第二章：导数与微分
第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
1、隐函数的导数
y=11-x-----√3；
隐函数： x+y3-1=0;
隐函数显化:将x+y3-1=0转换成y=1-x----√3
多元函数的基本概念
在很多自然现象以及实际的问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，如圆柱体的体积V和它的半径r 、高h之间具有关系：V=πr2h
这里，当r,h在集合{(r,h)|r&0,h&0} 内，取定一对值(r,h)时， V的对应值就随之确定。
二元函数：
设D 是R2的一个非空子集，称映射f:D→R 为定义在D上的一个二元函数，通常记为：z=f(x,y),(x,y)∈D
其中点集D称为该函数的定义域， (x,y)称为自变量， z称为因变量，
1）引用偏导数的目的是研究函数的变化率；
2）设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当 y固定在y0而x在x0处有增量Δx 时，相应的函数就有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，
如果limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作：?z?x∣∣∣x=x0y=y0,?f?x∣∣∣x=x0y=y0,fx(x0,y0)
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一个点 处对 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数，记作：?z?x,?f?x,zx,fx(x,y)
多元函数的极值及其求法
极值的定义：
设函数z=f(x,y)的定义域D，P0(x0,y0)为D的内点，若存在着P0的某个邻域U(P0)?D ，使得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)都有f(x,y)&f(x0,y0) ，则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)有极大值f(x0,y0) ，点P0(x0,y0)称为函数f(x,y) 的极大值点。
定理1（必要条件）：
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点 (x0,y0)处有极值，则有：fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0
定理2（充分条件）：
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续导数，且fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 ，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C，
则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2&0 时具有极值，且当A&0时有极大值，当A&0时有极小值；
（2）AC-B2&0 时没有极值；
（3）AC-B2=0
时可能有极值，也可能没有极值，需要另外讨论
拉格朗日乘法:
寻求函数z=f(x,y)在条件?(x,y)=0下的可能极值点，先做拉格朗日函数：L(x,y)=f(x,y)+λ?(x,y)
其中λ是拉格朗日乘子，为常数；
建立方程组：
?????fx(x,y)+λ?x(x,y)=0,fy(x,y)+λ?y(x,y)=0,?(x,y)=0,
由方程组解出的x,y,λ ，可能就是我们需找的在附加条件下的极值点
方向导数与梯度：
偏导数反映的是函数沿着坐标轴方向的变化率，但是许多物理现象告诉我们，变化率的方向是任意的，比如：热空气要向冷的地方流动，气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率，因此，我们来讨论函数沿着任一指定方向的变化率问题。
设l是xOy平面上以P0(x0,y0)为始点的一条射线，el=(cosα,cosβ) 是与l同方向的单位向量，射线l的参数方程为：x=x0+tcosαy=y0+tcosβ(t&=0)
若以下表达式成立，则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l 的方向导数，记作?f?l∣∣x0,y0 ，即： ?f?l∣∣∣x0,y0=limt→0+f(x0+tcosα,y0+tcosβ)-f(x0,y0)t
如果函数f(x,y)在点P0可微分，那么函数在该点任意一方向l的方向导数存在，且有： ?f?l∣∣∣x0,y0=limt→0+f(x0+tcosα,y0+tcosβ)-f(x0,y0)t
其中，cosα,cosβ是方向l的方向余弦。
从方向导数的意义可以知道，方向导数就是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿方向l的变化率。
求函数 在点 处沿从点 到点 的方向导数。
解：这里的方向 即向量 的方向，与 同向的单位向量为
因为函数可以微分，且
故所求方向导数为：
设函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，且对于每一个点P0(x0,y0)∈D，都可定出一个向量fx(x0,y0)i?&+fy(x0,y0)j?&
这个向量称为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的梯度，记作gradf(x0,y0)或者?f(x0,y0) ，即gradf(x0,y0)=?f(x0,y0)=fx(x0,y0)i?&+fy(x0,y0)j?&
其中?=??xi?&+??yj?&， 称为（二维的）向量微分算子，
2.应用1-计算方向导数：
如果函数f(x,y) 在点P0(x0,y0) 可微分， el=cosα+cosβ是与l同方向的单位向量，则方向导数：
