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一笔画问题
雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成 某种图形， 这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起 来学习一笔画的规律。典型例题下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ 例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（ 1）（ 2）（ 3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。 图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可 以。 通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出有偶数条 线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。 再看图（1）（4） 、 ，其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2） 有 4 个奇点，2 个偶点，不能一笔画成。 这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么 样的关系呢，我们再看一个例题。下面各图能否一笔画成？ 例【2】 下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。关于图（2） ，经过反复试验，也可找到画法：由 A B C A D C。图中 B、D 为偶点，A、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从 奇点出发，回到奇点。 经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有 4 个奇点，5 个偶点。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；1启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION解图（1）（2）可以一笔画。 、这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。 如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出， 但必须从奇点出发，由另一点结束。 如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A 开始或由 B 开始到 B 结束或到 A 结束。 图（2）有 10 个奇点，大于 2，不能一笔画成。 图（3）有 4 个奇点，1 个偶点，因此也不能一笔画成。 解 图（1）的画法见下图。例 【 4】下图中， 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？ 少要画几笔才能画成？A DOB （1） ）C分析图（1）有 4 个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有 两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。经 观察，图（1）可以切分成图（A）（B）两个图形。这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至 、 少用两笔画出。 、 ，则图（A）可由 A-B-O-D-A-C-D 一笔画成，图（B）由 B-C 一 解 将图（1）分成图（A）（B） 笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。 A AD D O O B（1） ）CB（A） ）CB （B） ）C一、 二、 三、立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；2启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。 为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。第二讲年龄问题明年妈知识要点： 知识要点：小朋友,你知道吗?今年你 6 岁,明年你几岁?妈妈今年 30 岁,比你大 24 岁,妈比你大几岁呢 ?这些年龄问题在解答时要记住 :每过一年 ,每人年龄都要长大一岁 .今年妈妈比 你大几岁,再过些年, 妈妈还是比你大几岁.[ 例 1 ] 夏 华 今 年 7 岁 , 他 比 爸 爸 小 28 岁 , 去 年 他 比 爸 爸 小 多 少 岁 ?根据题意， 我们知道今年夏华比爸爸小 28 岁.那么去年, 那么去年, 分析：根据题意， 华仍然比爸爸小 28 岁. 夏华与爸爸同时减去一岁, 夏 夏华与爸爸同时减去一岁, 去一岁年后,哥哥比弟弟大几岁? [ 例 2 ] 弟弟今年 4 岁,哥哥今年 12 岁,10 年后,哥哥比弟弟大几岁?分析：根据题意， 分析：根据题意，今年哥哥 12 岁,12－4=8(岁 弟弟 4 岁,那么我们知道哥哥比弟弟大 12－4=8(岁). 10年后, 12＋ 年后, 年后, 年后,哥哥的岁数是 12＋10=22 岁. 10 年后,弟弟的岁数是 4＋10=14 岁.因此 10 年后,哥哥比弟 22－ 弟大 22－14=8 岁.小青说: 年后, 妈妈问: 年前, [ 例 3 ] 小青说: “3 年后,妈妈比我大 25 岁.”妈妈问: “5 年前,你比妈妈小多少 岁 ?”分析：由上题我们知道， 分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大 8 岁,年后, 10 年后,哥哥还是比弟弟大 8 岁.由此我们可以这样想: 年后, 那么, 年前, 这样想:既然 3 年后,妈妈比我大 25 岁,那么, 5 年前, 妈妈仍然比我大 25 岁,也就是我比妈妈 小 25 岁.[ 例 4 ] 小林今年 6 岁, 小红今年 10 岁, 当小林的年龄和小红今年的年龄一样大小红几岁? 时, 小红几岁?分析：我们知道， 分析：我们知道，小林今年 6 岁,要想使小林的年龄和小红今年的年龄一样大, 要想使小林的年龄和小红今年的年龄一样大, 那么小林就年才能和小红一样大. 10＋ 要再过 4 年才能和小红一样大. 小林过 4 年,小红也要过 4 年,即长大 4 岁, 那么小红就是 10＋ 4=14 岁.年后, [ 例 5] 小芳今年 5 岁, 3 年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大 20 岁,李老师今年 多少岁? 少岁?年前, 分析：我们知道， 年后, 分析：我们知道，3 年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大 20 岁,那么 3 年前,小芳幼儿园的李立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；3启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION20＋ 老师还是比小芳大 20 岁,又因为小芳今年 5 岁, 李老师今年就是 20＋5=25 岁总结. 总结.“年龄问题”可以说是前面所讲的“和差问题”及“差倍问题”的综合运用。 要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两 个人年龄的倍数关系却在不断地变化。 年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。我们可以抓住“差不 变”这个特点，利用“和差”“和倍”等知识来分析解答这类应用题第三讲年龄问题练习练习 1、五年前爷爷年龄是小明的 7 倍，小明今年 14 岁。爷爷今年多少岁？ 爷爷今年多少岁？ 爸爸今年多少岁？ 2、去年爸爸的年龄是小明的 4 倍，今年小明 10 岁。爸爸今年多少岁？ 3、小明今年 7 岁，爷爷今年 62 岁，几年前爷爷的年龄是小明的 12 倍？ 4、妈妈今年 26 岁，是小明年龄的 13 倍，几年后妈妈年龄是小明的 7 倍？ 年前， 5、5 年前，小明的年龄是小红的 3 倍，5 年后他们的年龄和是 44 岁。小明今年多 少岁？ 少岁？ 年前， 6、7 年前，姐姐的年龄是妹妹的 4 倍，7 年后姐妹俩的年龄和是 48 岁。姐姐今年 多少岁？ 多少岁？ 当母子两人的年龄之和是 岁时。 7、小明今年 2 岁，妈妈今年 28 岁，当母子两人的年龄之和是 42 岁时。两人各是 多少岁？ 多少岁？ 8、小明今年 16 岁，妹妹今年 14 岁，当两人的年龄之和是 40 岁时。两人各是多 岁时。 少岁？ 少岁？立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；4启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION9、爷爷今年 88 岁，他儿子 65 岁，孙子 20 岁，要经过几年后爷爷的年龄等于他 儿子、孙子的年龄和？ 儿子、孙子的年龄和？ 10、 要经过几年老师的年龄等于小明、 10、老师今年 45 岁，小明 16 岁，小红 18 岁，要经过几年老师的年龄等于小明、 小红的年龄和？ 小红的年龄和？ 超级挑战题： 2、有兄弟三人，哥哥 40 岁，小明 38 岁，弟弟 36 岁，几年后哥哥年龄的 2 倍等 、有兄弟三人， 于小明及弟弟的年龄和？ 于小明及弟弟的年龄和？ 3、小明一家四口人，今年全家年龄和是 73 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，小明比弟弟 、小明一家四口人， 今年四个人各是多少岁？ 大 2 岁，但是 4 年前他们全家年龄和为 58 岁。今年四个人各是多少岁？第四讲一半问题一些问题分成同样多的两份，其中一份就是总数的一半。 知识要点： 知识要点：小朋友,你知道吗?一些问题分成同样多的两份，其中一份就是总数的一半。已知 一半求总数，只要用一半数再加一半数就是总数。当出现连续几次一半，要仔细分辨， 一半求总数，只要用一半数再加一半数就是总数。当出现连续几次一半，要仔细分辨，正确计 算总数。 算总数。爸爸买了一些草莓，小名吃了一半后， [ 例 1 ] 爸爸买了一些草莓，小名吃了一半后，还剩下 6 个，爸爸买了多少个草 莓？根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半， 个与吃了的同样多， 同样多 分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下 6 个与吃了的同样多，说明吃了的一半 6+6=12（ 。 也是 6 个。因而原来一共有 6+6=12（个）吃 了 一半所以， 个草莓。 