小波变换和小波分解主要包括连續小波变换和小波分解和离散小波变换和小波分解本篇博客主要想弄清楚连续小波变换和小波分解、离散小波变换和小波分解、高维小波连续变换的意义。

2.1 连续小波变换和小波分解的定义

将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下展开称这种展开为函数f(t)的连续小波变换和小波汾解（CWT）。其表达式为：

从定义可以看出：小波变换和小波分解和傅立叶变换一样也是一种变换，为小波变换和小波分解系数也可见其与傅立叶变换的区别。

若小波满足容许条件则连续小波变换和小波分解存在着逆变换：

这里需要做两条重要的说明：

（1）必须满足“嫆许条件”，反变换才存在还要施加所谓“正则性条件”，使     在频域上表现出较好的局域性能为了在频域上有较好的局域性，要求 随a嘚减小而迅速减小所以这就要求的前n阶原点距为0，且n值越高越好

2.2 小波变换和小波分解的性质

线性、时移共变性、时标定理、微分运算、能领守恒、冗余度

2.3 连续小波变换和小波分解的步骤

（1）选择小波函数及其尺度a值。

a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心频率； Fa为伪频率

3.1 为啥我们要搞出一个离散小波变换和小波分解？

对于连续小波而言尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换和小波分解。

为了减小小波变换和小波分解系数的冗余度，我们将小波基函数：

的a、τ限定在一些离散的点上取值。

目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化即令a取：

通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况下j增加1，则尺度a增加一倍对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失

离散小波变换和小波分解的定义为：

当a=2j时，τ的采样间隔是 2jτ0 此时，变为：

一般将τ0归一化，即τ0=1于是有：

此时，对应的WTf为：

离散化过程中的两个问题：

一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息

如果可以，系数如何求