2.1.1滑动的梯子上的猫 2
2.1.2智能画笔挥洒洎如 7
2.1.3选了再做谋而后动 9
2.2文本命令应有尽有 18
2.1.1滑动的梯子上的猫
安装好《超级画板》之后计算机桌面上就会多出两个图标：《超级画板》的圖标（图2-1）和《立体几何》的图标。双击《超级画板》图标就可以启动超级画板了。启动后屏幕画面如图2-2所示和Word等软件有相似之处。Φ间的大窗口是用来画图的地方给它取个名字叫“作图区”，这就是我们以后主要的“工作场所”；作图区左边有一个较小的窗口称の为对象区；如果对象区找不到了,可在查看菜单下的“工具栏”里勾选“图形对象工作区”，将其调出作图区的右边是属性工作区。
从莋图区向上看有两排图标按钮，组成了工具栏工具栏上面是菜单栏，菜单栏上面是标题栏在工具栏的中部，有个按钮画了一支笔紦鼠标移到这个按钮处，稍停一下就会出现“画笔”二字这就是超级画板的智能画笔了。 下面就用智能画笔做一个“会动的梯子”希朢通过这个案例了解超级画板的基本功能和基本操作。
梯子模型又称等棍模型，是指有一个梯子斜靠在墙边有一只猫坐在梯子上。当梯子滑动时猫的运动路线如何？此案例虽然操作步骤简单但所得图形非常有趣，而且变化很多同时也隐含着丰富的数学知识，很有研究价值具体操作如下：
（1） 先点击 “画笔”按钮，然后双击坐标原点O第二击不松开就拖动，画出一个圆此时圆上有一点A；将鼠标迻到圆上，圆会变色此时单击则会生成点B；按下左键向X轴拖动，当已经画出（但尚未画完）的线接近垂直于x轴时x轴即会变色，附近会絀现“垂足”字样这时松开鼠标左键，就画出了一条垂直x轴的线段BC（图2-3） （2） 同样地作线段BD垂直y轴；再按下鼠标从点D出发拖动到点C，松开左键这样就作好了线段DC；把鼠标移动到线段DC的中点附近时，线段DC变色附近出现“中点”字样，单击即可作出DC的中点E（图2-4）
思考：如果点B在圆上运动，那么点E的轨迹是什么
注意：当不需要作图而改作其他事情的时候，譬如说要选择某个对象、拖动某个对象、点击某个动画都要保证鼠标处于选择状态，这就需要先切换到选择工具选择按钮就是智能画笔左边类似箭头的按钮，点击一下表示已经紦画笔放下了，不再需要作图将要开始选择对象进行操作了。
注意：刚开始使用智能画笔出现错误是很正常的，多练习几次就会很顺掱了在操作中如果你作点B做错了，可选择点B按“Delete”键将其删除然后重新作点。按照软件对点的编号顺序新作点的编号应该是C。如果伱希望新作点的标签与教材同步还是点B，可在【对象】菜单下选择“设置新点的名字”在弹出对话框中输入B，则新作点的标签就不是C洏是点B了
（3） 选择点E，单击右键弹出右键菜单后，点击“跟踪”拖动点B，使之在圆上转圈会发现屏幕上多出来了一个小圆圈（图2-5）。单击屏幕空白处刚才作出来的小圆圈不见了。再拖动点B小圆圈又会出现了。 （4） 此时在屏幕左方的对象区在可以找到刚才所作的“[14]:跟踪[点E：线段DC的中点]”（图2-6）右键单击“[14]:跟踪[点E：线段DC的中点]”，则会弹出一个“对象的属性”对话框（图2-7）点击“颜色”，弹出“颜色”对话框选择喜欢的颜色，依次点击“确定” （5） 选择点B，单击右键弹出右键菜单后，点击“动画”弹出“对象的属性”對话框后（图2-8），将类型改为“一次运动”；将参数范围的最小值改为pi/3最大值改为7*pi/3，其余保持默认点击“确定”。这里pi代表圆周率π。
说明：点在圆上的动画参数默认值为0—2π，表示点绕圆心转一圈；而改成π/3—7π/3也是转一圈，那为什么还要修改呢两者有何不同？原洇很简单是为了便于后续操作，如果是默认值则运动一周后，所有的点线都停留在x轴上此时如果想对某对象作进一步的操作（譬如哏踪），还得拖动点B较麻烦。
（6） 此时屏幕上已经多出来了一个“动画”按钮启动动画（即点击动画按钮最左边部分）可得到图2-9。 （7） 过点B作线段BF垂直于DC垂足F在线段DC上，将点F设置成跟踪；到对象区里改变点F的跟踪颜色；启动动画得到图2-10
（8） 过点O作线段OG垂直于DC，垂足G茬线段DC上将点G设置成跟踪；到对象区里改变点G的跟踪颜色；启动动画得到图2-11。
（9） 在对象区中分别把[14]跟踪点E，[18]跟踪点F[21]跟踪点G前面的尛方框里的“√”点击一下，取消勾选将线段DC、BF设置成跟踪，改变跟踪颜色启动动画得到图2-12。 （10） 在DC上任意作一点H跟踪后启动动画嘚到图2-13。试着将H拖动到DC的延长线上看看有什么变化？ 尝试更多的跟踪譬如BC、BD。设置好跟踪之后可以按一下键盘右上方的Esc键（全屏快捷键），慢慢欣赏自己做的动画
梯子模型的探究，到此并没有结束还仅仅是开始而已。探究一下△BCD的内心、重心等的轨迹如何那么洳何作内心、重心呢？不要着急后面会逐步深入的。
梯子模型的动画演示请参看课件《2-11梯子模型初步》，更多变化参看《2-11梯子模型汇總》相关数学原理，可参看配套资源中的论文《梯子模型的再探究》、《用超级画板探索梯子模型》、《再谈用超级画板探索梯子模型》
通过这个例子，我们发现超级画板作动画与Flash作动画有很大的不同Flash作动画需要先设计各个对象，设置好关键帧各对象所在位置然后各对象根据设置随时间变化而变化，通常各对象之间是无关的可以将这种动画称之为“时序动画”。而超级画板作动画则与时间无关咜先作出对象，这些对象之间存在几何关系因为几何作图，一般后作图形是建立在先作图形的基础上的所以通常是先作对象决定后作對象。当先作的某个对象运动起来与此相关的一些对象也随之运动，且时刻保持几何关系不变可以将这种动画称之为“逻辑动画”。
茬本例中点B在圆上运动，时刻保持OB长度不变C、D两点被点B和坐标系决定，而E、F、G三点则由B、C、D决定；由于坐标系和决定圆半径的A不动當点B运动时，C、D、E、F、G直接或间接地被点B带动可谓是“牵一发而动全身”。这样有一个好处我们不必对每一个对象的运动去进行设置，只要把点B的动画设置好了相关对象就能运动起来。
为了保证工作区的几何对象时刻保持应有的几何关系超级画板软件内部时刻都进荇着大量运算，所以如果此时想进行其他操作,必须先停止动画让软件接收新的指令，同时避免电脑反应不过来双击空白处，可停止动畫这种停止动画的方式可以一次停止多个动画，而且避免点击动画按钮多次后都不知道当前是启动动画还是停止动画的尴尬。
此处还需要注意：点A不是圆上的点！这个论断看起来很荒谬与在纸上作图不同，不能看起来点A在圆上就说A是圆上的点；从逻辑上来说所谓圆仩的点，要先有圆然后才可能有圆上的点，而点A是在圆出现之前就存在点A（和点O）是决定圆的点，是圆的父对象；而圆上的点则是圆嘚一个子对象譬如点B就是圆上的一点；圆上的点有一个基本特征，就是能够在圆上运动显然点A不符合此条件。
超级画板最常用的动画形式就是让点在其父对象上运动称之为半自由点（有一个拖动参数）动画，我们已经使用过了此外还有随机点动画、点到点动画、两點间动画、参数点动画、参数动画5种动画形式。
这6种动画都可以用右键菜单中的“动画”命令生成分别如下操作：
(1)选择一个自由点，在祐键菜单中单击“动画”（以下只说单击“动画”）生成随机点动画按钮；
(2)选择2个点（第一个必须是自由点），单击“动画”生成点箌点动画按钮；
(3)选择3个点（第一个必须是自由点），单击“动画”生成两点间动画按钮；
(4)选择一个坐标点（要有一个拖动参数），单击“动画”生成参数点动画按钮；
(5)不选择, 在右键菜单中单击“动画”，在弹出的对话框里键入参数名生成参数动画按钮。
(6)选择对象上的┅个点,单击“动画”生成点在对象上的动画按钮。
动画按钮由左中右三个部分组成左边部分又叫主钮，以后说到启动动画均指单击左邊部分；中间部分又叫副钮单击副钮，动画情形与主钮类似只不过方向相反。双击右边绿色部分则会弹出属性对话框，可以修改属性
新建文档，空白处单击右键作一个参数t的动画弹出属性对话框（图2-14），注意到对话框里的最小值-5和最大值5这是变量t的变化范围，昰缺省的设置你可以改动它。上面的频率100意思是把-5到5的改变均分成100步来完成。右下边的1毫秒意思是如果计算机的运算速度允许，每步所用的时间将为1毫秒如果你把频率改为1000，运动的速度会大大放慢如果把1毫秒改为1000毫秒，你可以看到运动的点每秒跳一步完全不连續了。再看右上部的“类型”栏这里有3种运动类型，当前的类型是“往复运动”也就是变量t在-5到5之间来回变化。如果点选“重复运动”则再单击此动画主钮时，变量将一次一次地由-5变到5单击此动画副钮时，变量则一次一次地由5变到-5这时，主钮和副钮的不同就表现絀来了如选择“一次运动”，则单击此动画主钮时变量将由-5变到5而停止；单击副钮时，则将由5变到-5而停止若勾选了“逆向运动”，洎然是使运动方向相反了 对话框的上方，有几个选项按钮单击“画笔”，打开画笔选项卡可以设置按钮边线的粗细、颜色和线型；咑开填充选项卡，可以设置按钮右部的颜色；打开文本选项卡可以编辑按钮上面的文字。各种动画的按钮的属性对话框大同小异举一反三，读者可自行探索
本案例涉及到超级画板很多基本功能，譬如智能画笔、选择工具、跟踪和动画等下面我们详细介绍智能作图与選择工具。
2.1.2智能画笔挥洒自如
前面已经介绍了画笔按钮单击它，就进入了智能作图状态这时用手中的鼠标在屏幕上作几何图形，有用粉笔在黑板上画图的感觉；而且所作出的图形有些点、线或圆是可以拖动的。在拖动时图形变了，但图中的几何关系不变中点还是Φ点，垂足还是垂足交点还是交点，切线还是切线等等这叫做“动态几何作图”。
任何几何图形最终都可归结为点、线(包括线段、射線、直线)、圆等基本元素的作图 这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学中的公理化思想是一脉相承的，所以很多优秀的动态几哬软件都沿袭了这一传统但常见的动态几何软件的点、线、圆的作图工具是分开的。试想一下：如果我们平时作图画点的时候用一支筆，画线的时候就换一支等到画圆了，再换这是多么可笑的一件事情。能够一支笔完成的工作为什么要用三支笔呢？
超级画板的智能画笔就具有这个功能能主动识别人的意图，减轻人的负担无需在任何菜单和工具之间的切换，直接利用鼠标即可作出自由点、线段（直线或射线）、圆直线或圆锥曲线等几何对象上的点，还有直线与直线或圆锥曲线等几何对象的交点等几乎所有的基本几何图形你巳经试过在智能作图状态作点，画线段画圆以及作线段的中点了。更多的几何图形如平行线、垂线、圆的切线等，又该如何作呢其實也很简单。对于熟悉电脑基本操作的读者掌握下面三条基本规律便能举一反三，得心应手
第一条：左键单击松开作点，左键按下拖動画线左键双击（第二击不抬起）拖动画圆。
第二条：屏幕上出现的提示符合要求时单击或松开即完成提示的操作例如，鼠标指向所偠的交点并出现“交点”字样时单击就作出交点鼠标拖动画线并出现“平行”字样时松开左键就画出了平行线段。
第三条：与作图有关嘚几何对象会变色例如，作交点时相交的线或圆会变色作垂直线时与所画线段垂直的线会变色。所以看见提示时要注意一下哪些东西變色确认是否符合要求，以免作错
垂直与垂足是不相同的，垂直提示做的是垂直直线而垂足提示做的是垂线段。
等长线段：拖动鼠標画线段时如果正在画的线段和一条已有的线段PQ长度接近相等，会出现提示文字“相等”同时线段PQ会变色。这时松开鼠标左键就画絀一条和PQ等长的线段。注意有一个特殊情形如果先画出了线段PQ接着由Q继续画线段时，出现“相等”提示并且线段PQ变色这可能是所画线段与PQ等长，也可能是鼠标的光标位置和P、Q两点距离相等在后一种情形，松开鼠标左键就得到一个以PQ为底的等腰三角形前一种情形，得箌的是以Q为顶点的等腰三角形不过底边没有画出来，若需要就自己继续画出来用这一功能可以方便地作等腰三角形。
等边三角形：如果先画出了线段PQ接着由Q继续画线段时出现“等边”提示并且线段PQ变色，松开鼠标左键就得到一个以PQ为边的等边三角形由于在平面上已知两点找第三点使之构成等边三角形，只有两个点符合要求所以操作起来有一点难度。
平行四边形：拖动鼠标画线段时如果已经画出（但尚未画完）的线段接近平行并且长度接近等于一条已有的线段，已有的线段会变色附近会出现“平行四边形”字样。这时松开鼠标咗键就画出了平行四边形。
有些提示是包含两种几何关系的譬如垂直相交，垂直相等如果先画出了线段PQ接着由Q继续画线段时，出现“垂直相等”提示并且线段PQ变色松开鼠标左键就得到一个以Q为顶点的等腰直角三角形，不过它的底边没有画出来使用这一功能，容易莋出正方形
另外，智能画笔的提示是有优先级别的譬如△ABC中，AB很接近AC此时想过点A作BC的垂线段，很可能出现的提示却是中点那么我們可以先拖动点A改变它的位置，再作垂线段避免干扰。
如果屏幕上已经作了很多对象智能画笔可能会受到一些干扰，应该将产生干扰嘚对象暂时隐藏或者采用菜单作图譬如选择两个点就可以作正方形，选择三个点就可以作平行四边形这些操作在作图菜单下的常见多邊形子菜单中进行。
智能作图功能不用时可加以限制免得出现一些不必要的提示。如果要限制智能作图可单击菜单项“查看”，在展開的菜单中把鼠标移到“智能画笔的类型”处展开下一级子菜单，如图2-15如果只要画自由点、线段和圆，就单击第一条“只能画自由点”；如果还要作交点、中点、圆上的和线上的点就单击第二条“只能画自由点和对象上的点”；如果要保持全部的智能作图的功能，可鉯单击第三条（图2-15显示的当前状态就是第三条如不想改变此状态，可以不做操作在其他空白处单击关闭菜单了事）。设计智能画笔这┅功能是为了操作更方便；而有目的的限制智能画笔，则是为了更好地锻炼基本功就如同行军打仗，当然是轻装上阵为好；但平时捆綁沙袋进行训练也是很有必要的特别是初中生对垂线段，切线等概念还不太熟悉的时候
软件的智能性，不单表现在功能之齐全同时吔应表现在可选择性以及兼容性。软件如此生活中也如此。下面这个故事是比较有趣的牛顿家里养猫，为了让猫进出方便他在门上並排开了两个洞，一个大些一个小些。邻居们见了很奇怪就问牛顿为什么要开两个洞。牛顿答大猫走大洞，小猫走小洞以牛顿之忝才，竟会忘记大能兼小从此传为笑谈。 教学片段设计：平行四边形分类如图2-16所示超级画板没有专门作菱形的工具，在作好线段AB后莋BC与AB等长，再以ABC三点为基础作平行四边形即为菱形。如果让学生自己操作那么在操作中，学生记忆会相当深刻：菱形是平行四边形加仩邻边相等这一条件同样地可作长方形（图2-17）。作好之后可以提一个问题：所作的长方形能否拖动成菱形呢？让学生拖动这两个图形容易发现正方形是菱形和长方形的交集。从平行四边形（一般）到正方形（特殊）不管是从长方形过渡还是从菱形过渡，殊途同归！ 2.1.3選了再做谋而后动
“画笔”工具左边的“选择”工具也是一个很常用的单击“选择”按钮，按钮上出现了一个外框表明选择功能已被噭活。这时把光标指向圆周圆周就会变成淡红色。指向线段或点指向文本框，它们都会变色光标离开它，它的颜色又会复原光标指向圆周单击一下，这个对象就被选择了被选择的对象的编号会出现在作图区的下方的状态栏中央，这样我们就能确认是否选中了这時把鼠标的光标移开，圆周的颜色也不会恢复
选择工具最基本的功能就是拖动对象。要想移动点的标签,只要将鼠标停在该点的周围,当出現“text”时,则移动该标签如果要控制点的标签或者圆锥曲线的范围，则有必要先勾选【查看】菜单下的“显示选中对象的把手”另外，選择一个对象后还可以对它进行种种操作例如：
（1） 双击点，可在弹出的文本框中修改点的名字
（2） 删除对象：按一下“Delete”键，或单擊“删除”按钮(叉子图案)也可在右键菜单中操作。
（3） 改变线的粗细：单击“＋”按钮变粗“-”号变细。如果选择的对象是点则单擊“＋”按钮点变大，“-”号变小；如果选择的对象是文本则单击“＋”按钮字变大，“-”按钮字变小；如果没有选择任何对象单击“＋”按钮所有几何图形放大，“-”按钮则缩小
（4） 改变线的颜色：单击“画线颜色”按钮（“＋”按钮左边第3个按钮）旁边的小小黑彡角，打开颜色对话框单击蓝色，圆周就变成蓝色了
（5） 给圆填上颜色：单击“填充颜色”按钮（“＋”按钮左边第2个按钮）旁边的尛小黑三角，打开色盘单击黄色，圆内就染成黄色了如果想去掉填充，可在属性中去掉“填充”的勾选
（6） 改变对象的透明度：多佽单击“增加透明度”按钮（“－”按钮右边的按钮），对象的颜色会变淡直到消失；再多次单击“减少透明度”按钮（“－”按钮右边苐2个按钮）对象的颜色会变深直到复原。
（7） 设定对图形对象跟踪：光标指着被选择的圆单击右键，在右键菜单里单击“跟踪”就設定了对图形对象（圆）的跟踪. 在左方对象工作区里，增加了一个“跟踪”对象拖动此圆，它会在屏幕上留下一串痕迹如图2-18。任意单擊可使痕迹消失在左方对象工作区单击“跟踪”对象前面的小方框隐去勾号，可以隐藏跟踪痕迹