?f?l∣∣∣x0,y0=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ=gradf(x0,y0)×el→=|grad(f(x,y))|cosθ
其中 θ=(gradf(x0,y0),el→)方向夹角
从上面的表达式中，可以看出函数在一点的梯度与其对应的方向导数之间的关系，
（1）当θ=0 ，即el→与梯度gradf(x0,y0)方向相同时，函数f(x,y)增加最快。
（2）当θ=π ，即el→与梯度gradf(x0,y0)方向相反时，函数f(x,y)减少最快。
（3）当θ=π/2，即el→与梯度gradf(x0,y0)方向正交时，函数f(x,y)变化率为0。
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蔡高厅，天津大学数学系教授，著有《蔡高厅高等数学》。他在学生中具有很高的威望，在视频教学中，蔡老师细致的讲解以及认真负责的态度，很让同学们感动,网上可以下载到蔡高厅高等数学视频、教学软件等。 高等数学（基础学科名称）编辑 指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。 广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。 通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。 主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。15.04.07更新
更新时间： 16:27　　自考365收集了部分科目的历年试题，您可以点击列表中的试卷名称获得该课程的试题。未列出的课程可以借助试题搜索来查找。点击下拉箭头选择您要搜索试卷的年份和月份，如不选择则默认为自考365试题库中该课程的全部试题。
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& 高等数学
本书定位于普通基础教育，若希望有更深层次的了解，请参阅维基教科书中专业书籍，如：，，等
如果您想要自学，请参考《高等数学》（同济大学数学系编，高等教育出版社）
在中国大陆本专科院校的理工类院系还有部分经济类院系，都会把一门叫做高等数学的基础课程作为其他课程的先继课程来安排。总的来说，这里所说的高等数学，指的是在大学阶段其他某些学科所要用到的基础数学知识，并没有一个具体的划线，规定什么属于高等数学，什么不属于高等数学，在这里，我们把比较流行的教材加以总结整理整并试图以平易近人的方式向读者娓娓道来并期待改进。
数学，就是现实的规律。现实如同游戏，所以，反映现实的数学，也就如同游戏。只不过这个游戏是不可能玩到头的，而且，想玩儿好这个游戏，需要异常专注。
当今的数学的很多内容都很是抽象，用一个简单的符号表征一个准确的意思，但是不同角度不同方面的意思太多了，这直接导致数学的符号异常繁杂，这对于熟悉那些符号的个体而言，清晰明了准确恰好，用着方便看着舒心，但这对于不熟悉的个体而言，总是灾难性的，要花很多时间来熟悉。
高等数学中的集合，顾名思义即可。比如挂着的那些堆衣服，有几个袜子，有件衬衫，还有床单，这些就可以是个集合：晾衣绳上衣服的集合。不过这有些广义。数学是对现实规律的思考。
而思考现实规律，就要一定程度上的无视一些特征，重视另一些特征---就像晾衣绳上的衣服，我只考虑有几个，具体哪个衣服上有几个扣子床单上的蓝格子有多少个我都不关心，晾衣绳某些位置上挂的我看不到也不知道的那些细小纤维什么的我也不关系，我只管有多少件我注意得到的衣服（无视了一些特征）；与此同时我一定不会糊涂到把两件衣服认为是一个，尽管袜子比床单小很多而且袜子要一对一对穿，但是这里我还是把一只袜子认为就是一件衣服，尽管小了点儿（重视了另一些特征）。这里无视的特征是我暂时用不上的我不必加以考虑的，重视的特征是我所要考虑的。就像同样一群高矮胖瘦的个体们（没有特别尤其非常极端不可接受地胖的个体），如果坐客车，那只需考虑几个个体不需要考虑体重，但是如果走颤颤巍巍的峡谷中的脆弱的小草绳桥，那不考虑体重恐怕危险。随之而来还有一个概念：如果把上述坐客车或者过草绳桥的那群个体看做一个集合，那么，其中每一个个体，就可以被称作该集合的元素。简称元素。请注意，每次提到元素（当然不是指化学上或者哪里的，这里指数学上的），就一定是集合中的元素，一定是某特定集合（已知或者未知）中的元素。
数学是对现实规律的思考，思考的对象一般都可以认为是集合中的元素。这里集合中的元素，反映的是你所思考的方面的特征。
随之而来的另一些基础性概念就非常简单但是必要了。
但是，集合和元素的概念，可一定不是死死的。可以把“晾衣绳上的衣服”，“地上的杂物”，“电脑机箱中的各类零件”等等看做是“我当前所居住的屋子里的所有东西”的元素，而这些（集合的）元素本身，也是个集合。这是一个集合，并且是一个很好的集合！
函数，英文function，可以认为就是“关系”的意思，表示一种对应关系。按照逻辑上的复杂程度可以大致分为单值函数和多值函数，其中，多值函数一般不在高等数学的范围里，高等数学里主要考虑单值函数。下面也只讨论单值函数（注意，下面只讨论实数域单值函数，更多的详见专业教材！）。
请千万别认为函数是多么复杂的，或者多么简单的。函数在高等数学中的主要意义，就是反映了一个从A到B的关系，而函数的表达式等等，就表达了那个关系的具体细节（当然，这些都要在一定范围内：比如要在定义域内）。打个比方来说，比如一堆电线（这个电线是指常规的电线），电线都有两端，多么乱麻的一堆电线，你抓住一端，就一定能找到另一端，至于中间纠缠成什么德行，那就是那个关系的自身属性了。而如果有了这个关系---这个关系大致可以认为是个规律，对吧？找到规律了，就可以加以分析，可以通过这个规律得到想要的信息，知道了这个信息，就可以知道怎么从容应对。
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
表达的是一种关系，在这种关系下，2会变成4，而12会变成144，即2→4，12→144. 依次类推，所有的实数都会变成它自己的平方.
