高数2练习题-博泰典藏网
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高数2练习题
导读：题型1、选择题（5小题，共15分）2、填空题（5小题，共15分）3、计算题（7小题，共56分）4、应用题（2小题，共14分）一、选择题1、设函数z?xy，则A.0B.1?z?y?()(e,1）1C.eD.e2、若函数f?x,y?在点?x0,y0?处可微，则在该点下列结论中不一定成立的是()A、连续B、偏导数存在C、偏导数连续D、切平面存在3、平面2x?3y?题型 1、选择题（5 小题，共15分） 2、填空题（5小题，共15分） 3、计算题（7小题，共56 分） 4、应用题（2 小题，共14 分）
一、选择题 1、设函数z?xy，则A.0
D. e 2、若函数f?x,y?在点?x0,y0?处可微，则在该点下列结论中不一定成立的是(
B、偏导数存在
C、偏导数连续
D、切平面存在 3、平面2x?3y?4z?4?0与2x?3y?4z?2?0的位置关系是
A.相交且垂直
B.相交但不重合
D.重合 4、下列级数发散的是(
B. 3n?1???12n(?1)n
D.? ?n3n?1n?13n?13nn?5、函数z?xy在(0,0)处(
) A．有极小值
B．有极大值
D. 有最大值 6、设c是一非零向量，?是一实数，若______则a?b（a,b均为向量）．
D.a?c?b?c且a?c?b?c 7、交换积分?dx?011?x0f(x,y)dy的秩序等于
) 11?x001?y
A.?1?x01dy?f(x,y)dx
B.?dy?011001f(x,y)dx f(x,y)dx L C.?dy?f(x,y)dx
D.?dy?008、设L是从点(0,0)沿折线y?1?x?1至点(2,0)的折线段，则积分?xdy?ydx等于(
9、下列级数中发散的是
） ???3n1n1
D、? 23n?1nn?1n?1n?1n?1nn?1?10、下列级数中条件收敛的是
???(?1)n(?1)n?ncos(n?1)?1!（A）?
（D）? 2n?1n?1n?11?nn?1n(n?1)n?1n?1???????11、若a,b为两非零向量，则a?b?0是a与b同向的（
） A.充要条件
B.必要条件
C.充分条件
D.既非充分也非必要条件 12、函数z?2x2?y2在(0,0)处（
） A、 不连续
B、 偏导数不存在
任一方向的方向导数存在
D、可微 13、交换积分次序后，?dx?1elnx0f(x,y)dy?（
） 1eee0e0eA.?dy?01eyef(x,y)dx B.?dy?f(x,y)dx C.?dy?yf(x,y)dx D.?dy?yf(x,y)dx 00ee14、已知?x?ay?dx?ydy为某函数的全微分，则a等于（
） ?x?y?2A、
D、2 x?1yz?2??16、设直线L：及平面?：?2x?3y?2z?1?0，则直线L 12?2于平面?的位置关系是直线L（
A.在平面?上
B. 平行于平面?
C. 垂直于平面?
D. 与平面?斜交 x17、设函数f(x,y)?arctan，则fy?(2,1)=（
） yA. 2112
、函数z?xy?xy在点P(1,1)使其方向导数取得最大值的单位方向向量是（
19、 交换二次积分?dx?1elnx02222i?j
D. ?i?j 2222f(x,y)dy的次序为（
） eeA.?dy?01eyef(x,y)dx
B.?dy?f(x,y)dx
00ee0eC.?dy?yf(x,y)dx
D.?dy?yf(x,y)dx
0e1e20、下列级数中绝对收敛的级数是（
A.?(?1)n?1?n?1???2n1n?1n?11
D.?(?1)n?1 2nnn2?1n?1n?1n?1二、填空题 1、函数z?4?x2?y2?1x?y?122的定义域
. 2、设u?2xy?z2，则u在点?2,?1,1?处的方向导数的最大值为
. ??x?y?z?1?03、直线?的一个方向向量s?
___. ?2x?y?3z?4?04、已知L表示x2?y2?a2(a?0)在第一象限内的部分，求?xyds?
___. L5、把?dx?024?x20f?x2?y2?dy化为极坐标下的二次积分为 _______. ?x?y?2z?6?06、过原点且与直线?垂直的平面方程为_____________．
2x?y?3z?5?0?7、由方程x?y?ez?1所确定的函数z(x,y)全微分dz?_____________. 8、设函数u?x2?y2?z2，则div(gradu)? _ ____________.． x2y2??1，其周长为a，则?(xy?7x2?4y2)ds=
. 9、设L为椭圆L4710、设a为常数若级数，?(un?a)收敛，则limun?______________________． n?0x???11、级数?(?1)n?1?n?1xn的收敛域为________________． n?12、z=y2lnx, 则zxx=_____________________ 13、函数z=ln?x?y?x的定义域_____________________ 14、设u?zx，则 duy?1,1,,1??________________ ??15、当K?___________时，向量a??1,?1,0?,b??K,?1,3? 相互垂直. 16、求??x?y?ds=_____，其中L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段. L17、设L为y?x上从点O(0,0)到A(1,1)之间的曲线段，则?xds?
_ L218、若L是平行于y轴的有向线段则?p(x,y)dx?________ L19、过点(1,0,?1)且与平面2x?y?z?4平行的平面方程为
20、设z3?xz2?y2?2确定函数z?f(x,y)，则三、计算题 1、求过点(2,?1,3)且与直线x?1yz?2??垂直相交的直线方程. ?102?z?xx?0y?1=
2、已知f具有一阶连续偏导，设z?f(sin(xy),x2?y2),求?z?z,. ?x?y3、计算??x2ydxdy，其中D是由y?x,y?x2所围成的闭区域. D4、验证下列积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值： ?微分. 6、将函数y?(2,1)(1,0)(2xy?y4?5)dx?(x2?4xy3)dy. 5、求由xyz?x2?y2?z2?2所确定的隐函数z?z(x,y)在点?1,0,?1?处的全1展开成x的幂级数，其中x?(?1,1). (2?x)2?n17、判定级数?(?1)ln(1?)是绝对收敛还是条件收敛. nn?18、已知曲面z?1?x2?y2 上的点P处的切平面平行于平面 2x?2y?z?1 ，求点P处的切平面方程. 9、设z??1?xy? ，求zxy??. y10、计算??Dx?1?y?1?2dxdy,其中D是由曲线y2?x与直线y?x?2所围成. 11、验证：在整个平面内，xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数． 12、已知曲线积分?xy2dx?yf(x)dy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，L且f(0)?0，求?(1,1)(0,0)xy2dx?yf(x)dy的值. 13、计算曲线积分I???x2?y?dx??x?sin2y?dy，其中L是半圆周y?2x?x2上从LO(0,0)到A(1,1)的有向弧段. 14、将下列函数展开为x的幂级数. （1） f(x)?(1?x)ex，（2）f(x)?x． （3）1?2xf(x)?ln(3?2x) 15、在曲线x?t,y?t2,z?t3上求一点，使该点的切线平行于平面x?2y?z?4.并求此切线方程. t，求16、设z?tan(3t?2x2?y),x?1t,y?dz。 dt17、设函数z?z(x,y)由方程x2?y2?z?ez所确定,求?z?z,. ?x?y18、计算二重积分??ln(1?x2?y2)d?,D:x2?y2?1,y?0,x?0 。 D?2z19、 已知z?arcsin(xy)，求全微分dz及。 ?x?y20、验证?(x?y)(xdx?ydy)与路径无关，并计算?L22（?2，?1）（?1，0）(x2?y2)(xdx?ydy)。 21、在球面x2?y2?z2?44的下半球面上求一点，使这点处的法线与直线 ?x?y?2z?1?0 平行，并写出该法线的方程。 ?2x?y?z?3?0?222设z?yf(x,2x?y)，其中f具有连续的偏导数，求?z?z, ?x?y23、计算2x??yd?，其中D是曲线y?x,y?1所围成区域 Dx3?ysiny)dy，其中L为摆线24、计算曲线积分I??(xy?3e)dx?(3L2xA(2?,0)到点O(0,0)的一段曲线弧。 x?t?sint,y?1?co上从点ts(x?1)n25、 求幂级数?的收敛域. nn?2n?1?四、应用题 1、利用重积分计算曲面z?8?x2?y2及z?x2?y2所围成的立体的体积. 2、求抛物线y?x2上的点到直线x?y?2?0的最短距离. 1、在平面xoy上求一点，使它到x?0,y?0及x?2y?16?0三直线的距离平方之和为最小. 2、计算由曲面z?x2?y2与z?x2?y2所围成的立体的体积. 3、某公司通过电台及报纸做某商品的销售广告，据统计，销售收入R(万元)与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)的函数关系为： R(x,y)?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2，求 （1）求不限广告费时的最优广告策略，即求使得利润最大的电台和报纸的广告费（营销成本）； （2）求在仅用1.5万元做广告时的最优广告策略. x2y2z22、 在椭球面2?2?2?1内作内接长方体, 求当内接长方体的长、宽、abc高为多少时长方体体积最大？ 4、质量均匀分布的直角三角形薄片，两直角边长分别为a,b,试求这三角形对其中任一条直角边的转动惯量。 5、经过点（1，1，1）的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围成立体体积最小，并求此最小体积。
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相关内容搜索第二十章 曲线积分与曲面积分 南京廖华
第二十章 曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
第一型曲线积分与曲面积分
1．对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2．计算下列第一型曲线积分： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) ??L(x2?y2)ds，其中L是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； ???Lx2?y2ds，其中L是圆周x2?y2?ax； xyzds，其中L为螺线x?acost,y?asint,z?bt(0?a?b),0?t?2?； (x2?y2?z2)ds，其中L与(3)相同； (x?y)ds，其中L为内摆线x?y?a； L??Ly2ds，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost),0?t?2?； xyds，其中L为球面x2?y2?z2?a2与平面x?y?z?0的交线； L?(xy?yz?zx)ds，其中L同(7)； L?Lxyzds，其中L是曲线x?t,y?L212t3,z?t2(0?t?1)； 32(10) ?2y2?z2ds，其中L是x2?y2?z2?a2与x?y相交的圆周． 3．计算下列第一型曲面积分： (1) 2222x?y?z?1的边界曲面； (x?y)dSS，其中是立体??S(2) (3) (4) dS222S，其中为柱面被平面z?0和z?H所截取的部分； x?y?R22??x?yS??|xS2S3y2z|dS，其中S为曲面z?x2?y2被z?1割下的部分； ??zdS，其中S为螺旋面的一部分： 222222S(x?y)dS，是球面． x?y?z?R??Sx?ucosv,y?usinv,z?v
(0?u?a,0?v??2；) (5) 4．设曲线L的方程为 ， x?etcost,y?etsint,z?et
(0?t?t0)它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量． 5．设有一质量分布不均匀的半圆弧x?rcos?,y?rsin?(0????)，其线密度??a?(a为常数)，求它对原点(0，0)处质量为m的质点的引力． 6．求螺线的一支L：x?acost,y?asint,z?ht(0?t?2?)对x轴的转动惯量2?I??(y2?z2)ds．设此螺线的线密度是均匀的． L7．求抛物面壳z?12(x?y2)，0?z?1的质量．设此壳的密度??z． 28．计算球面三角形x2?y2?z2?a2，x?0,y?0,z?0的围线的重心坐标．设线密度??1． 9．求均匀球壳x2?y2?z2?a2(z?0)对z轴的转动惯量． 10．求均匀球面z?a2?x2?y2(x?0,y?0,x?y?a)的重心坐标． 11．若曲线以极坐标给出：???(?)(?1????2)，试给出计算并用此公式计算下列曲线积分： (1) (2) ?Lf(x,y)ds的公式，??Lex2?y2ds，其中L是曲线??a(0????4)； Lxds，其中L是对数螺线??aek?(k?0)在圆r?a内的部分． 12．求密度???0的截圆锥面x?rcos?,y?rsin?,z?r(0???2?,0?b?r?a)对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当b?0时，结果如何？ 13．计算F(t)???f(x,y,z)dS，其中S是一平面x?y?z?t，而 S?x?y?z,
当x?y?z?1,f(x,y,z)??. 222??