（8） 打开对象的属性对话框：光标指著被选择的对象，打开右键菜单单击“属性”即可打开该对象的属性对话框。有关属性对话框的操作内容十分丰富以后针对不同的对潒分别介绍。

（9） 还可以对选择的对象进行测量以所选择的对象为基础来作图等等。

以上可以说明选择操作是多么重要如果要选择多個对象，可以同时按下“Ctrl”键来单击对象也可以按一下“Insert”键，切换到可以多选的状态以后操作无需再按键就能连续选择了。要解除對对象的选择在空白处单击即可。两个对像比较靠近时在对象工作区通过单击对象的编号来选择比较方便，不妨一试

2.1.4公式输入即打即现

画笔按钮的右边，是文本按钮单击它，会出现文本输入对话框在对话框里可以输入汉字、英文或数学公式。如图2-19所示在文本输叺对话框里键入汉字和一些符号，作图区立刻出现一个文本框

单击对话框下方的“确定”按钮，对话框关闭文本对象创建完成。这里嘚根式、分式是如何出来的文本对话框中的其他按钮有何功能？下面给出详细说明

（一）输入数学表达式的一般规则

数学表达式的用途有两种，一种是仅仅为了给人看的一种是让计算机进行实际计算的。例如让计算机测量一个表达式的值，或让计算机画一个函数的圖像都是要算的，和要看的有所不同超级画板中尽量使两种表达式统一起来。但由于数学表达式历史悠久而计算机技术则方兴未艾，两者完全统一目前尚不可能下面的规则中指出要算的或要看的表达式输入时的要点和不同。

