四年级下册的应用题及答案？_百度知道
四年级下册的应用题及答案？
四年级数学应用题经典练习一（附答案）1、四年级三班34个同学合影。定价是33元，给4张相片。另外再加印是每张2.3元。全班每人要一张，一共需付多少钱？平均每张相片多少钱？2、一辆汽车从甲地到乙地共要行驶580千米，用了6小时。途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。已知汽车在高速公路上每小时行120千米，在普通公路上每小时行80千米。汽车在高速公路上行驶了多少千米？3、小华家距学校2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。小明是在离学校多远的地方开始跑步的？4、84千克黄豆可榨12千克油，照这样计算，如果要榨120千克油需要黄豆多少千克？5、一根绳子分成三段，第一、二段长38.7米，第二、三段长 41.6米，第一、三段长39.7米．求三段绳子各长多少米？6、三筐苹果共重110.5千克，如果从第一筐取出18.6千克，从第二筐取出23.5千克，从第三筐取出20.4千克，则三筐所剩的苹果重量相同，原来三筐苹果各有多少千克？7、小明和小华都是早上7:30从家里出发去上学，小明每分钟走120米，小华每分钟走80米，小明到达学校5分钟后发现忘了钢笔，就回家拿钢笔，7:55分和小华在路上相遇。从学校到家多远？&8、一个学生的家离学校有3千米。他每天早晨骑车上学，以每小时15千米的速度行进，恰好准时到校。一天早晨，由于逆风，开始的1千米，他只能以每小时10千米的速度骑行。剩下的路程他应以什么速度骑行，才能准时到校？【答案详解】1、定价款+加印款=共付款共付款÷学生数=每张照片款33+2.3×（34-4）= 共付款=102（元）每张照片款=102÷34=3（元）2、汽车在高速公路上行驶的速度×汽车在高速公路上行驶的时间=汽车在高速公路上行驶的路程120×[（580-80×6）÷（120-80）]=300（千米）本题也可以通过设x来求解3、跑步的速度×跑步的时间=跑步的路程150×[（）÷（150-80）]=1500（千米）本题也可以通过设x来求解4、每榨1千克豆油所需豆子×豆油的千克数=所需黄豆数（84÷12）×120=所需黄豆数=840（千克）5、绳子的总长 - 第一、二段 = 第三段绳子的长（38.7+41.6+39.7）÷2-38.7=第三段绳子的长同理可求其它两段的长。6、相同后的重量+18.6千克=第一筐的重量（110.5-18.6-23.5-20.4）÷3+18.6=第一筐的重量同理可求其它两筐的重量&7、小明和小华走的路程和÷2=从学校到家的路程[80×（7:55-7:30）+120×（7:55-7:30-00:05）]= 从学校到家的路程8、剩余的路程÷剩余的时间=剩余路程的骑行速度（3-1）÷[(3÷15)-（1÷10）]= 剩余路程的骑行速度四年级数学应用题经典练习二（附答案）1、一场音乐会的票价有40元、60元两种。60元的有100个座位，40元的有250个座位。票房收入是15000元，观众可能有多少人？（已知两种票售出的都是整十数。）2、 一次，小明从山里运来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。一共有多少个山梨？3、 甲、乙、丙三艘船共运货9400箱，甲船比乙船多运300箱，丙船比乙船少运200箱。求三艘船各运多少箱货？&4、 三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。5、 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？6、把1296分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。求这四个数各是多少？&7、某县举行长跑比赛，运动员跑到离起点3千米处要返回到起点。领先的运动员每分钟跑310米，最后的运动员每分钟跑290米。起跑后多少分钟这两个运动员相遇？相遇时离返回点有多少米？【答案详解】1、1.可先假设60元的100个座位全卖完则40元的要卖（×60）元。即9000元。 商不是整10。2.60元的100个座位卖出90个，则40元的要卖（）元。即9600元。商是整10所以：60元的卖出90张，40元的卖出240张。2、小明梨的个数+小强梨的个数+小刚梨的个数=梨的总数5+（5+2）+（5+5+2+2）=梨的总数3、乙船的运货量+300=甲船的运货量乙船的运货量-200=丙船的运货量（）÷3 +300=甲船的运货量乙船的运货量-200=丙船的运货量&4、一、二两个小组人数之和的一半 - 1人=第一小组的人数（180+20）÷2-1=第一小组的人数5、把奖金总数重新分配：（按三等奖分配）一个一等奖=4个三等奖；一个二等奖=2个三等奖奖金总数÷三等奖的个数=三等奖的奖金三等奖的奖金×2×2=一等奖的奖金[（308÷2÷2）×（2×2×2+2×2+2）]÷（1×2×2+2×2+3）= 三等奖的奖金三等奖的奖金×2×2=一等奖的奖金6、甲数=2个丙数+2。 乙数=2个丙数-2。丁数=2个丙数×2。1296÷（2个丙数+2+2个丙数-2+一个丙数+2个丙数×2）=丙数即：1296÷（2+2+1+4）=丙数甲数=2个丙数+2 =…… 同理可求……7、起、始点的距离 - 最后的运动员跑的路程=相遇点离返回点的距离。起、始点的距离3千米。最后的运动员跑的路程=290×最后运动员所用时间。最后运动员所用时间（ ）÷（310+290）即：×[（ ）÷（310+290）]===100（米）四年级数学应用题经典练习三（附答案）1、一个滴水的水龙头一星期要白白流掉84千克水。照这样计算，一个月要流掉多少千克水？（一个月按30天计算。）&2、学校开展花香校园活动，四年级3个班，每班准备植树23棵，三年级5个班，每班准备植树12棵，两个年级共植树多少棵？3、两块长方形蔬菜地，长都是48米，其中白菜地宽25米，黄瓜地宽12米。白菜地的面积比黄瓜地面积多多少平方米？4、动物园的一只大象2天吃450千克食物，一只熊猫4天吃72千克食物。一只大象每日的食量比一只熊猫多多少千克？5、停车场停有大货车45辆，客车的数量是货车的2倍，小汽车比大货车和客车的总和还多20辆，停车场有小汽车多少辆？6、五星电器夫子庙分店的一些小家电商品单价如下表。类 别&电饭煲&微波炉&抽油烟机单价（元）&120&680&570开业当天卖出电饭煲23个、微波炉46个和抽油烟机1个。（1）电饭煲和抽油烟机当天营业额一共是多少元？（2）微波炉当天营业额比电饭煲多多少元？【答案解析】1、分析和解答：首先算出一天用多少千克的水，一周七天，一周流掉84千克，也就是一天用：84÷7=12千克然后一个月按30天计算，也就是一个月流掉水的重量：30×12=360千克答：一个月要流掉360千克水。2、分析和解答：先算出四年级3个班总种植多少棵树：3×23=69棵，接着计算三年级5个班总种植多少棵树：5×12=60棵。然后两个年级共植树：60+69=129棵。答：两个年级共植树129棵。3、分析和解答：先算出白菜占地多少平方，25×48=1200平方米。再算出黄瓜占地多少平方，12×48=576平方米。白菜地的面积减去黄瓜地的面积，就是多出来的地。平方米。答：白菜地的面积比黄瓜地面积多624平方米。&4、分析和解答：先算出大象一天食量多少，450÷2=225千克。再算出大象一天食量多少，72÷4=18千克。然后算出一只大象每日的食量比一只熊猫多出多少千克：225-18=207千克。答：一只大象每日的食量比一只熊猫多207千克。5、分析和解答：先算出客车的数量：45×2=90辆。接着算小汽车的数量：45+90+20=155辆答：停车场有小汽车155辆。6、（1）分析和解答：电饭煲营业额是：23×120=2760元。抽油烟机营业额是：1×570=570元。营业总额：0元。答：电饭煲和抽油烟机当天营业额一共是3330元。（2）分析和解答：微波炉营业额是：46×680=31280元。电饭煲营业额是：23×120=2760元。微波炉当天营业额比电饭煲多：=28520元。四年级数学应用题经典练习四（附答案）1、甲、乙两车同时从A地开往B地。甲车每小时行78千米，乙车每小时行66千米，8小时两车相距多少千米？2、某超市上午运进大白菜130千克，下午运进的比上午的2倍还多50千克。超市上午比下午少运进大白菜多少千克？3、张师傅每小时做18个零件，王师傅每小时做20个零件，两人同时工作，6小时后完成，这批零件有多少个？4、一本故事书，丁丁前3天平均每天看23页，后6天平均每天看28页，这本故事书有多少页？5、小明家装修房屋，用面积9平方分米的方砖480块正好铺满书房的地面，如果改用边长4分米的方砖，需要多少块？【答案解析】1、分析和解答：先算出甲车8小时的路程是：78×8=624千米。接着算出乙车8小时的路程是：66×8=528千米。然后算出两车相距的路程是：604-528=96千米。答：8小时两车相距96千米。2、分析和解答：先算出下午运进总重量是：130×2+50=310千克。上午比下午少运进重量是：310-130=180千克。答：超市上午比下午少运进大白菜180千克3、分析和解答：张师傅6小时完成件数是：18×6=108个。王师傅6小时完成件数是：20×6=120个两人共完成优件数是：120+108=228个。答：这批零件有228个。4、分析和解答：丁丁前3天看的总页数是：23×3=69页。丁丁后6天看的总页数是：28×6=168页。丁丁看的总页数是：69+168=237页。答：这本故事书有237页。&5、分析和解答：首先算出房屋总面积是：9×480=4320平方分米。再算出改成4分米后的方砖面积是：4×4=16平方分米。然后算出4分米后的方砖的数量是：块。答：如果改用边长4分米的方砖，需要270块。四年级数学应用题经典练习五（附答案）1、四年级三班34个同学合影。定价是33元，给4张相片。另外再加印是每张2.3元。全班每人要一张，一共需付多少钱？平均每张相片多少钱？2、一辆汽车从甲地到乙地共要行驶580千米，用了6小时。途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。已知汽车在高速公路上每小时行120千米，在普通公路上每小时行80千米。汽车在高速公路上行驶了多少千米？3、小华家距学校2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。小明是在离学校多远的地方开始跑步的？&4、84千克黄豆可榨12千克油，照这样计算，如果要榨120千克油需要黄豆多少千克？5、一根绳子分成三段，第一、二段长38.7米，第二、三段长41.6米，第一、三段长39.7米．求三段绳子各长多少米？6、三筐苹果共重110.5千克，如果从第一筐取出18.6千克，从第二筐取出23.5千克，从第三筐取出20.4千克，则三筐所剩的苹果重量相同，原来三筐苹果各有多少千克？7.小明和小华都是早上7:30从家里出发去上学，小明每分钟走120米，小华每分钟走80米，小明到达学校5分钟后发现忘了钢笔，就回家拿钢笔，7:55分和小华在路上相遇。从学校到家多远？8、一个学生的家离学校有3千米。他每天早晨骑车上学，以每小时15千米的速度行进，恰好准时到校。一天早晨，由于逆风，开始的1千米，他只能以每小时10千米的速度骑行。剩下的路程他应以什么速度骑行，才能准时到校？9、一场音乐会的票价有40元、60元两种。60元的有100个座位，40元的有250个座位。票房收入是15000元，观众可能有多少人？（已知两种票售出的都是整十数。）10、一次，小明从山里运来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。一共有多少个山梨？参考解法:1、定价款+加印款=共付款&&& 共付款÷学生数=每张照片款33+2.3×（34-4）=&&&&&&& 共付款÷34=&&2、汽车在高速公路上行驶的速度×汽车在高速公路上行驶的时间=汽车在高速公路上行驶的路程120×[580-80×6）÷（120-80）]=3、跑步的速度×跑步的时间=跑步的路程150×[（）÷（150-80）]=4、每榨1千克豆油所需豆子×豆油的千克数=所需黄豆数（84÷12）×120=所需黄豆数5、绳子的总长- 第一、二段= 第三段绳子的长（38.7+41.6+39.7）÷2-38.7=第三段绳子的长同理可求其它两段的长。6、相同后的重量+18.6千克=第一筐的重量（110.5-18.6-23.5-20.4）÷3+18.6=第一筐的重量同理可求其它两筐的重量7、小明和小华走的路程和÷2=从学校到家的路程[80×（7:55-7:30）+120×（7:55-7:30-00:05）]= 从学校到家的路程8、剩余的路程÷剩余的时间=剩余路程的骑行速度（3-1）÷[(3÷15)-（1÷10）]= 剩余路程的骑行速度9、1.可先假设60元的100个座位全卖完则40元的要卖（×60）元。即9000元。& 商不是整10。&2.60元的100个座位卖出90个，则40元的要卖（）元。即9600元。商是整10所以：60元的卖出90张，40元的卖出240张。