当x?y?z?1.
第二型曲线积分与曲面积分
1．计算下列第二型曲线积分： (1) ?(2a?y)dx?dy，其中L为摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost),(0?t?2?)沿tL增加的方向； (2) ?xdx?ydy222L，其中为圆周依逆时针方向； dsx?y?a?Lx2?y2(3) (4) (5) (6) ?Lxdx?ydy?zdz，其中L为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy，L为y?x2从(1,1)到(-1,1)； ydx?xdy?(x2?y2)dz，L为曲线x?et,y?e?t,z?at从(1,1,0)到(e,e?1,a)； 2?L?L?(xL?y2)dx?(x2?y2)dy，L为以A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1)为顶点的正方形沿逆时针方向． 2．计算曲线积分 ?L的方向为逆时针方向； L(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz． (1) L为球面三角形x2?y2?z2?1，x?0,y?0,z?0的边界线，从球的外测看去，(2) L是球面x2?y2?z2?a2和柱面x2?y2?ax(a?0)的交线位于Oxy平面上方的部分，从x轴上(b,0,0)(b?a)点看去，L是顺时针方向． 3．求闭曲线L上的第二型曲线积分 ??Lydx?xdy， x2?y2222(1) L为圆x?y?a，逆时针方向； x2y2(2) L为椭圆2?2?1，顺时针方向； ab(3) L为以(0,0)为中心，边长为a，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向； (4) L是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向． 4．求力场F对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线L从A点运动到B点： (1) F?(x?2xy,y?2xy)，L为平面曲线y?x，A(0,0),B(1,1)； (2) F?(x?y,xy)，L为平面曲线y?1?|1?x|，A(0,0),B(2,0)； 23(3) F?(x?y,y?z,z?x)，L的矢量形式为r(t)?ti?tj?tk，A(0,0,0),B(1,1,1)； ) F?(y,z,x)，L的参数式为x??cost,y??sint,z??t（?,?,?为正数），A(?,0,0),B(?,0,2??)． 5．设P,Q,R在L上连续，L为光滑弧段，弧长为l，证明： |?Pdx?Qdy?Rdz|?Ml． L其中M?max(x,y,z)?L?P2?Q2?R2． ?6．设光滑闭曲线L在光滑曲面S上，S的方程为z?f(x,y)，曲线L在Oxy平面上的投影曲线为l，函数P(x,y,z)在L上连续，证明：
?P(x,y,z)dx? ?P(x,y,f(x,y))dx． Ll7．计算I??Lxyzdz，其中L：x2?y2?z2?1与y?z相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限． 8．计算下列第二型曲面积分： (1) ??y(x?z)dydz?xdzdx?(yS22?xz)dxdy，其中S为x?y?z?0，x?y?z?a六个平面所围的正立方体的外测； (2) ??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy，其中S是以原点为中心，边长为2的S正立方体表面的外测； x2y2z2(3) ??yzdzdx，S为2?2?2?1的上半部分的上测； abcS(4) 外测； (5) 22Szdxdy?xdydz?ydzdx，为柱面x?y?1被平面z?0及z?3所截部分的??S??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，S是由平面x?y?z?0和x?y?z?1所围的四S3332222Sxdydz?ydzdx?zdxdy，为球面的外测； x?y?z?a??S2222222Sxdydz?ydzdx?zdxdy，是球面的外测． (x?a)?(y?b)?(z?c)?R??S面体表面的外测； (6) (7) 9．设某流体的流速为v?(k,y,0)，求单位时间内从球面x?y?z?4的内部流过球面的流量． 10．设流体的流速为v?(xy,0,zx)，求穿过柱面x?y?a(?h?z?h)外测的流量． 55x222222
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第一类曲线积分的计算问题设L是正方形边界：|x|+|y|=a(a＞0),则I=∫(L)xyds=?我知道由于其对称性I=0,但是如果分段计算,在第一象限,I=4∫(0 a)x(a-x)√(1+1^2)dx=4√2∫(0 a)(ax-x^2)dx=4√2(a^3/6)=(2√2/3)a^3为什么结果不一样,请问我哪儿错了?
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扫描下载二维码y2在xOy面上的投影Dxy为圆域x2
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第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&第九章曲线积分与曲面积分&&&&习题9-11计算下列对弧长的曲线积分：（1）I?&&&&?&&&&L&&&&xds，其中L是圆x2?y2?1中A(0,1)到B(&&&&11,?)之间的一段劣弧；22&&&&解:L的参数方程为：AB&&&&x?cos?,y?sin?(?&&&&?&&&&2&&&&?&&&&4&&&&?&&&&?&&&&2&&&&y&&&&)，于是&&&&A&&&&I?cos?(?sin?)2?cos2?d?&&&&?4&&&&CoB&&&&x&&&&?cos?d(1?&&&&2&&&&?&&&&12&&&&?4&&&&)．&&&&（2）&&&&&&&&L&&&&(x?y?1)ds，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0)及B(0,1)所成三角形的边界；&&&&yB(0,1)&&&&解:L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有&&&&&&&&L&&&&(x?y?1)ds(x?y?1)ds(x?y?1)ds(x?y?1)ds，&&&&OAABBO&&&&o&&&&A(1,0)&&&&x&&&&由于OA:y?0，0?x?1，于是&&&&ds?(&&&&故&&&&dx2dy2)?()dx?12?02dx?dx，dxdx&&&&10&&&&?&&&&OA&&&&(x?y?1)ds(x?0?1)dx?&&&&3，2&&&&而AB:y?1?x,0?x?1，于是&&&&ds?(&&&&故&&&&dx2dy2)?()dx?12?(?1)2dx?2dx．dxdx&&&&?&&&&AB&&&&(x?y?1)ds[x?(1?x)?1]2dx?22，&&&&0&&&&1&&&&同理可知BO:x?0（0?y?1）ds?(，&&&&dx2dy2)?()dy?02?12dy?dy，则dydy&&&&1&&&&?&&&&综上所述&&&&BO&&&&(x?y?1)ds[0?y?1]dy?&&&&0&&&&3．2&&&&&&&&L&&&&(x?y?1)ds?&&&&33?223?22．22&&&&1&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&（3）解&&&&&&&&L&&&&x2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?x；&&&&y&&&&L1&&&&1&&&&直接化为定积分．L1的参数方程为&&&&x?&&&&且&&&&111?cos?,y?sin?（0?2?）,2221d?．2&&&&o&&&&L&&&&x&&&&ds?[x?(?)]2?[y?(?)]2d&&&&于是&&&&&&&&（4）&&&&L&&&&x2?y2ds&&&&2?&&&&0&&&&cos&&&&?1&&&&?d2．22&&&&?&&&&L&&&&x2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),&&&&D(1,2,3)；&&&&解如图所示，&&&&L&&&&z&&&&?&&&&x2yzds&&&&AB&&&&x2yzds&&&&BC&&&&x2yzds&&&&CD&&&&x2yzds．&&&&B(0,0,2)C(1,0,2)&&&&D(1,2,3)&&&&线段AB的参数方程为x?0,y?0,z?2t(0?t?1)，则&&&&ds?(&&&&dx2dy2dz2)?()?()dtdtdt&&&&A(0,0,0)&&&&x&&&&y&&&&?02?02?22dt?2dt，&&&&故&&&&?&&&&AB&&&&x2yzds?&&&&?&&&&10&&&&0?0?2t?2dt?0．&&&&线段BC的参数方程为x?t,y?0,z?2(0?t?1)，则&&&&ds?12?02?02dt?dt,&&&&故&&&&1&&&&?&&&&BC&&&&x2yzdst2?0?2?dt?0，&&&&0&&&&线段CD的参数方程为x?1,y?2t,z?2?t&&&&(0?t?1)，则&&&&ds?02?22?12dt?5dt，&&&&故&&&&2&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&?&&&&所以&&&&CD&&&&x2yzds12?2t?(2?t)?5dt?25?(2t?t2)dt?&&&&00&&&&1&&&&1&&&&85，3&&&&?&&&&（5）解&&&&L&&&&x2yzds&&&&AB&&&&x2yzds&&&&BC&&&&x2yzds&&&&CD&&&&x2yzds?&&&&85．3&&&&&&&&L&&&&x2ds，L为球面x2?y2?z2?1与平面x?y?z?0的交线。&&&&z&&&&先将曲线L用参数方程表示，由于L是球面&&&&x2?y2?z2?1与经过球心的平面x?y?z?0的交线，如图所示，&&&&因此是空间一个半径为1的圆周，它在xOy平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去z而得到，即以z(x?y)代入&&&&oxy&&&&x2?y2?z2?1有x2?xy?y2?&&&&数方程，令&&&&1，将其化为参2&&&&312x1x?cost，即x?cost，?y?sint，即有23222&&&&y?