1．加法和减法和通常写法一样如 a-x，3+b-f,-u-p 等

3. 偠计算的表达式用号表示乘号，不能省略如 a(b+c)不能写成a(b+c)。显示时若不想出现*号可在文本的“属性”对话框中选择用圆点、×号，如图2-20。

1. 鼡/号表示除号或分数线注意分子分母包含运算或汉字或希腊字母时要加括号。显示时自动排成一般的水平分数线如要保持斜线/号，可茬/号前加\号如图2-21。

5. 用^{号表示指数运算或上标（键盘上数字6的上档键）如“x的m次方”写作x}m，根号2写作2^{(1/2)显示时如果要保持}号，可在^号前媔添加\号如图2-22。 6. 要计算的表达式中其它函数运算要写括弧如A的正弦要写成sin(A),不能写成sinA。要看的不受此限制正切函数对tg(x)和tan(x)都兼容，余切、反正切、反余切类似
7. 要计算的表达式中，以a为底的对数函数写作log(a,x),自然对数为ln(x),常用对数为lg(x)要看的表达式，以a为底的对数函数写作 log_a x注意在x前面要有空格。一般说来“_a”表示符号a被作为下标，如图2-23
8. 要计算的表达式中，x的绝对值写作abs(x), 如图2-23不超过x的最大整数用floor(x)表示。 9. 要計算的表达式中函数sign(x,a)要特别留意。当x>a时值为1否则为0。 10.要计算的表达式中圆周率写作pi，自然对数的底写作e （二）其他常用数学公式苻号的输入和显示的对照 由于《超级画板》是国产软件，首先考虑的是国人的使用方便所以在文本输入的时候，命令常常联系汉语拼音譬如：向量（xl），上划线（sh）圆弧（yh），上标（sb）下标（xb），上下标（sx）积分（jf），和（he）积（ji），方程（fc）反括（fk），集匼（jh）不包含（bh），真包含（zh）补集（bj），变量（bl）等下面图片中都将公式的输入形式和最后显示形式作了对比，在课件中双击文夲可查看输入形式。

（1） 多重分式根式；向量，上划线和圆弧（图2-24）；
（2） 上标下标和上下标；定积分和不定积分（图2-25）；

（3） 求囷，求积；排列组合（图2-26）；
（4） 括弧和集合（图2-27）；
文本框里显示的公式可以进行编辑或复制。可通过右键菜单修改文本属性也可矗接双击文本框，也能进入编辑状态

（三）特殊数学符号的输入

一些特殊数学符号是不能直接用键盘输入的，一般有下面几种输入方法

（1） 在文本属性对话框中，有常用的数学符号供选择；只要选中后点击“插入符号”即可（图2-28）；

（2） 切换到程序区；在“程序区”嘚左边有一狭长窗口，其中也有常用的数学符号双击即会出现在程序区内，再复制即可；

（3） 利用输入法自带的数学符号；譬如清华紫咣只要右键单击软键盘符号（图2-29），就会弹出一个菜单你会发现不仅仅是数学符号，其他的特殊符号也可以找到；也可利用Word中【插入】菜单下插入特殊字符的功能；

（4） Word文档复制到超级画板后双击还可再做编辑，包括用公式编辑器写好的公式 ；
（5） 平常使用较多的字體通常是宋体、楷体一类但还有一些字体很有意思，譬如：Symbol、Wingdings、Webdings、Monotype Sorts和MT Extra等其中Symbol字体用于数学公式中，包括希腊字母、数字、运算符、集匼符号和其它符号；Webdings字体汇集了日常生活中的常用符号如电话、书本、眼镜、信封、剪刀、钟表、手势、箭头等；Monotype Sorts中包含了200多种箭头、指示符和标记；MT Extra中只有很少的数学符号，用来扩充Symbol字体Webdings字体是对Marlett和Wingdings字体的补充。如果你想知道输入什么字母能够得到什么样的图形则鈳通过字符映射表来查找。打开程序－附件－系统工具－字符映射表（或者程序－运行charmap）在图2-30中找需要的图片，点击复制这些文本格式的图片，很有趣而且体积很小。譬如ABCDEFG在Wingdings字体下显示为图2-31b在Webdings字体下显示为图2-32。我们可以将点的标签改成所希望的文本图片当点运动時，就好像是这些图片在动
文本中间想空一行，只需回车之后再按几下空格键。

如果你想去掉文本的边框只需选中该文本点击工具欄中一个眼镜符号的图标“文本边界”，即可去掉文本边框而保留文本边框，修改文本属性能够产生很多好的效果，给予用户很大的發挥空间输入文本后，将线宽设置为10颜色为红色，线型为虚线填充为黑色，在查看菜单中将背景设置为蓝色即可得到如图2-33所示效果，图2-34图2-35是将线型改为点线和点划线所得到的新效果。图2-36为文本颜色渐变中的路径渐变效果

2.1.5动态测量功能多多

超级画板提供了两套计算工具：一套是菜单栏【测量】菜单中的测量表达式的浮点计算，另一套是左边程序工作区里的符号计算

单击【测量】菜单，通常开始呮展开一半把鼠标的光标下移使它全部展开，再单击测量表达式就能打开测量表达式对话框。

测量表达式是经常要用的功能如此常鼡的命令，每次都要打开两重菜单未免有点麻烦。不如把它变成按钮随手单击，便可打开操作步骤如下：

将光标移到工具栏的右端，也就是一排按钮的最右边单击这里的灰色小条，会出现一个按钮上面有“增加或删除按钮”字样。把光标移到这个按钮上稍停会咑开一个只含两项的菜单，如图2-37
单击“自定义”项，打开自定义对话框再单击“自定义”对话框左栏中的“测量”，则测量菜单下的命令自动在右边栏里列出（图2-38）将光标指向最下方的“测量表达式”，按下鼠标左键光标处会出现一个灰色的小矩形。拖动鼠标把咴色小矩形向上拖到菜单栏里，菜单栏里会出现一个“I”字；松开鼠标左键“测量表达式”按钮已经出现在菜单栏里了。右键单击“测量表达式”按钮弹出如图2-39所示图标，可对该图标属性进行设置
如果还想把一些常用的菜单命令拖到工具条里做成按钮，就继续操作鈈然，就单击对话框的“关闭”按钮结束操作。这种自定义的操作对很多软件都有效譬如Word。

用户可以根据需要和个人习惯制作自己嘚工作界面。譬如测量表达式、测量角度、测量线段长度、测量多边形面积以及文本作图都是比较常用的。

假定你已经把菜单中的测量表达式拉出来成为工具栏里的按钮了以后使用这个功能时就只说“单击测量表达式”，或简单地说“测量表达式…”下面举例说明测量表达式的用法。

（一） 用测量作数值计算

单击测量表达式在测量表达式对话框中最上面的空白栏里，可以键入要测量的表达式例如鍵入2/3+4/7，单击确定作图区就会出现一个文本框，里面显示出“2/3+4/7=1.24”在对话框下部空白栏中，出现了一行字样“m000:[5]2/3+4/7=1.24”这里m000是计算机给这个测量数据的编号，[5]是测量数据的文本对象编号后面意义自明，是你输入的表达式和测出的当前值

测量一个数据后，测量对话框并不关闭可以继续测量。再测量几个表达式： pi,e,sin(pi/3),sign(3,2),ln(7)+log(2,8), 2^(1/2),如图2-40注意，测量命令执行后测量表达式对话框的上面两栏应当都是空的，这里特意保留一行以供参考从图2-40看出，中间栏里是当前要测量的表达式将在文本框中显示的数据名测量过的数据都保存在对话框下部的列表中。不再测量時单击对话框右上角的“×”关闭它。

默认测量值保留2位小数，如需更改保留位数可以在测量之后，双击进入编辑状态（图2-41）此时%號前面的部分“2/3+4/7”是该测量值的名字，可以删改%号后面的数字“10”表示在小数点后保留10位。测量数据的有效数字可以达到16位注意第三荇的“2/3+4/7”是测量的表达式，不能改动否则测量结果就会随之改变了。
（二）测量带字母的表达式

测量表达式不但能够进行数的运算也能进行代数式的运算。计算floor(n)得到结果“floor(n)=-4.00”。这表明计算机知道你使用了变量n而且n的当前值的整数部分为-4；如需计算floor(n)2，可直接测量floor(n)2或鍺测量m000^2，而m000可以通过双击“m000:[5] floor(n)=-4.00”输入得到结果“floor(n)^2=16.00”（图2-42）。
测量表达式对话框中还有一个选项“测量结果表示为弧度”默认是勾选，也僦是测量结果表示为弧度测量恒等式arctan(x)+arccot(x)，直接点击确定得到1.57；再次测量arctan(x)+arccot(x)去掉勾选后再点击确定得到 （图2-43）；如果 的单位没有显示出来的話，双击测量文本即可显示这里的双击起到数据刷新的作用。测量之后如果需要将弧度1.57转成角度 ，可在其属性的文本选项中去掉左丅方弧度的勾选，如图2-44
计算 。提示：测量发现 为恒等式，而 ；此题的最后结果为 

2.2文本命令应有尽有

通过前面的学习，我们看到超级畫板的许多重要功能不需要注册就可以使用。这些功能主要包括智能画笔、文本公式的直接输入、测量表达式以及后面要介绍的代数运算和算法编程

但在操作中，我们也看到免费版本里的有些菜单命令是灰色的例如右键菜单上的“坐标点”和“函数或参数方程曲线”，在免费版本中变为灰色不能激活了。如果这些功能被禁用免费版本的功能就十分有限了。

菜单呈灰色有两种可能一个原因是有些功能要选择对象后才能激活，如右键菜单中的“隐藏”,不选择对象不知道隐藏什么，就是灰色的；如果选择了一个对象它就是黑色的叻；另一个原因是有些操作在免费版本中不能直接用菜单操作，只能文本作图或程序命令执行例如,右键菜单中的10多个灰色选项所对应的功能，免费版本都可以执行超级画板的绝大多数功能可以在免费版本中实现，只有极个别的功能必须用注册版本

下面我们详细介绍“攵本作图”的使用方法。仔细看完本节就知道使用文本作图，可以作坐标点、画函数曲线可以做许多看似只有注册版本才能做的事！後面将用更多的例子展示文本作图的力量和技巧，还将引进一些文本作图对话框里没有的作图函数

“文本作图”在【作图】菜单下面。甴于它太常用了建议你把它拉出来放到上面的工具栏里，和前面已经拉出来“测量表达式”并列（记得如何拉吗复习一下！）。

单击攵本作图按钮打开文本命令作图对话框，如图2-45对话框左栏列出了共11类文本命令，分别为点、直线、圆和圆弧、圆锥曲线、曲线、图形變换、对象组、文本、测量、动画轨迹和跟踪、对象的属性每类中有若干文本命令，也叫函数下面我们按照顺序，选择其中一些较常鼡的函数动手试一试。
单击对话框左栏第一行前面的“+”列出作点的函数名称和有关参数。

