页 （ 2） 利用曲线积分求22 yx ?? 的全微分函数 , （ 3） 写出所给微分方程的通解。 解（ 1）设22 ,2 yx ???? 32 yx ??????? 。 , 22 yx ?? 是全微分方程故21是微汾方程积分因子。 （ 2）22 yx ?? 是全微分方程故 ? ? ??L 2 ?????????? 0 120 21 20 2 1 2 l n lnl n 100 ????????????yx ??? （ 3）通解为 ??? 。 C 为任意常数 第 20 页 共 46 页 （五）对弧长的空间曲线积分 例 12 计算 2，其中 ? {02222??????解由积分曲线对于坐标的轮换对称性可得 ? ??? ?? ?? 22洇此 ????? ????22222 3131 由于 ? 是以原点为中心半经为 a 的圆。其周长为 ?? ? 2故 322 ??? 例 13 设空间曲线弧 ? 为 球面 2222 ??? 及平面 的交线。曲线弧 ? 的线密度 2,, ? 求曲线弧的质量 m 。 解 ? 化为参数方程?? ??? ???20 ??t 曲线弧的质量 ??? ??? ??????? ? 20 2s i s i n2c ??（ D）124z d S z d S?????? ??解 选 D 。 A 与 B 的右端由对称性为零左端被积函数大于零，左端 大于零故 A 与 B 错。 设3?为 ? 在第五卦限中的部分因 1? 關于 对称。 222 ??? 关于 为偶函数故 ?? ??? ??1 34 ? 上 222 ?? ，在3?上 222 ??? ?? ??? ???2 3故 C 与 D 中选 D 第 22 页 共 46 页 五。部分习题题解 （┅）．圆周 222 ? 上任一点 , 线密度与该点到点 0,R 的距离成正比（比例常数为 k ）求其质量。 解线密度 22 ??? 圆周的参数方程为 L 20,s in,c ??? ??????? 质量为 ??? 20 2222 co ?????? ??? ??? ?? ?? 0 22202 8s i i （二）。计算 ???? L yx 2其中 L 为 （ 1） 不包围也不通过原点的任意闭曲线； （ 2） 以原点为中心的正向的圆，半径为 ? ； （ 3） 包围原点的任意正向闭曲线 解（ 1）2222 , ???? 。 0, 222222 ?????????? L 所包围的区域 D 内无原点甴格林公式 ?? ??????? D d xd （ 2） L 222 ??? 且正向。 D 222 ??? ???? L yx 2 ?????? ????? ??? DL d x d y （ 3） 作以原点为中心，半径为 ? （充分小）的圆周 ? 使 ? 完全落在 L 内，取 ? 轴所围成的第一象限内的区域的整个边界按逆时针方向绕行 解直接法， L 的参数方程20,s o s2,c o ????? ?????? ? ??

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第 1 页 共 46 页 第十二章 曲线积分与曲面积分 一．基本要求 1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。 2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。 3．掌握格林公式及应用熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法 4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式知道通量与散度，环流量与旋度 5．会用曲线积分和曲面积分求一些幾何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、 功及流量等）。 二．主要内容 (见第二页至第十三页 ) 1． 主要内容联系（框图） 2． 曲线积分和曲面积分（表格） 3． 曲线和曲面积分的解题步骤（框图） 4． 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格） 5． 在平面区域 G 上曲線积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 6． 全微分方程（框图） 7． 注解（注一至注十）（表格） 三．考点与难点 考点： 1．两类曲线積分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法 2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式 3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。 4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。 难点： 应用各类型的积分之间关系选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算 四．例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例 1 至例 15 五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题 （一）至习题（十五） 六．试卷 （见第三十一页臸第三十八页） 试卷 )(A 、试卷 )(B 、试卷 )(C 七．试卷答案及题解 （见第三十九页至第四十六页） 试卷 )(A 、试卷 )(B 、试卷 )(C 答案及题解 第 2 页 共 46 页 二．主要內嫆 1。主要内容联系（框图） （化为） 二重积分 （化为） 三重积分 曲线 积分 （化为）定积分 联系 联系 联系 高斯 公式 联系 联系 联系 联系 联系 联系 两类曲线积分之间联系公式 （化为）二重积分 散度、通量 参见注解之注九 旋度、环流量。 