&&&&得z&&&&11sint?cost，代入x2?y2?z2?1（或x?y?z?0中）26&&&&16cost，从而L的参数方程为&&&&12x?&&&&sint?&&&&21111cost，y?sint?cost，zsint?cost(0?t?2?)．32626ds?[x?(t)]2?[y?(t)]2?[z?(t)]2dt&&&&?22costsint2sintcost2sint?(?)?(?)dt?dt,32662&&&&则&&&&所以&&&&&&&&L&&&&x2ds&&&&2?&&&&0&&&&222?2cos2tdtcos2tdt．0333&&&&2设一段曲线y?lnx(0?a?x?b)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解依题意曲线的线密度为x2，故所求质量为Mx2ds，其中&&&&L&&&&L:y?lnx(0?a?x?b)．则L的参数方程为?x?x(0?a?x?b)，y?lnx&&&&故&&&&3&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&11?dy?ds?1?dx?1?2dx?1?x2dx，dx?xx?&&&&所以&&&&2&&&&M&&&&b&&&&a&&&&333x2111?x2dx?[(1?x2)2]b?[(1?b2)2?(1?a2)2]．ax33&&&&3求八分之一球面x?y?z?1(x?0,y?0,z?0)的边界曲线的重心，设曲线的密&&&&222&&&&度1。解设曲线在xOy,yOz,zOx坐标平面内的弧段分别为L1、L2、L3，曲线的重心坐标为&&&&?x,y,z?，则曲线的质量为M?&&&&x?y?z?1M&&&&L1?L2?L3&&&&L1?L2?L3&&&&ds?3?ds?3?&&&&L1&&&&2?3?．由对称性可得重心坐标?42&&&&&&&&xds?&&&&1M&&&&xds&&&&L1&&&&L2&&&&xdsxds&&&&L3&&&&?&&&&1?x?444故所求重心坐标为?,,?3?3?3?&&&&02&&&&1M2?M?&&&&2xds?0xdsM?xds&&&&L1L3L1&&&&?&&&&1&&&&xdx&&&&?&&&&24．?M3?．?&&&&习题9.2&&&&1设L为xOy面内一直线y?b（b为常数），证明&&&&?Q(x,y)dy?0。&&&&L&&&&证明：设L是直线y?b上从点(a1,b)到点(a2,b)的一段，其参数方程可视为&&&&y?y(x)?b，a1?x?a2）（，&&&&于是&&&&?&&&&L&&&&Q(x,y)dyQ(x,b)?0?dx?0。&&&&a1&&&&a2&&&&2计算下列对坐标的曲线积分：&&&&4&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&（1）&&&&?&&&&L&&&&xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧。&&&&22&&&&解将曲线L的方程y?x视为以y为参数的参数方程x?y，其中参数y从?1变到&&&&1。因此&&&&?&&&&（2）&&&&L&&&&xydxy2y(y2)?dy?2?y4dy?&&&&?1?1&&&&1&&&&1&&&&4。5&&&&?&&&&L&&&&(x2?y2)dx?(x2?y2)dy，其中L是曲线y?1?1?x从对应于x?0时的点到&&&&x?2时的点的一段弧；&&&&解&&&&y&&&&L1&&&&o&&&&1&&&&L2&&&&2&&&&x&&&&L1的方程为y?x(0?x?1)，则有&&&&?&&&&?&&&&L2&&&&L1&&&&(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?&&&&?&&&&10&&&&2x2dx?&&&&2．3&&&&L2的方程为y?2?x(1?x?2)，则&&&&(x2?y2)dx?(x2?y2)dy&&&&22&&&&[x2?(2?x)2]dx[x2?(2?x)2]?(?1)dx&&&&11&&&&&&&&所以&&&&21&&&&2(2?x)2dx?&&&&2．34．3&&&&?&&&&（3）解&&&&L&&&&(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?&&&&?&&&&L&&&&ydx?xdy,L是从点A(?a,0)沿上半圆周x2?y2?a2到点B(a,0)的一段弧；&&&&y&&&&A(?a,0)o&&&&B(a,0)&&&&x&&&&利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:x?acos?,y?asin?，在起点A(?a,0)处&&&&5&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&参数值取?，在终点B(a,0)处参数值相应取0，故?从?到0．则&&&&?&&&&L&&&&ydx?xdyasin?d(acos?)?acos?d(asin?)=a2?cos2?d0．&&&&&&&&0&&&&0&&&&（4）?xy2dy?x2ydx，其中L沿右半圆x2?y2?a2以点A(0,a)为起点，经过点C(a,0)&&&&L&&&&到终点B(0,?a)的路径；解利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:x?acos?,y?asin?，在起点A(0,a)处参数值取&&&&?&&&&2&&&&，在终点B(0,?a)处参数值相应取?&&&&?&&&&?&&&&2&&&&，则&&&&?&&&&L&&&&xy2dy?x2ydx?2acos(asin?)2d(asin?)?(acos?)2asin?d(acos?)&&&&2?&&&&?&&&&?2a42sin2?cos2?d?&&&&2&&&&?&&&&?&&&&4&&&&a4。&&&&（5）&&&&?&&&&L&&&&x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L为从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB；xyz321&&&&解直线AB的方程为&&&&化成参数方程得&&&&x?3t，y?2t，z?t，t从1变到0。&&&&所以&&&&0&&&&?&&&&L&&&&x3dx?3zy2dy?x2ydz[(3t)3?3?3t(2t)2?2?(3t)2?2t]dt&&&&1&&&&?87?t3dt&&&&1&&&&0&&&&87。4&&&&（6）I?&&&&?x2?y2?1,且从z轴(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，L为椭圆周Lx?y?z?2,&&&&正方向看去，L取顺时针方向。解L的参数方程为&&&&x?cost，y?sint，z?2?cost?sint，t从2?变到0，I(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz?&&&&L&&&&(3cos2t?sin2t?2sint?2cost)dt2?。&&&&2?&&&&0&&&&6&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&3设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x1,y1,z1)沿直线移到&&&&(x2,y2,z2)时重力所作的功。&&&&解因为力&&&&F?(0,0,mg)&&&&所以&&&&Wmgdz?mg(z2?z1)。&&&&z1&&&&z2&&&&习题9.3&&&&1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:&&&&?x?acos3t,(1)星形线?3?y?asint,&&&&(0?t?2?)；）&&&&?113232解Axdy?ydx4?2[acost?3asintcost?asint3acost(?sint)]dt?L022&&&&?6a&&&&2&&&&?&&&&?&&&&20&&&&[costsint?sintcost]dt?6a&&&&42422&&&&2&&&&?&&&&?&&&&20&&&&3cos2tsin2tdta2。8&&&&(2)圆x?y?2by，b?0）（；&&&&2&&&&解设圆的参数方程为x?bcost,y?b?bsint,t从0变到2?.那么&&&&A?&&&&112?xdy?ydx?[bcost?bcost?(b?bsint)b(?sint)]dt?2?L202?1?b2(1?sint)dtb2。02&&&&222222&&&&（3）双纽线(x?y)?a(x?y)，b?0）（。解把双纽线的参数方程代入到公式A?2利用格林公式计算下列曲线积分:(1)方向；解设闭曲线L所围成闭区域为D，这里&&&&12?xdy?ydx即可求得所要求的面积a。2?L&&&&&&&&L&&&&(y?x)dx?(3x?y)dy，其中L是圆(x?1)2?(y?4)2?9，方向是逆时针&&&&P?y?x，Q?3x?y，&&&&由格林公式，得&&&&?Q?P?3，?1，?x?y&&&&7&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&?&&&&L&&&&(y?x)dx?(3x?y)dy?(3?1)dxdy&&&&D&&&&?2dxdy?18?。&&&&D&&&&(2)&&&&L&&&&ydx?(3siny?x)dy，其中L是依次连接A(?1,0),B(2,1),C(1,0)三点的折线&&&&?Q?P?1?12，且线段CA:y?0，?x?y&&&&段，方向是顺时针方向。解令P(x,y)?y，Q(x,y)?3siny?x，则&&&&x由1变化到-1，故有&&&&?&&&&?&&&&L&&&&ydx?(3siny?x)dyydx?(3siny?x)dyydx?(3siny?x)dy&&&&CA&&&&y&&&&B(2,1)&&&&ABCA&&&&A(?1,0)&&&&?1&&&&o&&&&C(1,0)&&&&x&&&&(?2)dxdy0?dx?2dxdy?2．&&&&D1D&&&&其中D为ABCA所围成的闭区域．(3)&&&&?(e&&&&L&&&&x&&&&siny?my)dx?(excosy?m)dy，其中m为常数，L为圆x2?y2?2ax&&&&上从点A(2a,0)到点O(0,0)的有向上半圆。解如右图所示，设从点O到点A的有向直线段的方程为&&&&OA:y?0，x从0变到2a。&&&&则OA与曲线L构成一闭曲线，设它所围成闭区域为D，令&&&&y&&&&P?exsiny?my，Q?excosy?m，?Q?P?excosy，?excosy?m，?x?y&&&&由格林公式，得&&&&0(0,0)&&&&o&&&&A(2a,0)&&&&x&&&&&&&&L?OA&&&&(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy?mdxdy&&&&D&&&&?mdxdy?