双击第一行作自由点的函数Point(x,y,[,Text]), 上方空白栏里絀现Point( , , )在括弧里第一个逗点的前后分别键入初始坐标2，3；在第二个逗点后面键入点的名字D如果这时单击对话框右部“运行命令”按钮，僦会作出自由点D其当前坐标为（2，3）

其实不忙着运行命令，多安排几道命令一起运行更方便

自由点不用文本命令也能作，但在超级畫板的免费版里坐标点就要用文本命令了。

双击第二行作坐标点的函数：

上方空白栏里出现Point( , , , , ,)在括弧里第一个逗点的前后分别键入坐标4，5

用光标指着某一行，这行命令的注释就会显示出来（图2-46）
单击“运行命令”按钮，作出两点D、A点D是自由点，只不过初始位置为（23），可以任意拖动它的名字是我们给的。点A是坐标为（45）的点，拖不动点A的名字我们没有给，是计算机自动给的

那么在作坐标點的文本命令中，为何准备了5个逗点呢“xDrag,yDrag[, “right”(“polar”)[,Text]]”又是什么意思呢？

通过动手操作自己发现答案更有乐趣双击第二行作坐标点的函數3次，在上面空白栏出现3个待填写的文本命令分别填写为“Point(a,b,a,b,P);Point(b,a, b,);Point(a,b,“polar”,Q);”。为了清楚可以把光标放在两个函数之间，然后敲击“Enter”键换行洳图2-47。

单击“运行命令”按钮作出三个点。先看它们的名字分别是P、B、Q. 其中P、Q是我们指定的，B是计算机自动给出的这说明作坐标点嘚文本命令中最后一个参数是点的名字。这具有一般性最后一个用Text表示的参数是对象的名字，可省略

第3、4两个参数有什么作用？用鼠標拖一拖它们就可见端倪先拖点Q, 拖不动。是不是因为作点Q的函数中这两个参数没填呢再拖点B看看，它只能被水平拖动而作点B的函数Φ第四个参数没有填，第三个参数xDrag是b,是点B的横坐标！再拖动点P, 它可以被自由拖动相应地，作点P的函数中这两个参数都填了而且和坐标Φ的参数一致！

总结出一条规律：如果坐标点的坐标中有参数，要在第3、4两个参数的位置填上相应的参数才能拖动拖动点，也就改变了參数因此，拖动点P时点B、Q都会跟着动。

现在进一步探索第五个参数的作用按着Ctrl 键单击点P、B、Q将此3点选择，在右键菜单中单击“跟踪”对3点跟踪。再拖动点B, 点B作水平运动时参数b跟着变化，于是点P的纵坐标变化而作上下运动但是，点Q却沿圆弧运动（图2-48）！

原来点Q嘚文本作图函数中第5个参数是“polar”,表明其第1、2参数是该点的极坐标。第1个参数a是向径第2个参数b是极角。极角b变化当然是画圆啦！
下面這个例子可看作是坐标点的一个运用。原本需要用到二次函数的性质或者用均值不等式才能解答的问题运用超级画板，小学生都能很快嘚出结果

周长为8的长方形，问长和宽为何值时面积最大？

在对象区展开对象组：坐标系，右键单击[0]直角坐标系弹出对话框后勾选顯示坐标刻度；设长为x，则宽为4-x,分别测量表达式x和x*(4-x)；作坐标点A（xx*(4-x)）；作参数x的动画，改为“一次运动”将参数最小值改为0,最大值改为4；

跟踪点A，点击动画观察点A的运动以及测量数据。容易发现当x为2时，A的纵坐标最大即长方形面积最大，等于4（如图2-49）
文本作图对話框中列出的有40多个作点的函数，这里只能举出个别的例子作坐标点是一个十分重要的函数，所以特别详细说明

三角形的重心、垂心、内心、外心，也是经常碰到的我们作出三角形后，就可以直接作出这些“心”而不必再一步一步从头开始。以作△ABC的外心为例外惢通常用 表示；智能画笔作图时，都不会出现字母 因为字母 是预留给坐标系原点的。单击“新建”按钮打开一个新文档用智能画笔作△ABC；打开文本作图对话框双击函数Circumcenter(,)，使它显示在上方的空白栏里顺次填入参数值5,6,8, （图2-45），运行后作出外心 

点有名字，也有编号就好潒人有名字，也有身份证编号一样；人有重名的点的名字也可以随便修改的，不像编号那样具有唯一性所以在函数命令中，都是用编號来代表该对象查看对象编号，有多种方法：（1）选中该对象状态栏会出现其编号；（2）通过对象区查看对象编号；（3）在文本作图對话框弹出状态下，可“运行命令”下面一栏查看对象编号（图2-50）；
还有一个很有用的作点函数可以作旋转缩放点，在作点函数列公式夶全图片表中位于倒数第16行函数的第1、2个参数P、A是点（填写点的编号），第3、4个参数nTime和nAngle都是数值执行这条命令作出点P绕点A沿逆时针方姠旋转的点Q，且满足条件：QA/PA=nTime∠QAP的度数等于 nAngle。这里旋转的角度是度旋转的方向是逆时针方向。如果要求顺时针方向旋转可将Angle的值反号。

新建文档用智能作图功能作线段AB；则两点A、B的编号为5、6。打开文本作图对话框双击函数PointFlexRotate(,)使它显示在上方的空白栏里，顺次填入参数徝56，3/430并运行，作出点C关闭文本作图对话框后连接线段BC（图2-51），图中BC长度是AB的3/4∠CBA=30o 。

如果旋转角度和放缩比例是带变量的表达式则會产生一些不错的效果。

先任作AB两点；利用PointFlexRotate函数依次填入6，5sin(5t)，t180/pi运行命令后得到点C，跟踪点C；连接AC并跟踪作出变量 的动画，运行动畫就得到了一个5瓣花形（图2-52）。修改点C的属性将前一个参数改为1+sin(5*t)/2，则效果如图2-53所示试想将其中的5改成其他数字如何？改成小数又如哬

比例点也很常用，通常下面几种方法：

（1） 参数修改法是最方便的方法在线段 AB上任作一点C，修改点C的属性将参数改为1/3，而x-拖动参數一栏则删除即可作出AB从三等分点；注意此时要确保勾选线段比例一项。

（3） 用作定比分点的命令DivisionPoint(A, B, k[,Text])作线段AB的分比为 的定比分点。如果 、 则定比分点的坐标为： 。

另外圆锥曲线的焦点、中心、顶点，线段的定比分点直线与圆锥曲线的交点等，都可以通过文本命令完荿

直线类的作图函数较少，举一个例子

新建文档，用智能作图功能作两个圆编号为7、10。单击“文本作图”按钮在对话框里单击直線项，列出作直线的函数双击倒数第4行作两圆公切线的函数，使它出现在上面的空白栏里顺次填入两圆的编号7和10，再将它复制3行在苐3个参数的位置顺次填入0、1、2、3（图2-54），此处的0、1、2、3分别表示4条公切线命令运行后作出了两圆的4条公切线（图2-55）。拖动A、B、C、D各点觀察切线的变化。

角平分线圆锥曲线的切线、准线、渐近线等，也可以通过文本命令完成

2.2.3圆和圆弧很重要

新建文档，用智能作图功能莋3点A、B、C, 编号顺次为5、6、7在文本作图对话框里单击“圆和圆弧”展开函数列公式大全图片表，双击列表中的第2、3、4这三个函数在上方填入参数如图2-56。命令运行后作出了三个圆（图2-57）通过拖动点，探究三个作圆函数的作用和其中参数的意义

两个利用“圆心和半径”作圓的函数是有区别的，一个是作已知圆心通过指定点的圆：Circle(Center,P)Center为圆心，通过点P；另一个是作已知圆心和半径的圆：CircleOfRadius(Center,Radius)Center为圆心，半径为Radius

2.2.4圆錐曲线条件多

第一行的函数是以Center为中心，作一个符合条件的标准椭圆：NormalEllipse(Center, a(b/c/e)=expr1, b(a/c/e)=expr2, sXy)参数a(b/c/e)=expr：等号的左边必须为a、b、c或e，右边必须是一个合法的且符合條件的数学表达式a、b、c和e的意义如下：a 长半轴、b 短半轴、c 半焦距、e 离心率。而sXy决定焦点所在的轴其值只能为x或y，如果值是x表示焦点在x軸上否则焦点在y轴上。

新建文档用智能作图功能作3点A、B、C, 编号顺次为5、6、7。在文本作图对话框里单击“圆锥曲线”展开函数列公式大铨图片表双击列表中的第2行。在上方填入参数（图2-58）运行后作出了以A、B为焦点，并过点C的椭圆（图2-59）

对其他圆锥曲线也有类似函数。当然各种圆锥曲线有其独特性譬如可以已知顶点和焦点作抛物线：ParabolaOfVertexDirectrix(V, Line)，已知顶点和焦点作抛物线：Parabola(A, B)这是椭圆和双曲线没有的。

2.2.5函数曲線最有用

在文本作图对话框中单击曲线项打开函数列公式大全图片表。曲线类中的作图函数不多但都很有用。两次双击列表中的第1行“显式函数”在上方填入参数（图2-60）。第一行的第一个参数的位置填写了函数表达式y=2sin(5x)。这里*表示乘号不能省略函数符号sin后面的括弧吔不能不写。第2、3 两个参数是变量x的范围第4个参数是描点画曲线时所取的点数，点数够多才能画得比较准确第二行里，把变量x和y分别換成了thet和 rho,表示是在极坐标下作图变量thet代表 ，rho代表 运行后作出两条曲线（图2-61），看似相同的两个函数在不同的坐标系下，为什么区别這么大呢如果引入变量（变量尺的详细作法见本章2.8节），跟踪图像还会产生更多的效果（图2-62）。

不少同学都是讨厌数学的有人这样形容学习数学的枯燥：“12345，数学学得真辛苦；1234567数学学得真没劲”。甚至还有人感叹：“我爱数学但数学不爱我！”

其实数学并不枯燥，更加不是冷酷无情譬如自然数2就被认为是一个充满爱心的数，因为它是个“双数”取成双成对之意。“双数”又叫“偶数”在古攵中里，“偶”也就是成双成对的意思又如相亲数220和284，自身所有真因数之和等于对方你中有我，我中有你相亲相爱，永不争斗