10、小明梨的个数+小强梨的个数+小刚梨的个数=梨的总数5+（5+2）+（5+5+2+2）=梨的总数四年级数学应用题经典练习六（附答案）1、& 甲、乙、丙三艘船共运货9400箱，甲船比乙船多运300箱，丙船比乙船少运200箱。求三艘船各运多少箱货？2、& 三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。3、一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？4、把1296分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。求这四个数各是多少？5、某县举行长跑比赛，运动员跑到离起点3千米处要返回到起点。领先的运动员每分钟跑310米，最后的运动员每分钟跑290米。起跑后多少分钟这两个运动员相遇？相遇时离返回点有多少米？参考解法:1、乙船的运货量+300=甲船的运货量&乙船的运货量-200=丙船的运货量（）÷3 +300=甲船的运货量乙船的运货量-200=丙船的运货量2、一、二两个小组人数之和的一半- 1人=第一小组的人数（180+20）÷2-1=第一小组的人数3、把奖金总数重新分配：（按三等奖分配）一个一等奖=4个三等奖&&&& 一个二等奖=2个三等奖奖金总数÷三等奖的个数=三等奖的奖金三等奖的奖金×2×2=一等奖的奖金[（308÷2÷2）×（2×2×2+2×2+2）]÷（1×2×2+2×2+3）= 三等奖的奖金三等奖的奖金×2×2=一等奖的奖金4、甲数=2个丙数+2。 乙数=2个丙数-2。丁数=2个丙数×2。1296÷（2个丙数+2+2个丙数-2+一个丙数+2个丙数×2）=丙数即：1296÷（2+2+1+4）=丙数甲数=2个丙数+2 =……&& 同理可求……。5、起、始点的距离- 最后的运动员跑的路程=相遇点离返回点的距离。起、始点的距离3千米。&最后的运动员跑的路程=290×最后运动员所用时间。&最后运动员所用时间（）÷（310+290）即：×[（）÷（310+290）]==
采纳率：100%
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。走向外国语 小升初冲刺系列秋期教材（ 一）行 程 模 块1第一讲 行程问题基础教学目标1. 行程的基本概念，会解一些简单的行程题. 2. 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法： “特殊值法”、 “设而不求法”、 “设单位 1 法” 3. 利用对比分析法解终（中）点问题知识精讲一、 s 、 v 、 t 探源我们经常在解决行程问题的过程中用到 s 、 v 、 t 三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。 那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的 t ，这个字母 t 代表英文单词 time ，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母 v ，对应的单词同学们可能 不太熟悉，这个单词是 velocity ，而不是我们常用来表示速度的 speed 。 velocity 表示物理学上的速度。与 路程相对应的英文单词，一般来说应该是 distance ，但这个单词并不是以字母 s 开头的。关于为什么会用 s 来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的 v 和代表时间的 t 在字 母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位臵都比较接近的 s 来表示速度。二、关于 s、v、t 三者的基本关系速度× 时间=路程 路程÷ 速度=时间 路程÷ 时间=速度 可简记为：s = vt 可简记为：t = s÷ v 可简记为：v = s÷ t三、平均速度平均速度的基本关系式为： 平均速度 ? 总路程 ? 总时间； 总时间 ? 总路程 ? 平均速度； 总路程 ? 平均速度 ? 总时间。板块一、简单行程【例1】 韩雪的家距离学校 480 米，原计划 7 点 40 从家出发 8 点可到校，现在还是按原时间离开家，不 过每分钟比原来多走 16 米，那么韩雪几点就可到校？【巩固】 甲、乙两地相距 100 千米。下午 3 点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走 10 千米；晚 上 9 点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少 要行驶多少千米？.2【巩固】 两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行 60 千米，15 小时可到达。客车每小时行 50 千 米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？【巩固】小白从家骑车去学校，每小时 15 千米，用时 2 小时，回来以每小时 10 千米的速度行驶，需要多 少时间？【例 2】 甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车 出发 5 小时后两车还相距 15 千米．甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米．求 A、 B 两地间 相距多少千米？【巩固】 一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走 200 千米，桃每小时走 150 千米，他们同时出 发 2 小时后还相距 500 千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？【巩固】 两列火车从相距 480 千米的两城相向而行， 甲列车每小时行 40 千米， 乙列车每小时行 42 千米， 5 小时后，甲、乙两车还相距多少千米？模块二 平均速度【例3】 一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去，前 120 千米的平均速度为 40 千米／时，要想使这 辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 50 千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？【巩固】 一个运动员进行爬山训练．从 A 地出发，上山路长 30 千米，每小时行 3 千米．爬到山顶后， 沿原路下山，下山每小时行 6 千米．求这位运动员上山、下山的平均速度．3【巩固】一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到 乙地. 骑车时每小时行 12 千米，步行时每小时 4 千米，这个人走完全程的平均速度是多少？【巩固】 汽车往返于 A，B 两地，去时速度为 40 千米／时，要想来回的平均速度为 48 千米／时，回 来时的速度应为多少？【巩固】 飞机以 720 千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以 480 千米／时的速度返回甲地.求该 车的平均速度.【巩固】 汽车以 72 千米/时的速度从甲地到乙地， 到达后立即以 48 千米/时的速度返回甲地。 求该车的 平均速度。【巩固】 从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车 上山以 30 千米／时的速度，到达山顶后以 60 千米／时的速度下山.求该车的平均速度.【巩固】 某人上山速度为每小时 8 千米， 下山的速度为每小时 12 千米， 问此人上下山的平均速度是多 少？【巩固】 胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时 12 千米，下桥速度为每小时 24 千米，而且上 桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？模块三上下坡4【例4】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某 人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为 4 米/秒、6 米/秒和 8 米/秒，求他过桥 的平均速度。【巩固】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等. 某人骑电动车过桥时， 上坡、 走平路和下坡的速度分别为 11 米／秒、 22 米／秒和 33 米／秒， 求他过桥的平均速度.【巩固】 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由 A 点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行 50cm， 20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？模块四 方程【例5】 小明去爬山，上山时每时行 2.5 千米，下山时每时行 4 千米，往返共用 3.9 时。小明往返一趟共 行了多少千米？【巩固】 小明上午九点上山，每小时 3 千米，在山顶休息 1 小时候开始下山，每小时 4 千米，下午一 点半到达山下，问他共走了多少千米.【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走 2 千米，回来时每时走 3 千米，来回共用了 5 小时．小明去 时用了多长时间？【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走 2 千米，回来时每时走 3 千米，来回共用了 15 小时．小明去 时用了多长时间？5【例6】 张师傅开汽车从 A 到 B 为平地（见下图） ，车速是 36 千米／时；从 B 到 C 为上山路，车速是 28 千米／时；从 C 到 D 为下山路，车速是 42 千米／时. 已知下山路是上山路的 2 倍，从 A 到 D 全程为 72 千米，张师傅开车从 A 到 D 共需要多少时间？【巩固】 老王开汽车从 A 到 B 为平地（见右图） ，车速是 30 千米／时；从 B 到 C 为上山路，车速是 22.5 千米／时；从 C 到 D 为下山路，车速是 36 千米／时. 已知下山路是上山路的 2 倍，从 A 到 D 全程为 72 千米，老王开车从 A 到 D 共需要多少时间？【巩固】小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路．小明上学 走两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的 2 倍，那么平路的速度是上坡的多少倍？【例7】 解放军某部开往边境，原计划需要行军 18 天，实际平均每天比原计划多行 12 千米，结果提前 3 天到达，这次共行军多少千米？【巩固】 某人要到 60 千米外的农场去，开始他以 6 千米/时的速度步行，后来有辆速度为 18 千米/时 的拖拉机把他送到了农场，总共用了 6 小时．问：他步行了多远？【巩固】 （第六届《小数报》数学竞赛初赛题第 1 题）小明每天早晨 6：50 从家出发，7：20 到校， 老师要求他明天提早 6 分钟到校。如果小明明天早晨还是 6：50 从家出发，那么，每分钟必 须比往常多走 25 米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？模块五、综合题目【例8】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行 1 千6米，第二小时行 3 千米，第三小时行 5 千米，……（连续奇数） 。两人恰好在甲、乙两地的中 点相遇。甲、乙两地相距多少千米?【例9】 小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟．已知小红下山的速度是 上山速度的 1.5 倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？【例10】(华杯赛试题)某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车行 9 小 时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车 21 小时，再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达 乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？