&&&&D&&&&1m?a2。2&&&&而&&&&?&&&&故&&&&OA&&&&(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy[(exsin0?m?0)?(excos0?m)?0]dx&&&&0&&&&2a&&&&?0，&&&&8&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&?(e&&&&L&&&&x&&&&siny?my)dx?(excosy?m)dy?&&&&L?OA&&&&(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy&&&&(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy&&&&OA&&&&?&&&&(4)&&&&11m?a2?0?m?a2。22&&&&&&&&xdy?ydx22，其中L为椭圆4x?y?1，取逆时针方向；Lx2?y2&&&&?yx?P?Qy2?x2，(x,y)?2，则当(x,y)?(0,0)时，?，Q?2x2?y2x?y2?y?x(x?y2)2&&&&y&&&&解令P(x,y)?&&&&但积分曲线L所围区域包含点(0,0)，P(x,y),Q(x,y)在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点(0,0)去掉，为此作半径足够小的圆C:x2?y22，使C位于L的内部，如图右所示．C的参数方程为&&&&co&&&&?&&&&x&&&&xcos?，ysin?，[0,2?]，C取逆时针方向．于是xdy?ydxxdy?ydx?222?L?Cx?y2?x?yxdy?ydx，x2?y2&&&&&&&&L&&&&&&&&C?&&&&其中C?表示C的负方向．由格林公式则有xdy?ydx?L?C?x2?y2?0?dxdy?0，?D其中D为L与C所围成的闭区域．故xdy?ydxxdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2?C?x2?y2Cx2?y2?&&&&d2?．&&&&02?&&&&2?&&&&0&&&&?cos?d(?sin?)sin?d(?cos?)?2cos2?2sin2?&&&&(5)&&&&&&&&?u?u2222其中u(x,y)?x?y，L为圆周x?y?6x取逆时针方向，是ds，L?n?n&&&&?u?uu?其中?,?是在曲线L上点?cos(n,x)?cos(n,y)?2xcos2ycos?，?n?x?y&&&&L&&&&u沿L的外法线方向导数。&&&&解由于&&&&(x,y)处的切线的方向角，故&&&&?uds(2xcos2ycos?)ds．根据两类曲线积分之间的n&&&&联系及格林公式，有?u?L?ndsL(?2ycos2xcos?)dsL(?2y)dx?2xdy?4dxdy．?D因为L为圆周x2?y2?6x，所以L所围成的圆的面积9?，因此&&&&9&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&&&&&L&&&&?uds?4dxdy?436?。?nD&&&&3证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值:(1)&&&&?&&&&(2,1)&&&&(0,0)&&&&(2x?y)dx?(x?2y)dy；?P?Q在整个?1y?x&&&&解令P?2x?y，Q?x?2y，则&&&&y&&&&xOy面内恒成立，因此，曲线积分?&&&&(2,1)&&&&(0,0)&&&&(2x?y)dx?(x?2y)dy&&&&O&&&&B(2,1)&&&&在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有&&&&A(2,0)&&&&x&&&&?&&&&(2,1)&&&&(0,0)&&&&(2x?y)dx?(x?2y)dy&&&&AB1&&&&(2x?y)dx?(x?2y)dy(2x?y)dx?(x?2y)dy&&&&OA2&&&&[(2x?0)?(x?2?0)?0]dx[(2?2?y)?0?(2?2y)]dy&&&&00&&&&?4?1?5。&&&&(2)&&&&?&&&&(x,y)&&&&(0,0)&&&&(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy；&&&&22&&&&解令P?2xcosy?ysinx，Q?2ycosx?xsiny，&&&&y&&&&?P?Q则在整个xOy面内恒成立，因2(ysinx?xsiny)y?x&&&&此，&&&&B(x,y)&&&&?&&&&(x,y)&&&&(0,0)&&&&(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy在整&&&&O&&&&A(x,0)&&&&x&&&&个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有&&&&?&&&&(x,y)&&&&(0,0)&&&&(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy&&&&(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy&&&&OA&&&&(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy&&&&ABx&&&&[(2xcos0?02sinx)?(2?0?cosx?x2sin0)?0]dx&&&&0&&&&[(2xcosy?y2sinx)?0?(2ycosx?x2siny)]dy&&&&0&&&&y&&&&10&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&2xdx(2ycosx?x2siny)dy&&&&00&&&&x&&&&y&&&&?x2?(y2cosx?x2cosy?x2)?x2cosy?y2cosx。&&&&（3）&&&&?&&&&(1,2)&&&&(2,1)&&&&?(x)dx(y)dy，其中?(x)和?(y)为连续函数。&&&&?P?Q在整个xOy面内恒成立，因此，曲线?0y?x&&&&解令P(x)，Q(y)，则&&&&积分&&&&?&&&&(1,2)&&&&(2,1)&&&&?(x)dx(y)dy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图&&&&y&&&&所示的积分路径，则有&&&&?&&&&(1,2)&&&&C(1,2)&&&&(2,1)&&&&?(x)dx(y)dy&&&&BC&&&&?(x)dx(y)dy?(x)dx(y)dy&&&&AB1&&&&B(1,1)&&&&O&&&&A(2,1)&&&&x&&&&?(x)dx?(y)dy。&&&&21&&&&2&&&&4验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xOy面内为某一函数u(x,y)的全微分，并求出这样的一个u(x,y)：（1）(2x?siny)dx?xcosydy；解令P?2x?siny，Q?xcosy&&&&y&&&&B(x,y)?&&&&?Q?P?cosy，?cosy?x?y&&&&∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取&&&&O&&&&?A(x,0)&&&&x&&&&(x0,y0)?(0,0)，u(x,y)&&&&(x,y)(0,0)&&&&2&&&&Pdx?Qdy=?2xdxxcosydy=x2?xsiny&&&&00&&&&222&&&&x&&&&y&&&&（2）(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy；解因为P?x?2xy?y，Q?x?2xy?y，所以&&&&2222&&&&?Q?P在整个?2x?2yx?y&&&&xOy面内恒成立，因此，在整个xOy面内，(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy是某一&&&&函数u(x,y)的全微分，即有&&&&(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy?du。&&&&11&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&于是就有&&&&?u?x2?2xy?y2?x?u?x2?2xy?y2?y&&&&由（4）式得&&&&（4）&&&&（5）&&&&1u(x,y)(x2?2xy?y2)dx?x3?x2y?xy2(y)3&&&&将（6）式代入（5）式，得&&&&（6）&&&&x2?2xy?(y)?x2?2xy?y2&&&&比较（7）式两边，得&&&&（7）&&&&(y)y2&&&&于是&&&&?(y)y3?C&&&&13&&&&（其中C是任意常数）&&&&代入（6）式便得所求的函数为&&&&11u(x,y)?x3?x2y?xy2?y3?C。33&&&&（3）ex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy。解令P(x,y)?ex(1?siny)，Q(x,y)?(ex?2siny)cosy，则在全平面上有&&&&?Q?Pexcosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，?x?yex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy&&&&是全微分．下面用两种方法来求原函数：解法1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10&&&&y&&&&所示，可取定点O(0,0)，动点A(x,0)与M(x,y)，于是原函数为&&&&M(x,y)&&&&u(x,y)&&&&(x,y)&&&&(0,0)&&&&ex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy．&&&&o&&&&A(x,0)x&&&&取路径:OA?AM，得&&&&u(x,y)ex(1?0)dx(ex?2siny)cosydy?ex?1?exsiny?sin2y．&&&&00&&&&x&&&&y&&&&解法2&&&&从定义出发，设原函数为u(x,y)，则有&&&&?u?P(x,y)?ex(1?siny)，两边对x积?x&&&&分（y此时看作参数），得&&&&12&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&u(x,y)?ex(1?siny)?g(y)&&&&待定函数g(y)作为对x积分时的任意常数，上式两边对y求偏导，又&&&&（*）&&&&?u?Q(x,y)，于是?y&&&&excosy?g?