如图.在边长为2个单位长度的正方形ABCD中.点O.E分别是AD.AB的中点.点F是以点O为圆心.OE长为半径的圆弧与DC的交点.点P是EF上的动点.连接OP并延长交直线BC于K．(1)当P从E点沿EF运动到F时.K运动了多少单位长度?(2)过点P作EF所在圆的切线.当该切线不与BC平行时.设它与射线AB.直线BC分别交于M.G.①当K与B重合时.BG:BM= 题目和参考答案——精英家教网——
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如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心，OE长为半径的圆弧与DC的交点，点P是EF上的动点，连接OP并延长交直线BC于K．（1）当P从E点沿EF运动到F时，K运动了多少单位长度？（2）过点P作EF所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于M、G，①当K与B重合时，BG：BM=？②在P运动过程中，是否存在BG：BM=3的情况？若存在，求出BK的值；若不存在说明理由．
（1）连接OE、OF，并延长OE、OF分别交直线BC于N、Q，当P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q；∵O、E分别为AD、AB的中点，∴OA=AE=BE=1，又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB，∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1，同理可得CQ=1；故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即点K运动了4个单位长度．（2）①当K、B重合时，∵MG与弧EF所在的圆相切，且切点为P，∴OB⊥MG，∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°，∴∠OBA=∠BGM，又∵∠MBG=∠OAB=90°，∴△OAB∽△MBG，得：BGBM=BAOA，由于BA=2OA，则BG：BM=2．②存在BG：BM=3的情况，理由如下：假设存在符合条件的P点，使得BG：BM=3，过K作KH⊥OA于H，则四边形ABKH为矩形，有KH=AB=2；∵MG与弧EF相切于点P，∴OK⊥MG，且垂足为P，∴∠1+∠2=90°；又∵∠G+∠2=90°，则∠1=∠G；∵∠OHK=∠GBM=90°，∴△OHK∽△MBG，∴OHHK=BMBG=13，∴OH=23，AH=BK=13；∴存在符合题意的K点，使得BG：BM=3；同理可得：在线段BC、CD以及CB的延长线上，存在这样的点K′、M″、G′，使得CK′=13，CG′：CM″=3；连接G′M″交AB于M′，则BG′：BM′=CG′：CM″=3；此时BK′=BC-K′C=2-13=53，即BK的值为13或53．
练习册系列答案
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB=2，求DC的长．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．（1）求证：AE平分∠CAB；（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时tanC的值．
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
如图，PA切⊙O于点A，PC过点O且于点B、C，若PA=6cm，PB=4cm，则⊙O的半径为______cm．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）．无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、大．（1）求证：AB是⊙O切线；（3）若∠B=30°，且AB=手3，求EC大的长（结果保留π）
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=3，∠ACB=30°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图1，已知⊙O和⊙O′都经过点A和点B，直线PQ切⊙O于点P，交⊙O′于点Q、M，交AB的延长线于点N．（1）求证：PN2=NM•NQ．（2）若M是PQ的中点，设MQ=x，MN=y，求证：x=3y．（3）若⊙O′不动，把⊙O向右或向左平移，分别得到图2、图3、图4，请你判断（直接写出判断结论，不需证明）：①（1）题结论是否仍然成立？②在图2中，（2）题结论是否仍然成立？在图3、图4中，若将（2）题条件改为：M是PN的中点，设MQ=x，MN=y，则x=3y的结论是否仍然成立？
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为S1，Ss，S3，…，Sn，则S12：S4的值等于______．
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请输入手机号如图.在边长为2个单位长度的正方形ABCD中.点O.E分别是AD.AB的中点.点F是以点O为圆心.OE长为半径的圆弧与DC的交点.点P是EF上的动点.连接OP并延长交直线BC于K．(1)当P从E点沿EF运动到F时.K运动了多少单位长度?(2)过点P作EF所在圆的切线.当该切线不与BC平行时.设它与射线AB.直线BC分别交于M.G.①当K与B重合时.BG:BM= 题目和参考答案——精英家教网——
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如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心，OE长为半径的圆弧与DC的交点，点P是上的动点，连接OP并延长交直线BC于K．（1）当P从E点沿运动到F时，K运动了多少单位长度？（2）过点P作所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于M、G，①当K与B重合时，BG：BM=？②在P运动过程中，是否存在BG：BM=3的情况？若存在，求出BK的值；若不存在说明理由．
分析：（1）当K是射线OE与直线BC的交点时，K运动到最左端，当K是射线OF与直线BC的交点时，K运动到最右端；所以可连接OE、OF，并延长其交直线BC于N、Q，可通过证△OAE≌△NBE，来求得BN的长，同理可求出CQ的长，那么K点运动的距离NQ的长即可求出．（2）①当K、B重合时，若MG与⊙O相切于P点，那么MG⊥BO于P，则可证得△OAB∽△MBG，那么BM：BG=OA：OB，OA、OB的长易求得，由此可得出BM：BG的值．②此题的解题思路同①，可过K作AD的垂线，设垂足为H，当M在线段AB上时，可通过证△MBG∽△OHK，得到BM：BG=OH：HK，HK的长即为正方形的边长2，若BM：BG=3，那么OH=，所以存在符合条件的K点，此时BK=OA-OH=；同理可求得在线段BC、CD以及CB的延长线上都存在符合条件的K、M、G点，解法同上．解答：解：（1）连接OE、OF，并延长OE、OF分别交直线BC于N、Q，当P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q；∵O、E分别为AD、AB的中点，∴OA=AE=BE=1，又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB，∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1，同理可得CQ=1；故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即点K运动了4个单位长度．