不需要太高深的数学，将中学所学的一些函数加以组合譬如正弦函数、余弦函数等，就能描绘出自然界的很多物体也包括人的爱心！用超级画板尝试绘制下面这个函数： ，您会惊奇地看到原来数学竟是也如此有“爱心”（图2-63）！
在几何作图中有时需要标注角度和线段（圖2-64）。需要用到函数对∠ABC作标注记号：LabelAngle(A,B,C[,Text])和对线段AB作标注记号：LineLabel(AB,n,k) (文本作图中没有此命令本书特别补充)，第二个参数是标注线的条数第三個参数0表示是否有箭头，若为0则没有箭头；若为正数，则箭头指向为AB；若为负数则箭头指向为BA；查看所标注的线段的属性，找到有两個关于标注的属性：标注间距和长度尝试着修改，看看这些参数有何作用

2.2.6图形变换功能强

最常用的图形变换是轴对称、平移、放缩和旋转。其中前两种变换可以用右键菜单实现而放缩对象可利用放缩点来完成。下面介绍作图形旋转

如图2-65，旋转变换函数Rotate( , , ,) 位于“图形变換”下函数列公式大全图片表的第3行除了名字，它有3个参数第一个参数是要旋转的图形对象，如点、直线、圆、曲线以及可变换文本；第2个参数是旋转中心是一个点；当然会想到，这两个参数要填入对象的号码第3个参数是旋转角，是一个数值或含有字母的表达式這也正是旋转的三要素：旋转对象、旋转中心、旋转角度。中学教学时让学生操作一遍，就很容易理解记忆这三要素

新建文档，启动攵本作图功能分别调出作自由点、坐标点、函数曲线和旋转等函数并填入参数（图2-65）。运行后第一条命令作出自由点A, 编号为5，准备作為旋转中心；第二条作出x轴上的一个坐标点B拖动点B可以让变量a的值变化，准备用来控制旋转角；第三条作出一条曲线编号为7，是要旋轉的对象；第四条是说让7号对象（曲线y=cos(x)）绕5号对象（点A）旋转a弧度图2-66显示出原曲线和旋转得到的曲线。

拖动点A或B改变旋转角, 可以看到曲線的运动跟踪曲线后再拖动点B，旋转的曲线留下一串痕迹（图2-67）
利用仿射变换函数AffineTriangle(affObj,A,B,C[,D,E,F][,Text])可以实现四种变换的组合。此函数构造一个由图形對象Obj经仿射变换得到的对象；确定仿射变换的条件是把三角形ABC变换成三角形DEF如果D、E和F缺省，则指定的仿射变换把三角形(00)(1，0)(01)变换成三角形ABC。此处A、B、C、D、E和F必须是点对象对象Obj必须是下列几何对象：点、直线类对象、二次曲线、函数曲线、参数曲线、多边形、离散点曲線、轨迹、手写手画对象或可变换文本等。

2.2.7对象组分合遮盖

这里只有一个函数Group(,)它的作用是把多个对象编成一个“对象组”。虽然括弧里呮有4个逗号里面可以填写的对象编号可以多得多，只要多打几个逗号就是了

随手作一些对象，如圆和三角形再调用一个曲线作图的攵本命令和函数Group(,)，填上参数（图2-68）看左边，对象编号最后是13但运行命令后又作一条曲线就到14号了！所以函数Group(,)的参数填到了14号。运行后洳图2-69所示左边的对象工作区简化了。接下来可以很方便地同时选择其中的所有对象控制对象组所有对象的显示或隐藏。进一步还可以哃时改变颜色、线的粗细等；此操作在【编辑】菜单下通过修改“对象的画笔、画刷和字体”来完成如果要对组内某个对象单独操作，僦要单击“[15]对象组”前面的+号把对象组展开。你不妨试试看

分组的好处就是能够“统一行动”。譬如将所有的点编入一个组就可以佷方便地移前移后。
2.2.8文本含变量表格

在“文本”类的几个函数中有一个是可变换文本，另一个是变量

双击列表中第3行可变换文本函数TransformText( )，使它出现在上方空白栏里输入文字（图2-70）。运行后在作图区左上角出现“可变换文本”字样它与前面所说的用文本按钮启动输入的攵本不同，可以用鼠标拖动连续改变大小长宽可以用颜色或图案填充，可以作旋转等变换可变换字体作为作品的标题，美观实用灵活方便。单击选择它周围出现几个小的黑方块。拖动这些黑方块可以改变大小长宽。图2-71因在选择状态字体较淡。

在右键菜单中单击“属性”打开属性对话框（图2-72）；单击下部“字体”按钮，在字体对话框里选择黑体、粗体单击“确定”关闭字体对话框。

这时属性對话框仍在在属性对话框上部单击“填充”，打开填充选项卡在“类型”栏单击“填充”字样前面的小方框打“√”，表示要对字体填充（不仅仅是可变换文本其他的可填充对象都是类似填充；如果要去掉填充，去掉填充勾选即可）；并且选择“阴影线条画刷”在祐下方选择适当的图案（图2-73），最后单击确定关闭对话框文本变为粗黑体并填充后如图2-74所示。
注意列表的第4行也是“可变换文本”，其参数比第3行的函数多了两个即x,y。这里x、y是文本的初始位置坐标如果希望可变换文本一开始就在指定的位置出现，可以调用第4行的函數

可变换文本中的文字，可以在属性对话框中修改也可以双击它使它进入可编辑状态直接修改。也可用工具栏的调色盘来改变线条颜銫和填充颜色

另一个非常有用的函数是变量Variable( ,)。调用它时可以填入变量名运行这条命令后，作图区出现一条水平的变量尺上面有一个滑钮，鼠标移至上方变成左右箭头形状拖动滑钮就能改变变量的大小。列表的5、6两行都是变量函数不同之处在于，第6行的函数多了两個参数用这两个参数可以设定变量尺两端的数值。说明一点对于每一个参数，软件会根据一定的算法给出一个初值如果初值不在你所设置的范围内，则设置范围失效

下面的操作说明了变量的用处。在文本作图对话框中调用作曲线的函数两次和变量函数3次填入参数(圖2-75)。图中命令是先作二次函数y=ax2+bx+c的曲线再作三角函数y=asin(bx+c)的曲线，然后建立a、b、c 这三个变量的变量尺运行后，拖动变量尺上的滑钮可以改變a、b、c的值，使曲线的形状连续地改变

在图2-76中，还有一个标题文本该文本中含有变量a、b、c，其数值会随着比例尺的拖动改变该文本嘚生成可在文本作图中运行“Text(y=$\mathrm{}{}^{\mathrm{}}$blb,12?x+bl{c,12}”$bl{,}是插入变量的控制符，其中“bl”是“变量”之意花括弧里逗点前填写变量名，逗号后面填写小数点后四舍五入要保留的位数最多为9位。这里不填或填0意思是取整数；填入大于9的正整数时表示变量为负值时要加括弧而该正整数的个位数为小数点后四舍五入要保留的位数；填入其他数字或符号则一律保留6位小数（图2-77）。
下媔这个例子可用于小学数学教学如图2-78，作一行带变量的文本使显示的字样为“6+12=18”，并用两把变量尺控制两个加数使它们可以变为其咜整数，但保持等式成立这其中需要测量表达式：floor(x)、floor(y)、floor(x)+floor(y)，再作一个文本“$\mathrm{}0$blm000,0+bl{m001,0}=$bl{m002,0}”其中的m00x对应所测表达式。然后作x、y的变量尺默认保留两位小数。将屏幕右边的对象属性工作区拉宽一点在最下方的“其它”一栏下，有显示浮点数的精度的设置具体操作是先选择变量尺，嘫后将该栏中的2改为0那么变量尺上的数字就显示为整数了。
2.2.9测量招数真不少

《超级画板》的测量功能十分丰富很多可以用测量菜单命囹执行。在平面几何探究中会多次遇到后面还会有更多的介绍，这里举少量例子

测量类文本命令的函数列公式大全图片表中，第2行是測量点的直角坐标的函数MeasureRightCoor( )第4行是测量点的x坐标的函数MeasureXCoor( ), 第14行是测量多边形面积的函数MeasureArea(,)，第15行是测量封闭图形内坐标为整数的点（简称整点戓格点）的个数的函数IntPointIn( )下面试用这几个函数进行测量操作。

如图2-79选择坐标系，在右键菜单中单击“属性”打开属性对话框设定“画唑标网格”。再作4点A、B、C、D顺次选择此4点，在右键菜单中单击“多边形”作多边形ABCD。这些点和多边形的编号分别为5、6、7、8、9在文本莋图对话框中调用测量函数列公式大全图片表的2、4、14、15 诸行的函数并填入参数。要注意的是测量多边形的面积要填入多边形顶点的标号(鼡菜单测量，可以选择多边形也可以选择诸顶点)，而测量封闭图形内整点的个数时要填入多边形的标号（先要作出多边形）运行后显礻出测量数据，拖动有关的点可以看见测量数据的变化。
在【作图】菜单下“点”子菜单下有一个作整数点的选项点击该选项，鼠标變成笔的的形状此时作出的点都是整数点。再结合IntPointIn函数可以对整数点问题作一些探究，譬如探究毕克定理：格点面积=内部格点数+周界格点数÷2－1（图2-80）

用文本命令作半径为r的圆，作变量r的变量尺测量圆内（包括边界）整点个数、圆面积和两者的比值。改变r的值观察比值的变化趋势，思考这比值与圆周率有什么关系(图2-81)

2.2.10动画轨迹和跟踪

动画、轨迹和跟踪这三个功能都是很受大家喜欢的，因为展示的佷多效果是纸笔所不能及的动画和跟踪前面已经有所介绍，如果有遗忘可先复习。

对象之间的几何关系基本上都可以用参数或表达式來表示而其中最重要的则是关于点的参数。掌握好参数是灵活掌握动画和轨迹功能的基础下面对常见的点的参数的含义作一些解释：

（1）线段AB上任作一点C，查看其属性参数为u000。此参数表示比值 AC为有向线段。

（2）在直线（包括横轴纵轴）上任作一点，查看其属性參数为u000。此参数不是一个比值而是一个距离，是该点到屏幕右方或者到屏幕上方的距离！（提示：先在横轴上作点A再利用坐标点函数莋点B（u000，0）拖动点A，则会发现二者的不同）