(y)?(ex?2siny)cosy，&&&&即g?(y)?2sinycosy，从而g(y)?sin2y?C（C为任意常数），代入（*）式，得原函数u(x,y)?ex?exsiny?sin2y?C．&&&&5可微函数f(x,y)应满足什么条件时，曲线积分&&&&?&&&&与路径无关？&&&&L&&&&f(x,y)(ydx?xdy)&&&&解令P?yf(x,y)，Q?xf(x,y)，则&&&&?P?Q?f(x,y)?yfy(x,y)，?f(x,y)?xfx(x,y)。?y?x&&&&当&&&&?P?Q，即f(x,y)?yfy(x,y)?f(x,y)?xfx(x,y)或yfy(x,y)?xfx(x,y)在整个y?x&&&&L&&&&xOy面内恒成立时，曲线积分?f(x,y)(ydx?xdy)在整个xOy面内与路径无关。&&&&习题9.4&&&&1当?为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分&&&&f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系?&&&&?&&&&答当?为xOy面内的一个闭区域D时，?在xOy面上的投影就是D，于是有&&&&f(x,y,z)dS＝f(x,y,0)dxdy。&&&&?D&&&&2计算曲面积分（1）锥面z?解锥面z?&&&&(x&&&&?&&&&2&&&&?y)dS，其中?是&&&&2&&&&x2?y2及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面；x2?y2与平面z?1的交线为x2?y2?1，即锥面在xOy面上的投影区&&&&22&&&&域为圆域Dxy?(x,y)x?y?1。而&&&&?&&&&?&&&&13&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&?zx&&&&xx?y&&&&222&&&&，&&&&?zy&&&&2&&&&yx?y2&&&&2&&&&，&&&&x2y2z?z?1?1?2?2?2，x?y2x?y2x?y?&&&&因此&&&&(x&&&&?&&&&2&&&&?y2)dS?2(x2?y2)dxdy?1?(x2?y2)dxdy&&&&DxyDxy&&&&?(2?1)(x2?y2)dxdy?(2?1)?dr2rdr&&&&Dxy&&&&2?&&&&1&&&&0&&&&0&&&&1?(2?1)?。2&&&&?z?y（2）yOz面上的直线段?(0?z?1)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。?x?0&&&&解旋转曲面为z?x2?y2(0?z?1)，故&&&&dS?1?(&&&&?z2?zxy)?()2dxdy?1?()2?()2dxdy?2dxdy，2222?x?yx?yx?y&&&&所以&&&&(x&&&&?&&&&2&&&&?y2)dS?2(x2?y2)dxdy，&&&&Dxy&&&&其中Dxy(x,y)|x2?y2?1?是?在xOy坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是&&&&(x&&&&?&&&&2&&&&?y2)dS?2?dr2?rdr?&&&&00&&&&2?&&&&1&&&&2?。2&&&&3计算下列曲面积分:(1)&&&&dS，其中?是抛物面在xOy面上方的部分：z?2?(x&&&&?22&&&&2&&&&?y2),z?0；&&&&解抛物面z?2?(x?y)在xOy面上方的部分在xOy面上的投影Dxy为圆域&&&&x2?y2?2,&&&&?z?z2x,2y,故?x?y&&&&dS?&&&&?Dxy&&&&1?(?2x)2?(?2y)2dxdy?1?4(x2?y2)dxdy&&&&Dxy&&&&14&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&d&&&&0&&&&2π&&&&2&&&&0&&&&1?4r2rdr?&&&&13π.3&&&&2&&&&(2)&&&&(x?y?z)dS，其中?是上半球面x&&&&?&&&&?y2?z2?a2,z?0；&&&&解上半球面z?&&&&a2?x2?y2在xOy面上的投影Dxy为圆域x2?y2?a2,&&&&?z?x?z?y,?,?222?y2?xa?x?ya?x2?y2dS?1?(?z2?z)?()2dxdy?x?y?y?a2?x2?y2&&&&2&&&&x?1?a2?x2?y2?&&&&?a?dxdy?,故2?a?x2?y2?&&&&2&&&&(x?y?z)dSx?y?&&&&?Dxy&&&&2πa00&&&&a2?x2?y2&&&&?&&&&aa?x2?y2&&&&2&&&&dxdy&&&&drcosrsin1?r2&&&&?&&&&?&&&&a1?r2&&&&rdr.&&&&22πa?r(cossin?)a?dr?dr0021?r&&&&?a?(cossin?)d&&&&0&&&&2π&&&&a&&&&r21?r2&&&&0&&&&dr?a?drdr&&&&00&&&&2π&&&&a&&&&?0?πa3?πa3.&&&&（3）(x?&&&&?&&&&3yzxyz?)dS，其中?为平面?1在第一卦限的部分；22234xy?)，则23&&&&z&&&&解&&&&将曲面的方程改写为?:z?4(1?&&&&?z?z42,，从而?x?y3?z?z61dS?1?()2?()2dxdy?dxdy，?x?y3?在xOy上的投影区域为Dxy?{(x,y)|0?x?2,0?y?3?I?(x?&&&&?&&&&ox&&&&Dxy&&&&y&&&&图9－12&&&&3x},故2&&&&3yz3xy61?)dS?[x?y?2(1)]dxdy222233Dxy&&&&?&&&&3?3xdx00(2?6y)dy?6．3&&&&15&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&（4）&&&&x&&&&?&&&&2&&&&1dS，其中?是柱面x2?y2?R2被平面z?0、z?H所截得的部分.2?y&&&&解&&&&将曲面?分成丙个曲面:?1:x?R2?y2和?2:xR2?y2，?1、?2在yOz&&&&面上的投影区域都为Dyz?{(y,z)?R?y?R,0?z?H},先算&&&&x&&&&?1&&&&2&&&&1dS.由于?y2&&&&?xy&&&&从而&&&&?yR?y&&&&22&&&&,&&&&?x?0，?z&&&&dS?1?(&&&&?x2?x2?y)?()dydz?1?()2?02dydz22?y?zR?ydydz，&&&&?&&&&RR?y2&&&&2&&&&H11R1R1πH.dS?2?dydzdy?dz?x2?y22222?R0RRRR?yR?y?1Dyz&&&&同理可求得&&&&x&&&&?2&&&&2&&&&1πHdS?.2?yR&&&&所以&&&&x&&&&?&&&&2&&&&1112πHdS?2dS?2dS?.222?yx?yx?yR?1?2&&&&12(x?y2)（0?z?1）的质量，此壳的密度为z。2122解在抛物面壳z?(x?y)（0?z?1）上取一小块微小曲面dS,其质量dm?zdS2整个抛物面壳的质量为m?zdS.?在xOy面上的投影Dxy为圆域&&&&4求抛物面壳z?&&&&?&&&&x2?y2?2,&&&&?z?z?x,?y,故?x?y&&&&1m?zdS?(x2?y2)1?(x2?y2)dxdy2?Dxy&&&&?&&&&212π2π23?0d01?rrdr?15(63?1).2&&&&16&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&习题9.5&&&&1当?为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分&&&&R(x,y,z)dxdy与二重积分有什么关系?&&&&?&&&&答当?为xOy面内的一个闭区域时,?的方程为z?0。若?在xOy面上的投影区域为Dxy，那么&&&&R(x,y,z)dxdyR(x,y,0)dxdy，&&&&?Dxy&&&&当?取上侧时，上式右端取正号;当?取下侧时，上式右端取负号。2计算下列对坐标的曲面积分:(1)&&&&(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy，其中?是以坐标原点为中心，边长为2的&&&&?&&&&立方体整个表面的外侧；解把?分成下面六个部分:&&&&?1:z?1(?1?x?1,?1?y?1)的上侧；?2:z1(x?1,0?1?y?1)的下侧；?3:x?1(?1?y?1,?1?z?1)的前侧；?4:x1(?1?y?1,?1?z?1)的后侧；?5:y?1(?1?x?1,?1?z?1)的右侧；?6:y1(?1?x?1,?1?z?1)的左侧.&&&&因为除?3、?4处,其余四片曲面在yOz面上的投影都为零,故有&&&&(x?y)dydz?(x?y)dydz?(x?y)dydz&&&&3?4&&&&?(1+y)dydz?(-1+y)dydz&&&&DyzDyz&&&&?4?(?4)?8；&&&&同理可得&&&&(y?z)dzdx?8；(z?x)dxdy?8.&&&&&&&&17&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&于是所求的曲面积分为&&&&(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy?24.&&&&?&&&&1（2）(z2?x)dydz?zdxdy，其中?为旋转抛物面z?(x2?y2)介于z?0,z?2之间部2?&&&&分的下侧。解由两类曲面积分之间的联系，可得&&&&(z&&&&?&&&&2&&&&?x)dydz?(z2?x)cos?dS?(z2?x)&&&&&&&&cos?dxdy，cos?&&&&在曲面?上，有&&&&cos&&&&故&&&&x1?x?y&&&&22&&&&,cos&&&&?11?x2?y2&&&&。&&&&(z&&&&?&&&&2&&&&?x)dydz?zdxdy?[(z2?x)(?x)?z]dxdy。&&&&?&&&&再依对坐标的曲面积分的计算方法，得&&&&(z&&&&?&&&&2&&&&211?x)dydz?zdxdyx2?y2x(?x)x2?y2dxdy。2Dxy4&&&&注意到&&&&Dxy&&&&4x?x&&&&1&&&&2&&&&?y2?dxdy?0，&&&&2&&&&故&&&&(z&&&&?&&&&2&&&&2π2?11x)dydz?zdxdyx2x2?y2dxdyd2cos2?2d8π。0022?Dxy?&&&&（3）&&&&xdydz?ydxdz?zdxdy，其中?为x&&&&?&&&&2&&&&?y2?z2?a2，z?0的上侧；&&&&222&&&&解?