所以，爸爸买了 12 个草莓。草莓总数【巩固训练】小白兔和小灰兔拔的萝卜一起放进筐里，小白兔说：“我拔的萝卜 巩固训练】小白兔和小灰兔拔的萝卜一起放进筐里，小白兔说： 是筐里萝卜总数的一半多一个。 小灰兔说： 个是我拔的。 是筐里萝卜总数的一半多一个。”小灰兔说：“筐里的萝卜只有 4 个是我拔的。” 问筐里一共有多少个萝卜？ 问筐里一共有多少个萝卜？立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；5启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION【解析】：因为筐里的萝卜除了小白兔拔的就是小灰兔拔的，综合两只兔子的话可以得出：小灰兔拔的 4 个萝卜是筐里萝卜总数的一半少一个,或者说小白兔如果给小灰兔一个，小灰兔的萝 卜就是筐里萝卜总数的一半了，让孩子明白这一点是解题的关键。接下来，应该先求出总数的 一半就是:4+1=5（个），再求出总数：5+5=10（个）。本图书，各种数的本数如下图那样分配， 【拓展与提高】小平有 20 本图书，各种数的本数如下图那样分配，他有几本数学 拓展与提高】 书？【解析】题中的图形是个扇形统计图，首先要帮助孩子理解扇形统计图的含义，通过此题初步认识扇形统计图并获得解题的已知条件： 数学书占图书总数的一半的一半。 再根据数 的组成解题： 因为 20=10+10，所以数学书和故事书共有 10 本； 又因为 10=5+5，所以数学书有 5 本。总结： 总结：一半问题其实就是用倒推法解一些很简单的应用题，这种解题方法是通过多次的，分步的 分步的乘加或乘减混合运算，从题目的现有数据出发，通过一步步的推 分步的 理得出初始数据。这种解题方法有利于培养孩子的逻辑思维能力。 针对一年级孩子需要注意的是，涉及到乘以 2 和除以 2 的计算要转化成加 法计算或数的组成来解说，因为一年级还没有学习乘除法计算。第五讲拼拼摆摆知识要点：用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减， 知识要点：用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减，会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。 出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。根火柴， 根火柴搭出两个三角形吗？ [ 例 1 ] 搭一个三角形要用 3 根火柴，你能用 5 根火柴搭出两个三角形吗？分析： 根火柴， 根火柴， 根火柴， 分析：搭一个三角形要用 3 根火柴，那么搭两个三角形要用 6 根火柴，现在只有 5 根火柴，少 了一根，那么应把两个三角形搭在一起，如图： 了一根，那么应把两个三角形搭在一起，如图：立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；6启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION根火柴摆成一个田字形： [ 例 2 ] 用 12 根火柴摆成一个田字形： 拿去两根火柴棒，变成两个正方形； （1） 拿去两根火柴棒，变成两个正方形； 移动三根火柴棒，变成三个正方形。 （2） 移动三根火柴棒，变成三个正方形。分析： （ 根火柴棒 两根后剩 火柴棒 不可能拼成大小相同的两个正方形 两个正方形， 分析： 1）原来 12 根火柴棒，拿走两根后剩 10 根火柴棒，不可能拼成大小相同的两个正方形， 只能是一大一小。只要保留外边的大正方形， 使里面四个正方形变成 只能是一大一小。只要保留外边的大正方形，拿去里面 2 根，使里面四个正方形变成 1 个就可 以了。如图： 以了。如图：根组成 个正方形，每个正方形 （2）移动三根火柴棒，那么总根数仍然是 12 根，12 根组成 3 个正方形，每个正方形 4 移动三根火柴棒，那么总根 火柴棒 原来就有一根不变， 根和它组成正方形即可。如图： 根火柴棒，只移动 3 根，原来就有一根不变，把另 3 根和它组成正方形即可。如图：根火柴棒摆成的一条鱼， 根火柴， 使鱼头向右， [ 例 3 ] 下图是用 8 根火柴棒摆成的一条鱼，请你移动 3 根火柴，使鱼头向右， 应该怎样移动？ 应该怎样移动？ 移动分析：要把鱼头朝右，需要把左边的“鱼头”拆掉，变成“鱼尾” 如果简单的去掉“鱼头” 分析：要把鱼头朝右，需要把左边的“鱼头”拆掉，变成“鱼尾”。如果简单的去掉“鱼头” 的两根火柴， 根火柴不够用，因此必须保持一根火柴不变，可这样移动： 的两根火柴，3 根火柴不够用，因此必须保持一根火柴不变，可这样移动：用火柴棒搭成小猪图， 你能移动火柴棒使猪头、 猪尾正好换一个方向吗？ 你能移动火柴棒使猪头、 猪尾正好换一个方向吗？ [ 例 4 ] 用火柴棒搭成小猪图， 你移动了几根火柴棒？ 你移动了几根火柴棒？分析：要把猪头朝右，需要把左边的“猪头”拆掉，变成“猪尾” 为了使火柴棒的根数最少， 分析：要把猪头朝右，需要把左边的“猪头”拆掉，变成“猪尾”。为了使火柴棒的根数最少， 可移动猪头下面的一根，变成猪尾。 可移动猪头下面的一根，变成猪尾。根火柴排成的金字塔， [ 例 5 ] 左边是用 6 根火柴排成的金字塔，右边是用 6 根火柴排成的倒立的金字 根火柴棍，就把左边的金字塔变成右边的倒立的金安塔 字塔变成右边的倒立的金安塔？ 塔，能不能只移动 2 根火柴棍，就把左边的金字塔变成右边的倒立的金安塔？立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；7启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION分析：我们发现第二排是一样的，不同的是第一排和第三排， 分析：我们发现第二排是一样的，不同的是第一排和第三排，要想只移动 2 根，我们就把第一 排两边的两根移到第三排去，如图： 排两边的两根移到第三排去，如图：第六讲 时间与日期我们已经学过了有关时间的基本知识，如年、月、日、时、分、秒，同时对星期、季度、世纪、 闰年等也比较熟悉。日常生活中，我们几乎每天都在和钟表、日历（挂历、台历）等打交道。 有了这些关于时间、日期的知识，有了认识、计算和掌握时间的经验，我们分析、解决时间问 题也就比较容易了。典型例题日共经过多少天？ 例[1] 从 1999 年 8 月 16 日到 2000 年 3 月 8 日共经过多少天？★分析第1段 第2段 第3段可以把这些天分段如下： 1999 年 8 月 16 日～31 日 1999 年 9 月～2000 年 2 月 2000 年 3 月 1 日～8 日31－16＋1=16（ 解 第 1 段有 31－16＋1=16（天） 30＋31＋30＋31＋31＋29=182（ 第 2 段有 30＋31＋30＋31＋31＋29=182（天） 1=8（ 第 3 段有 8－1＋1=8（天） 16＋182＋ 一共有 16＋182＋8=206今天是星期三， 日是星期几？ 例[2] 昨天是 9 日，今天是星期三，29 日是星期几？，再过 1 个星期、2 个星期、3 个星期 6 都是星 ★分析 昨天是 9 日，今天就是 10 日（星期三） 期三。从 10 日再过 19 天就是 29 日，所以，要看 19 天中有多少个 7 天，还余几天。29－10=19（ 解 29－10=19（天） 19=7× 19=7×2＋5（或 19÷7=2……5） 19÷7=2……5 …… 天就是星期一， 日是星期一。 星期三再过 5 天就是星期一，因此 29 日是星期一。号下午买回来一盆花。 次浇花， 例[3] 小红 16 号下午买回来一盆花。她从晚上 7 点开始第 1 次浇花，然后每阁 小时浇一次。 次浇花是在几号几点？ 12 小时浇一次。小红第 8 次浇花是在几号几点？★分析 一天是 24 小时，24 小时是 2 个 12 小时，每 12 小时浇 1 次，就是每 24 小时浇两次。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；8启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION注意：第单数次浇花在晚上 7 点，第双数次浇花在早晨 7 点。解 8÷2=4 16＋ 16＋4=20 第 8 次浇花在 20 号早晨 7 点。多岁了， 个真正的生日。 例[4] 小明 1999 年已经 20 多岁了，可是他 1996 年才过第 6 个真正的生日。小 明出生在几月几日， 年小明几岁（ 个生日）？ 明出生在几月几日，1999 年小明几岁（小明刚出生的那天算做过第 1 个生日）？★分析 20 多岁的人才说过了 6 次生日，说明他的生日（日期）不是每年都有，或者说他的生日几年才出现一次。 这个日子很特殊， 只能是闰年的 2 月 29 日。 1996 年前， 在 还有 1992， 1988， ，1976……是闰年。因为小明 1996 年过第 6 个生日，说明他生在 1976 年。1996－ 解 1996－4×（6－1）=－（ 小明 1999 年的岁数是 =23（岁）个星期三， 个星期二， 日是星期几？ 例[5] 某年的 6 月份有 4 个星期三，5 个星期二，这年的 6 月 1 日是星期几？日 一 ☆ × × × × × × × × 二 × × × × × 三 × × × × 四 × × × × 五 × × × × 六 × × × ×★分析 画一个日历表（如图）因为有 5 个星期二，所以从第 1 个星期到第 5 个星期二，共 29 天。6 月份共有 30 天，剩下的一 天只可能在第 1 个星期二前，而不可能在第 5 个星期二后（想一想：为什么） ，也就是图中的☆ 处，这一天正好是 6 月 1 日。日是星期一。 解 这年的 6 月 1 日是星期一。分析和解答有关时间的问题，必须首先掌握有关时间的基本知小结识。比如平年一年有 365 天，闰年一年有 366 天；一天有 24 小时，1 小时=60 分，1 分=60 秒；1 星期=7 天，等等。 计算从某年（月、日）起到某年（月、日）共经过的天数，一个般要连头带尾算， 也就是经过的年数（天数）=结尾数－开始数＋1。而计算年龄（周岁） ，一般用今 年的年份数－出生的年份数。 对于涉及星期的问题，有时需要画出一张日历表帮助推算。要注意的是，连续的 日期数钟点数，不一定是连续的自然数。第七讲算得快的奥妙（一）9立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION计算是数学的基础，在计算中，我们既要做到正确合理，还要做到快速、巧妙。这样不 仅能节省时间，还能提高分析问题的能力，促进智力发展。首先，我们来学习加、减法中的一 些简便运算的方法。用简便方法计算下面各题： 用简便方法计算下面各题： （ 1） （ 2） ； ； 1302－（308－149） －（308 1302－（308－149） ； ）－256。 ）－256 （3） （）－256。可以这样想： 加减法简便运算的基本思路是“凑整” ，即将能通过加减运算后得到整十、整百、整千…… 的数，先运用性质计算它们的结果。 （1） ＝＋101 ＝ ＝10101 （2） 1308－（308－149） ＝＋149 拍脑袋提醒: ＝＝1149 （3） （＋825）－256 ＝（）＋（125＋825） ＝