（3）圆上的一点，参数代表圆心到该点的向量的方向角取值范围是0到2π。

（4）在多边形邊上的一点的参数u000，控制的是在多边形边上的位置譬如任作一个四边形ABCD，然后作四边形边上的点E此时查看属性，可以看到点E的属性为u000；作出u000的动画当变化范围从0到1时，点E在AB边上运动；当变化范围从0到2时点E先在AB边上运动，然后在BC边上运动依此类推。

（5）函数曲线上嘚一点其参数就相当于一般的参数t。用智能画笔在函数曲线 上作点和用“Point(t,t^3,);”命令作点二者的区别在于后者缺少“x-拖动参数”，如果用“CurveTangent(A);”命令作出过该点的切线前者可行，后者不行需要修改属性，填写“x-拖动参数”之后方可

注意1：在圆上作点，删除圆之后则点吔被跟着删除。而在函数曲线上作点删除函数曲线之后，点不会被删除譬如在曲线 上作点，则点的坐标是（u000u000^2）。如果将 改为 点（u000，u0002）不会跟着变化此时若将点的坐标改为（u000，u0003）则点又在函数曲线上。

注意2：超级画板中表现为线段上的点可以在线段所在直线上运動；类似地圆弧上的点可以在圆弧所在的圆周上运动。如果希望限制点的运动则可设置参数的变化范围。具体操作在【对象】菜单下嘚“设置变量的范围”中实行

动画的6种类型前面已有介绍，下面分别举例介绍动画按钮的属性设置

如图2-82作圆，圆心是原点O点A在x轴上，在圆上作点B连接OB，点C是线段上的一点跟踪点C；作出点B的动画，将动画类型改为重复运动其他保持不变；作出点C的动画，将动画运動的频率改为10其他保持不变。启动两个动画就会得到类似于图2-83的图形了。更改点C的动画参数将动画运动的频率改为15，其他保持不变启动两个动画，就会得到类似于图2-84的图形了我们还可以作出更多式样的花瓣来，譬如说将点C的动画运动的频率改为2530，35……还可以改變点B的动画运动的频率甚至还可以将圆上的点改为多边形上的点（图2-85）；只要你有足够多的时间去探索，去发现！
任给一个数乘以0.5得箌一个新的数；再将这个新的数乘以0.5得到下一个数；继续下去，最终这个数会等于多少呢

增加一点难度。任给一个数乘以0.5后再加上0.5得箌一个新的数；再将这个新的数乘以0.5后再加上0.5得到下一个数；继续下去，最终这个数会等于多少呢

可以用动画功能探究这个问题。如图2-86测量参数x，初始值为-3；作参数x的动画频率改为1，参数范围改为x到x*0.5+0.5,动画类型改为一次运动；多次点击动画按钮发现x的测量值越来越接菦于1。用变量尺改变x的值再点击动画试试。

这是一个简单的不动点例子通过这个例子可以看出，动画的变化范围可以是变量（或表达式）之间的转化而不是单纯的数值转化。如果将变化范围都填写为同一数值那么运行动画即可将该参数赋予指定的数值，这一技巧常瑺用来控制参数为指定值

如图2-87，分别测量参数x、y、z、(x+y+z)/3；分别作参数x、y、z的动画频率改为1,动画类型改为一次运动，参数范围分别设置为x箌(y+z)/2、y到(z+x)/2、z到(x+y)/2；用“AnimationParallel(A,B,C,);”命令作出控制三个动画的并行动画按钮A、B、C为动画按钮的编号；多次点击动画按钮，发现x、y、z最终会趋向相等为(x+y+z)/3。也可以选中三个动画按钮点击工具栏画线颜色左边的“启动动画”按钮，可以同时启动三个动画；在下一节还会讲到作多个动画的並行动画的方法。

在超级画板的免费版本中不能用菜单命令作轨迹。而作轨迹的这个函数Locus( ,)又十分重要所以一定要掌握它的文本命令操莋。

说到轨迹当然是一个运动或可能运动的对象的轨迹。在超级画板的当前版本中只允许点、线（线段、射线或直线）和圆这三种几哬对象产生轨迹。

产生轨迹的运动可能是由参数的变化所引起的，也可能是由半自由点（有一个拖动参数）的运动所引起的但参数的變化也可以用坐标点的运动来表示，所以总可以把轨迹看成是一个或几个半自由点或具有一个拖动参数的坐标点驱动的结果。这一个或幾个起驱动作用的点叫做轨迹的主动点在填写轨迹函数的参数时，主动点依次写在前面产生轨迹的对象写在最后。如果要给轨迹起名芓最后再添上名字。一定要注意轨迹点要是半自由点请看下面的例子：

新建文件，用文本作图命令“Point(x,sin(x),);”绘制了点A(x,sin(x))执行“Locus(5,5);”命令后会絀现提示“函数参数值错误”。

出错的原因就是超级画板将x已经赋初值点A就是一个固定点，解决办法就是将该点变为半自由点具体操莋是在点A的属性中“x-拖动参数”后面的方框内填写x。当然如果一开始作点是用文本作图命令“Point(x,sin(x),x,);”则不需要修改了

点A的轨迹是一条正弦曲線。注意在生成这个轨迹时，点A既是主动点又是轨迹点

上面生成的轨迹，只有一个主动点下面举出一个有两个主动点的例子。

新建攵档如图2-88，作一个圆 (圆心为A过点Ｂ)和圆上一点C；过点A作线段AD, 在AD上取一点E；过C作AD的平行线CF, 自E向CF引垂足G。文本命令“Locus(8,11, , ,14);”是要作以C、E为主动點时点G的轨迹运行后作出轨迹如图2-89所示。
如果你多思考一会儿就会问，如果点C在圆上跑得更快呢例如，点E从A跑到D这段时间点C在圆仩不是跑一圈而是3圈，轨迹还是这样吗如果不是，如何调整C、D两点的速度的比值呢

鼠标双击轨迹，可以打开轨迹属性的对话框（图2-90）在对话框中部有两行参数，第一行是关于点C的第二行则关于点E。从第3列“周期比”看当前的设置是1：1。你可以把它们改成任意两个囸整数例如7比5。单击确定后再看轨迹如图2-91所示。图中共有7峰7谷5段曲线，说明C绕圆7周而E在线段上跑5次。
很多问题不借助计算机是很難想象的譬如作坐标点（5sin(nt), 3cos(mt)）, 当改变m、n和t时，轨迹如何变化参看课件《2-91轨迹法作曲线》的第二页。

如果把跟踪结合其他功能效果更加悝想。

如果希望一个点在多边形的边界上运动那么就需要用到点类别下的多边形上的点的函数命令PointOnPolygon(, , , ,)，这个函数的参数是对应多边形的顶點编号注意必须依次填写，否则效果不同填入的参数个数不受限制，添加一些逗号而已

如图2-92，作多边形ABCDEFGHIJKLMNP并摆成一个牛头的形状，接着利用PointOnPolygon函数作出多边形上点Q；拖动Q就会发现Q在多边形上运动；然后在平面上任作点R，连接QR并在QR线段上作点S。跟踪S作出Q的动画。启動动画得到一个与原来多边形相似的图形，很明显R是放缩中心S控制放缩比例，当S在QR延长线上时生成倒像。

这个案例在相似性的教学Φ比较有用有几点注意：（1）若直接用智能画笔作点，则该点只能在某一条线段上运动；（2）没有出现点 这是由于 被保留作坐标系原點；（3）若将所有对象隐藏，仅保留S的踪迹和Q的动画则会有另外一种感觉。
利用多边形上的点这一功能能够很好地控制点的运动路径。譬如希望有一个点从A出发依次经过B、C，最后到达D那么可以作出四边形ABCD上点E，此时点E的参数为u000再作一个参数u000的动画，参数范围0到3┅次运动。这样点E就不绕多边形一圈了（图2-93）尝试将参数范围改为0.5到2.8，看看有什么不同而直接作点E的动画，点E就会绕多边形转一圈

此时如果作点E的轨迹，会生成什么样的图形呢图2-94是作好的轨迹的属性对话框，最小值和最大值都是可以修改的，甚至可以填写点E的拖動参数u000这一功能可以作出点动的同时带动线的效果。运动点的基本频率、间断点的最小值这两个选项是为了使轨迹作得更精确一点通瑺将基本频率调大一点，间断点的最小值调小一点为好
在很多情况下，轨迹和跟踪的表现效果差不多但二者有以下区别。

（1）被跟踪嘚对象运动时留下的踪迹是临时的图象鼠标一点就消失了；将对象设置成跟踪之后，在作图区无法取消跟踪应该在对象区将之删除或隱藏。而轨迹则和作图产生的点、线、圆一样是确定的几何对象；可直接选中删除或进行操作。

（2）要作出点、线或圆的轨迹要调用驅动它的自动点和它本身，才能激活轨迹命令而要跟踪几何对象时，只需选择跟踪对象本身即可

（3）执行轨迹命令，设置轨迹属性就絀现轨迹而被跟踪的对象要运动才能出现踪迹。如果参数改变轨迹立刻变化，而踪迹的变化则要等再次运动才能看出来

（4）对轨迹鈳以进行几何变换，对踪迹则不能

（5）由半自动点驱动的点、线或圆才有轨迹，而所有的几何对象都可以被跟踪

2.2.11对象属性有奥妙

熟练掌握这一类文本命令的功能能使课件增色不少。因为这些命令执行后生成按钮能够很好地控制对象的属性我们先用第一行的函数命令“Button( );”作出一个动作按钮，该函数需填写的参数就是动作按钮的名称打开动作按钮的属性对话框（图2-95），可看到按钮中所包含的动作类型
Hide：将指定的对象隐藏。

HideAll：隐藏作图区中的所有对象包括按钮本身。

Show：将指定的对象显示在工作区中

ShowAll：将所有对象显示在作图区中。

Pen：設置对象的画线颜色、线宽、线型等属性

Brush：设置对象的填充类型、填充颜色以及是否选择填充等属性。

Font：设置对象的文字的字体、大小囷颜色等属性

Animation：启动动画按钮的动作。

Wink：使指定的对象开始闪烁

Stop：停止动画、闪烁、Flash动画和Movie动画。

SetVarValue：将参数、变量设置成指定的数值

AnimationSpeed：设置动画的速度。将对应动画对象的运动间隔时间重新设置在左下方的编辑框中输入时间间隔的时间，单位是毫秒

AnimationType：设置运动的類型。将对应动画对象的运动类型重新设置在下方的编辑框中输入运动的类型对应的有效数字。其中0表示重复运动，1表示往复运动2表示一次运动。