在yOz面上的投影为半圆域y2?z2?a2，z?0，xa?y?z&&&&&&&&?&&&&xdydz=D&&&&=2&&&&yz&&&&a2?y2?z2dydz?(?&&&&Dyz&&&&?a2?x2?y2dydz)&&&&?&&&&a&&&&&&&&Dyz&&&&a2?y2?z2dydz=2?d&&&&0&&&&0&&&&2a2?r2rdra33&&&&由对称性&&&&&&&&&&&&?&&&&2ydxdz=?a3，而?在xoy面上的投影为x2?y2?a2，故3&&&&?&&&&zdxdy?a?x?ydxdy?&&&&222Dxy&&&&x2?y2?a2&&&&&&&&2?a3a?x?ydxdy?3&&&&222&&&&18&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&2?a32?a32?a3?2?a3。所以，原式＝333&&&&（4）&&&&?xydydz?yzdxdz?zxdxdy，其中?是由平面x?0，y?0，z?0，&&&&?&&&&x?y?z?1所围成的四面体的表面的外侧。&&&&解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以?1取下侧，?2取后侧，?3取左侧，?4取上侧。于是&&&&?xydydz?yzdxdz?zxdxdy&&&&?&&&&?xydydz?yzdxdz?zxdxdy&&&&?1&&&&z&&&&?4?3?2o&&&&x&&&&?xydydz?yzdxdz?zxdxdy&&&&?2&&&&?xydydz?yzdxdz?zxdxdy&&&&?3&&&&?1&&&&y&&&&?xydydz?yzdxdz?zxdxdy&&&&?4&&&&0?dxdy?0?dydz?0?dzdx&&&&DxyDyzDzx&&&&?x(1?x?y)dxdy?y(1?z?y)dydz?z(1?x?z)dzdx&&&&DxyDyzDzx&&&&由于Dxy，Dyz和Dzx都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故&&&&?xydydz?yzdxdz?zxdxdy?3x(1?x?y)dxdy?3?xdx?&&&&1&&&&1?x&&&&?&&&&Dxy&&&&0&&&&0&&&&1(1?x?y)dy?。8&&&&3把对坐标的曲面积分&&&&P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy&&&&?&&&&化成对面积的曲面积分，这里?为平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧。解平面?的上侧的法向量为n?(3,2,23)，其方向余弦是&&&&322cos,cos,cos3,555&&&&于是&&&&P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy&&&&?&&&&?[P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cos?]dS&&&&?&&&&19&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&3223?[P(x,y,z)?Q(x,y,z)?R(x,y,z)]dS55?5&&&&习题9.6&&&&1利用高斯公式计算下列曲面积分：（1）其中?(x?y)dxdy?x(y?z)dydz，?为柱面x&&&&?2&&&&?y2?1及平面z?0及z?3所&&&&围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧。《高等数学》P170例1）（解这里P?x(y?z)，Q?0，R?x?y，由高斯公式得&&&&?(x?y)dxdy?x(y?z)dydz(?xyz)dxdydz&&&&39(y?z)dxdydzdrdr?(rsinz)dz?。&&&&?P&&&&?Q&&&&?R&&&&（2）&&&&?(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy，其中?为曲面z?&&&&?&&&&x2?y2及平面&&&&z?0、z?h(h?0)所围成的空间区域的整个边界的外侧。&&&&解这里P?y?z，Q?z?x，R?x?y，用高斯公式来计算，得&&&&z&&&&?(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy&&&&?&&&&z?h&&&&Pdydz?Qdzdx?Rdxdy&&&&?&&&&?P?Q?R()dv(0?0?0)dv?0，?x?y?z&&&&其中?是曲面z?x2?y2及平面z?h(h?0)所围成的空间闭区域．&&&&o&&&&x&&&&y&&&&（3）&&&&(x&&&&?&&&&2&&&&cosy2cosz2cos?)dS，其中?为锥面x2?y2?z2介于平面&&&&z?0、z?h(h?0)之间的部分的下侧，cos?、cos?、cos?是?在点(x,y,z)处的法&&&&向量的方向余弦。解这里P?x2，Q?y2，R?z2，由高斯公式得&&&&(x&&&&?&&&&2&&&&cosy2cosz2cos?)dS(&&&&?&&&&?P?Q?R)dxdydz?x?y?z&&&&20&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&2?hh&&&&?2?(x?y?z)dxdydz?2?drdr?(rcosrsinz)dzh4。&&&&?000&&&&2利用高斯公式计算三重积分&&&&?(xy?yz?zx)dxdydz，&&&&?&&&&其中?是由x?0，y?0，0?z?1及x?y?1所&&&&22&&&&z&&&&确定的空间闭区域。解如下图所示，?的边界由闭曲面&&&&?2&&&&?12345&&&&所围成，取?的外侧。令P?Q?R?xyz,那么由高斯公式得&&&&?4&&&&?3&&&&?5&&&&?(xy?yz?zx)dxdydz&&&&?&&&&O&&&&?1&&&&y&&&&xyzdydz?xyzdzdx?xyzdxdy。&&&&?1?2?3&&&&x&&&&?xyzdydz?xyzdydz?xyzdydz?xyzdydz?xyzdydz?xyzdydz&&&&?4?5&&&&在yOz面上，只有?3和?5的投影面积不为零，其它都为零。故&&&&xyzdydz?xyzdydz?xyzdydz?0，&&&&?1?2?4&&&&而&&&&xyzdydz?0?yzdydz?0，&&&&?3Dyz&&&&xyzdydz?&&&&?5Dyz&&&&?&&&&1?y2yzdydz&&&&?&&&&1&&&&0&&&&?&&&&1?y2y?zdz?&&&&0&&&&?&&&&1&&&&1，6&&&&故&&&&?xyzdydz?6。&&&&?&&&&1&&&&同理可得所以&&&&?xyzdzdx?6，?xyzdxdy?8。&&&&&&&&1&&&&1&&&&?(xy?yz?zx)dxdydz?6?6?3?24。&&&&?&&&&1&&&&1&&&&1&&&&11&&&&3利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：&&&&21&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&（1）&&&&&&&&L&&&&(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz，其中L为平面x?y?z?1与三个&&&&坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面x?y?z?1上侧的法向量之间符合右手规则；解由斯托克斯公式得&&&&&&&&L&&&&(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz&&&&?(2y?2z)dydz?(2z?2x)dzdx?(2x?2y)dxdy&&&&?&&&&其中?是平面x?y?z?1(x?0,y?0,z?0)，取上侧。由曲面积分的计算法，得&&&&(2y?2z)dydz?(2y?2z)dydzdy?&&&&?Dyz0&&&&1&&&&1?y&&&&0&&&&(2y?2z)dz?0，&&&&(2z?2x)dzdx?(2z?2x)dzdxdz?&&&&?Dzx01?Dxy0&&&&1&&&&1?z&&&&0&&&&(2z?2x)dx?0，(2x?2y)dy?0，&&&&(2x?2y)dxdy?(2x?2y)dxdydx?&&&&故&&&&1?x&&&&0&&&&&&&&（2）&&&&L&&&&(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?0。&&&&&&&&L&&&&(z?y)dx?(x?z)dy?(y?x)dz，其中L为以点A(a,0,0)、B(0,a,0)、&&&&C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA的方向。&&&&解由斯托克斯公式得&&&&&&&&L&&&&(z?y)dx?(x?z)dy?(y?x)dz&&&&?2dydz?2dzdx?2dxdy&&&&?&&&&其中?是平面x?y?z?a(x?0,y?0,z?0)，取上侧。由曲面积分的计算法，得&&&&2dydz?2dydz?2?2a&&&&?Dyz&&&&1&&&&2&&&&?a2，&&&&2dzdx?2dzdx?2?2a&&&&?Dzx&&&&1&&&&2&&&&?a2，&&&&2dxdy?2dxdy?2?2a&&&&?Dxy&&&&1&&&&2&&&&?a2，&&&&故&&&&&&&&L&&&&(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?3a2。&&&&22&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&习题9.7&&&&1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。）解法1设球面方程为x2?y2?z2?a2，定直径选在z轴，依题意，球面上点P(x,y,z)&&&&的密度为?(x,y,z)?x2?y2，从而球面的质量为M?(x2?y2)dS．由对称性可知&&&&?&&&&M?(x?y)dS?2(x?y2)dS，&&&&2221&&&&其中?1为上半球面z?a2?x2?y2，&&&&?z?x?z?y，，故2222?x?ya?x?ya?x2?y2?ya?x?y&&&&222&&&&dS?1?(&&&&?xa?x?y&&&&222&&&&)2?(&&&&)2dxdy?&&&&aa?x2?y2&&&&2&&&&dxdy，&&&&其中Dxy?{(x,y)|x2?y2?a2}是?1在xOy坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得&&&&M?