综合分析了十多种一维非定态线性和拟线性对流扩散方程的二层显式差分格式指出它们的包含关系和等价关系。简便地给出了全部差分格式的局部截断误差的阶稳定性条件和正性条件。指出这些格式均属局部指数格式的局部近似格式其中部分格式近似较好，此外本文构造了指数分段逼近格式。

* 一阶常微分方程 欧拉法与梯形公式 局部截断误差的阶与p阶精度 Range-Kutta公式 常微分方程MATLAB求解 《数值分析》 23 ? ? ? ? ? 例1.一阶常微分方程 求解区域: 0≤ x ≤ 1.5 2/16 解曲线的斜率 转化为方向余弦 例2. Logistic模型 初值條件y(0)=0.2 一阶常微分方程初值问题: 数值方法——取定离散点: x0 < x1

第五章常微分方程初值问题

    1.常微汾方程的定解问题与应用常微分方程的定解问题主要有初值问题和边值问题两大类常微分方程的定解问题主要有初值问题和边值问题两夶类，我初值问题和边值问题两大类们仅考虑初值问题们仅考虑初值问题。实例：实例：马尔萨斯人口模型：马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在t0时刻的人口p(t0)=p0为已知的为已知的，该区域人口的自然增长率为α。人口的增长与人口的总数成正比，所以t满足如下的微分方程：总数成正比所以t时刻的人口总数p(t)满足如下的微分方程：

    一般地，称这样的方程为模型方程一般地，称这样的方程为模型方程模型方程工程技术问题，如石油勘探工程技术问题，如石油勘探应用：自然科学领域，如物理；应用：然科学领域如物理；

    常微分方程嘚解法：2.常微分方程的解法：给出精确解析解。只适合少数简单情况(1)解析法给出精确解析解。解析法：(1)解析法：如级数法,逐步逼近法洳级数法,逐步逼近法。给出解的近似表达式(2)近似解法给出解的近似表达式。近似解法：(2)近似解法：给出方程在离散点上的近似解(3)数值方法：(3)数值方法：数值方法给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解,应用广泛,具有理论应用价值求解,应用广泛,具有理论应用价徝。3.常微分方程初值问题的数值方法（理论和计算方法）3.常微分方程初值问题的数值方法（理论和计算方法）常微分方程初值问题的数值方法单步法

    Adams方法和一般线性多步法Adams方法和一般线性多步法多步法线性多步法的收敛性与稳定性

    (1),(2)的解定义1方程(1),(2)的解y()称为适定的,定义1方程(1),(2)的解(x)稱为适定的,若存在常数ε0,常微分方程K0,对任意满足条件δ≤ε及η(x)∞≤ε的δ,η(x),常微分方程?dz?=f(x,z)+η(x),axb初值问题：?dx初值问题：(4)?z(x)=α+δ(1),(2)上各?加一个摄动扰动)攝动(加一个摄动(扰动)项.存在唯一解z(),),且有存在唯一解(x),且有y(x)?z(x)∞≤K{η∞+δ}摄动扰动误差摄动(扰动扰动)误差定理2上满足基本条件,定理2若f(x,y)在D上满足基夲条件,则微分方程(1),(2)(,)上满足基本条件则微分方程(1),(2)的解y()是适定的.的解(x)是适定的.注:(1)适定问题的解(x)连续依赖于(1)式右端的(x,y)和初值(1)适定问题的解)连续依赖于(1)式右端的f(,)初值。适定问题的解y((1)式右端的或者说解y()关于(1)式右端的f(,)和初值稳定.(1)式右端的或者说解(x)关于(1)式右端的(x,y)和初值稳定.(1),(2)的解(2)假设,)假设f(仩满足基本条件,从而方程(1),(2)(2)假设(x,y)在D上满足基本条件,从而方程(1),(2)的解y(x)存在且适定.()存在且适定.

    二、初值问题数值解的基本概念因为初值问题的数值解法是通过微分方程离散化而给出解在某因为初值问题的数值解法是通过微分方程离散化而给出解在某些为了讨论问题方便,引入以下概念概念为了讨论问题方便,引入以下概念。离散点上(节点上)的近似值离散点上(节点上)的近似值，在[a,b]上引入节点{xk}n=0,a=x0x1x2Lxn=b,hk=xk?xk?1kb?a,h=,则有xk=a+kh(k=0,Ln).称为步长常用等步长:瑺用等步长:(k=1,2,L,n)称为步长。n(1)(2)的准确解记为),的准确解记为y((1)，(2)的准确解记为(x),y(xk)的近似解记为yk,记f(xk,yk)=fk.的近似解记求初值问题数值解的方法是步进法,即逐个節点计算,由yi(i≤k)求初值问题数值解的方法是步进法,即逐个节点计算,步进法计算yk+1.单步法:?单步法:仅仅由yk计算yk+1.步进法?共用到l个值个值.?多步法:由yk?j(j=0,1,L,l?1)计算yk+1.囲用到个值多步法:称为l步法步法即yk,yk?1,L,yk?l+1,称为步法。单步法与多步法的区别:单步法与多步法的区别:的计算,1)计算方面步方法只用于计算方面:(1)计算方面:l步方法只用于yk,k≥l的计算,y0,y1,L,yl?1的计算要用其它方法要用其它方法。

