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高等数学(同济大学)课件下第9_3三重积分
,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,,机动目录上页下页返回结束,三重积分,第九章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,,,,,引例设在空间有限闭区域?内分布着某种不均匀的,物质,,求分布在?内的物质的,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法,质量M,密度函数为,机动目录上页下页返回结束,定义设,存在,,称为体积元素,,若对?作任意分割,任意取点,则称此极限为函数,在?上的三重积分,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似,性质,例如,下列“乘,中值定理,在有界闭域?上连续,,则存在,使得,V为?的,体积,,积和式”极限,机动目录上页下页返回结束,二、三重积分的计算,1利用直角坐标计算三重积分,方法1投影法“先一后二”,方法2截面法“先二后一”,方法3三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算,的密度函数,,方法,机动目录上页下页返回结束,方法1投影法“先一后二”,该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,,微元线密度≈,,机动目录上页下页返回结束,,,,方法2截面法“先二后一”,为底,DZ为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度≈,,机动目录上页下页返回结束,投影法,方法3三次积分法,设区域,利用投影法结果,,把二重积分化成二次积分即得,,,机动目录上页下页返回结束,当被积函数在积分域上变号时,因为,均为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算,,机动目录上页下页返回结束,小结三重积分的计算方法,方法1“先一后二”,方法2“先二后一”,方法3“三次积分”,具体计算时应根据,三种方法包含12种形式各有特点,,被积函数及积分域的特点灵活选择,机动目录上页下页返回结束,其中?为三个坐标,例1计算三重积分,所围成的闭区域,解,面及平面,,,,,机动目录上页下页返回结束,例2计算三重积分,解,用“先二后一”,,机动目录上页下页返回结束,,2利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标,,直角坐标与柱面坐标的关系,坐标面分别为,,圆柱面,,半平面,,平面,,,,,,,机动目录上页下页返回结束,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,,因此,其中,适用范围,1积分域表面用柱面坐标表示时方程简单,2被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离,机动目录上页下页返回结束,其中?为由,例3计算三重积分,所围,解在柱面坐标系下,及平面,柱面,,成半圆柱体,机动目录上页下页返回结束,例4计算三重积分,解在柱面坐标系下,所围成,与平面,其中?由抛物面,,原式,机动目录上页下页返回结束,,3利用球坐标计算三重积分,就称为点M的球坐标,直角坐标与球面坐标的关系,,,,,,,,坐标面分别为,,机动目录上页下页返回结束,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,,因此有,其中,适用范围,1积分域表面用球面坐标表示时方程简单,2被积函数用球面坐标表示时变量互相分离,,,,机动目录上页下页返回结束,例5计算三重积分,解在球面坐标系下,所围立体,其中?,与球面,,,机动目录上页下页返回结束,例6求曲面,所围立体体积,解由曲面方程可知,立体位于XOY面上部,,利用对称性,所求立体体积为,YOZ面对称,并与XOY面相切,,故在球坐标系下所围立体为,且关于XOZ,机动目录上页下页返回结束,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,说明,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式,对应雅可比行列式为,变量可分离,围成,机动目录上页下页返回结束,1将,用三次积分表示,,其中?由,所,提示,,思考与练习,六个平面,围成,,机动目录上页下页返回结束,2设,计算,提示利用对称性,原式,,,奇函数,机动目录上页下页返回结束,3设?由锥面,和球面,所围成,计算,提示,,利用对称性,,,用球坐标,,机动目录上页下页返回结束,作业,P,4,第四节目录上页下页返回结束,备用题1计算,所围成,其中?由,分析若用“先二后一”,则有,计算较繁,采用“三次积分”较好,机动目录上页下页返回结束,,所围,,故可,思考若被积函数为FY时,如何计算简便,表为,解,机动目录上页下页返回结束,2计算,其中,解,利用对称性,,,,机动目录上页下页返回结束,
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高等数学：第九章 重积分（2）三重积分的概念、应用，利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
三重积分的概念及其计算法
一、三重积分的定义
设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域
其中表示第个小区域,也表示它的体积。
在每个小区域上任取一点,
以记这个小区域直径的最大者,
则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作
其中叫体积元素。
自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。
二、三重积分的存在定理
若函数在区域上连续, 则三重积分存在。
特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。
三、三重积分的物理意义
如果表示某物体在处的质量密度,是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式 就是物体质量的近似值, 该和式当时的极限值就是该物体的质量。
特别地, 当时,
四、三重积分的计算法
假设积分区域的形状如下图所示
在面上的投影区域为, 过上任意一点, 作平行于轴的直线穿过内部, 与边界曲面相交不多于两点。
亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。
其中 , 在上连续, 并且 。
如何计算三重积分呢?