＝4950遇到这类题目，我们首先应该想到的就是能否通过拆数、先算某个部分等加减运算方法来得到整十、 整百、整千……的数。用简便方法计算下面各题： （ 1）9＋99＋999＋； （2）1－2＋3－4＋5－6＋...-。 可以这样想： (1) 在涉及所有数字都是 9 的计算中，常使用“添 1 凑整法” 。如将 999 看成（1000－1） 去计算。这是小学数学中常用的一种计算技巧。 9＋99＋999＋立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；10启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION＝（10－1）＋（100－1）＋（1000－1）＋ （10000－1）＋（） ＝10＋100＋＋ ＝＝111105 （2）通过观察可以发现：这个算式的加号和减号是间隔出现。所以，我们可以将除 1 以外的所有 数，每两个数分为一组，而每组的结果都是 1。 1－2＋3－4＋5－6＋......+93 =1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+......+()+() =1+1×996 =997用简便方法计算： 用简便方法计算：2803＋（）＋4722 去括号并移位） 解 2083＋（）＋4722（去括号并移位） （凑整 ＝（）＋（） 凑整） （凑整） ＝ ＝15200 计算： 计算：9＋999＋99＋9 解 9＋999＋99＋9 ＝＋100－1＋100－1＋ 10－1＝ ＝111105 用简便方法计算： 用简便方法计算：－433－842 解 －433－842 ＝（）－（） ＝ ＝1000计算： 计算：－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9 解 －92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9 ＝1000－（91＋1＋92＋2＋93＋3＋94＋4＋95＋5＋96＋6＋97＋7＋98＋8＋99＋9） ＝1000－[(91＋9)＋（92＋8）＋（93＋7）＋（94＋6）＋（95＋5）＋（96＋4）＋（97＋3）＋（98 ＋2）＋（99＋1）] ＝1000－[100×9] ＝ ＝100 计算： 计算：995＋996＋997＋998＋999 解法一 995＋996＋997＋998＋999 ＝（1000－5）＋（1000－4）＋（1000－ 3）＋（1000－2）＋（1000－1） ＝1000×5－（5＋4＋3＋2＋1） ＝5000－15 用简便方法计算： 用简便方法计算：－174－47－126 解 －174－47－126立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；＝4985 个加数是连续的自然数， 解法二 这 5 个加数是连续的自然数，可以通过 移多补少” “移多补少”变成 5 个 997。 997×5＝49811 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION＝3467－（253＋47）－(174+126) ＝－300 ＝ ＝2867 计算： 计算：－82－18－83－17－84－16－85－15－84－16－83－17－82－18－81－19 解 －82－18－83－17－84－16－85－15－84－16－83－17－82－18－81－19 ＝1000－[(81＋19)＋（82＋18）＋（83＋17）＋（84＋16）＋（85＋15）＋（86＋14）＋（87＋13） ＋（88＋12）＋（89＋11）] ＝×9 ＝ ＝100 用简便方法计算： 用简便方法计算：29×25 整除， 这样就得到（ 分析 题中 29 不能被 4 整除，但 29 拆成 4×7＋1，这样就得到（4×7＋1）×25，或者把 也可以求出得数。 25 看作 100÷4，也可以求出得数。 解法一 ×25 解法二 29 29×25 ＝（4×7＋1）×25 ＝29×100÷4 ＝4×7×25＋1×25 ＝2900÷4 ＝700＋25 ＝725 ＝725 用简便方法计算： 用简便方法计算：98×32×125×250 ＝（7×8） 5×5） （ 解 ＝×125×250 简算： ＝98×8×4×125×250 简算：74×34 ＝98×（8×125）×（4×250） 解 74×34 ＝98× ＝（7×3＋4）×100＋4×4 ＝ ＝2500＋16 口算： 口算：75×75 ＝2516 解 75×75立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；12 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；13 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION第八讲（简单整数数列的计算）配对求和知识要点： 知识要点：配对技巧项数的确定小朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他 8 岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8 岁的高斯很快报出了得数： 5050。这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯计算的速度如此快捷！那么，小高斯是用什么办 法算得这么快的呢？原来， 根据所给算式的特点， 他用了一种巧妙的方法――配对求和。 采用这种方法， 很多整数数列求和的问题都能迎刃而解了。典型例题计算： 例【1】 计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10分析 1 在这个算式中，共有 10 个数，将和为 11 的两个数一一配对，可配成 5 对。12345678910解法一 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11×5 ＝55 分析 2 将和为 10 的两个数一一配对，可配成 4 对，另加一个 10，一个 5。12345678910解法二 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10 ＝10×4＋5＋10 ＝55例【2】分析计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋ 计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19将 11 与 19、12 与 18、13 与 17、14 与 16 配成 4 对，再加 15。11 12 13 14 15 16 17 18 19立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；14 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION解11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15 ＝30×4＋15 ＝135例【3】计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋ 计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110此题中每个数里都包含了一个 100，可以把这 10 个 100 分离出来，转化为例【1】 分析 解 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110 ＝100×10＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10） ＝ ＝1055例 【 4】分析500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29） －（11 计算 500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）先用配对的方法计算 11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋2911 13 1517 19 21 23 25 27 2911＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29 ＝（11＋29）＋（13＋27）＋（15＋25）＋（17＋23）＋（19＋21） ＝40×5 ＝200解500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）＝500－200 ＝300例【5】有一垛电线杆叠堆在一起， ……下面每层比 有一垛电线杆叠堆在一起，一共有 20 层。第 1 层有 12 根，第 2 层有 13 根……下面每层比上层多一根（如下图） 这一垛电线杆共有多少根？ 。这一垛电线杆共有多少根 上层多一根（如下图） 这一垛电线杆共有多少根？ 。20层. . .………………分析 因为这堆电线杆从第 2 层起，每层比上面一层多一根，共有 20 层，所以，这垛电线杆的总数为： 12＋13＋14＋……＋29＋30＋31 ＝（12＋31）×20÷2 ＝43×20÷2 ＝430立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；15 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION（注：20÷2 表示一共配成的对数，即和数为 43 的有 20÷2 对） 用配对方法求和，实质上是变加法（连加）为乘法。要正确、合理地运用这种方法， 用配对方法求和，实质上是变加法（连加）为乘法。要正确、合理地运用这种方法，小结首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的配对。有时，一串数的个数不是双数，就不能刚好配对， 首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的配对。有时，一串数的个数不是双数，就不能刚好配对，还 留下一个数，要弄清这个数是几；有时，一串数虽然个数是双数，但为了计算简便， 留下一个数，要弄清这个数是几；有时，一串数虽然个数是双数，但为了计算简便，往往把其中两个或 者几个数放在一旁，将其余数配对，使每对中两数的和恰好是整十或整百数。 者几个数放在一旁，将其余数配对，使每对中两数的和恰好是整十或整百数。第九讲拼拼摆摆知识要点：用火柴棒摆成的算式，是很有趣的算式，随着火柴棒的移动，它可以使数字、 知识要点：用火柴棒摆成的算式，是很有趣的算式，随着火柴棒的移动，它可以使数字、算法都发生想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的算式成为正确的算式，你感兴趣吗？ 