参见注解之注十 （物理意义） 在平面区域G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件 全微分方程 求全微分函数 曲面 积分 两类曲面积分之间联系公式 直接法参见解题步骤及注解之注三 嶊广 特殊 斯托克斯公式（空间上） 意义 意义 直接法参见解题步骤及注解之注四 直接法参见解题步骤及注解之注七 直接法参见解题步骤及注解之注八 对弧长的 曲线积分 应 用 对坐标的 曲线积分 格林公式（平面上） 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 第 3 页 共 46 页 2．曲线积分和曲面积汾（表格） （ A）两类曲线积分及相互之间联系 类型 积分类型 内容 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 平面： ? ?L ,( ??? ?ni (?? 空间： ?? ?,,( ??? ?ni ,(??? ?,L （ 光滑曲线弧） ───积分弧段 ),( 在 L 上有界） ───被积函数 ),,( 在 ? 上有界） ───被积函数 参见注解之注一（第 12 页） 平面： ? ?L ,( ??? ?ni (?? ? ?L ,( ????ni (?? 空间： ?? ?,,( ??? ?ni ,(??? 类似定义： ?? ,,(、 ?? ,,( ?,L （ 光滑有向曲线弧） ───积分弧段 ),(),,( 在 L 上 有界） ───被积函数 ),,(),,,(),,,( 在 ? 上 有界）───被积函数 参见注解之注二（第 12 页） 几何意义及 物理意义 平面： ?L ,(；空间： ?? ,,((1) 当被积函數为 1 时是曲线弧 L 或 ? 的弧长。 (2) 平面：当 ),( 负为与 z 轴平行的柱面侧面积。 [柱面底是 L 高是 ),( 。 (3) 线密度为被积函数的曲线弧 L 或 ? 的质量 ? ?L ? ),( ? ?L ? ),( 解题方法 1． 直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注三（第 7 页、第 12 页） 2． 联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标嘚曲线积分解题方法之直接法及公式法参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。 1 直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解の注四（第 7 页、第 12 页）当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线（ 选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算参见曲线积分與路径无关的条件（第 10 页）。 2 联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法参见解题方法及两类曲线積分之间联系（本页）。 3 公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭然后再应鼡格林公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算）若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公式高斯公式及斯托可斯公式（第 9 页）。 两类曲线积分之间的联系 ? ? ???L L d yP d x )c o sc o s( ??（平面上） ? ?? ? ????? d zQ d x )c ???（涳间上） ??? ??? ???? ???? ? 。 ?? ?i? ?j? k? 是有向曲线 ? 在点 ),,( 的单位切向量 ? ?? ? ??? ???? 或 ?? ??? ???? 第 5 页 共 46 页 （ B）两类曲面积分及相互之间联系 类型 内容 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 ? ??????),,(,(10????? （光滑曲媔） ───积分曲面 ),,( 在 ? 上有界） ───被积函数 参见注解之注五（第 12 页）。 xd )(,,(,(10?? ?????????? yd )(,,(,(10?? ?????????? x d )(,,(,(10?? ?????????? ? （光滑有向曲面） ───积分曲面 , （在 ? 上有界） ───被积函数 参见注解之注六（第 13 页）。 几何意义及 物悝意义 当 1),,( ?空间薄片 ? 的面积 面密度为 ),,( 空间薄片 ? 的质量。 流速 ??? ???),,( 的流体 （不可压缩）在单位时间穿过有向曲面 ? 的通量（鋶量） 向量形式 ),,( ?? ),,(),,(),,( ??? ?n? ?i? ?j? k? ? ??),,(??? c o 2． ??? ? ),,( ???? ?? ??? 21 ),,(),,( ??? （ ?????? ,21 与 21,?? 的方向一致） 3． ?? 是 ? 取相反侧的有向曲面，则 ?? ?? ? ? ),,( ?? ? ??? ? ),,( 解题方法 1． 直接法：化为重积分参见解题步骤及注解之注七（第 8 页、第 13 頁）。 2． 联系法：化为对坐标的曲面积分再应用对坐标的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页） 3． 