不妨先考虑特殊情况,则
一般情况下,类似地有
显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分, 因此,其结果应是的函数, 记
如上图所示, 区域可表示为
综上讨论, 若积分区域可表示成
这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量, 次对,最后对的三次积分。
如果平行于
轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域( )上的三重积分,当然各部分区域 () 应适合对区域的要求。
例如,求,其中为
将面将区域剖分成上下两个部分区域
【例1】计算, 其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。
解:(1)、画出立体的简图
(2)、找出立体在某坐标面上的投影区域并画出简图
在面上的投影区域为
(3)、确定另一积分变量的变化范围
在已知积分变量的变化范围为的情况下, 再确定另一积分变量的变化范围。
在内任取一点, 作一过此点且平行于轴的直线穿过区域, 则此直线与边界曲面的两交点之竖坐标即为的变化范围。
(4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分
1、柱面坐标
设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。
规定的取值范围是
柱面坐标系的三组坐标面分别为
,即以轴为轴的圆柱面；
,即过轴的半平面；
,即与面平行的平面。
点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式
用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为
这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有
(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标表示积分区域的方法
(1)、找出在面上的投影区域, 并用极坐标变量表示之；
(2)、在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )即为的变化范围。
【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式
球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。
由锥面与平面所围成的立体。
在面上的投影区域为 ,
其极坐标下的表示形式为
在的变化范围是
在面上的投影区域为
其极坐标下的表示形式为
在的变化范围是
【例2】用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。
二、利用球坐标计算三重积分
1、球面坐标
如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。
为原点到点的距离；
为有向线段与轴正向所成夹角；
为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面上的投影点。
规定的取值范围为
不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为
2、球面坐标系的特点
,是以原点为心的球面；
,是以原点为顶, 轴为轴的圆锥面；
,是过轴的半平面。
粗略地讲, 变量刻划点到原点的距离,即“远近”；
变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”；
变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。
3、三重积分在球面坐标系下的计算公式
用三组坐标面, , ,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量
所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为
这就是球面坐标系下的体积元素。
由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有
(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。
(4)式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。
4、积分区域的球面坐标表示法
积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。
实际中经常遇到的积分区域是这样的
是一包围原点的立体, 其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有
例如:若是球体
则的球坐标表示形式为
曲面的球坐标方程为
【例3】求曲面与曲面所围成的立体的体积。
解:的图形为
下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。
(1)、在面的投影区域包围原点,故变化范围应为；
(2)、在中可由轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为；
(3)、在 内任取一值, 作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为 及 。
也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。
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[PPT模板]高数三重积分
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··········
重积分的应用
微元法（元素法）
如果要求的量U： （ii）在D内任取一直径很小的闭区域dσ(dv)，相应的部分量可近似地表示为 ——量U的元素（微元）
（i）U对于有界闭区域D具有可加性； 通过三重积分可求空间区域Ω 的体积，物体的质量 1. 空间区域Ω 的体积
如果? (x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，Ω是该物体所占的空间闭区域， ?(x，y ， z)在Ω上连续. 2.
物体的质量 例如,通过二重积分可求曲顶柱体的体积、平面薄片的质量、平面区域的面积
求半径为a的球面与半顶角为? 的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。
设球面通过原点O，球心在 z 轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与 z 轴重合， 立体所占有的空间闭区域?可用不等式表示: O x y z 球面方程为 r = 2acos?， 锥面方程为? = ? 。 所以 O x y z 8.4.2
曲面的面积
1．平面有界闭区域在另一平面上投影的面积(如图) 即
2．曲面面积的计算方法 θ π2 π1 ? 为两平面的夹角。 (1)．设曲面的方程为： 如图， 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： (３)．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： (２)．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 例3
求半径为a的球的表面积。
因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。
取区域D1：x2+y2?b2(0<b<a)为积分区域，求出相应于D1上的球面面积A1后，再令b→a取A1的极限即可得到半球的面积。
所以整个球面的面积为A=4?a2。
Dxy y x o a b y x o y a x o D 解 y x o D y a x o 8.4.3
先讨论平面薄片的质心。
设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道: My、Mx叫质点系对于坐标轴的静力距。
D x O y y x
先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d?，它的质量元素为
这个部分d?对于x轴以及对于y轴的静力距元素为
以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得 D x O y y x
如果薄片是均匀的，即当?(x,y)为常量时，可得到如下的质心坐标： D x O y y x
这时薄片的质心完全由闭区域D的形状决定，这样求得的质心又称为平面薄片的形心。 例6
求位于两圆r =2sin? 和r = 4sin? 之间的均匀薄片的质心(如图)。
由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A=3?。 4 o 2 x y
再利用极坐标计算积分 D 4 o 2 x y 例 计算 解： 所以 O
1 y 反过来，也可利用静力矩、形心概念求形如
当然，这需形心、面积易知。 类的积分。 例7
求均匀半球体的质心。
取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上。 ? ：x2+ y2+ z2 ? a2，z ? 0 z x y o a 质心为
先讨论平面薄片的转动惯量。
设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道: Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转动惯量。
设有一平面薄片占有平面闭区域D, 在点(x,y)处具有连续面密度?=?(x,y)，下面利用元素法求该平面薄片对两坐标轴的转动惯量。 D x O y y x
先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d?，它的质量元素为
这个部分d?对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素为
D x O y y x
以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得
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