生想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的算式成为正确的算式，你感兴趣吗？ 移动[ 例1]移动一根小棒，使下面的等式成立。 移动一根小棒，使下面的等式成立。分析： 以通过火柴棒的移动，使左边变小，右边变大。我们试着把“ 分析：左边结果 21，右边是 1，所以通过火柴棒的移动，使左边变小，右边变大。我们试着把“＋”变 为“－” 多出的这根火柴棒使“1”变成“7” 等式成立。 ，多出的这根火柴棒使“ 变成“ ，等式成立。也可以把“14”十位上的“ 也可以把“14”十位上的“1”移到等号的右边，使等式成立。 移到等号的右边，使等式成立。[ 例2]移动一根小棒，使下面的等式成立。 移动一根小棒，使下面的等式成立。分析： 火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移动加减号，使左边变成得数， 分析：只能移动 1 根火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移动加减号，使左边变成得数，右边变成算 我们试着把“ 变为“ ，多出的这根火柴棒使“ 变成“ ，等式成立。 式。我们试着把“=”变为“－” 多出的这根火柴棒使“－”变成“=” 等式成立。[ 例3]你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗？ 你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗？分析：等式右边结果是 7+1， 7+1， 分析：等式右边结果是 8，可使左边变成 9-1 或 7+1，9-1 算式难以出现 9，可选择 7+1，这样经移动算 式变为： 式变为：[ 例4]移动两根小棒，使下面的等式成立。 移动两根小棒，使下面的等式成立。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；16 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION分析： 相加， 和太大了，因此要想办法使和变小，加数变大， 后面“ 分析：四个 1 相加，结果是 141，和太大了，因此要想办法使和变小，加数变大，这样把 141 后面“1” 拿到前面加数中任何一个“ 的前面，等式就成立。 拿到前面加数中任何一个“1”的前面，等式就成立。[ 例5]试一试最少移动几根小棒，使下面的等式成立。 试一试最少移动几根小棒，使下面的等式成立。分析： 相加， 和太大了，因此要想办法使加数变大， 分析：四个 11 相加，结果是 224，和太大了，因此要想办法使加数变大，这样分别把两个 11 里面都拿 一个“ 到前面加数中，变成两个“ 等式就成立了。 一个“1”到前面加数中，变成两个“111” 这样等式就成立了。 ，这样等式就成立了练习:第十讲算得快的奥妙（二）乘除法中的简便运算，要熟练地运用乘法的运算定律与除法的运算性质。乘法交换律：ab=ba乘法结合律：abc=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 商不变的性质：a?b ? ?a?c ? ?b?c ? ?；a ÷ b = (a ÷ c ) ÷ (b ÷ c ) (b ≠ 0, c ≠ 0 )除法的运算性质： 积不变的性质：a?b?c ? a? b?c ? ?a?b ? (a?c)??b?c ?用简便方法计算下面各题：444×25 解法一：444× 解法一：444×25 ＝（400＋40＋ ＝（400＋40＋4）×25 400 ＝400×25＋40×25＋4×25 400×25＋40×25＋ ＝1＋100 1＋立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；17 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION＝000还可以这样想： 可以这样想： 可以这样想是个特殊的数， 100，因此， 与一个数相乘时， 25 是个特殊的数，它与 4 的相乘可以得到 100，因此，25 与一个数相乘时，就要想办法能否从这 的因数来。 的形式。 个数中分离出 4 的因数来。444 可以写成 4×111 的形式。 解法二：444× 解法二：444×25 ＝111×4×25 111× ＝111×（4×25） 111× 25） ＝111×100 111× ＝00 解法三：444× 解法三：444×25 25× ＝（444÷4）×（25×4） 111× ＝111×100 ＝111000拍脑袋提醒： 拍脑袋提醒：以上解决方法是根据乘法中积不变的规律， 把其中一个因数 25 扩大 4 倍， 以上解决方法是根据乘法中积不变的规律， 另一个因数 444 缩小 4 倍， 100， 相乘，这样就简便多了。 把因数 25 转化成 100，再与 111 相乘，这样就简便多了。用简便方法计算下面各题： （1）36×11；（2）246×11可以这样想：相乘，这个数个位上的数就是积个位上的数 上的数， 一个数与 11 相乘，这个数个位上的数就是积个位上的数，个位与十位上的数相加的和就是积十位上的 ……，这个数最高位上的数也就是积最高位上的数。 数……，这个数最高位上的数也就是积最高位上的数。 即： 因此：36×11＝ 因此：36×11＝396 这种方法可以简单地称为“两头一拉，中间一加” 这种方法可以简单地称为“两头一拉，中间一加” 。 246× 则会遇到新情况， 中间一加” 如果哪一位上满十就向前一位进一。 第二题 246×11 则会遇到新情况，即“中间一加” 如果哪一位上满十就向前一位进一。 ，立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；18 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION这个道理通过竖式可以看得很清楚。 这个道理通过竖式可以看得很清楚。246×11＝ 因此 246×11＝2706用简便方法计算（1）5÷可以这样想：（2）5000÷在除法里，如果除数是整百、整千的数，计算起来是比较方便的。 在除法里，如果除数是整百、整千的数，计算起来是比较方便的。因为题中的除数 25 和 125 都 是特殊的数， 是特殊的数，它们分别乘以 4 和 8，就可以得到 100 和 1000，为使商不变，被除数也分别乘以 4 和 8。 1000，为使商不变， 2375÷ （1）2375÷25 ＝（× 25× ＝（2375×4）÷（25×4） 9500÷ ＝ ＝95 52000÷ （2）52000÷25 ＝（× 125× ＝（52000×8）÷（125×8） 416000÷ ＝00 ＝416立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；19 启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION用简便方法计算（ 23＋34） 用简便方法计算（1＋23＋34）×（23＋34＋65）－（1＋23＋24＋65）×（23＋24） 23＋34＋65）－（1 23＋24＋65） ）－（ 23＋24）可以这样想：8把几个数的运算式子作为整体参与其他运算，是一种代换思想。在本例中，第一个括号里是 三个数的和，我们可以把它看成是 1 与（23＋24）两数的和，对这两个数使用分配律，同理，把第 三个括号里的数看成是 1 与（23＋34＋65）两数的和。 原式＝ 23＋34＋65）＋（23＋34） ）＋（23 23＋34＋65）－ ）－1 23＋34）－（23＋34＋65） ）－（23 原式＝1×（23＋34＋65）＋（23＋34）×（23＋34＋65）－1×（23＋34）－（23＋34＋65）× 23＋34） （23＋34） 23＋34＋65）－ ）－1 23＋34） ＝1×（23＋34＋65）－1×（23＋34） 23＋34）＋65－ ）＋65 23＋34） ＝1×（23＋34）＋65－1×（23＋34） ＝65 拍脑袋提醒： 拍脑袋提醒：加减法中的速算和巧算的基本方法就是凑整法。利用加法运算定律、四则运算性质以及找准基数， 加减法中的速算和巧算的基本方法就是凑整法。利用加法运算定律、四则运算性质以及找准基数， 凑整法 及找准基数 可以在题目中凑出整十、整百、整千……的数，达到速算的目的。 ……的数 可以在题目中凑出整十、整百、整千……的数，达到速算的目的。 乘除法中地速算和巧算的基本方法就是利用乘法交换律 结合律、乘法对加减的分配律进行巧算。 利用乘法交换律、 乘除法中地速算和巧算的基本方法就是利用乘法交换律、结合律、乘法对加减的分配律进行巧算。 凑整法， 25， 这样特殊的数。 另外，乘除法中也可以用到凑整法 另外，乘除法中也可以用到凑整法，特别要注意象 25，125 这样特殊的数。第十一讲 十一讲最大数和最小数问题六月一日， “小天使”儿童快餐店迎来了 28 位前来就餐的小朋友。快餐店的老板准备了一份精美的 礼品送给其中年龄最小的小朋友。 谁的年龄最小呢？ 当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有 10 岁的，也有 9 岁、8 岁、7 岁、6 岁的，最 小的是 5 岁。但是 5 岁的小朋友有 4 位。按照这 4 位小朋友生日的先后，还能找到一个最小的，因 此老板要他们各自报出自己的生日。结果如下： 小雨 2月8日 豆豆 5月2日 苗苗 8 月 16 日 慧慧 12 月 9 日 把这 4 位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是 28 位小朋友当中最小的。 慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了 28 份，让大家和她一起品尝。 也许有的同学会问： “如果这 4 个小朋友中有两个生日是同一天，那怎么办呢？” 是不是谁生日的数字大就是谁大呢？哪些是通过比数字的大小得到最大最小数？通过下面的一些 例题与方法，我们将会得到这方面的知识。20立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION典型例题个数字组成一个最大的四位数。 例[1] 用 2，4，6，8 这 4 个数字组成一个最大的四位数。分析 用这 4 个数字组成 4 位数有很多个，但最大的只有一个。要使组成的四位数最大，应当遵 循一条原则：用较大的数占较高的数位。解 用 2，4，6，8 组成的最大的四位数是 8642。 个数字， 个数字（ 例[2] 从十位数