【例11】一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从 A,E 两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E 站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁 路上只有车站才铺有停车的轨道 ,要使对面开来的列车通过 ,必须在车站停车,才能让开行车轨 道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短 .先到这一站的那一列火车至少需要停 车多少分钟?第二讲时钟问题教学目标1．行程问题中时钟的标准制定； 2．时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算； 3．时钟的周期问题.7知识点拨时钟问题知识点说明时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是 时钟的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟 上时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千 米每小时，而是 2 个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为 360 度，上面有 12 个大格，每个大格为 30 度；60 个小格，每个小格为 6 度。 分针速度：每分钟走 1 小格，每分钟走 6 度 时针速度：每分钟走1 小格，每分钟走 0.5 度 12注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针 每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及 问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 655 分。 11例题精讲【夹角问题】 当时钟表示 1 点 45 分时，时针和分针所成的钝角是多少度？模块一、时针与分针的追及与相遇问题【例12】 有一座时钟现在显示 10 时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分 钟，分针与时针第二次重合?【巩固】 钟表的时针与分针在 4 点多少分第一次重合？8【巩固】 现在是 3 点，什么时候时针与分针第一次重合？【例13】钟表的时针与分针在 8 点多少分第一次垂直？【巩固】 2 点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？【例14】现在是 10 点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？【巩固】 在 9 点与 10 点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？【例15】8 时到 9 时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是 8 时多少分?【巩固】 五点过多少分时，时针和分针离“5”的距离相等，并且在“5”的两边？【巩固】 钟面上 4 点过几分时，时针和分针在“3”的距离相等，并且在“3”的两边？9【巩固】 钟面上 3 点过几分，时针和分针所在的射线与中心到“3”的连线所成的角度相等？【例16】晚上 8 点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看 钟，还不到 9 点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？【巩固】 李芳 3 点钟开始看书，时针和分针正好重合在一起，5 点多钟看完书时，时针和分针正好 又重合在一起。李芳看了多久的书？【巩固】 某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为 1100，七时前回家 时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是 1100．那么此人外出多少分钟?练习题 1、上午 9 点多钟，当钟表的时针和分针重合时，钟表表示的时间是 9 点几分？2、 小红上午 8 点多钟开始做作业时，时针与分针正好重合在一起。10 点多钟做完时，时针与分针正好又 重合在一起。小红做作业用了多长时间？3、 小红在 9 点与 10 点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时， 时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？104、 一部动画片放映的时间不足 1 时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针 的位置交换了一下。这部动画片放映了多长时间？5、 有一座时钟现在显示 10 时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针 与时针第二次重合？模块二、时间标准及闹钟问题例1、 王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【巩固】 小强家有一个闹钟，每时比标准时间快 3 分。有一天晚上 10 点整，小强对准了闹钟，他想第 二天早晨 6∶00 起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？【巩固】 小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢 3 分。有一天晚上 9 点整，小翔对准了闹钟，他想第 二天早晨 6∶30 起床，于是他就将闹钟的铃定在了 6∶30。这个闹钟响铃的时间是标准时间 的几点几分？例2、 钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快 2 分。星期天上午 9 点整，钟敏对准了闹钟，然后定上 铃，想让闹钟在 11 点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭。钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？11【巩固】 小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢 2 分。有一天晚上 9 点整，小翔对准了闹钟，他想第二 天早晨 6∶ 40 起床，于是他就将闹钟的铃定在了 6∶ 40。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？【巩固】 有一个时钟每时快 20 秒，它在 3 月 1 日中午 12 时准确，下一次准确的时间是什么时间？【巩固】 小明家有两个旧挂钟，一个每天快 20 分，另一个每天慢 30 分。现在将这两个旧挂钟同时调到 标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？【巩固】 某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜 10 时，每时 100 分（如右图所示） 。当这只钟显示 5 点时，实际上是中午 12 点；当这只钟显示 6 点 75 分时，实际上是什么时间？【巩固】 手表比闹钟每时快 60 秒，闹钟比标准时间每时慢 60 秒。8 点整将手表对准，12 点整手表显示 的时间是几点几分几秒？【巩固】 某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹钟每时慢 30 秒，而闹钟比标准时间每时快 30 秒。问： 这块手表一昼夜比标准时间差多少秒？【巩固】 高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走的不正常，每个白天快 30 秒， 每个夜晚慢 20 秒。如果在 10 月一日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快 3 分？12【巩固】 一个快钟每时比标准时间快 1 分，一个慢钟每时比标准时间慢 3 分。将两个钟同时调到标准时 间，结果在 24 时内，快钟显示 9 点整时，慢钟恰好显示 8 点整。此时的标准时间是多少？【巩固】 小明上午 8 点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6 点 10 分就停了，他上足发条但忘了对表 就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了 10 分。中午 12 点放学，小明回到家一看钟才 11 点整。如果 小明上学、下学在路上用的时间相同，那么，他家的闹钟停了多少分？第三讲火车问题教学目标1、会熟练解决基本的火车过桥问题. 2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系. 3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题知识精讲火车过桥常见题型及解题方法 （一）、行程问题基本公式：路程 ? 速度 ? 时间 总路程 ? 平均速度 ? 总时间； （二）、相遇、追及问题：速度和 ? 相遇时间 ? 相遇路程 速度差 ? 追及时间 ? 追及路程； （三）、火车过桥问题 1、火车过桥（隧道） ：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度， 解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；132、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度， （1） 、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间； （3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度 ? 人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间） ； 4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度， （1）错车问题：相当于相遇问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间； 老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这 几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。模块一、火车过桥（隧道、树）问题例1、 一列火车长 200 米，以 60 米每秒的速度前进，它通过一座 220 米长的大桥用时多少？【巩固】 一列火车长 360 米， 每秒钟行驶 16 米， 全车通过一条隧道需要 90 秒钟， 求这条隧道长多少米？火车 隧道长？火车行驶路程火车【巩固】 一列火车经过南京长江大桥，大桥长 6700 米，这列火车长 100 米，火车每分钟行 400 米，这 列客车经过长江大桥需要多少分钟？火车行驶路程火车 桥火车【巩固】 长 150 米的火车以 18 米/秒的速度穿越一条 300 米的隧道．那么火车穿越隧道(进入隧道直至 完全离开)要多长时间？【巩固】 一列长 240 米的火车以每秒 30 米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了 1 分钟，求这 座桥长多少米？14【巩固】 一列火车长 160 米，全车通过一座桥需要 30 秒钟，这列火车每秒行 20 米，求这座桥的长度．火车 桥火车行驶路程火车例2、(2009 年第七届“希望杯”六年级一试)四、五、六 3 个年级各有 100 名学生去春游，都分成 2 列(竖排)并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是 1 米、2 米、3 米，年级之 间相距 5 米． 他们每分钟都行走 90 米， 整个队伍通过某座桥用 4 分钟， 那么这座桥长 米．【巩固】 一个车队以 6 米/秒的速度缓缓通过一座长 250 米的大桥，共用 152 秒．已知每辆车长 6 米，两车间隔 10 米．问：这个车队共有多少辆车？【巩固】 一个车队以 4 米/秒的速度缓缓通过一座长 200 米的大桥，共用 115 秒。已知每辆车长 5 米， 两车间隔 10 米。问：这个车队共有多少辆车?【巩固】 一个车队以５米/秒的速度缓缓通过一座长 200 米的大桥，共用 145 秒.已知每辆车长 5 米， 两车间隔８米.问：这个车队共有多少辆车？【巩固】 一列火车长 450 米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔 3 米，这列火车从车头到第 1 棵树到 车尾离开第 101 棵树用了 0.5 分钟．