矩阵合同的充要条件(共9篇) 矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A ?B 。 2、矩阵等价的充要条件： A?B?{ A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A? B?BPAP?B T 二次 型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。 ①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：A~B?(?E?A)?(?E?B) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 A?(?1,?2,?,?n)，B?(?1,?2,?,?m) 1、若向量组（?1,?2,?,?m）是向量组（?1,?2,?,?n）的极大线性无关组,则有m?n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)?r(B)但不能得出A?B。 2、若m=n，两向量组（?1,?2,?,?n）?（?1,?2,?,?m）则有矩阵A,B同型且r(A)?r(B)? A~B,A?B,A?Br(A)?r(B)?A?B 。 3、若A?B?r(A)?r(B)?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有 A?B??(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n) 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 1、矩阵等价：①同型矩阵而言 ②一般与初等变换有关 ③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的 本质是秩相等 2、矩阵相似：①针对方阵而言 ②秩相等是必要条件 ③本质是二者有相等的不变因子 3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵 ②秩相等是必需条件 ③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同 由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基