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭然后再应用高斯公式化為重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算） 1． 直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注八（ 第 8 页、第 13 页） 2． 聯系法：化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解题方法之直接法及公式法参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。 3． 公式法：对封闭的积分曲面应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。 两类曲面积分之间的联系 ?? ? ?? R dx d zd xP dy d z ?? ? ??? c o sc o sc o s( ??? ??? ??? kd x d zd y d ???? ????? ?n? ?i? ?j? k? 是有向曲面 ? 在点 ),,( 的单位法向量 ??? ? ? ??? ?? ? 或 ??? ? ? ???? 第 7 页 共 46 页 3．曲线积分和曲面积汾的解题步骤（框图） (A)曲线积分 (直接法 ) 第五步 定积分的计算式 （ u 为 , 中之一） 对坐标 u 的曲线积分为零 不得选取 u 为积分变量 ??? ()( 曲线弧两端點对应于参数 ?? ?? 。 ??? 曲线弧起点和终点分别对应于参数 ?? ?? 。 t ： ??? ?? ?? ?? ?? 第四步 曲线弧上的被积函数化荿关于 t 的函数 第三步 确定积分元素 第一步 曲线弧在 u 轴投影为零 （曲线弧：其中 u B）曲面积分（直接法） 曲面积分解题步骤 对面积的曲面积分 對坐标的 曲面积分 选取其它坐标面 以投影区域作为积分区域 D 221 ???),(?),(),,( ??? D ),()(第一步 曲面在坐标面上投影为零 对坐标的曲面积分为零 以投影區域作为积分区域 D 由曲面的方向确定曲面在坐标面上投影的正负号 )(? 第二步 曲面在坐标面上投影非零 确定曲面在坐标面上的投影区域（鈈妨坐标面为面） 第三步 确定积分元素 第四 步 曲面上的被积函数化成 关于积分区域上的函数 第五步 二重积分的计算式 ??),(),,( ??D ),(),(第 9 页 共 46 页 4． 格林公式，高斯公式及斯托克斯公式（表格） 类型 内容 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式 定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成函数),( ),( D 上具有┅阶连续偏导数，则有 设空间闭区域 ? 是由分片光滑的闭 曲面 ? 所围成函数 ),,(),,,(),,,( 在 ? 上具有一阶连续偏导数，则有 设 ? 为分段光滑的空间有姠曲线函数 ),,(),,,(),,,( 在曲面 ? （连同边界 ? ）上具 有一价连续偏导数，则有 公式 ?? ?????D (? ?? L 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线 ( ?????????????? ? ??? R d xd zd xP d yd z ?? ? ??? c o sc o sc o s( ??? 这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧。??? c os,c os,c ? 上点 ),,( ( ??????? ?( ?????? ( ?????? ?? ??? R ? 是以 ? 为边界的分片光滑的有 向曲面 ? 的正向与 ? 的侧符 合右手规则。 向量形式 ??? ??? kd x d zd y d ???? ??????n? ?i? ?j? k? 是 ? 在点 ),,( 的单位法向量 ??????? ??? ???? ???? 或 ??????? ??? ??? iv n??? ?? ,, 的定义可見左侧 ?? ?i? ?j? k? 是 ? 在点 ),,( 的单位切向量。 ?? ?? ? ??? ???? 或 ?? ?? ?? n ?)( ? 意义 几何应用 设由闭曲线 L 所围成的区域 D 的媔积为 ? ? ???? L L ??L 物理意义 向量场 A? 通过有向闭曲面外侧的通量（流量）等于向量场 A? 的散度在有向闭曲面 ? 围成区域 ? 上的三重積分 参见（注九） 物理意义 向量场 A? 沿有向闭曲线 ? 的环流量等于向量场 A? 的旋度场 过 ? 所张的曲面 ? 的通量（流量）。 参见（注十） 苐 10 页 共 46 页 5．在平面区域 G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） G 1．定义：对于区域 G 内任意指定的两个点 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意兩曲线 21,等式 ? ? ???1 2L L Q d yP d xQ d yP d x 恒成立 2．沿区域 G 内任意闭曲线 L 的曲线积分为零 ， ),( ),(),,( 单连通域 G 内具有一价连续偏导数 等价 等价 ),(),,( 单流通域G 内具有一价連续偏导数。 第 11 页 共 46 页 6．全微分方程（框图） 求法一 d yP d ??????? , ? ? ????? )( yP ? ???????? )( yP d ， 即 ?????? (? ),(),([),(),( ??? ?????。 )()( ? ????? 存在 ),( ? (称为积分因子 ) ,(),,( 在区域 G 内具有一价连续偏导数 全微份积分法 ),( 求法 全微分方程求解 0),(),( ?? ),( 所确定的隐函数是方程的通解 . (C 是任意常数 ) ????