这列火车每分钟行多少米？例3、 小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了 21 秒．这列火车长 630 米，以同样的速度通过一 座大桥，用了 1.5 分钟．这座大桥长多少米？【巩固】 （2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛）小胖用两个秒表测一列火车的车速。他发现这15列火车通过一座 660 米的大桥需要 40 秒，以同样速度从他身边开过需要 10 秒，请你根据小胖 提供的数据算出火车的车身长是 米。【巩固】 以同一速度行驶的一列火车，经过一根有信号灯的电线杆用了 9 秒，通过一座 468 米长的铁 桥用了 35 秒，这列火车长多少米？【巩固】 (“希望杯”全国数学邀请赛)一座铁路桥长 1200 米，一列火车开过大桥需要 75 秒，火车开 过路旁一信号杆需要 15 秒，求火车的速度和车身长【巩固】 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了 火车从她面前通过所花的时间是 15 秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾 过第二根电线杆所花的时间是 20 秒.已知两电线杆之间的距离是 100 米.你能帮助小英和小敏 算出火车的全长和时速吗?【巩固】 一条隧道长 360 米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了 8 秒钟，从车头入洞到全车出洞共 用了 20 秒钟。这列火车长多少米？.例4、 已知某铁路桥长 960 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 100 秒，整 列火车完全在桥上的时间为 60 秒，求火车的速度和长度？【巩固】 已知某铁路桥长 1000 米， 一列火车从桥上通过， 测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒， 整列火车完全在桥上的时间为 80 秒，求火车的速度和长度？【巩固】 已知一列长 200 米火车，穿过一个隧道，测得火车从开始进入隧道到完全出来共用 60 秒，整 列火车完全在隧道里面的时间为 40 秒，求火车的速度？例5、 一列火车通过一座长 540 米的大桥需要 35 秒。以同样的速度通过一座 846 米的大桥需要 53 秒。 这列火车的速度是多少？车身长多少米？16【巩固】 (2008 年四中考题)一列火车通过 396 米的大桥需要 26 秒，通过 252 米的隧道需要 18 秒，这 列火车车身长是多少米？【巩固】 一列火车驶过长 900 米的铁路桥， 从车头上桥到车尾离桥共用 1 分 25 秒钟， 紧接着列车又穿 过一条长 1800 米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了 2 分 40 秒钟，求火车的速度及 车身的长度？【巩固】 某列火车通过 360 米的第一个隧道用了 24 秒钟，接着通过第二个长 216 米的隧道用了 16 秒 钟，求这列火车的长度？【巩固】 一列火车长 200 米，通过一条长 430 米的隧道用了 42 秒，这列火车以同样的速度通过某站台 用了 25 秒钟，那么这个站台长多少米？【巩固】 一列火车通过 440 米的桥需要 40 秒,以同样的速度穿过 310 米的隧道需要 30 秒.这列火车的 速度和车身长各是多少?【巩固】 一列火车通过 530 米的桥需 40 秒钟,以同样的速度穿过 380 米的山洞需 30 秒钟.求这列火车 的速度是______米/秒,全长是_____米.【巩固】 小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时间 80 秒．爸爸问小 明这座桥有多长， 于是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时， 到第 10 根电线杆用时 25 秒． 根 50 据路旁每两根电线杆的间隔为 米，小明算出了大桥的长度．请你算一算，大桥的长为多少 米？例6、 一列火车的长度是 800 米，行驶速度为每小时 60 千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧洞 用 2 分钟； 通过第二个隧洞用 3 分钟； 通过这两座隧洞共用 6 分钟， 求两座隧洞之间相距多少米？17【巩固】 一列货车全长 240 米，每秒行驶 15 米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用 80 秒钟，桥 长 150 米，火车通过隧道用时 30 秒，问桥和隧道之间有多少米？例7、 一列火车通过长 320 米的隧道，用了 52 秒，当它通过长 864 米的大桥时，速度比通过隧道时提高1 ，结果用了 1 分 36 秒.求通过大桥时的速度及车身的长度 . 4【巩固】 (2007 年湖北省 “创新杯” )一列火车通过一座长 430 米的大桥用了 30 秒， 它通过一条长 2180 米长的隧道时，速度提高了一倍，结果只用了 50 秒，这列火车长 米．模块二、火车与人的相遇与追及问题例8、 (2009 年四中入学测试题)一列火车长 152 米，它的速度是每小时 63.36 公里，一个人与火车相向 而行，全列火车从他身边开过用 8 秒钟，这个人的步行速度是每秒 米．【巩固】 柯南以 3 米/秒的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长 147 米的火车，它的行驶速度是 18 米/ 秒，问：火车经过柯南身旁的时间是多少？【巩固】 小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是 1.5 米/秒，这时迎面开来一列 火车，从车头到车尾经过他身旁共用了 20 秒．已知火车全长 390 米，求火车的速度．【巩固】 方方以每分钟 60 米的速度沿铁路边步行， 一列长 252 米的货车从对面而来， 从他身边通过用 了 12 秒钟，求列车的速度?【巩固】 小新在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步， 他散步的速度是 2 米/秒， 这时迎面开来一列火车， 从车头到车尾经过他身旁共用 18 秒，已知火车全长 342 米，请大家算一算火车速度？18【巩固】 小明在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是 2 米/秒，这时从他后面开过来一 列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了 21 秒．已知火车全长 336 米，求火车的速度．例9、 李云靠窗坐在一列时速 60 千米的火车里，看到一辆有 30 节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经 过窗口时， 他开始计时， 直到最后一节车厢驶过窗口时， 所计的时间是 18 秒． 已知货车车厢长 15.8 米，车厢间距 1.2 米，货车车头长 10 米．问货车行驶的速度是多少？【巩固】 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长是 385 米，坐在快车上的 人看见慢车驶过的时间是 11 秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？【巩固】 铁路线旁有一沿铁路方向的公路，在公路上行驶的一辆拖拉机司机看见迎面驶来的一列火车 从车头到车尾经过他身旁共用 15 秒，已知火车速度为 72 千米/小时，全长 435 米，求拖拉机 的速度？【巩固】 一列客车以每秒 72 米的速度行进,客车的司机发现迎面开来一列货车,速度是每秒 54 千米, 这列货车从他身边驶过共用了 8 秒.求这列火车的长?【巩固】 两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米.两车错车时，甲车上一乘 客发现： 从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒， 求乙车的车 长.例10、 小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走，这时有一列长 460 米的火车从他背后开来，他在行进19中测出火车从他身边通过的时间是 20 秒，而在这段时间内，他行走了 40 米．求这列火车的速度 是多少？【巩固】 小明沿着一条与铁路平行的笔直的小路由南向北行走，这时有一列长 825 米的火车从他背后 开来， 他在行进中测出火车从他身边通过的时间是 30 秒， 而在这段时间内， 他行走了 75 米． 求 这列火车的速度是多少？【巩固】 某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是 15 秒钟,客车长 105 米,每小时速度为 28.8 千米.求步行人每小时行多少千米?例11、 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6 千米/时， 骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过骑 车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？【巩固】 小新以每分钟 10 米的速度沿铁道边小路行走， ⑴ 身后一辆火车以每分钟 100 米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时 4 秒，那么车 长多少米？ ⑵ 过了一会， 另一辆货车以每分钟 100 米的速度迎面开来， 从与小新相遇到离开， 共用时 3 秒． 那 么车长是多少？例12、 某解放军队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进．一战士以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立 即返回排尾，那么这需要多少时间?【巩固】 一支队伍 1200 米长,以每分钟 80 米的速度行进.队伍前面的联络员用 6 分钟的时间跑到队伍 末尾传达命令.问联络员每分钟行_____米.例13、 （2008 年北京“数学解题能力展示”读者评选活动六年级初赛） A 、 B 两地相距 22.4 千米。有一20支游行队伍从 A 地出发，向 B 匀速前进。当游行队伍队尾离开 A 时，甲、乙两人分别从 A 、 B 两 地同时相向而行，乙向 A 步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又 掉头追队头，如此反复，当甲第 5 次追上队头时恰与乙相遇在距 B 地 5.6 千米处；当甲第 7 次追上 队头时，甲恰好第一次到达 B 地，那么此时乙距离 A 地还有________千米。模块三、火车与火车的相遇与追及例14、 快车 A 车长 120 米，车速是 20 米/秒，慢车 B 车长 140 米，车速是 16 米/秒。慢车 B 在前面行驶， 快车 A 从后面追上到完全超过需要多少时间？【巩固】 慢车的车身长是 142 米，车速是每秒 17 米，快车车身长是 173 米，车速是每秒 22，慢车在 前面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?【巩固】 有两列火车,一列长 102 米,每秒行 20 米;一列长 120 米,每秒行 17 米.两车同向而行,从第一 列车追及第二列车到两车离开需要几秒？【巩固】 有两列火车，一列长 200 米，每秒行 32 米；一列长 340 米，每秒行 20 米.两车同向行驶，从 第一列车的车头追及第二列车的车尾， 到第一列车的车尾超过第二列车的车头， 共需多少秒？【巩固】 慢车车身长 125 米，车速 17 米/秒；快车车身长 140 米，车速 22 米/秒；慢车在前面行驶，快 车从后面追上到完全超过需要多长时间？例15、 一列长 72 米的列车，追上长 108 米的货车到完全超过用了 10 秒，如果货车速度为原来的 1.4 倍， 那么列车追上到超过货车就需要 15 秒。货车的速度是每秒多少米？例16、 从北京开往广州的列车长 350 米，每秒钟行驶 22 米，从广州开往北京的列车长 280 米，每秒钟行 驶 20 米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？21【巩固】 一列客车长 190 米，一列货车长 240 米，两车分别以每秒 20 米和 23 米的速度相向行进，在 双轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需要多少时间.