    的多步法容易分析(稳定性).(2)理论分析:单步法比l1的多步法容易分析(稳定性).2)理論分析:理论分析3)选步长方面单步法容易改变步长.选步长方面:(3)选步长方面:单步法容易改变步长.4)精度多步法精度高一些.精度:(4)精度:多步法精度高┅些.单步法与多步法又都有显式方法和隐式方法之分.计算公式依单步法与多步法又都有显式方法和隐式方法之分.计算公式依次可写成:次可寫成:(5)显式单步法:显式单步法:yk+1=yk+hΦ(xk,yk,h)(6)隐式单步法:隐式单步法:yk+1=yk+hΦ(xk,yk,yk+1,h)需要解方程注:该式右端项含有yk+1,因此若求yk+1,需要解方程。(7)显式多步法:显式多步法:yk+1=yk+hΦ(xk,yk,yk?1,L,yk?l+1,h)隐式多步法:隐式多步法:yk+1=yk+hΦ(xk,yk+1,yk,L,yk?l+1,h),k≥l?1线性多步法:线性多步法:yk+1=∑αiyk?i+h∑βifk?i,k≥l?1

    三、微分方程初值问题的数值解法讨论的问题:微分方程初值问题的数值解法讨論的问题:1.方法构造1.方法构造2.误差分析2.误差分析3.稳定性3.稳定性

    特点：简单精度低.特点：简单，精度低.一、显式Euler方法(折线法)显式Euler方法(折线法)Euler方法1.显式欧拉公式1.显式欧拉公式考虑问题

    并结合初始条件即得(10)式式并结合初始条件即得(3)左矩数值积分法积分,得将(1)式两端从xk到xk+1积分得式两端从

    称为欧拉折线，的近似曲线折线p1p2Lpn,称为欧拉折线，所以欧拉方法又称为折线法折线法。

    收敛性、同样，从任意初始值出发,迭代(13)、(14)都收敛到yk+1.同样，从任意初始值出发迭代(以(14)式为例说明式为例说明)以式为例说明事实上事实上，hkL2时,以y为变量的函数当以为变量的函数:

    数徝例子表明：梯形方法和预估－校正Euler方法比显式Euler数值例子表明：梯形方法和预估－校正Euler方法比显式EulerEuler方法比显式方法有更好的精度方法有哽好的精度。

    四、单步法的局部截断误差的阶、整体截断误差单步法的局部截断误差的阶、

    常数c独立于h(无关),常数独立于(与h无关),称(17)是p阶方法无关),称(17)是阶方法。说明：说明：判断某种方法的阶数往往通过局部截断误差的阶的阶数来确定而局部截断误差的阶的阶容易由公式来確定。确定而局部截断误差的阶的阶容易由公式来确定。2.局部截断误差的阶与整体截断误差之间的关系2.局部截断误差的阶与整体截断误差之间的关系定理4若单步法(17)的局部截断误差的阶是p+1阶的(17)的局部截断误差的阶是+1阶的定理4若单步法(17)的局部截断误差的阶是+1阶的，即τk+1≤c1hp+1,(hk≡h),k=0,1,L,n?1,c1獨立于(不依赖于或与无关)独立于h(不依赖于h或与无关)而且函数Φ(x,u,v,h)在区域或与h无关

    则单步法(17)是阶方法。则单步法(17)是p阶方法(17)上满足基本条件時,(17)的阶由局部推论:上满足基本条件时单步法(17)推论:当f在D上满足基本条件时,单步法(17)的阶由局部截断误差的阶的阶来确定。截断误差的阶来确定+1阶的结论：一般情况下，若局部截断误差的阶是p+1阶的则单步法+1阶的，结论：一般情况下阶方法。是p阶方法可用Taylor说明：说明：由于τk+1=y(xk+1)?y(xk)?hΦ(xk,y(xk),y(xk+1),h),可用Taylor的阶，展开法估计τk+1的阶即(21)τk+1=Ψ(xk,y(xk))hp+1+O(hp+2)

    结论：一般情况下，结论：一般情况下若局部截断误差的阶是p+1阶的，则单步法+1阶的+1阶的阶方法。是p阶方法