第 12 页 共 46 页 7．注解（注一至注十）（表格） 注一 L 上任意插入点列 121 ,,, ???? 为 L 上第 i 个小弧段长度 ),( ? 为 L 上第 i 个小弧段任意取定点。 )(s?? ??? 注二 L 上任意插入点列 向量场 A? 的散度：????????? （散度为数量）。 向量场 A? 通过曲面 ? （向着指定侧）的通量（流量）： ??? ? ? （ ??? ??? ? 注十 ??? ),,(),,(),,(),,( ??? 。 向量场 A? 的旋度： o t???? )()()(??????????????????（旋度为向量） 向量 A? 沿有向闭曲线 ? 的环流量： ?? ? ?? （ ?? 或 ?? ? ? 。 第 14 页 共 46 页 四．例题及题解 （一） 曲线积分囷格林公式： 例 1 计算曲线积分 ? ?L (其中 L 是顶点为 )0,0(),1,0(),0,1( 三角形 边界。 解： ???? ?? y d ??? ?? 解法二：由 L 围住的三角形区域 D 的面积为21 ?? ),(,0),( 。 应用格林公式： ? ?L ( ???? ?????????xd yd xd 1)10()( 例 3 椭圆曲线弧 L ： 19422 ?? 线密度为 2)123( ??? 写出曲线弧长 l 的定积分形式求曲线弧 L 的平均密度 ? 。 解：由弧长 3)2(3)2(3 r d x d 例 7 计算 ??? ? ( 22 ? ：由锥面 22 ? ，平面 1?z 及 0?x 所围在第一、四卦限部分闭曲面外侧 解法一：直接法， 1 2 3? ? ? ? ? ? ? 1? ： 22 ? 。 2? ： 0?x 3?： 1?z 。3?在 面上投影为零 1? 、 2? 在 面上投影为三角形区域。 D ： 10, ????? ?? ???? 2 2 10 122 31c ? ? ?? r dx dy （三）斯托克斯公式及两类曲面积分之间联系： 例 8 设 C 为 面上的闭曲线 C： {00),(?? 曲面 ? 为平面 2??? 被柱面 0),( ?所截有限部分的下侧。 C 所围区域 D 面积为 ? 計算?? ? ????? dx ()3()2( 解：平面 2??? 下侧的单位法向量 1 {1, 1, 1} ,3?将原式化为对面积的曲面积分，然后再化到关于 坐标的二重积分 原式 ? ?? ?????? ????????? D d xd 6()6(31)324(31 ?? ???? D 66 。 第 18 页 共 46 页 例 9 计算 ? ??????L 3()2()( 22222其中 L 是平面 2??? 柱面 1?? 交线，从正轴正向看去 L 為顺时针方向。 （四）关于曲线积分与路径无关条件及全微分求积： 例 10 已知 ),( 面具有一阶连续偏导 ),(),(2 x ?? 且 2),0( L 是从点 )1,0(A 至点 )3,2(B 的曲线弧。 求（ 1）确萣 ),( （ 2）求 ),( （ 3）计算 ? ?L ,(2解：（ 1）设 ),( ? 由曲线积分与路径无关条件????? ??? )(),( 2 ??? ?? ,0()3,2( ?????? 1 设区域 ? ?0),( ?? 。微分方程微分方程： 0)2( ??? （ 1） 验证2)(1是所给微分方程在 G 上的积分因子 第 19 页 共 46 页 （ 2） 利用曲线积分求2)()2( yx ?? 的全微分函数 ),( （ 3） 写出所给微分方程的通解。 解（ 1）设22 )(,)(2 yx ???? n (ln)l n (100 ????????????yx ??? )（ 3）通解为 ??? ) C 为任意常数。 第 20 页 共 46 页 （五）对弧长的空间曲线积分 例 12 计算 2其中 ? ： {02222??????解：由积分曲线对于坐标的轮换对称性可得 ? ??? ?? ?? 22因此 ????? ???? 由于 ? 是以原点为中心，半经为 a 的圆其周长为 ?? ? 2故 322 ???。 例 13 设空间曲线弧 ? 为 球面 2222 ??? 及平面 的交线曲线弧 ? 的线密度 2),,( ? ，求曲线弧的质量 m 解： ? 囮为参数方程：?? ??? 在第五卦限中的部分，因 1? 关于 对称 222 ??? 关于 为偶函数。故 ?? ??? ??1 34 ? 上 222 ?? 在3?上 222 ??? ?? ??? ???2 3故 )(C 与 )(D 中选 D 。 第 22 页 共 46 页 五部分习题题解 （一）．圆周 222 ? 上任一点 ),( 线密度与该点到点 )0,(R 的距离成正比（比例常数为 k ），求其质量 解：线密度 22)( ??? ，圆周的参数方程为 L ： )20(,s in,c ??? ??????? 质量为 ??? 20 2222 co ?????? ??? ??? ?? ?? 0 22202 8s i i （二）计算 ???? L yx 2，其中 L 为 （ 1） 不包围也不通过原点的任意闭曲线； （ 2） 以原点为中心的正向的圆半径为 ? ； （ 3） 包围原点的任意正向闭曲线。 解（ 1）2222 , ???? )0(, 222222 ?????????? L 所包围的区域 D 内无原点，由格林公式： ?? ??????? D d xd )( （ 2） L ： 222 ??? 且正向 D ： 222 ??? ???? L yx 2 ?????? ????? ??? DL d x d y。 （ 3） 作以原点为中心半径为 ? （充分小）的圆周 ? ，使 ? 完全落在 L 内取 ? 舍去） 1?a 。 曲线 为 xy （四） 計算 ?中 L 为圆周 )0()( 222 ??? 及 x 轴所围成的第一象限内的区域的整个边界按逆时针方向绕行。 解：直接法 L 的参数方程：20:,s o s2,c o ????? ?????? ? ??