【巩固】 两列火车,一列长 120 米,每秒行 20 米;另一列长 160 米,每秒行 15 米,两车相向而行,从车头 相遇到车尾离开需要几秒钟?【巩固】 一列快车全长 250 米，每秒行 15 米；一列慢车全长 263 米，每秒行 12 米． ⑴ 两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？ ⑵ 两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？例17、 快车长 106 米，慢车长 74 米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过 1 分钟才超过慢车；如果 相向而行，车头相接后经过 12 秒两车完全离开。求两列火车的速度。【巩固】 长 180 米的客车速度是每秒 15 米，它追上并超过长 100 米的货车用了 28 秒，如果两列火车 相向而行，从相遇到完全离开需要多少时间？例18、 有两列同方向行驶的火车，快车每秒行 33 米，慢车每秒行 21 米．如果从两车头对齐开始算，则行 20 秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行 25 秒后快车超过慢车．那么，两车长分别 是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？慢车 快车慢车 快车 快车慢车慢车 快车【巩固】 现有两列火车同时同方向齐头行进,行 12 秒后快车超过慢车.快车每秒行 18 米,慢车每秒行 10 米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则 9 秒后快车超过慢车,求当快车车头追上22慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的时间.例19、 快车长 182 米,每秒行 20 米,慢车长 1034 米,每秒行 18 米.两车同向并行,当快车车尾接慢车车尾 时,求快车穿过慢车的时间?【巩固】 快车长 182 米,每秒行 20 米,慢车长 1034 米,每秒行 18 米.两车同向并行,当两车车尾齐时, 快车几秒可越过慢车?例20、 有两列同方向行驶的火车，快车每秒行 30 米，慢车每秒行 22 米。两车头对齐开始， 24 秒快车超 过慢车，两车尾对齐开始，28 秒后快车超过慢车。快车长多少米，满车长多少米？【巩固】 甲乙两列火车,甲车每秒行 22 米,乙车每秒行 16 米,若两车齐头并进,则甲车行 30 秒超过乙车; 若两车齐尾并进,则甲车行 26 秒超过乙车.求两车各长多少米?【巩固】 长 180 米的客车速度是每秒 15 米，它追上并超过长 100 米的货车用了 28 秒，如果两列火车相 向而行，从相遇到完全离开需要多长时间？例21、 铁路货运调度站有 A、B 两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车。它们的车长正好构成一 个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于 A 信号灯处，而车头则冲着 B 信号灯的方向。乙车的车尾则位于 B 信号灯处，车头则冲着 A 的方向。 现在，三列火车同时出发向前行驶，10 秒之后三列火车的车头恰好相遇。再过 15 秒，甲车恰好超 过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒 钟？模块四、综合问题例22、 某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，若该列车与另一列长 150 米. 时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？23【巩固】 某列火车通过 342 米的隧道用了 23 秒，接着通过 234 米的隧道用了 17 秒，这列火车与另一列 长 88 米，速度为每秒 22 米的列车错车而过，问需要几秒钟？例23、 在双轨铁道上，速度为 54 千米/小时的货车 10 时到达铁桥， 10 时 1 分 24 秒完全通过铁桥，后来一 列速度为 72 千米/小时的列车，10 时 12 分到达铁桥，10 时 12 分 53 秒完全通过铁桥，10 时 48 分 56 秒列车完全超过在前面行使的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？【巩固】 一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米的隧道用 23 秒．已知在客车的前方有一 列行驶方向与它相同的货车，车身长为 320 米，速度每秒 17 米，求客车与货车从相遇到离开 所用的时间．例24、 马路上有一辆车身长为 15 米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时 18 千米．马路一旁的人行道 上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲， 6 秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了 2 秒钟汽车离开了乙．问 再过多少秒以后甲、乙两人相遇？车走 30秒 乙车走 6秒 甲乙走 2秒甲乙二人的 间隔距离甲走 32秒 甲走 6秒【巩固】 一列长 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去， 铁路旁一条小路上， 一位工人也 正向北步行。14 时 10 分时火车追上这位工人，15 秒后离开。14 时 16 分迎面遇到一个向南 走的学生，12 秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？例25、 甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了 8 秒钟，离甲后 5 分钟又遇 乙，从乙身边开过，只用了 7 秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？24【巩固】 两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身 边开过用了 10 秒.3 分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了 9 秒.火车离开乙多少时 间后两人相遇?例26、 小明沿着长为 100 米的桥面步行．当他走到桥头 A 时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头 A ． 100 秒钟后，小明走到桥尾 B ，火车的车尾恰好也到达桥尾 B ．已知火车的速度是小明速度 的 3 倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？桥头 A 桥头 B 火车 桥 桥头 A 火车火车行驶的距离桥头 B桥例27、 (第二届希望杯第二试)两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长 225 米，每秒钟行驶 25 米，乙列车每秒行驶 20 米，甲、乙两列车错车时间是 9 秒，求： ⑴ 乙列车长多少米？ ⑵ 甲列车通过这个道口用多少秒？ ⑶ 坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？例28、 铁路与公路平行．公路上有一行人，速度是 4 千米／小时，公路上还有一辆汽车，速度是 64 千米／ 小时，汽车追上并超过这个行人用了 2.4 秒．铁路上有一列火车与汽车同向行驶，火车追上并超过 行人用了 6 秒，火车从车头追上汽车车尾到完全超过这辆汽车用了 48 秒．求火车的长度与速度．25例29、 两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米．两车错车时，甲车上一乘客发 现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，乙车上也有一乘客发 现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了 11 秒，那么站在铁路旁的的 丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用多少时间？第四讲 流水行船教学目标1、 掌握流水行船的基本概念 2、 能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系知识精讲一、参考系速度 通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为 0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人 在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑 人本身的速度即可。 二参考系速度——“水速” 但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为 0 的参考系，因为水本身也是在流动的， 所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为： ① 水速度=船速+水速；② 逆水速度=船速-水速。 （可理解为和差问题） 由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论： 船速=(顺水速度+逆水速度)÷ 2； 水速=(顺水速度-逆水速度)÷ 2 此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。 三、流水行船问题中的相遇与追及 ① 两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ② 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.26说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.模块一、基本的流水行船问题例30、 两个码头相距 352 千米，一船顺流而下，行完全程需要 11 小时.逆流而上，行完全程需要 16 小时， 求这条河水流速度。【巩固】 光明号渔船顺水而下行 200 千米要 10 小时，逆水而上行 120 千米也要 10 小时．那么，在静 水中航行 320 千米需要多少小时？【巩固】 一艘每小时行 25 千米的客轮，在大运河中顺水航行 140 千米，水速是每小时 3 千米，需要行 几个小时？例31、 甲、乙两港间的水路长 208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水 8 小时到达，从乙港返回甲港， 逆水 13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。【巩固】 甲乙之间的水路是 234 千米，一只船从甲港到乙港需 9 小时，从乙港返回甲港需 13 小时，问 船速和水速各为每小时多少千米？例32、 (2009 年五中分入学测试题)一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒，在同样的风速下逆风跑 70 米，也用了 10 秒，则在无风时他跑 100 米要用 秒．【巩固】 某船在静水中的速度是每小时 15 千米， 它从上游甲地开往下游乙地共花去了 8 小时， 水速每 小时 3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？例33、 一只小船在静水中的速度为每小时 25 千米．它在长 144 千米的河中逆水而行用了 8 小时．求返27回原处需用几个小时？【巩固】 一只小船在静水中速度为每小时 30 千米．它在长 176 千米的河中逆水而行用了 11 小时．求返 回原处需用几个小时？例34、 （难度等级 ※）一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时 6 千米，顺水下行需要 4 小时，返回 上行需要 7 小时．求：这两个港口之间的距离?例35、 甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，4 小时后相遇．已知水流速度 是 6 千米/时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？a)甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3 小时后相遇．