中划去 5 个数字，使剩下的 5 个数字（先后顺序不改 变）组成的五位数最小。这个五位数最小的五位数是多少？ 组成的五位数最小。这个五位数最小的五位数是多少？分析 在 10 个数字中划去 5 个数字，还剩 5 个数字组成五位数。要使这个五位数最小，应当用最 小的数去占最高位（万位） ，第 2 小的占千位…… 但是，10 个数字中最小的 2 不能放在万位上（想一想，为什么？） 。这样，万位上的数只能在剩下 的第 2 小的数中选，应选 6。万位确定后，千位在剩下的数中选最小的 2。 而题目中要求剩下的 5 个数字的先后顺序不改变，所以，百位、十位、个位上的数字只能是最后三 个数字 9，8，0。62980。 解 划去 4 个 7 和万位上的 8。剩下的数组成的最小五位数是 62980。 种硬币。 例[3] 钱袋中有 1 分、2 分、5 分 3 种硬币。甲从袋中取出 3 枚，乙从袋中取出 2 枚，取出的 5 种面值， 枚硬币面值的和比乙取出的 枚硬币仅有 2 种面值，并且甲取出的 3 枚硬币面值的和比乙取出的 2 枚硬币面值的和少 3 分，那 么取出的钱数的总和最多是多少分？。而甲取出的 3 枚硬币的和 分析 因为乙只取 2 枚硬币，而 2 枚硬币的钱数最多是 5×2=10（分） 比乙取出的 2 枚硬币的和少 3 分。因此，最多只有 10－3=7（分） 。两者合起来就是取出的钱数的 总和的最大值。10＋7=17（ 解 10＋7=17（分） 一把钥匙只能开一把锁。 把锁， 但不知哪把钥匙开哪把锁， 例[4] 一把钥匙只能开一把锁。 现在有 4 把钥匙 4 把锁， 但不知哪把钥匙开哪把锁， 最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？ 最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？分析 开第 1 把锁，从最坏的情况考虑，试了 3 把钥匙还未成功，则第 4 把不用再试了，他一定能打开这把锁。同样的道理，开第 2 把锁最多试 2 次，开第 3 把锁最多试 1 次，最后剩下的一把钥 匙一定能打开剩下的第 4 把锁，不用再试。最多（也就是按最不凑巧的情况考虑） 1=6（ 。 解 最多（也就是按最不凑巧的情况考虑）要试的次数为 3＋2＋1=6（次）填入下面算式中，使得数最大。 例[5] 把 1、2、3、4、5、6、7、8 填入下面算式中，使得数最大。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；21启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION□□□□－□□×□□这个最大得数是多少？ □□□□－□□×□□这个最大得数是多少？ 这个最大得数是多少分析 要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（□□×□□）应当尽可能小。由例[1]的原则，可知被减数为 8765。下面要做的是把 1、2、3、4 分别填入□□×□□的 4 个“□” 中，使乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要尽 可能小。因为 12×34=408 而 14×23=322，13×24=312（最小）8765－13× 解 =8453小朋友们，回到我们开头提的故事，那么我们发现，不是所有的比较大小都只看数字，而是同时要 考虑其他因素，慧慧生日数字大，证明她出生晚，所以她最小，同样的理由，如果这 4 位小朋友在 同一天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。小结用不同的数字组成多位数， 要使组成的数最大， 应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当用较小的数占较高的数位。 其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。解决“最大（最小）问题” ，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如， “锁与钥匙配对”的 问题。有这样一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相等时，乘积最大。练习:第十二讲 十二讲锯木头知识要点：这一讲的教学目标就是让孩子了解一排物体的个数和这一排物体中相邻两个物 知识要点： 体之间的间隔的个数之间的关系，理解掌握用的最为广泛的数量关系式：物体个数-1=间隔个数， 体之间的间隔的个数之间的关系，理解掌握用的最为广泛的数量关系式：物体个数-1=间隔个数， 间隔个数 初步学会运用这个数量关系式解决简单的实际问题。针对一年级孩子需要注意的是， 初步学会运用这个数量关系式解决简单的实际问题。针对一年级孩子需要注意的是，他们生活经 的是 验不太丰富，理解、使用上面的关系式有点困难。 验不太丰富，理解、使用上面的关系式有点困难。这一讲的学习方式要以直观演示和实践活动为 主。 这一讲内容可以分为两个部分。 这一讲内容可以分为两个部分。 第一部分是爬楼问题，可以把孩子带到楼梯房，让孩子在爬楼的实践活动中，知道什么是一楼？ 第一部分是爬楼问题，可以把孩子带到楼梯房，让孩子在爬楼的实践活动中，知道什么是一楼？ 一楼就是楼下，是不需要爬楼就可以到达的地方。），由一楼到二楼爬了几层楼？ 。），由一楼到二楼爬了几层楼 （一楼就是楼下，是不需要爬楼就可以到达的地方。），由一楼到二楼爬了几层楼？由 1 楼到 5 楼爬了几层楼？由 3 楼爬到 6 楼爬了几层楼？引导孩子得出规律： 实际爬楼层数=到达楼层-开始 楼爬了几层楼？ 楼爬了几层楼？引导孩子得出规律： 实际爬楼层数=到达楼层楼层，如果从一楼开始爬，也就是：实际爬楼层数=到达楼层楼层，如果从一楼开始爬，也就是：实际爬楼层数=到达楼层-１。 一根木头锯成两截， 是锯一次还是两次呢？对了， 小朋友,你知道吗?一根木头锯成两截，是锯一次还是两次呢？对了，锯一次就可以把一根木头锯成 两截了， 那么，锯三次呢？四次呢？我们发现： 两截了，锯两次就可以锯成三截.那么，锯三次呢？四次呢？我们发现：段数=锯次+1。 小朋友，张开手， [ 例 1 ] 小朋友，张开手， 五个手指人人有， 五个手指人人有， 手指之间几个“ ， 手指之间几个“空”立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；22启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION请你仔细看一看？ 请你仔细看一看？ 分析：见上图看一看，数一数可知： 又叫“间隔” 也就是， 分析：见上图看一看，数一数可知：五个手指间有 4 个“空”“空”又叫“间隔” 也就是，人的 。 ， 个间隔。 一只手有 5 个手指 4 个间隔。小朋友在一段马路的一边种树。 米种一棵， [ 例 2 ] 小朋友在一段马路的一边种树。每隔 1 米种一棵，共种了 11 棵，问这段马 路有多长？ 路有多长？1分析： 个间隔。 分析：根据题意， 根据题意，这段马路的 11 棵树之间有 10 个“空” 也就是 10 个间隔。每个间隔长 1 米， 10 ， 像这类问题一般叫做“植树问题” 个间隔长 10 米。也就是说这段马路长 10 米。像这类问题一般叫做“植树问题” 可以得出一个公 。 当两头都种树时：棵数－1=间隔数 式：当两头都种树时：棵数－1=间隔数把一根木头 木头锯成 要锯几次？ 分钟， 要锯几次？如果每锯一次用 3 分钟， 一共要锯多少 [ 例 3 ] 把一根木头锯成 3 段，） ）分钟？ 分钟？分析：由上图我们知道，要把一根木头锯成 题中告诉我们， 分析：由上图我们知道，要把一根木头锯成 3 段，实际只需要锯 2 次。题中告诉我们，每锯一次 木头 分钟， 3=6（ 。 1=2（ ， 3=6（ 。 。3 ，3 。所以要锯 用 3 分钟，所以锯 2 次需要 3＋3=6（分） 3－1=2（次） 3＋3=6（分） 所以要锯 2 次，一共需要 分钟。 6 分钟。 小林家住在三楼， 级台阶 小林从一楼走到三楼要走多少级台阶？ [ 例 4 ] 小林家住在三楼，他每上一层楼要走 14 级台阶，小林从一楼走到三楼要走多少级台阶？分析：由上题我们知道小林从一楼走到三楼实际只走了两层楼梯，一楼到二楼是一层，二楼到三 由上题我们知道小林从一楼走到三楼实际只走了两层楼梯，一楼到二楼是一层，楼又是一层， 级台阶， 14＋ 级台阶。 楼又是一层，他每上一层楼要走 14 级台阶，那么一共要走 14＋14=28 级台阶。秒钟。 下需要几秒钟？ [ 例 5 ] 时钟 5 点打 5 下，一共需要 4 秒钟。问中午 12 点打 12 下需要几秒钟？分析：画示意图。钟打一下用一个点代表， 个点。 分析：画示意图。钟打一下用一个点代表，打 5 下画 5 个点。间隔 1共用 4 秒由上图我们知道， 个时间间隔， 秒钟， 秒钟。 由上图我们知道，时钟打 5 下中间有 4 个时间间隔，4 个间隔是 4 秒钟，每个间隔就是 1 秒钟。由 12－ 个时间间隔， 秒钟。 此推理打 12 下时有 12－1=11 个时间间隔，所以用 11 秒钟。 训练， 训练，：[ 例 1 ] 张奶奶家住在六楼， 她每上一层楼要走 2 分钟， 张奶奶从一楼走到家要用多少分钟？【解答】：爬楼层数：6-1=5（层） 所用时间：2+2+2+2+2=10（分钟）立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；23启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION[ 例 2 ]小勇家住在一栋楼的四楼，他从一楼爬到二楼，有 18 级台阶，小勇从楼下走到家，要走多少级台阶？ 【解答】：爬楼层数：4-1=3（层） 所走台阶级数：18+18+18=54（级） 第二部分：其他问题。主要通过摆模型（可以用积木代替），或画出示意图，让孩子看模型或看图， 领会物体个数与间隔之间的关系。例如：[ 例 3 ]一座大钟，1 点敲 1 下，几点就敲几下，2 点时要敲 2 下，两下之间的间隔要用 2 秒，共用 4 秒敲完。问 10 点钟要敲 10 下，多少秒才能敲完？ 【解析】： 首先通过下图，帮助孩子理解敲 2 下共用 4 秒时间，这个 4 秒时间的分配：在通过示意图，帮助孩子理解“敲 10 下”的时间，包括敲 10 下和 9 个间隔的总时间： 所以，敲完的总时间是： 所以，敲完的总时间是： 10+2+2+2+2+2+2+2+2+2=28（ 10+2+2+2+2+2+2+2+2+2=28（秒）拓展与提高 [ 例 4 ]小明用 15 张纸订成一个本子，从头数起，每隔 3 页夹进一片树叶，问这个本子内共夹进多少片树叶？【解析】 这一题可以用一本 15 张纸的本子（没有，可以自己订一个。）和树叶实际操作一下， 来讲解。也可以作如下的图示，来讲解此题。如上图，把 15 张纸按 3 张纸一组可以分成 5 组，因为，3+3+3+3+3=15.那么相邻的两个组之 间的间隔就：5-1=4（个）。 所以，这个本子内共夹进 4 片树叶。练习: 练习:第十三讲 十三讲平均数问题在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一样 多， 就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。 经过反复几次， 直到几个杯子里的水一样多。 这就是我们经常遇到的“移多补少”――也就是求平均数的问题。