单值函数，顾名思义（当然，高等数学里有很多不可以顾名思义的丑陋的专有名词，请花些时间熟悉，别让那些用了很久的不方便顾名思义的名词成为你的障碍），就是单值的---就比如，假如某个单值函数是从线段A，到线段B，的一个映射，表示了线段A线段B的一个关系，那么，A上每一个点都对应了B上唯一点，B上每一个点都有A上的点与之相对应。就像Y = X + 1 ，（ 1.5 & X & 2.5 ），一点五和二点五以内的每一个点（但不包括1.5和2.5），都有一个Y值相对应.
在函数不是非常复杂，换句话讲，非常简单的时候，就像 y = x + 1，这个表达式就足够反应信息了，但是对于某些稍微复杂写的，比如y = 3 * x * x + 47 * x - 11 X/in(2,7]，（这表示X取值在2和7之间，不包括2但是包括7），这个恐怕就不是一些不熟练的个体一眼能看出规律来的，而对于 y = exp ( sin x + tan x )， x/in（e,pi）恐怕对于初学者来说就会更加眼晕了。在这里解释下exp，初学者可能不清楚，exp(5)就表示e的五次方（如果不清楚e是什么，请自行搜索），但是在表达式不是很简单的时候，直接想普通的指数那样写会非常容易混淆，所以用exp表示.
能在數轴上找到相對應的點的數，包括有理數與無理數. 今后在研究的函数，默认都以实数集为定义域.
用于表示两个数之间的范围.
一個實數的絕對值，代表該數到原點的距離。用符号| |表示，例如数a的绝对值记为：|a|，-3的绝对值则为|-3|=3.
常數為固定的數，變數則是隨著定義域的值而改變的數.
数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变數，y叫做因变數，习惯上也说y是x的函数。
若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数.
表格法,图像法,解析法.
对于函数y=f(x),我们将x=f(y)称为函数y=f(x)的反函数.
指数函数,对数函数,幂函数,三角函数,反三角函数.
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，有的书上还包括常数函数.
极限概念是高等数学最基本的概念，因为数学分析的其他基本概念可用极限概念来表达，且解析运算(微分法、积分法)都可以用极限运算来描述。
极限概念是求某些实际问题的精确解答而产生的。我国古代数学家刘徽(第三世纪)利用圆内接多边形来推算圆的面积的割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至少不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
{\displaystyle f}
{\displaystyle x=a}
当然，为了让等式有意义，等号两边的式子必须是有意义的。亦即，判断一个函数的连续性可以从以下三点入手：
双侧极限存在（并且有限）
f(a)存在（函数在点x=a处有定义）
以上两个量相等，即
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
将函数在单点处连续的定义扩展一下，就可以得到函数在区间上连续的定义。
如果函数在该区间内每一点都连续，那么它在区间(a,b)上连续。
请注意，对于开区间来说，函数f没必要在端点x=a,x=b处连续。
闭区间的处理则要复杂些。对于区间[a,b]来说，我们要解决函数在端点处的连续问题。事实上，函数没必要在端点处连续，只要在朝着区间内部方向连续就可以了。
让我们来定义一下左连续和右连续。
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)}
存在（且有限),f(a)存在，并且这两个量相等，即
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)}
，就说函数f在x=a处右连续。
左连续的定义与此类似。
如果我们说函数f在[a,b]上连续，就意味着：
函数f在(a,b)中的每一点都连续
函数f在x=a处右连续
函数f在x=b处左连续
最后，如果函数在其定义域上连续，我们就说他是连续的。
多项式都是连续函数。
三角函数在定义域内连续。
定义：如函数f在[a,b]上连续，并且，f(a)&0且f(b)&0，那么，在区间(a,b)上至少有一点c，使得f(c)=0。如果f(a)&0且f(b)&0，结论也成立。
这个定理可以用来判定方程是否有解，也可以确定解的范围。
举个例子：让我们证明任意的奇次多项式至少有一个根。
设p(x)为任意多项式，则其在取一绝对值足够大的负值时函数值一定与最高次项系数符号相反，且其在取一足够大的正值时函数值一定与最高次项系数符号相同。故由介值定理得证。
有連續函數y=f(x),y的上界是ｂ，下界是ａ，就存在一個ｃ，令ａ＜ｃ＜ｂ，則
{\displaystyle f(a)\leq f(c)\leq f(b)}
{\displaystyle f(b)\leq f(c)\leq f(a)}
不定积分的本质是一个函数簇。
定积分的本质是一个极限。
微分方程：
微分方程和求函数的导函数类似，
高等数学/同济大学数学系编.高等教育出版社 高等教育出版社各地服务中心
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