(x2?y2)dS?2a?d&&&&?0&&&&2?&&&&a&&&&r2a2?r2&&&&0&&&&?rdr=4?a?&&&&a&&&&r3a2?r2&&&&0&&&&dr，&&&&?&&&&a&&&&r3a2?r2&&&&0&&&&dr是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得&&&&?&&&&故&&&&a&&&&r3a2?r2&&&&0&&&&dr?&&&&2a3，3&&&&M?4?a?&&&&解法2&&&&a&&&&r3a2?r2&&&&0&&&&dr?&&&&8?a4。3&&&&设球面方程为x2?y2?z2?a2，定直径在z轴上，依题意得球面上点P(x,y,z)&&&&的密度为?(x,y,z)?x2?y2，从而得球面的质量为M?(x2?y2)dS，由轮换对称性可知：&&&&?&&&&xdS?ydS?zdS，故有&&&&222?&&&&M?&&&&2228?a4．(x2?y2?z2)dS?a2?dS?a2?4?a2?3333&&&&x2设某流体的流速为v?(yz,zx,xy)，求单位时间内从圆柱?：?y?a（0?z?h）&&&&222&&&&23&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&的内部流向外侧的流量（通量）。解通量&&&&yzdydz?zxdzdx?xydxdy0dxdydz?0。&&&&&&&&3求向量场v?(x?yz,y?zx,z?xy)的散度。&&&&222&&&&解这里P?x2?yz,Q?y2?zx,R?z2?xy，故&&&&divv?&&&&?P?Q?R?2(x?y?z)。?x?y?z&&&&4求向量场Ayi?xj?ck（c为常数）沿有向闭曲线L:?正向看L依逆时针方向）的环流量。解设所求的环流量Q,则&&&&?x2?y2?1,（从z轴的?z?0,&&&&Q(?y)dx?xdy?cdz?&&&&L&&&&其中L的参数方程为&&&&?x?cost,?L:?y?sint,(0?t?2?),?z?0,?&&&&于是&&&&Q(?y)dx?xdy?cdz(sin2t?cos2t)dt?2?。?&&&&L0&&&&2?&&&&复习题A&&&&一、选择题1．设L是从原点O(0,0)沿折线y?x?1?1至点A(2,0)的折线段,则曲线积分&&&&?&&&&L&&&&?ydx?xdy等于（&&&&A．0．&&&&C&&&&）．B．?1．C．2．D．?2．）．&&&&2．若微分(xy3)dx?(cx2y2?)dy为全微分，则c等于（B&&&&24&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&A．0．&&&&B．6．&&&&C．?6．&&&&D．?2．D）．&&&&3．空间曲线L:x?etcost,y?etsint,z?et(0?t?1)的弧长等于（A．1．B．2．C．3．&&&&D．3(e?1)．&&&&4．设?为上半球面z?2?x2?y2，?1为?在第一卦限的部分，则下列等式正确的是（D）．&&&&1&&&&A．dS?dS．C．dS?3dS．&&&&1&&&&B．dS?2dS．&&&&1&&&&D．dS?4dS．&&&&1&&&&5．设?为球面x2?y2?z2?a2的外侧，则积分zdxdy等于（A&&&&?&&&&）．C．1．D．&&&&A．2&&&&2&&&&x?y?a&&&&&&&&2&&&&a2?x2?y2dxdy．B．?2&&&&22&&&&x?y?a&&&&&&&&2&&&&a2?x2?y2dxdy．&&&&2&&&&0．&&&&二、填空题1．设曲线L为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?),则?(x2?y2)2009ds?2?a4019．&&&&L&&&&2．设L为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分?(2xy?2x)dx?(x2?4y)dy?0．?&&&&L&&&&3．设?是以原点为球心,R为半径的球面,则?&&&&?&&&&1dS?4?．x?y2?z2&&&&2?&&&&4．设?为球面x2?y2?z2?a2的下半部分的下侧,则曲面积分zdxdy?5．向量场&&&&23?a．3&&&&A?(y2?z2)i?(z2?x2)j?(x2?y2)k&&&&的旋度rotA?(2y?2z)i?(2z?2x)j?(2x?2y)k．三、计算题1．计算?yds其中L为抛物线y2?x和直线x?1所围成的闭曲线；?&&&&L&&&&解&&&&设L?L1?L2，其中L1:x?y2(?1?y?1)，L2:x?1(?1?y?1)，于是&&&&&&&&L&&&&ydsydsydsy1?4y2dyydy?0。&&&&L1L2?1?1&&&&1&&&&1&&&&2．计算?xy2dy?x2ydx,其中L为右半圆x2?y2?a2以点A(0,a)为起点,点B(0,?a)为终&&&&L&&&&25&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&点的一段有向弧；解法１设曲线L的参数方程为&&&&x?acost,y?asint，其中t从&&&&故&&&&?&&&&2&&&&变到?&&&&?&&&&2&&&&，&&&&?&&&&L&&&&xy2dy?x2ydx?2[acost?a2sin2t?acost?a2cos2t?asint(?asint)]dt&&&&2&&&&?&&&&?&&&&?12a4?2?sin2tcos2tdt?a4。?42&&&&解法2&&&&作有向线段BA，其方程为&&&&BA:x?0，其中y从?a变到a，&&&&则有向曲线L与有向线段BA构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为D，由格林公式，有&&&&?a1xy2dy?x2ydx?(x2?y2)dxdy2?dr2rdra4，?L?BA0?42D&&&&即&&&&?&&&&而&&&&L&&&&1xy2dy?x2ydxxy2dy?x2ydxa4，BA4&&&&?&&&&故&&&&BA&&&&xy2dy?x2ydx(0?y2?02?y?0)dy?0，&&&&?a&&&&a&&&&?&&&&?&&&&L&&&&1xy2dy?x2ydx?a4。4&&&&3．计算xyzdS,其中?为平面x?y?z?1在第一卦限中的部分；解将曲面?投影到xOy面上，得投影区域为Dxy?{(x,y)x?y?1,x?0,y?0}，此时曲面方程可表示为&&&&z?1?x?y，&&&&于是&&&&dS?1?(?1)2?(?1)2dxdy?3dxdy，&&&&xyzdS?xy(1?x?y)&&&&?Dxy&&&&3dxdy?3?dx?&&&&0&&&&1&&&&1?x&&&&0&&&&xy(1?x?y)dy?&&&&3。120&&&&26&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&4.计算yzdzdx,其中?是球面x2?y2?z2?1的上半部分并取外侧；&&&&?&&&&解作有向曲面?1:z?0(x2?y2?1)，并取下侧，设两曲面?和?1所围成的闭区域为?，由高斯公式，得&&&&yzdzdxyzdzdx?yzdzdxzdxdydz?0?4。&&&&1?1?&&&&π&&&&5．验证：在整个xOy面内,(x2?3y)dx?(3x?y2)dy是某一函数u(x,y)的全微分,并求出一个这样的函数.。解因为P?x2?3y,Q?3x?y2,所以&&&&?Q?P?3?在整个xOy面内恒成立,因此,在整个?x?y&&&&xOy面内,(x2?3y)dx?(3x?y2)dy是某一函数u(x,y)的全微分,即有(x2?3y)dx?(3x?y2)dy?du.&&&&于是就有&&&&?u?x2?3y?x?u?3x?y2?y&&&&由（1）式得&&&&（1）（2）&&&&1u(x,y)(x2?3y)dx?x3?3xy(y)3其中?(y)是以y为自变量的一元函数，将（3）式代入（2）式,得3x?(y)?3x?y2&&&&比较（4）式两边,得&&&&（3）&&&&（4）&&&&(y)?y2&&&&于是&&&&?(y)?y3?C&&&&代入（3）式便得所求的函数为&&&&13&&&&（其中C是任意常数）,&&&&11u(x,y)?x3?3xy?y3?C.33&&&&?x2?y2?z2?1,四、计算曲线积分Iydx?zdy?xdz,其中L为闭曲线?，若从z轴正?L?y?z&&&&向看去,L取逆时针方向.解曲线L的参数方程为&&&&27&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&x?cost,?2?sint,t从0变到2π，?y?22sint,?z2&&&&于是&&&&?2π?2222Iydx?zdy?xdz?sint?(?sint)?sint?cost?cost?cost?dt?L0222?2?&&&&2π?2π?sint?2sintcost?2cost?dt0?2cos2t?4sin2t?dt?0。?0&&&&?z?x五、计算曲面积分(x2?y2)dS,其中?是线段?(0?z?2)绕Oz轴旋转一周所得?y?0?&&&&的旋转曲面．解?的方程为&&&&?:z?x2?y2(0?z?2)，?在xOy面上的投影区域为Dxy?(x,y)x2?y2?4，且xydxdy?2dxdy，dS?1?x2?y2x2?y2?&&&&22&&&&?&&&&?&&&&(x&&&&?&&&&2&&&&?y2)dS?(x2?y2)2dxdy?2?dr2rdr?82π。&&&&Dxy00&&&&2π&&&&2&&&&12z?x六、计算曲面积分(z?x)dydz?zdxdy,其中?为zOx上的抛物线?2绕z轴旋转y?0?&&&&2&&&&一周所得的旋转曲面介于z?0和z?2之间的部分的下侧．解?的方程为&&&&?:z?&&&&12?x?y2?(0?z?2)，取下侧。2&&&&作有向曲面?1:z?2(x2?y2?4)，并取上侧，设两曲面?和?1所围成的闭区域为?，由高斯公式，得&&&&(z&&&&?&&&&2&&&&?x)dydz?zdxdy?&&&&?1&&&&?(z&&&&2&&&&?x)dydz?zdxdy?(z2?x)dydz?zdxdy&&&&?1&&&&28&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&(1+0-1)dxdydz?(z2?x)dydz?zdxdy(z2?x)dydz?zdxdy&&&&1?1&&&&(z2?x)dydz?zdxdy?0?2dxdy?8π，&&&&?1?1Dxy&&&&这里Dxy?(x,y)x2?y2?4。&&&&?&&&&?&&&&七、设一段锥面螺线x?e?cos?,y?e?sin?,z?e?(0?π)上任一点(x,y,z)处的线密度函数为?(x,y,z)?&&&&1,求它的质量．