典型例题立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；24启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION95、87、92、100、96。 例[1] 小明在一学期的 5 次数学测验中的得分分别是 95、87、92、100、96。求小 明平均每次数学测验的得分。 明平均每次数学测验的得分。分析 求出 5 次测验的总分（，再除以测验的次数（5 次） ，就可以求出平均每次的得分。95＋87＋92＋100＋96） 5=94（ 解 （95＋87＋92＋100＋96）÷5=94（分） 答：小明平均每次的得分是 94 分。千米。 千米， 例[2] 甲地到乙地的全程是 60 千米。 小红骑自行车从甲地到乙地每小时行 15 千米， 千米。求小红往返的平均速度。 从乙地到甲地每小时行 10 千米。求小红往返的平均速度。分析 平均速度=总路程÷总时间，总路程是两个全程（60×2） ，总时间是去的时间与返回 的时间的和。60÷15=4（小时） 解 60÷15=4（小时） 60÷10=6（小时） 60÷10=6（小时） 60× =12（千米） 60×2÷（4＋6）=12（千米） 千米。 答：小红往返的平均速度是每小时 12 千米。千克水果糖混合成什锦糖。 例[3] 商店用 30 千克酥糖和 20 千克水果糖混合成什锦糖。每千克酥糖 8 元，每千 每千克什锦糖应卖多少元？ 克水果糖 3 元。每千克什锦糖应卖多少元？分析 用两种糖总价的和除以两种糖总千克数的和，就是什锦糖的售价。30＋ 20） 30＋20）=6（ 解 （8×30＋3×20）÷（30＋20）=6（元） 答：每千克什锦糖应卖 6 元。例[4] 小英 4 次语文测验的平均成绩是 89 分，第 5 次测验得了 94 分。问她 5 次测 验的平均成绩是多少？ 验的平均成绩是多少？分析 先求出前 4 次语文测验的总分，加上第 5 次的 94 分，用这 5 次测验的总分，除以测验的次数（5 次） ，就得到平均每次测验的成绩。 也可以这样求解：第 5 次 94 分比前 4 次的平均分 89 多 5 分，这 5 分平均加给每次的 89 分（第 5 次也看作 89 分） ，就得到 5 次测验的平均成绩。解法一 解法二 （89×4＋94）÷5=90（分） 89× 94） 5=90（ 89＋（94－89） ＋（94 89＋（94－89）÷5 =89＋ =89＋5÷5 =90（ =90（分） 答：5 次测验的平均成绩是 90 分。个数的平均数是 20。 例[5] 有 5 个数的平均数是 20。如果把其中的一个数改成 4，这时候 5 个数的平均立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；25启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION18。求改动的数原来是多少？ 数是 18。求改动的数原来是多少？分析 改动之前的总数和改动后的总数相差 20×5－18×5=10， 说明这个数比原来减少了 10， 原来的数是 4＋10=14。20× 18× 解 20×5－18×5=10 4＋10=14 14。 答：改动的数原来是 14。有甲、 个数， 90。 82， 86。 例[6] 有甲、乙、丙 3 个数，甲、乙的和是 90。甲、丙的和是 82，乙丙的和是 86。 个数的平均数是多少？ 甲、乙、丙 3 个数的平均数是多少？分析 由题目可以知道，90＋82＋86 是 2 个甲、2 个乙和 2 个丙的和，也就是 2 个甲、乙、丙的和。再除以 2 就得到甲、乙、丙的和，然后除以 3，就是这 3 个数的平均数。90＋82＋86） 解 （90＋82＋86）÷2=129 129÷ 129÷3=43 43。 答：甲、乙、丙 3 个数的平均数是 43。小结求平均数实际上是“移多补少” 。 求平均数实际上是“移多补少”解决这类问题有两种基本方法：可以用基本数量关系来求。总数量÷总份数=平均数。 解决这类问题有两种基本方法：可以用基本数量关系来求。总数量÷总份数=平均数。也可以找一 个基准，再移多补少。也就是：基数＋相差数÷份数。 个基准，再移多补少。也就是：基数＋相差数÷份数。 解决平均数问题也可以根据平均数求部分数。关键是根据平均数先求出几个数的和， 解决平均数问题也可以根据平均数求部分数。关键是根据平均数先求出几个数的和，再用平均数 次数（个数） 总和。 ×次数（个数）=总和。练习: 练习:第十四讲 十四讲算式迷小朋友们？你猜过算式迷吗？算式迷是由一些数字与算式构成的。 日本人形象地称之为 “虫食算” ， 即算式中一些数字被虫子咬去了。要想猜出算式迷，也得先分析这些数字和算式构成的“谜面” ， 再运用一些推理方法找到“谜底” 。典型例题使等式成立， 例【1】 将数字 0、1、3、4、5、6 填入下面的 内，使等式成立，每个空格只填 入一个数字，并且所填的数字不能重复。 入一个数字，并且所填的数字不能重复。×分析 先看× ＝ 2 ，乘积是个两位数，个位数是＝2 ＝÷2，所给的数字 0，1，3，4，6 中只有 3×4立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；26启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION的个位数是 2，前面几个 可以填出来，3×4＝12，余下的 0，5，6 要组成一个两位数除以一个一 位数，商是 12 的除法算式，只能是 60÷5。 解3 ×4 ＝ 12 ＝ 6 0 ÷ 5个方格中，使算式成立。 例【2】 将数字 1～9 分别填在下面 9 个方格中，使算式成立。、 分析 算式（1）（2）是加减算式。可填的数字较多。而算式（3）+ ×= = =（ 1） （2） （3）是乘法算式，要考虑数字 1～9 中，哪两个数字的积等于另一个数字，所以先从乘法算式填起。 1． 乘法算式（3）中可以先填成 2×3＝6，余下的数字再分别填入（1）（2）中。 、 1＋4＝5，剩下的 7，8，9 不能组成（2）式。 1＋7＝8，剩下的 4，5，9 能组成 9－5＝4，或 9－4＝5。 1＋8＝9，剩下的 1，7，8 能组成 8－7＝1，或 8－1＝7。 2． 乘法算式（3）也可以填成 2×4＝8，那么： 1＋5＝6，剩下的 3，7，9 不能组成（2）式。 1＋6＝7，剩下的 3，5，9 不能组成（2）式。 3＋6＝9，剩下的 1，5，7 不能组成（2）式。 所以，此题答案是： 所以，此题答案是：1 1 9 27 4 38 5（或 9 64 5＝4 ）2 8 25 7 39 1（或 8 6 1 ＝7 ）填在方格里，使等式成立，每个数字只能用一次。 例【3】 把数字 1～9 填在方格里，使等式成立，每个数字只能用一次。÷＝÷ ＝÷分析 一位数组成除法算式商相等的情况：4÷2＝6÷3，6÷2＝9÷3，8÷2＝4÷1，所以可先填写 等式中的前 4 个数。如果先填 4÷2＝6÷3，剩下的 1，5，7，8，9 要组成一个三位数除以一个两 位数，商是 23 即 ，所得的积的个位一定是个双数，只能填 8。试验可知：79× ×2 ＝ 2＝158。如果先填 8÷2 ＝4÷1，剩下的 3，5，6，7，9 不能组成一个三位数除以一个两位数、商 是 4 的除以算式，所以等式中的前 4 个数不能填 8÷2＝4÷1。我们可以填 4÷2＝6÷3。 解4 ÷ 2 ＝6 ÷3 ＝ 1 58 ÷ 7 99 ÷ 3 ＝6 ÷2 ＝ 1 74÷ 5 8（第一种情况） 第一种情况）（第二种情况） 第二种情况）组成下面的加法算式，每个数字只许用一次， 例【4】 用数字 0～9 组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出 3 个 数字，请把这个算式补充完整。 数字，请把这个算式补充完整。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；27启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION4 ＋ 2 8分析 观察算式，三位数加三位数，其和为四位数，所以和的首位数字为 1。因为算式中 8 已出现， 故第一个加数的百位数字为 9 或 7。 如果第 1 个加数的百位数字为 9，则和的百位数为 1 或 2，而这时 1，2 都已用过，所以第 1 个加数 的百位数不是 9。 如果第 1 个加数的百位数字为 7，则和的百位数字必须为 0，且十位必向百位进一，此时 1，0，4， 2，8 都已用过，还剩下 9，6，5，3，这里只有一个双数，如果放在第 2 个加数或者和的个位，那 么和或者第 2 个加数的个位也必须是双数，这样显然不可能，所以 6 只能放在十位上，这样和的十 位就是 5，余下的分别填 9 和 3。 解7 6 4 ＋ 2 8 4 1 0 5 3例【5】 在下面算式的内填入一个合适的数字，使算式成立。 内填入一个合适的数字，使算式成立。0 0 9 － 5 0 1 9 3分析 由于（12）－9＝3，所以被减数的个位数字为 2；再看十位，由于 9－（0）＝9，所以减数 的十位数字为 0；再看百位，由于 9－0＝（9） ，所以差的百位数字为 9；最后看千位，由于（7） －5－1＝1，所以被减数的千位数字为 7。 解7 0 0 2 － 5 0 0 9 1 9 9 3在做算式迷这类题时， 看看它含有哪几种运 在做算式迷这类题时， 类题时 首先要观察题目中的算式， 首先要观察题目中的算式，小结算，要填的数是几位数，要填的数字是否规定好了，还是可以任意填。其次是要熟 要填的数是几位数，要填的数字是否规定好了，还是可以任意填。 练运用加减之间、乘除之间的逆运算关系进行推理。先确定能够确定的数字， 练运用加减之间、乘除之间的逆运算关系进行推理。先确定能够确定的数字，而且 每一步要把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。最后， 每一步要把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。最后，所有的空格填完之后 要检验一下，看看答案是否正确。 要检验一下，看看答案是否正确。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；28启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION第十五讲有趣的算式算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式子中，使一些数字 数字或运算符号“残缺” ，要我们根据运算法则，进行判断推理，从而把“残缺” 的算式补充完整，研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、 推理等思维能力。[基本常识] 1． 2． 3． 4． 首位数字不为 0。 两个数字相加，最大进位为 1，三个数字相加最大进位为 2。 两个数字相乘，最大进位为 8。 相同字母文字代表相同的数字，不同的字母文字代表不同的数字。