已知水流速 度是 4 千米/时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？例36、 （难度等级 ※※）乙船顺水航行 2 小时，行了 120 千米，返回原地用了 4 小时.甲船顺水航行同一 段水路，用了 3 小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【巩固】 一只船在河里航行，顺流而下每小时行 18 千米．已知这只船下行 2 小时恰好与上行 3 小时所 行的路程相等．求船速和水速．例37、 （难度等级 ※※）船往返于相距 180 千米的两港之间，顺水而下需用 10 小时，逆水而上需用 15 小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需 9 小时，那么逆水而行需要几小时?28例38、 两港相距 560 千米，甲船往返两港需 105 小时，逆流航行比顺流航行多用了 35 小时．乙船的静水 速度是甲船的静水速度的 2 倍，那么乙船往返两港需要多少小时？【巩固】 乙两港相距 360 千米，一艘轮船往返两港需 35 小时，逆水航行比顺水航行多花了 5 小时，现 在有一艘机帆船，静水中速度是每小时 12 千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？例39、 （难度等级 ※※）一条小河流过 A，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为 每小时 11 千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时 3.5 千米.已知 A,C 两镇水 路相距 50 千米,水流速度为每小时 1.5 千米.某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇,吃午饭用去 1 小时, 接着乘木船又顺流而下到 C 镇,共用 8 小时.那么 A,B 两镇间的距离是多少千米?例40、 （难度等级 ※※）河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 A 点到 B 点，然后穿过湖到 C 点，共用 3 小时；若他由 C 到 B 再到 A，共需 6 小时．如果湖水也是 流动的，速度等于河水速度，从 B 流向 C ，那么，这名游泳者从 A 到 B 再到 C 只需 2.5 小 时；问在这样的条件下，他由 C 到 B 再到 A，共需多少小时？例41、 （难度等级 ※※※）小明计划上午 7 时 50 分到 8 时 10 分之间从码头出发划船顺流而下．已知 河水流速为 1.4 千米／小时，船在静水中的划行速度为 3 千米／小时．规定除第一次划行可不超 过 30 分钟外，其余每次划行均为 30 分钟，任意两次划行之间都要休息 15 分钟，中途不能改变 方向，只能在某次休息后往回划．如果要求小明必须在 11 时 15 分准时返回码头，为了使他划行 到下游尽可能远处，他应该在______ 时______ 分开始划，划到的最远处距码头_____ 千米．例42、 轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了 8 个小时，逆流而上行了 10 小时，如果水流 速度是每小时 3 千米，两码头之间的距离是多少千米？【巩固】 一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时 6 千米，顺水下行需要 4 小时，返回上行需要 729小时．求这两个港口之间的距离．例43、 轮船用同一速度往返于两码头之间，在相同时间内如果它顺流而下能行 10 千米，如果逆流而上能 行 8 千米，如果水流速度是每小时 3 千米，求顺水、逆水速度例44、 甲、乙两船分别从 A 港顺水而下至 480 千米外的 B 港，静水中甲船每小时行 56 千米，乙船每小时 行 40 千米， 水速为每小时 8 千米， 乙船出发后 1.5 小时， 甲船才出发， 到 B 港后返回与乙迎面相遇， 此处距 A 港多少千米？模块二、相遇与追及问题例45、 （难度等级 ※※）A、 B 两码头间河流长为 220 千米，甲、乙两船分别从 A、 B 码头同时起 航．如果相向而行 5 小时相遇，如果同向而行 55 小时甲船追上乙船．求两船在静水中的速度．【巩固】 甲、乙两船从相距 64 千米的 A 、 B 两港同时出发相向而行， 2 小时相遇；若两船同时同向而 行，则甲用 16 小时赶上乙．问：甲、乙两船的速度各是多少？【巩固】 A 、 B 两码头间河流长为 90 千米，甲、乙两船分别从 A 、 B 码头同时起航．如果相向而行 3 小时相遇，如果同向而行 15 小时甲船追上乙船．求两船在静水中的速度．例46、 甲、乙两船的船速分别为每小时 17 千米和每小时 13 千米．两船先后从同一港口顺水开出，乙船 比甲船早出发 3 小时，如果水速是每小时 3 千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船？例47、 (2009 年“学而思杯”六年级)甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行 3.3 千米，乙艇每小时行 2.1 千 米．现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距 27 千米的上游下行， 两艇于途中相遇后，又经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地．水流速度是每小时 千米．30例48、 甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行 2.2 千米，乙艇每小时行 1.4 千米．现甲、乙两艘小游艇 于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距 18 千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又 经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地．问水流速度为每小时多少千米？例49、 （难度等级 ※※※）甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的 A 站顺水向下游的 B 站驶去，与 此同时乙轮船自 B 站出发逆水向 A 站驶来。7.2 时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮 船与自漂水流测试仪 2.5 时后相距 31.25 千米，甲、乙两船航速相等，求 A，B 两站的距离。例50、 某人畅游长江，逆流而上，在 A 处丢失一只水壶，他向前又游了 20 分钟后，才发现丢失了水壶， 立即返回追寻，在离 A 处 2 千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？【巩固】 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水 壶与船已经相距 2 千米，假定小船的速度是每小时 4 千米，水流速度是每小时 2 千米，那么他 们追上水壶需要多少时间？例51、 （难度等级 ※※※）某河有相距 45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从 两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下， 4 分钟后与甲 船相距 1 千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。例52、 某河有相距 36 千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出 发相向而行．一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水漂下， 5 分钟后，与甲船 相距 2 千米．预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？31例53、 （难度等级 ※※※※）一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游 50 千米处。客船和货船分别 从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从 船上落入水中，10 分钟后此物距客船 5 千米。客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物，追上 时恰好和货船相遇。求水流的速度。例54、 （难度等级 ※※※）江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和 一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货 船上有一物品落入江中 （该物品可以浮在水面上） ， 6 分钟后货船上的人发现了， 便掉转船头去找， 找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？例55、 甲、乙两船分别在一条河的 A 、 B 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行．相遇时，甲、 乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达 B 地，乙到达 A 地后，都立即按原来路线返航， 两船第二次相遇时， 甲船比乙船少行 1 千米． 如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔 1 小时 20 分， 则河水的流速为多少？【巩固】 甲船在静水中的船速是 10 千米／时，乙船在静水中的船速是 20 千米／时．两船同时从 A 港 出发逆流而上， 水流速度是 4 千米／时， 乙船到 B 港后立即返回． 从出发到两船相遇用了 2 小 时，问： A ， B 两港相距多少千米？模块三、用比例解行程题 （一） 对比分析例56、 （难度等级 ※）一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千 米，逆流航行 120 千米也用 16 时。求水流的速度。【巩固】 一艘轮船顺流航行 80 千米，逆流航行 48 千米共用 9 小时；顺流航行 64 千米，逆流航行 96 千米共用 12 小时．求轮船的速度．32例57、 某人乘船由 A 地顺流而下到达 B 地，然后又逆流而上到达同一条河边的 C 地，共用了 3 小时．已 知船在静水中的速度为每小时 8 千米，水流的速度为每小时 2 千米．如果 A 、 C 两地间的距离为 2 千米，那么 A 、 B 两地间的距离是多少千米？【巩固】 一只帆船的速度是每分钟 60 米，船在水流速度为每分钟 20 米的河中，从上游的一个港口到 下游某一地，再返回到原地，共用了 3 小时 30 分钟．这条船从上游港口到下游某地共走了多 少米？例58、 （难度等级 ※※）一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水，比去时的速度每小 时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米．那么甲、乙两地之间的距离是多少千 米?【巩固】 一只轮船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了 8 小时．已知顺水每小时 比逆水多行 20 千米， 又知前 4 小时比后 4 小时多行 60 千米． 那么， 甲、 乙两港相距 千 米．例59、 甲、乙两地相距 30 千米，且从甲地到乙地为上坡，乙地到甲地为下坡，小明用 2 个小时从甲地出发 到乙地再返回甲地， 且第二个小时比第一个小时多行了 12 千米， 小明上坡和下坡的速度分别为多少？例60、 一艘船从甲港顺水而下到乙港，到达后马上又从乙港逆水返回甲港，共用了 12 小时．已知顺水每 小时比逆水每小时多行 16 千米，又知前 6 小时比后 6 小时多行 80 千米．那么，甲、乙两港相距 千米．（二） 、比例在流水行船中的应用33例61、 (2008 年三帆中学考题)一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时 9 千米， 平时逆行与顺行所用的时间比是 2 :1 ．一天因下暴雨，水流速度为原来的 2 倍，这艘船往返共用 10 小时，问：甲、乙两港相距 千米．例62、 (2009 年迎春杯复赛高年级组)A、B 两地位于同一条河上，B 地在 A 地下游 100 千米处．甲船从 A 地、 乙船从 B 地同时出发， 相向而行， 甲船到达 B 地、 乙船到达 A 地后， 都立即按原来路线返航． 