（2）①当K、B重合时，∵MG与弧EF所在的圆相切，且切点为P，∴OB⊥MG，∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°，∴∠OBA=∠BGM，又∵∠MBG=∠OAB=90°，∴△OAB∽△MBG，得：，由于BA=2OA，则BG：BM=2．②存在BG：BM=3的情况，理由如下：假设存在符合条件的P点，使得BG：BM=3，过K作KH⊥OA于H，则四边形ABKH为矩形，有KH=AB=2；∵MG与弧EF相切于点P，∴OK⊥MG，且垂足为P，∴∠1+∠2=90°；又∵∠G+∠2=90°，则∠1=∠G；∵∠OHK=∠GBM=90°，∴△OHK∽△MBG，∴，∴OH=，AH=BK=；∴存在符合题意的K点，使得BG：BM=3；同理可得：在线段BC、CD以及CB的延长线上，存在这样的点K′、M″、G′，使得CK′=，CG′：CM″=3；连接G′M″交AB于M′，则BG′：BM′=CG′：CM″=3；此时BK′=BC-K′C=2-=，即BK的值为或．点评：此题考查了正方形的性质、切线的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质等知识，能够通过相似三角形将所求比例线段和已知线段发生联系，是解答此题的关键．
练习册系列答案
科目：初中数学
13、如图，在方格纸中将△ABC沿点B到点B′的方向平移到△A′B′C′的位置，若方格纸中小正方形的边长为1个单长度位，则平移的距离为
个单位长度．
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请输入手机号如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径_百度知道
如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径
画弧EF。P是弧EF上的一个动点，连结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作圆O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G。若BG比BM等于3，则BK等于
我有更好的答案
本题有两个答案：1/3，5/3,以P在圆弧左侧为例：先证OP⊥MG，△BHK相似于△BGM, ，△BHK相似于△HAO,然后利用比的一些性质得BK=1/3具体证明如下：解：∵正方形ABCD，边长为2，O为AD的中点
∴AO=1,∠ABC=90°
又∵O为圆心，OE为半径，直线MPG是圆O的切线
∴OP⊥MPG,
∴∠MPH=90°∴∠BHP+∠BMG=90°
在直角三角形BMG中，∠BGM+∠BMG=90°
∴∠BHP=∠BGM
又因为：∠HBK=∠GBM=90°=∠A
∴△BHK相似于△BGM，△BHK相似于△HAO
∴BG/BH=BM/BK
BK/AO=BH/AH
∴BG/BM=BH/BK=3,BH/BK=AH/AO=3
∴BH=1,BK=1/3
第二种情况：点P在圆弧右则时同样利用三角形相似，对应边成比例，再利用一些比的性质可得：BK=5/3
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22．(2016金华)四边形ABCD的对角线交于点E，有AE＝EC，BE＝ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．(1)利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．(2)如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB＝8．①连结OE，求△OBE的面积．②求弧AE的长．
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（2011o天河区一模）在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，如图①，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）当DE=10时，求证：DE与圆O相切；（2）求DE的最长距离和最短距离；（3）如图②，建立平面直角坐标系，当DE=10时，试求直线DE的解析式．
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证明：（1）如图1，连接OE，OD，由题意得，DE=DA=10，，OD为公共边∴△AOD≌△EOD（SSS）∴∠OED=∠OAD=90°∴OE⊥DE，∴DE与圆O相切．（2）当点E运动到与B点重合的位置时，如图2，DE为正方形ABCD的对角线，所以此时DE最长，有：2+AB2＝102，当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时，DE最短．证明如下：在半圆O上任取一个不与点E重合的点E′，连接OE′，DE′．如图3，在△ODE′中，∵OE′+DE′＞OD即：OE′+DE′＞OE+DE，∵OE′=OE，∴DE′＞DE∵点E′是任意一个不与点E重合的点，∴此时DE最短．∴2+AO2-OE＝102+52-5＝55-5，（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；如图4，当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥x轴，分别交AD，x轴于点G，H，连接OE．则四边形AFEG是矩形，连接OD，∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD，∴∠OED=90°，∴DE为圆O的切线∴∠FEG=∠OED=90°∴∠FEO=∠GED，又∵∠OFE=∠DGE=90°∴△OFE∽△DGE∴，设E（m，n），则有：EF=m，OF=OB-FB=5-n得：，解得：
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（1）如图1，连接OE，OD，由题意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，从可得∠OED=∠OAD=90°即可．（2）当点E运动到与B点重合的位置时，如图2，DE为正方形ABCD的对角线，所以此时DE最长，利用勾股定理求得DE，证明当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；如图4，当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥x轴，分别交AD，x轴于点G，H，连接OE．则四边形AFEG是矩形，且DE为圆O的切线，求证△OFE∽△DGE，利用其对应边成比例，设E（m，n），则有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可．
本题考点：
相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；切线的判定与性质．
考点点评：
此题涉及到的知识点较多，有相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，切线的判定与性质，综合性很强，是一道很典型的题目．
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