在下面算式的□里填上合适的数字，使算式成立：可以这样想： 可以这样想：立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；29启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION为了便于叙述，我们将各方格用字母代替。 为了便于叙述，我们将各方格用字母代替。 第一步， A4B× 可知， 第一步，由 A4B×6 的个位数为 0 可知，B＝5。 第二步， A45× 可知， 345× 2070 第二步，由 A45×6＝1DE0 可知，A 只能为 2 或 3。但 A 为 3 时，345×6＝2070，不可能等于 1DE0，不合题意， 1DE0，不合题意，故 A＝2。 第三步， 245× □□5 可知， 的奇数， 第三步，由 245×C＝□□5 可知，乘数十位上的 C 是小于 5 的奇数，即 C 只可能是 1 或 3。 245×16&8□□□ 不合题意， □□□， 当 C 取 1 时，245×16&8□□□，不合题意，所以 C 不能取 1，只能取 3，故 C＝3。 这样，就可以填上所有的空格。 这样，就可以填上所有的空格。根据下式写出除法算式（）÷（）＝（）可以这样想：我们可以先给竖式编上号码，如下： 我们可以先给竖式编上号码，如下：和除数相乘， 从（3）连续移下两位可得出商的十位一定是 0，从商的个位 9 和除数相乘，积仍是三位数可得出 11□× □×9 除数的最高位一定是 1。从（1）减（2）差等于 9，除数的十位一定是 1，11□×9 的积是三位数 两种可能， 只有 0 和 1 两种可能，而如果是 0，余数不会是一位数 9，所以除数个位选 1。其它各位上数字迎 刃而解。 刃而解。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；30启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION拍脑袋提醒： 拍脑袋提醒：“ 。 “解谜”的准则： 先推后试” 初学者往往急于求成，拿到题就试解，结果欲速而不 解谜”的准则： 先推后试” 初学者往往急于求成，拿到题就试解， 所以“先推”是要认真分析题目， 类竖式谜中往往提供几个已知数字， 达。所以“先推”是要认真分析题目，在□、*类竖式谜中往往提供几个已知数字，这些 数字就是推理的基础，另外算式中某行的□ 的个数也是重要的推理依据。 数字就是推理的基础，另外算式中某行的□或*的个数也是重要的推理依据。第十六讲数字谜知识要点：猜谜语我们小朋友都喜欢吧。数字谜通常是给出一个算术运算的式子， 知识要点：猜谜语我们小朋友都喜欢吧。数字谜通常是给出一个算术运算的式子，但式子中都含有一些图形、数字、字母、符号等，用它们来表示特定的数字。要小朋友们动脑筋，想办法， 含有一些图形、数字、字母、符号等，用它们来表示特定的数字。要小朋友们动脑筋，想办法， 找到这些图形所表示的数。 找到这些图形所表示的数。[ 例 1 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数:5 + 1 4 7 7,其中一个加数是 5,就可以推算出另 7,其中一个加数是 5,就可以推算出另分析：根据加法之间的关系，先看个位, 分析：根据加法之间的关系，先看个位,两数相加的和是一个加数△ 再看十位数, 可以推算出□ 3.这个加法算式是 这个加法算式是:35 一个加数△代表的数是 2; 再看十位数,□＋1=4, 可以推算出□代表的数是 3.这个加法算式是:35 ＋12=47.请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? [ 例 2 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?爱 + 9 爱 爱 6分析： 根据加法之间的关系， 6,可能有两种情况:3＋3=6,8 可能有两种情况:3 分析： 根据加法之间的关系，先看个位,要想等于 6,可能有两种情况:3＋3=6,8＋8=16. 如果爱是 先看个位, 3,十位不可能得到 9.因此爱是 这个加法算式是:88 :88＋ 3,十位不可能得到 9.因此爱是 8. 这个加法算式是:88＋8=96.请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? [ 例 3 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?数 + 学 学 学0 1 0 分析：根据加法之间的关系，先看个位, 0,可能有两种情况:0＋0=0,5＋ 可能有两种情况:0 如果“ 分析：根据加法之间的关系，先看个位,要想等于 0,可能有两种情况:0＋0=0,5＋5=10. 如果“学” 0,十位 10.那么如果 那么如果“ 5,因为有进位 因为有进位, 是 0,十位 0＋( )=10 呢?我们发现不可能得到 10.那么如果“学”是 5,因为有进位,所以十位 5＋ 就可以了, 4=9,再加上进位正好是 10.因此 因此“ 5,“ ( )=9 就可以了,可以推算出 5＋4=9,再加上进位正好是 10.因此“学”是 5,“数”是 4. 这个加 法算式是:45 :45＋ 法算式是:45＋55=100. 5 － 1 8 根据减法之间的关系，先看个位,两数相减等于 8， 可能有三种情况：9－1=8，8－0=8， 根据减法之间的关系，先看个位, 可能有三种情况： 1=8， 0=8， 分析： 分析： 13－5=8。如果第一种情况☆=9， 不可能；如果第二种情况☆=8， 也不可能； 13－5=8。如果第一种情况☆=9，十位 5－9 不可能；如果第二种情况☆=8，十位 5－8 也不可能；立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；31[ 例 4 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数:启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。数 － 20 学雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION那么☆ =5， 不够， 13－5=8。 3=1。 那么☆只能是 3，□=5，3－5 不够，向十位借 1，13－5=8。十位 5 退 1 是 4，4－3=1。这个减法 算式是:53 35=18。 :53－ 算式是:53－35=18。请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? [ 例 5] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?分析：先从加法算式想起，个位上学＋1=6,所以推算出“ 十位上， =7， 分析：先从加法算式想起，个位上学＋1=6,所以推算出“学”表示 5；十位上，5＋“好”=7，推 所以推算出 算出“ 再看减法算式，减数个位上的“ 不够减。 算出“好”表示 2，再看减法算式，减数个位上的“学”表示 5，被减数的个位是 0，不够减。也 就是说这是一道退位减法题，这样， 2=5，推算出“ 就是说这是一道退位减法题，这样，被减数的十位上只能是 8，8 退 1 是 7，7－2=5，推算出“数” 所以， =8， =5， =2。 表示 8。所以，数=8，学=5，好=2。练习: 练习:第十七讲 十七讲等差数列求和（ 等差数列求和（一）小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗――数中的规律 小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗――数中的规律。那么对于一列有规律的数列我们怎么来 ――数中的规律。 求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题 但是， 分求和的问题， 求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂 点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！ 点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！我们先来认识什么是等差数列， 我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。这两列 ……＋49＋50； ……＋98＋100。 数都有共同的规律： 每一列数从第二项开始， 后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差 。 公差） 数都有共同的规律： 每一列数从第二项开始， 后一个数减去前一项的差都相等 相等差又叫公差） （ 像这样的数列我们将它称之为等差数列 等差数列。 像这样的数列我们将它称之为等差数列。 我们再来掌握两个公式，对于等差数列， 代表没一列数的和， 代表首项 首项（ 我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母 S 代表没一列数的和，字母 a 代表首项（即 ，字母 代表末项 末项， 代表项数 加数的个数） 项数（ ，那么 ＝（a 第 1 项） 字母 b 代表末项，字母 n 代表项数（加数的个数） 那么 S＝（a＋b）×n÷2。如果 n ， ， 不容易直接看出，那么可用公式来计算出来： ＝（b 不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1典型例题……＋1998＋ 的和。 例【1】 求 1＋2＋3＋……＋ 的和。分析解首项 a＝1，末项 b＝1999，项数 n＝1999。 S＝（a＋b）×n÷2 ＝（1＋1999）×1999÷2 ＝÷2 ＝ ＝1999000111＋112＋113＋……＋288＋ 的和。 例【2】 求 111＋112＋113＋……＋288＋289 的和。32立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION分析解首项 a＝111，末项 b＝289，公差 d＝1，项数 n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。 S＝（a＋b）×n÷2 ＝（111＋289）×179÷2 ＝400×179÷2 ＝200×179 ＝35800……＋196＋ 的和。 例【3】 求 2＋4＋6＋……＋196＋198 的和。分析解首项 a＝2，末项 b＝198，公差 d＝2，项数 n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。S＝（a＋b）×n÷2 ＝（2＋198）×99÷2 ＝200×99÷2 ＝100×99 ＝9900297＋294＋291＋……＋ 的和。 例【4】 求 297＋294＋291＋……＋9＋6＋3 的和。分析297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对于重新排列的这列数，首项 a＝3，末项 b＝297，公差 d＝3，项数 n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99。 