水 速为 2 米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距 20 千米，那么两船在静 水中的速度是 米/秒．例63、 （难度等级 ※※※※※）A 地位于河流的上游，B 地位于河流的下游．每天早上，甲船从 A 地、 乙船从 B 地同时出发相向而行．从 12 月 1 号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速 度变为原来的 1.5 倍， 这时两船的相遇地点与平时相比变化了 1 千米． 由于天气原因， 今天(12 月 6 号)的水速变为平时的 2 倍，那么今天两船的相遇地点与 12 月 2 号相比，将变化多少千米．例64、 （ 2008 年第八届春蕾杯五年初赛试题）一艘船从甲港到乙港，逆水每小时行 24 千米，到乙港后又 顺水返回甲港，已知顺水航行比逆水航行少用 5 小时，水流速度为每小时 3 千米，甲、乙两港相距 千米。例65、 某船从甲地顺流而下，5 天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了 7 天．问水从甲地流到乙地用了多 少时间？【巩固】 轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B 城到 A 城需行 4 天．从 A 城放一个无动力的木筏，它漂 到 B 城需要多少天？34第五讲猎狗追兔问题教学目标1．通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一； 2．追及问题在分数应用题的理解与应用； 3．能够理解比例及相关知识的初步引入； 4．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合； 5．统一及转化思想的应用。知识精讲一、猎狗追兔的出题背景 猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。 解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。 通常我们遇到的题给的都是通用单位， 如米、 公里等等， 这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位， 关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关 的题目，实质思想是相通的！ 二、猎狗追兔问题 问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位： 米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路 程差÷ 速度差=追及时间”求解。 单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。 例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比， 相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑 3 步(兔步)，猎狗跑 2 步(狗步) 进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步) 关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步， 反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。例66、 猎狗前面 26 步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑 8 步的时间狗跑 5 步，兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?【巩固】 野兔逃出 80 步后猎狗才开始追， 野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步， 野兔跑 9 步的时间猎狗 只能跑 5 步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔?35【巩固】 猎犬发现在离它 9 步远的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬步子大.它跑 5 步的路程,兔子 跑 9 步,但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子跑 3 步,猎犬至少跑多少步才能追上兔子?【巩固】 一只野兔逃出 100 步后猎狗才开始追它，野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步，猎狗跑 4 步的 时间兔子能跑 9 步，猎狗至少要跑 步才能追上野兔。【巩固】 猎狗追野兔。在相等的时间里，猎狗跳 6 次，野兔跳 7 次；而猎狗跳 4 次的距离等于野兔跳 5 次的距离。当猎狗发现野兔时，野兔已跳出离猎狗 10 步远的距离。问猎狗跳出多少次以后 才能追上野兔？【巩固】 一只野兔逃出 80 步后猎狗才追它，野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步，猎狗跑 4 步的时间 兔子能跑 9 步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？例67、 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬．一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑 568 步．如果狼跑 9 步的时间狗跑 7 步，狼跑 5 步的距离等于狗跑 4 步的距离，那么从它们同时奔向对 方到相遇，狗跑了多少步？狼跑了多少步？【巩固】 小明家的猫和狗是死对头，见面就要相互打架。一天，它们同时发现了对方，它们之间的距 离猫要跑 260 步.如果猫跑 9 步的时间狗跑 5 步，猫跑 5 步的距离等于狗跑 3 步的距离，那么 从它们同时奔向对方到相遇，猫跑了多少步?例68、 猎狗追赶前方 15 米处的野兔.猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步，猎狗跑 4 步的距离野兔要跑 7 步.猎 狗至少跑出多少米才能追上野兔?36【巩固】 猎狗追赶前方 30 米处的野兔.猎狗步子大， 它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步， 但是兔子动作快， 猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？【巩固】 一只猎狗正在追赶前方 20 米处的兔子，已知狗一跳前进 3 米，兔子一跳前进 2.1 米，狗跳 3 次的时间兔子可以跳 4 次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？【巩固】 猎狗发现在离它 10 米远的地方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步。但是兔子动作快，猎狗跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步。【巩固】 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出 40 米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2 步的时间兔子跑 3 步，猎狗跑 4 步的距离与兔子跑 7 步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？【巩固】 猎狗发现前方 150 米处有一只兔子正在逃跑，拔腿就追。兔子逃跑的速度是每秒 14 米，猎狗 追赶的速度是每秒 18 米。在兔子前方 520 米处是一片灌木丛，如果兔子能钻进灌木丛，猎狗 就捉不到它了。猎狗究竟能不能抓住兔子呢？第六讲 环形跑道问题教学目标371、 掌握如下两个关系： （1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次 （2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次 2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析 3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题知识精讲本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决 多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合 理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间× 速度和 路程差=追及时间× 速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同一出发点 同向：路程差 相对(反向)：路程和 nS nS 直径两端 nS+0.5S nS-0.5S例69、 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走 66 米，麻雀每分 钟走 59 米．经过几分钟才能相遇?【巩固】 小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步．小王的速度是 200 米/分．⑴ 小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1 分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？ ⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？例70、 (2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛)上海小学有一长 300 米长的环形跑道， 小亚和小胖同 时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑 6 米，小胖每秒钟跑 4 米， (1) 小亚第一次追上小胖时两人各跑了 多少米？ (2) 小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？38【巩固】 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同 地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步， 小新每分钟跑 250 米， 正南每分钟跑 210 米， 一圈跑道长 800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？【巩固】 幸福村小学有一条 200 米长的环形跑道， 冬冬和晶晶同时从起跑线起跑， 冬冬每秒钟跑 6 米， 晶晶每秒钟跑 4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶时两人各 跑了多少圈？例71、 在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如果背向 而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【巩固】 在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向 而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【巩固】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同 时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相 遇？【巩固】 (第 4 届希望杯培训题)在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔 4 分钟相 遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔 20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是 1600 米，那么两人的速度分别是多少？