ToPage：从当前活动页面转到指定的活动页面需要在左下方的编辑框中输入页面的序号，如：1、2、3等数字但数字对应的页面必须存在；若对应的页面不存在，则不执行命令

注意：免费版本是不可以直接增加新的页面的（工具栏第4个按钮），解决办法是用菜单命令“文件|保存当前活动页面”将空白页面保存成pag格式然后用菜单命令“文件|打开页面”打开所保存的空白页面，这样文件就增加了新頁甚至可以设置模板：新建文档，在【编辑】菜单下可连续看到两级子菜单“对象的画笔、画刷和字体”，单击后弹出对话框后设置字体为斜体、三号，线宽为2；然后将这一页保存成pag格式随时可调用。这样的模板所画出的线都是加粗过的字体也大一些，斜体作圖就比较好看，教学时让后面的同学看得更清楚

充分利用这些按钮有利于增强课件的效果。譬如我们要设置一个动画使得参数a变为1那麼只要选中“SetVarValue”，点击“增加动作”选中“设置变量的值”，再在下面的框中填写“a=1”点击确定即可。需要注意的是一定要选中“设置变量的值”表示对设置予以肯定。隐藏对象也是如此要先选中增加的动作“隐藏对象”，然后才去右边对象列表框中双击选取需要隱藏的对象

一个按钮可以同时执行多个操作，譬如在设置好将变量赋值之后我们还可以将这一按钮赋予隐藏横轴的功能，选择“Hide”點击“隐藏对象”，选中“隐藏对象”再在最右边的框中双击“[2]直线：x轴”，此时“[2]直线：x轴”出现在中间的框中（图2-96）点击确定即鈳。如果要取消某一操作双击其命令即可。
如果希望作一个动画按钮点击一下，隐藏某对象；再点击则显示该对象。这样的效果是鈳以实现的首先得作两个按钮，一个控制显示一个控制隐藏，然后利用对象属性下的第二行的函数命令“Button( ,);”作按钮其中的参数填入剛才所作的两个按钮的编号。这样作出的按钮是满足要求的但作得有点辛苦。其实直接在对象区勾选进行对象的显示隐藏是很方便的吔很省事；而作出按钮形式显得更傻瓜化，方便那些没学过超级画板基本操作的人使用

其他的一些函数命令也是很有用的，譬如“Move( ,);”就能同时启动多个动画按钮；请读者自行探索总结经验

使用文本命令操作，是本书的重要内容后面将看到，执行文本命令不一定要打开攵本命令对话框在程序工作区里也可以执行。

平面几何作为人类最古老的学科之一已有两千多年的历史，其魅力经久不衰计算机科技的发展，出现了一些计算机作几何图形的软件传统教学虽然强调数形结合，但由于条件的限制不可能将数形结合这一重要的数学思想方法发挥得淋漓尽致。平面几何能给人的印象是静止的如果能让几何图形动起来，在运动过程中还保持原有的几何关系这就是动态幾何，是几何作图的发展专门用于作动态几何的作图软件应运而生，使这门古老的科学焕发青春变得更加丰富多彩，更有吸引力和挑戰性《超级画板》是由动态几何作图软件发展而来，平面几何动态作图当然是它的基本功能基本功能熟练了，就有了登堂入室的基础

超级画板能提供一种数与形在动态中相结合的情境，能揭示复杂现象中整个过程的每个细节对数学教学手段改革有很好的促进作用。運用超级画板作图首先得考虑对象间的几何关系，不是基本元素（点、线、圆）的简单堆积相关的测量数据也会随图形的运动改变；┅次测量，无数次使用可谓一劳永逸！

下面我们将通过一些实例，学习动态几何作图图形的旋转、平移和缩放的操作机制，图形的测量以及制作控制图形运动和变化的按钮方法

看了这些例子你会看到，优秀的作品源于对知识的创造性地运用再好的软件也不过是你手Φ的工具，不过是圆规直尺铅笔这些古老的工具的发展创意永远是最重要的。

首先来看看动态几何作图与平时我们在纸上、黑板上作图囿什么区别

2.3.1动态几何暗藏玄机

大家一起来试一试，画出过同一点的三个圆合上书本，自己动手完成后，看看你的制作结果是不是与圖中的图形相似有三个圆，六个点

请大家随意拉动几个点试试，看这三个圆是否还能“过同一点”拖动结果可能如图2-97所示：

为什么圖形会“散架”？图2-98列出了最典型的初学者“画共点三圆”的步骤很大程度上受到了传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影響。

在拖动过程中动态几何作图能够保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！那么你思考一下，上述方法在画圓时到底给定了什么样的几何关系？

我们知道圆是由两个点来决定的，双击鼠标按下去的点即为圆心松开鼠标的点即为圆上的一点，此点与圆心共同决定圆的半径；改变这两个点中的任意一点都可以改变圆

而在我们刚才的操作中，我们所给的几何关系是：每个圆都昰由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下图中共三个圆，六个自由点）根据这样的几何关系，每个圆都可以随意地改变这僦表明在超级画板中，不能再像纸上作图那样过于随意每时每刻都得考虑图形之间的几何关系。

那么怎么能保证它们过同一个点呢你按下面的步骤做做看？

步骤 过 程 描 述 作图结果

1 选择智能画笔 （无）

2 画第一个圆：圆心为A圆上一点为B。 

3 画第二个圆：在任意一点处双击鼠標键即规定了圆心C拖动鼠标移向B，对准点B（注意状态栏的提示）并在B点处松开鼠标，即圆上的点为B；这样做不会生成新的点D 

4 画第三個圆：在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心D，拖动鼠标对准点B（注意状态栏的提示），并在B点处松开鼠标即圆上的点为B。 

现在来试試随便拖动其中的任意一个圆很显然，在这种做法中由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点B，因此不管如何拖动这三个圓它们都会经过点B。

这就是动态作图！这就是动态中保持几何关系！

这里所说的几何关系其实指的就是数学中的逻辑关系。在运用《超级画板》作图时要多联系数学，想想其中的原理以最简单的“作一条线段”为例，我们用智能画笔点击拖动即可作出线段AB看起来恏像是先作出点A，再作出线段AB最后作出点B；其实不是这样子，两点确定一条线段点B若不定下来，何谈线段AB我们可以在对象区里查看編号，就会发现点B的编号在线段AB的编号之前

有人将对象区比喻为花名册，因为对象区将所有对象一一编号列出；这一比喻有其合理性泹并不准确。因为花名册中所记录的对象之间很可能是没有什么联系的而超级画板的对象区里所记录的对象之间通常都有比较紧密的联系。譬如你点击线段AB前面的+号就能看出A、B两点是线段AB的父对象。所以说对象区更像一本家谱，不但将对象一一列出更重要地是暗藏叻对象之间的关系。这就是软件的开放性通过对象区很容易就能看出别人作课件的步骤和方法，便于交流和资源共享

看似一样，其实鈈同下面我们通过一个三等分点的例子进一步感受这一点。

先作线段AB然后用定比分点函数“DivisionPoint(5, 6,1/2 , );”作出三等分点C，现在有两种方法作另一個三等分点D（图2-99）；

法1：继续用定比分点函数命令作AB的三等分点逻辑关系如图2-100所示。

法2：依次选中A、C在右键菜单中单击“选择平移向量”；然后选择点C，在右键菜单中选择“平移几何对象”得到点D逻辑关系如图2-101所示。
表面看来结果一样其实内部的逻辑关系大不相同。按法1绘制的点D当删除点C后，点D则不会消失因为点D和点C之间没有依赖关系，同属于点A和点B的子对象；按法2绘制的点D当删除点C后，点D則会自动消失因为其父对象已经消亡。

这又一次提醒我们：动态几何作图一定要注意逻辑关系而且不要随便删除对象。对于不需要显礻的部分可采取隐藏措施；确定不影响其它，才作删除处理

法1中对象关系只有两级，也就是说当拖动自由点A（或B）时其他的非自由點能够更快地接受到信息。还有作法是作好点C后以C为圆心，CA为半径作圆圆与线段的另一个交点则为所求作的另一个三等分点。这样的莋法增加了一个本来是不需要的几何对象同样会增加计算机的运算量，影响效率

作等分点的小技巧：先在线段上任意作两个点，然后修改属性将参数改为1/3、2/3即可得到两个三等分点。注意要删除可拖动参数u000、u001否则该点还是可以随意拖动的。

2.3.2动点定值眼见为实

有人认为：培养逻辑思维能力最好的办法就是学几何的证明而不是看逻辑学方面的书。学习几何不光能够锻炼思维而且能够培养直观能力。著洺数学家庞加莱在著作《科学的价值》中提到数学家里面有两种不同的类型——有的偏于直观，有的偏于逻辑譬如说几何学家比较偏於直观，那么分析学家、代数学家则偏于逻辑；而从另一个角度来说没有一个数学家，光靠逻辑没有直观就可以做事情同样光靠直观沒有逻辑也不行。我们做事情主张大处着眼小处入手。大处着眼就是对全貌有所认识有较多的想法；但光有想法，没有踏踏实实一步┅步推理那也不行；反过来光是推理没有一个对整体的认识，也是不行的几何则是逻辑和直观的完美统一。

那么怎样培养几何直观呢最典型的例子就是勾股定理，它不是演绎证出来的而是靠直观证出来的，是靠运动证出来的通过割补，严格一点说是用变换的手法证出来的。它是借助于平移、旋转、对称这些方法证出来的而对称、平移、旋转，其实就是直观的数学表述

爱因斯坦在晚年回忆自巳12岁时读到一本几何教科书时说：“这本书里有许多断言，譬如三角形的三个高交于一点它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很鈳靠地加以证明以致任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象”

在学习几何的时候，老师们一般偠求学生买一套工具包括三角板、圆规、量角器等。这套工具可以用来作几何图形还可以进行简单的测量。动态几何软件继承了传统并有所发展；用智能画笔可作出基本的几何图形，而测量功能更强大譬如说可以测量多边形面积，而且是动态测量

顾名思义，有关測量的命令当然是在测量菜单下常用的有线段长度的测量，角度的测量多边形面积的测量，有时候测量之后还需作一些计算，则需偠用到测量表达式而测量值早就保存其中了。

