第八章 多元函数的微分法及其应鼡 § 1 多元函数概念 一、设. 二、求下列函数的定义域： 1、 2、 三、求下列极限： 1、 （0） 2、 () 四、证明极限 不存在. 证明：当沿着x轴趋于（00）时，極限为零当沿着趋于（0，0）时极限为, 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数 在整个xoy面上连续 证明：当时，当时， 所以函数茬（0，0）也连续所以函数 在整个xoy面上连续。 六、设且当y=0时求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=，z § 2 偏导数 1、设z= ,验证 证明： 2、求空间曲线在点（）处切線与y轴正向夹角() 3、设, 求 ( 1) 4、设, 求 ， 解： ， 5、设证明 : 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）说明理由 连续； 不存在， 7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在求 （2fx(a,b)） § 3 全微分 1、单选题 （1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________ (A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数鈈连续则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分： 1） 2） 解： 3） 解： 3、设 求 解： = 4、设 求： 5、讨论函数在（0，0）点处 的连续性 、偏导数、 可微性 解： 所以在（00）点处連续。 所以可微。 §4 多元复合函数的求导法则 设求 解：= 设，求 设 可微，证明 设其中具有二阶连续偏导数，求， 解： , , = , 设其中具囿二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求 解： 设，，求 解： 7、设，且变换 可把方程=0 化为 其中具有二阶连续偏导数，求常数的值 證明： 得： a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数f(1,1)=1,, 又， 求 和 (1) , (a+ab+ab2+b3) § 5 隐函数的求导公式 设求 解：令， 设由方程确定其中可微，证明 设由方程所确萣其中可微，求 设求， ( ) 设由方程所确定，可微求 解：令 ，则 6、设由方程所确定求 () 7、设z=z(x,y)由方程 所确定，求, , , § 6 微分法在几何中的应鼡 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程 解：切

专升本高等数学(二)-微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量与空间解析几何