39例72、 （难度等级 ※）两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，反向而行，45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇【巩固】 （难度等级 ※）一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人 同时出发，经过多少分钟两人相遇【巩固】 甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每 秒钟甲比乙多走 0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?例73、 （难度等级 ※※）周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师 每分钟走 65 米。已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇 后，王老师再走 米就回到出发点。例74、 （难度等级 ※※※）在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A， B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都 要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？例75、 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改 成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？例76、 （难度等级 ※※※※）有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行 走 70 米.如果 3 个人同时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人 又可以相聚在跑道上同一处?40例77、 （难度等级 ※※※）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲 走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分 钟?例78、 （难度等级 ※）林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时 间每秒跑 4 米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【巩固】 某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米，则他后一半路程跑了多少秒？例79、 （难度等级 ※※）甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米， 乙速度是每小时 4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲 和丙相遇，在过 5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？例80、 （难度等级 ※※）甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆 形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇。求 此圆形场地的周长？【巩固】 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点 第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长.【巩固】 如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端 A 与 C 同时出发，绕圆周相 向而行．它们第 一次相遇在离 A 点 8 厘米处的 B 点，第二次相遇在离 C 点处 6 厘米的 D 点，问，这个圆周的 长是多少?41B第一次 相遇A第二次 相遇C D【巩固】 A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇， 在 D 点第二次相遇．已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少米？例81、 （难度等级 ※※※）两辆电动小汽车在周长为 360 米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶 20 米．甲、乙两车同时分别从相距 90 米的 A，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变 方向，当乙车到达 B 点时，甲车过 B 点后恰好又回到 A 点．此时甲车立即返回（乙车过 B 点继续 行驶） ，再过多少分与乙车相遇？【巩固】 （难度等级 ※※※）周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B 两点．甲、乙两人 分别从 A，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙 恰好跑到 B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共 跑了多少米?【巩固】 （难度等级 ※※※）在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后 两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？例82、 （难度等级 ※※※） （2000 年华校入学试题）甲、乙两车同时从同一点 A 出发，沿周长 6 千米的 圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米．一旦两车迎面 相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11 次相42遇的地点距离有多少米？【巩固】 二人沿一周长 400 米的环形跑道均速前进，甲行一圈 4 分钟，乙行一圈 7 分钟，他们同时同 地同向出发，甲走 10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五 次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？例83、 （难度等级 ※※） 下如右图所示， 某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300 米的正方形． 甲、 乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走 90 米，乙每分走 70 米，那么经 过多少时间甲才能看到乙？【巩固】 （难度等级 ※※※）如图，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米．甲、乙两人分别从房屋的 两个墙角出发，甲每秒钟行 3 米，乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?例84、 （难度等级 ※※※）如图，在 400 米的环形跑道上，A,B 两点相距 100 米.甲、乙两人分别从 A， B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?例85、 （难度等级 ※※※）下图是一个边长 90 米的正方形，甲、乙两人同时从 A 点出发，甲逆时针每 分行 75 米，乙顺时针每分行 45 米．两人第一次在 CD 边（不包括 C，D 两点）上相遇，是出发 以后的第几次相遇？43例86、 （难度等级 ※※※※）如图，8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A，B 两 地顺时针方向沿长方形 ABCD 的边走向 D 点.甲 8 时 20 分到 D 点后,丙、 丁两人立即以相同速度从 D 点出发.丙由 D 向 A 走去,8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙 追上.问三角形 BEF 的面积为多少平方米?二、环形跑道——变道问题例87、 如图是一个跑道的示意图， 沿 ACBEA 走一圈是 400 米， 沿 ACBDA 走一圈是 275 米， 其中 A 到 B 的直线距离是 75 米．甲、乙二人同时从 A 点出发练习长跑，甲沿 ACBDA 的小圈跑，每 100 米用 24 秒，乙沿 ACBEA 的大圈跑，每 100 米用 21 秒，问： ⑴乙跑第几圈时第一次与甲相遇？ ⑵发多长时间甲、乙再次在 A 相遇？ACDEB例88、 如图所示，大圈是 400 米跑道，由 A 到 B 的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米。父子俩同时从 A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到 B 点便沿直线跑。父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父 亲相遇？AB例89、 如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重．甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的 交点 A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?44甲乙 A甲乙 A乙 甲乙 B 甲例90、 （2005 年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两 条跑道，其中长跑道长 400 厘米，短跑道长 300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道(如下图)。机器人 甲按逆时针方向以每秒 6 厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒 4 厘米的速 度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从 A 点出发，那么当两个机器人在跑道上第 3 次 迎面相遇时，机器人甲距离出发点 A 点多少厘米?A 200 100 200例91、 （难度等级 ※※）下图中有两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米。两 只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬 了几圈时，两只甲虫首次相距最远？例92、 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为 210 厘米；甲、乙两只爬虫分别从 A 、 B 两地按箭 头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕 3、2 号环行跑道作“8” 字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟 20 厘米和每分钟 l5 厘米，甲、乙两爬虫 第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?A123B【巩固】 一个圆周长 90 厘米， 3 个点把这个圆周分成三等分， 3 只爬虫 A ， 它 B， C 分别在这 3 个点上． 们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行． A 的速度是 10 厘米/秒， B 的速度是 5 厘米/秒， C 的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？45例93、 如图所示，甲沿长为 400 米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动路 线的次序： 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 1 ? ） 。如果甲、乙两人同时从 A 点出发，且甲、乙二人的速度分别 是每秒 3 米和 5 米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。A 1 43 B2例94、 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为 600 米，小圆环的周长为 400 米。甲的速度为每}