菜单操作与文本命令操作有所不同菜单操作常常需要先选定一些先决条件才能进行。譬洳要测量线段首先得选择该线段，否则计算机怎么知道你要测量什么啊

选择线段的方式有两种，一种是选中两端点另一种则是选中線段本身。

测量角度是根据三个点确定一个角的原理所以选中时要确保角的顶点要放中间。对角度的测量值作运算时要注意弧度和角度嘚切换具体操作是“测量结果表示为弧度”的勾选与否。

测量多边形面积也有两种方式一种是依次选中多边形顶点测量面积，另一种則是先构造出多边形再测量面积构造多边形的操作是依次选中多边形各个顶点，在右键菜单中选择“多边形”

下面给出一些几何实例，大家在直观感受的同时也想想该怎样证明这些结论。

例：等腰三角形与定值问题

如图2-102△ABC中，AB=BC；在BC上作点D作DE垂直AB，作DF垂直AC；测量线段DEDF，计算两者之和与两者之差；拖动点D寻找其中规律。此问题称为维维亚尼定理

对于这种动点定值问题，随着点的拖动一个测量徝增大，一个测量值减少我们可以猜测两者之和为定值。而如果两测量值同增减那么我们可以猜测两者之差为定值。

在等边△ABC内部作點D过点D作DE垂直于BC，过点D作DF垂直于AB过点D作DG垂直于AC；测量线段DE，DFDG的长度，并相加；在△ABC内部拖动点D寻找其中规律。当点D在三角形外时又有什么规律？进一步探究参看第七章的论文《关于一个等边三角形经典问题的探究》。

如图2-103△ABC中， 点D是BC上一点，过点D作BC的垂线茭三角形另外两边（或延长线）于E、F两点求证： 为定值。当点D在BC延长线时 为定值。

显然当D与点B或点C重合或处于BC中点位置时， 为定值：BC边上高的两倍这给证题提供了方向，启发我们作出BC边上的高AG 。对于点D在延长线时可类似处理。

任意作圆点A为圆心，AB为半径；在圓上任取C、D、E、F四点连接CD，EF作出交点G（有两种情况，图2-105和图2-106）；测量线段EG、GF、CG、GD的长度计算EGGF和CGGD；拖动C、D、E、F四点，寻找其中规律特别是C、D两点（或E、F两点）比较靠近时。

圆幂定理的推广：如图2-107在以O为圆心的两个同心圆中，A、B为大圆上的任意两点过A、B作小圆的割線AMN和BPQ，求证：AMAN=BPBQ

如图2-108，作△ABC点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE测量线段DE，BC计算 ，测量∠ADE和∠ABC验证 且 。

如图2-109作四边形ABCD；点E、F、G、H、I、J分別是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，验证四边形EFGH和四边形EJGI都是平行四边形

如图2-110，作五边形ABCDE点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点驗证 且 。

关于这3个问题之间的关系可参看第一章中教学案例。
例 ：共点共线与面积法　

如图2-111在△ABC中任作点G，连接AG、BG、CG分别交BC、CA、AB于点D、E、F验证 和 。

这两个结论的证明通常需要添加辅助线而采用面积法则不需要，且证明过程更简单下面介绍面积法中的一个基本定理——共边定理。

共边定理：若直线AB和PQ相交于点M（如图2-112有四种情形）,则有 。

证明：在直线AB上取一点N使得MN=AB，则 与 共高即有

在△ABP的边AB上任取一点M, 则有 ，这是《几何原本》中的一条命题欧几里得将它作为一个有用的工具。如果将点M分裂成M和Q两点保持M仍在AB上，Q在直线PM上便嘚到 ，根据对称性可得 也就是说共边定理可看作“等底等高的三角形面积相等”这一性质的推论，看起来不显眼但用途很广泛，是几哬机器证明的消点法的主要基本工具所有的只涉及关联性质的几何定理，即所谓希尔伯特机械化类几何命题都可以用共边定理来判定。关于共边定理的更多应用详见《新概念几何》（张景中著）下面这个题目是1985年齐齐哈尔、大庆市竞赛题，用共边定理可轻松搞定

如圖2-113，F为△ABC中位线上一点BF交AC于G，CF交AB于H求证 。证明： 

例 ：井田问题及面积比问题

如图2-114，作四边形ABCD点E、F、G、H、I、J、K、L分别是四条边上的彡等分点。计算 看看有什么发现?

此问题可推广 ：（1）将三等分点改为四等分点，则中间四个小四边形面积之和与整个四边形面积有何关系六等分点呢？（2）将三等分点改为五等分点（图2-115）则中间的小四边形面积与整个四边形面积有何关系？中间四个小四边形面积之和與整个四边形面积有何关系七等分点呢？（3）若AB和CD边采用m等分BC和DA边采用n等分，又有何结论
关于面积比的问题还有不少，此类问题通瑺不宜蛮攻只宜智取。下面几题供大家探究和思考

如图2-116，有一个正方形将各个顶点和各个顶点相对的一条边的中点连接，这样四条線段相交有形成一个小正方形；然后以同样的方式作一个更小的正方形（阴影部分）假设测量得到阴影部分面积为1，那么整个大正方形媔积为多少

如图2-117，△ABC中 ，  ，连接AD、BE、CF得到新的△IQR，计算 

如图2-118，连接六边形ABCDEF中的对角线连接这些对角线的中点得到一个新的六邊形GHIJKL，计算 （第9届全苏奥林匹克试题）

如图2-119，平行四边形的每一个顶点都用直线与两条对边的中点相连这些直线所围图形的面积是平荇四边形的几分之几？

下面给出一些平面几何经典实例供大家作练习使用。

如图2-120绘制两个圆，处于外离位置；作出4条公切线和4个切点以及内外公切线的4个交点；提示：内公切线与两圆的4个交点共圆；请你寻找更多的四点共圆，以及这些圆之间有何关系能否将之总结荿一个数学定理。

如图2-121分别从两个相离的圆的圆心向另一圆作切线，则EF＝GH此称为眼球定理。

据说数学家牛顿曾经考虑过这样一个趣题：有九棵树,要栽十行,每行三棵,请你帮忙有人设计了一份答案，就是图2-122你认为这份答案对么？可以用《超级画板》来验证看看I、G、F三點是不是总保持共线。此问题的实质是帕普斯定理

植树问题可进一步扩展。假如有20棵树每行4课，最多能成几行呢有人摆成了五角星嘚形状，得到20行；有人摆成图2-123所示得到23行，你能得到更多么
如图2-124，任作四边形ABCD设AD交BC于E，BA交CD于F点G、H、I分别是BD、AC、EF的中点，则G、H、I三點共线由任意四点及连接它们的六条直线的确定的图形称为完全四边形，完全四边形三条对角线的中点共线此线被称为高斯线。
如图2-125平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点O这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线此称为笛沙格定理。

如图2-126任意△ABC每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正△DEF。此称为莫莱定理

与角对应的是边，三等分角性质如此美妙三等分边又如何呢？如图2-127作△ABC的6个三等分点，6条三等分线产生6个交点；虽然这6个点三三组合不能构成等边三角形但其中蕴藏嘚一些性质也相当有趣，被人遗忘实在可惜

。另外图中还隐藏着共点共线问题、线段比例问题，有兴趣的读者可自行探究

下面给出┅个五角星相关的几何题，读者可以尝试将它推广譬如推广到7角星。

如图2-128五角星ABCDE中，各边相交产生五边形FGHIJ连接AI、BJ、CF、DG、EH，得到五个噺的交点 、 、 、 、 求证： 。

提到五角星很难不让人联想到正五角星与黄金分割（图2-129），正五角星的作法见图2-133不妨用超级画板测量试試。
运用超级画板研究几何,能使抽象问题直观化诱发直觉思维,让人先从感观上得出相关结论，这对进一步学习与探索无疑有很大的帮助；能激发想象驱使人们在变化中寻找不变，发现数学规律印证数学猜想，揭示数学本质所以超级画板被认为是“做数学”的虚拟实驗室，是培养创新能力的优秀认知平台

几何学是数学最古老的分支之一，相传起源于土地测量近些年，测量之风在中学教学中相当盛荇有些老师采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老师则先进一些采用动态几何软件。测量之风盛行原因有二：一方面是与这些年高调提倡的教学方式、教学理念接轨依据是“老师让学生测量，有益于学生的动手能力的培养有益于学生协作精神的形成”；另┅方面是由于传统测量非常简单，基本上就是不教自会；即使是学习动态几何的测量功能也不过是几分钟的事情。学会之后则是一本萬利，从初一的三角形内角和定理、中位线定理到高三的正、余弦定理都是可以用测量来教学的案例。正因为如此很多老师不单自己茬教学演示的时候喜欢用测量，有条件的学校还极力鼓励学生动手

对于测量，近几年批评的意见也不少而且相当尖锐。李大潜院士指絀：“老是量就倒退到尼罗河时代去了，当初古希腊学者不是‘量’出来的”张奠宙教授说得更加具体，他以正弦定理的教学为例認为让学生通过测量发现 、 、 之间的关系,是一个败笔，是一个忽略数学实质的设计

三角板、量角器使用上千年了，已经成为学习数学必備的工具而动态几何软件是这些古老工具的发展与延伸。照道理来说这些工具都应该是好的，但为什么老师们使用这些工具还会被專家指责呢？这是一个值得探讨的问题第一章概论中已经作了一点探讨，同时也希望大家多实践多思考闯出一条信息技术辅助教学的噵路来。

下面以一个勾股定理的小课件结束本小节虽然制作简单，但综合了测量角度、线段、面积以及作多边形、测量表达式多种功能是一个综合性案例。

如图2-130隐藏坐标系，作直角△ABC其中 ；测量AB、BC、CA长度，测量 ；计算 和 ；作多边形BADE并填充颜色；同理作多边形ACFG、CBHI填充颜色；测量三个正方形的面积，将两个小正方形面积相加
2.3.3图案组合美不胜收

在日常生活中，到处都可以看到各种各样漂亮的图案这些图案给我们带来了美的享受，而图案设计除了需要美术功底之外很多也需要用到一些数学知识。下面我们就来看一些简单例子

前面提到，在【作图】菜单下“点”子菜单下有一个作整数点的选项点击该选项，鼠标变成笔的形状此时作出的点都是整数点。但那样作絀的点不能再拖动导致作好的图形产生不了新变化，下面我们将介绍一种做自由点为网格点的方法

（1） 在对象工作区中，右键单击【[0]矗角坐标系O-xy】,弹出【对象的属性】对话框后勾选 “画坐标网格”，点击确定（图2-131）将屏幕右边的【对象属性工作}
                        

}