x?y2?z2&&&&2&&&&解依题意，锥面螺线在点(x,y,z)处的线密度函数为&&&&?(x,y,z)?&&&&故锥面螺线的质量为&&&&1，x?y2?z2&&&&2&&&&M?(x,y,z)ds&&&&L&&&&L&&&&1dsx?y2?z2&&&&2&&&&&&&&π&&&&1&&&&0&&&&?e&&&&?&&&&cosesine&&&&2&&&&?&&&&2&&&&?2&&&&?&&&&?e&&&&?&&&&cose?sine?cose?sinedt&&&&222&&&&π&&&&0&&&&12e2?&&&&3e?d&&&&3π3?π?0ed2?1?e?。2&&&&八、设f(x)具有一阶连续导数,积分?f(x)(ydx?dy)在右半平面x?0内与路径无关,&&&&L&&&&试求满足条件f(0)?1的函数f(x)．解令P(x,y)?yf(x)，Q(x,y)?f(x)，依题意，有&&&&?Q?P，x?y&&&&即&&&&df(x)?f(x)，dx&&&&故&&&&f(x)?cex，其中c是任意常数。&&&&再由条件f(0)?1可得c?1，故f(x)?ex为所求的函数。&&&&九、设空间区闭域?由曲面z?a2?x2?y2与平面z?0围成,其中a为正常数,记?表面的外侧为?,?的体积为V,证明：&&&&29&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&?x&&&&?&&&&2&&&&yz2dydz?xy2z2dzdx?(1?xyz)zdxdy?V．?P?2xyz2，?x&&&&证明&&&&这里P(x,y,z)?x2yz2,Q(x,y,z)xy2z2,R(x,y,z)?(1?xyz)z，&&&&?Q?R2xyz2，?1?2xyz，由高斯公式得?y?z&&&&?x&&&&&&&&2&&&&yz2dydz?xy2z2dzdx?(1?xyz)zdxdy(2xyz2?2xyz2?1?2xyz)dxdydz&&&&?2?aa2?r2&&&&(1?2xyz)dxdydzdrdr?&&&&00&&&&0&&&&(1?2zr2sin?cos?)dz&&&&drdr?&&&&00&&&&2?&&&&a&&&&a2?r2&&&&0a2?r2&&&&dzdrdr?&&&&002?0&&&&2?&&&&a&&&&a2?r2&&&&0a&&&&2zr2sin?cos?dz&&&&a2?r2&&&&drdr?&&&&00&&&&2?&&&&a&&&&0a2?r2&&&&dzsin2?dr3dr?&&&&0&&&&0&&&&zdz&&&&2?a&&&&drdr?&&&&00&&&&2?&&&&a&&&&0&&&&dz?0drdr?&&&&00&&&&2?&&&&a&&&&a2?r2&&&&0&&&&dzd(a2?r2)rdr。&&&&00&&&&另一方面，?（或?）在xOy面上的投影区域为D?(x,y)x2?y2?a2，故&&&&?&&&&?&&&&Vdxdydz?(a2?x2?y2)dxdyd(a2?r2)rdr，&&&&?D00&&&&2?&&&&a&&&&所以&&&&?x&&&&?&&&&2&&&&yz2dydz?xy2z2dzdx?(1?xyz)zdxdy?V。&&&&复习题B&&&&一、填空题&&&&?x2?y2?z2?a2331．设L的方程?,则?x2ds?a?L2?x?y?0&&&&2．设L为正向圆周(x?1)2?(y?1)2?1，则曲线积分&&&&L&&&&x?yx?ydx?2dy的值为x2?y2x?y2&&&&0．&&&&3．设?是曲面z2?x2?y2介于z1和z?2之间的部分,则曲面积分&&&&I?(x2?y2?z2)dS&&&&?&&&&的值为172π．4．?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间闭区域,?是?的整设&&&&30&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&个边界的外侧,则xdydz?ydzdx?zdxdy?&&&&?&&&&(2?2)πR3&&&&．&&&&5．设r?z(x2?3),则矢量场A?gradr通过曲面x2?y2?z2?1上半部分的流量&&&&Q?&&&&15π4&&&&．&&&&二、计算题1．设空间曲线L为曲面x2?y2?z2?a2与x?y?z?0的交线，（1）若曲线L的线密度为?(x,y,z)?x2，试计算曲线L的质量m;解:显然，曲线L是空间圆，由曲线L的方程消去z，得到曲线L在xOy面上的捕风投影是椭圆x2?y2?xy?&&&&故&&&&12a，其参数方程为22aaaax?acost,y?sint?cost,zcost?sint,其中0?t?2π。ds?πa3?L3&&&&(2)计算I(x2?y2?3z)ds．?&&&&L&&&&解:同理可算得&&&&&&&&故&&&&L&&&&3zds3(?&&&&0&&&&2sint)adt?0，?x2dsy2dsa3，?L?L3624π3I(x2?y2?3z)ds?a。?L3&&&&2?&&&&a&&&&cost?&&&&a&&&&2．计算?(xy?b2x2+a2y2)ds,其中L为椭圆?&&&&L&&&&解:&&&&&&&&L&&&&(xy?b2x2+a2y2)dsxyds&&&&L2?0&&&&L&&&&x2y21,其周长为c．a2b2(b2x2+a2y2)ds&&&&L&&&&absintcosta2sin2t?b2cot2tdta2b2ds0?abc?abc。&&&&2222&&&&3．计算I(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点&&&&L&&&&A(2a,0)沿曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的弧．?Q?P解b?a?x?yI(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy&&&&L&&&&&&&&(x?a)2?y2?a2(y?0)&&&&&&&&(b?a)dxdy(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy&&&&OA&&&&121πa(b?a)?(?2a2b)?πa2(b?a)?2a2b.22&&&&31&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&4．计算曲面积分I?&&&&y?zdS,其中?是圆柱面x2?y2?1介于平面z?0与x?y2?z2?&&&&2&&&&z?2之间的部分.&&&&解：将?分成两部分，即?1:y?1?x2，?2:y1?x2，则dS?和?2在xOz面上的投影区域都为Dxz?(x,z)?1?x?1,0?z?2&&&&11?x2&&&&dxdz,且?1&&&&?&&&&?，于是&&&&I?&&&&?1&&&&x&&&&2&&&&y?zy?zdS+2dS2222?y?z?2x?y?z&&&&1?x2?z1?1?x2?z1dxdz+dxdz21?z21?z21?x1?x2DxzDxz2z1?dxdz=πln5.1?z21?x2Dxz?&&&&5．计算曲面积分I?解：I?&&&&xdydz?ydzdx?zdxdy&&&&?x&&&&2&&&&?y2?z?1a3&&&&322&&&&?&&&&,其中?是球面x2?y2?z2?a2的外侧．&&&&xdydz?ydzdx?zdxdy&&&&?a?&&&&322&&&&?xdydz?ydzdx?zdxdy，再利用高斯公式可求得&&&&?&&&&I?4π.&&&&三、确定常数?,使在右半平面x?0上的向量&&&&A(x,y)?(3x6xy2)i+(6x?y?4y3)j&&&&为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y)．依题意，有?u?u?P?Q，12xy?6?x1y，得2。故P3x6xy2,Q6x?y?4y3,由x?y?y?x?u?u?3x2?6xy2,?6x2y?4y3，由此可得u(x,y)?x3?3x2y2?y4?C.?x?y&&&&2xyzdydz?3dzdx?3dxdy,r?x?y2?z2,其中?为曲面3rrr&&&&解:&&&&四、计算I?&&&&?&&&&z(x?2)2(y?1)21?(z?0)的上侧．5169xyz?P?Q?R解:令P?3,Q?3,R?3,则?r?3?3x2r?5,?r?3?3y2r?5,?r?3?3z2r?5，于rrr?x?y?z?P?Q?R是，?0(x2?y2?z2?0)。?x?y?z&&&&为了应用高斯公式，补充两个曲面&&&&?1:以原点为球心，1为半径的上半球面的下侧，?2:z?0，介于圆x2?y2?1和椭圆&&&&32&&&&(x?2)2(y?1)21之间，取下侧，169&&&&&&&&第九章曲线积分与曲面积分习题详解&&&&在?,?1,?2所围成的空间闭区域?上应用高斯公式，得&&&&xyzdydz?3dzdx?3dxdy0dV?0，3rrr?12?&&&&&&&&而&&&&?2&&&&xyzxyzdydz?3dzdx?3dxdy?0，3dydz?3dzdx?3dxdy?xdydz?ydzdx?zdxdy，3rrrrr?1r?1&&&&?1&&&&对积分I1?xdydz?ydzdx?zdxdy，再补充一个曲面?3:z?0，这里x2?y2?1，取上侧，则?1,?3围成一个空间闭区域，设其为?1，在?1上应用高斯公式，得&&&&I1?xdydz?ydzdx?zdxdy?3dV2?，&&&&?1?1&&&&故&&&&xyzI?3dydz?3dzdx?3dxdy?0?0?(?2?)?2?。rr?r&&&&五、设u具有二阶连续偏导数,n是闭曲面?的外法线向量,?所围成的闭区域为?,试?u2证明?udS?gradu?dVu?div?gradu?dV．?n?证明：令n0?cosi+cosj?cosk，则方向导数&&&&?u?u?u?u?gradu?n0?coscoscos?，?n?x?y?z&&&&而&&&&?2u?2u?2uu?u?u?(gradu)?,div(gradu)?2?2?2，于是由高斯公式，得?x?y?zx?y?zu?u?u?u?u?ndS(u?xcosu?ycosu?zcos?)dS&&&&2&&&&2&&&&2&&&&2&&&&uuuu?u?udV?xyyzz?xu?2u?2u?2?2u?2u?2u?u2?u2?u2?dV?x?y?z?y?z?xgradu?dVu?div?gradu?dV。&&&&2&&&&六、设曲面?为球面(x?a)2?(y?a)2?(z?a)2?a2,a?0,试证明&&&&?(x?y?z?&&&&?&&&&3a)dS?12πa3.333a,a?a,a?a)333&&&&证明：显然有，球面?与平面x?y?z?(3?3)a相切于点(a?&&&&并且球面?在该平面的上方，即球面?上的点都满足x?y?z?3a?3a，故根据第一类曲面积分的计算方法有&&&&?(x?y?z?&&&&?&&&&3a)dS3adS?12πa3。&&&&?&&&&33&&&&&&&&}