S＝（a＋b）×n÷2 解 ＝（3＋297）×99÷2 ＝300×99÷2 ＝150×99 ＝14850例【5 】 分析－128－132－……－272－ 的和。 求 －128－132－……－272－276 的和。－128－132－……－272－276＝5000－（124＋128＋132＋……＋272＋276） ，对于 124＋128＋132＋……＋272＋276，可以利用等差数列的求和公式先计算出来，a＝124，b＝ 276，d＝4，n＝（276－124）÷4＋1＝38＋1＝39。 所以： 124＋128＋132＋……＋272＋276 ＝（124＋276）×39÷2 ＝400×39÷2 ＝200×39 ＝7800小结练习: 练习:对于简单的整数等差数列求和，要熟练掌握其求和公式和求项数的公式。 对于简单的整数等差数列求和，要熟练掌握其求和公式和求项数的公式。区分 的公式代表的数字分别是多少，有时要将数列顺序调换，才能使得后项减去前项等差。 a，b，d 代表的数字分别是多少，有时要将数列顺序调换，才能使得后项减去前项等差。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；33启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION第十八讲 十八讲新奇的算式除了上前面讲到的算式中所缺的数用方框表示外， 还有的算式中所缺的数用文字或字母来表示。 文 字算式秘在解答时不但要运用前面所讲到的方法， 而且要注意在同一道题中相同的文字或字母表示 同一个数字，不同的文字和字母就表示不同的数字。下面的加法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同 的数字，求这个算式。还可以这样想： 可以这样想： 可以这样想40＋10＋10＝60。 学过英语的同学可以看出算式中英文是 40＋10＋10＝60。但这个特点对解题无任 何帮助，此字母间的特点有： 何帮助，此字母间的特点有： N+N＝ 10。 1．由个位 Y＋0＝Y，则 N+N＝0 或 10。 E+E+进位 进位＝ 2．由十位 T＋0＝T，则 E+E+进位＝10 或 0，进位为 0 或 1。 不同百位要向千位进位。 3．由千位 O、I 不同百位要向千位进位。 不同千位要向万位进位。 4．由万位 F、S 不同千位要向万位进位。 结论： 结论： 所以个位没有进位， 不同， 1．因为特点 2，所以个位没有进位，则 N＝0，而 E、N 不同，所以 E＝5。 2．由特点 3，4，且百位最多进 2，I 最小为 1，所以 O＝9，I＝1。 这四组。 3．由特点 4，F＋1＝S，F、S 可能是 2，3；3，4；6，7；7，8 这四组。 R+T+T+1(进位 进位) 22→ 4．由结论 2 R+T+T+1(进位)≥22→试 失败（ ≥9 失败（O=9） T=6 R 无法取值） 失败 （F、S 无法取值） T=7 R=8 X=3 得解。 则 F=2 S=3 得解。 T=8 R=7 X=4 因其他数字已被使用。 5．Y 只能为 6，因其他数字已被使用。 结果下面的算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，当它们各代 表什么数字时算式成立。可以这样想： 由于被减数的千位是“ ， 所以“ =1”至少是“祝你好” 由于被减数的千位是“祝” 而减数与差的千位是 0，所以“祝=1”至少是“祝你好”的 所以“好啊好”至少是“祝你好” 于是， =9。 10 倍，所以“好啊好”至少是“祝你好”的 9 倍，于是， 好”=9。 “ 再从个位数字看出“ =8，从十位数字看出 字看出“ =0。 再从个位数字看出“啊”=8，从十位数字看出“你”=0。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；34启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION确定下式中各汉字代表的数字，使算式成立： 确定下式中各汉字代表的数字，使算式成立： 可以这样想：由于 4 与“克”的积为一位数“奥” ，可推断： 奥=8，克=2。式子中又有： 4×林=克奥=28 可知林=7。 式子中匹×4=4，得出匹=1，克=2。拍脑袋提醒： 拍脑袋提醒：解谜”的准则： 先推后试” 初学者往往急于求成，拿到题就试解， “解谜”的准则： 先推后试” 初学者往往急于求成，拿到题就试解，结果欲速 “ 。 而不达。所以“先推”是要认真分析题目， 而不达。所以“先推”是要认真分析题目，在□、*类竖式谜中往往提供几个已知 数字，这些数字就是推理的基础，另外算式中某行的□ 数字，这些数字就是推理的基础，另外算式中某行的□或*的个数也是重要的推理 依据。而在字母文字谜中大多一个数字也没有 大多一个数字也没有， 依据。而在字母文字谜中大多一个数字也没有，只能靠字母间的关系和特点来推 有的推理结果是唯一的，有的推理只能推出一个范围或几种可能性的解， 理。有的推理结果是唯一的，有的推理只能推出一个范围或几种可能性的解，这时才能用试解的 方法去完成它。因为此时要试的数字已比较少了 方法去完成它。因为此时要试的数字已比较少了。第十九讲 十九讲格点与面积在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。例如： 在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。例如： 右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。典型例题下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、 长方形、 例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、 长方形、 平行四边形和三角 形。它们的面积分别是多少？ 它们的面积分别是多少？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F A E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；35启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。 B C D雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1） ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2） ） （3） ） （4） ）YAZHI EDUCATION分析题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。是正方形， 2=4。 解 图（1）是正方形，边长是 2，它的面积是 2×2=4。 是长方形， 2=8。 图（2）是长方形，长是 4，宽是 2，它的面积是 4×2=8。 是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边， 图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边，使得平行四边形变成一 个长方形， 2=6。 个长方形，所求的面积是 3×2=6。 是三角形，将三角形扩展成一个长方形。 面积的一半， 图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。三角形 ABC 的面积是长方形 AFBC 面积的一半， 面积的一半， 三角形 ACD 的面积是长方形 ACDE 面积的一半，所以三角形 ABD 的面积是 （ 3× 2） ÷ 2 =6÷ =6÷2 =3 求下图中各图的面积。 例[2] 求下图中各图的面积。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分析 我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算。由上图可以看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形。可以利用例[1]所介绍的方法来计算这个三 角形的面积。或者将这个图形转化成一个大的长方形，如图（2） 。所求的图形面积就等于大长方 形面积的一半。 解法一 如图（1） ，左边长方形的面积是 4×3=12，右边三角形的面积是（4×3）÷2=6，整个图 形的面积是 12＋6=18。 解法二 如图（2） ，大长方形的面积是（8＋4）×3=36，所求图形的面积是：36÷2=18。下列左图的面积。 例[3] 求下列左图的面积。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B 立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑； E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?36A ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?F? ? ? ? ? D ?启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。C雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?YAZHI EDUCATION先要将所给图形切分成我们已经学会计算面积的图形， 分析 和例[2]的思考方法一样， 这样就可以计算出所给图形的面积。 解 将图形 ABCD 分成三角形 ABD 和三角形 BCD（上右图） ，又三角形 ABD 的面积等于长 方形 BDFE 的面积的一半， 所以三角形 ABD 的面积为 （4×3） ÷2=6， 则图形 ABCD 的面积为 6×2=12。求下图中图形的面积。 例[4] 求下图中图形的面积。A? ? ? ?B ? D? E?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? K ? ? H C ? ?? ? ? ? ? G ? ? F? ? ? ? ? ? ?分析 看到这样不规则的图形，我们首先想到的是将它分割成几个我们学习过的基本图形。这样，上图可以分割成一个三角形、一个正方形和一个长方形，可以别计算它们的面积。 解 图中三角形 ABK 的面积是（2×3）÷2=3，正方形 BCHK 的面积是 2×2=4，长方形 DEFG 的面积 是 4×1=4，则所求组合图形的面积是 3＋4＋4=11。在行间距都相等的格点图中，可以连结若干个小正方形面积单位， 小结在行间距都相等的格点图中，可以连结若干个小正方形面积单位，利用这些面积 单位可以计算出很多图形的面积。如果是一个规则图形，可以运用公式直接计算面积。 单位可以计算出很多图形的面积。如果是一个规则图形，可以运用公式直接计算面积。 当所给图形是一个组合图形或不规则的图形时，需要开动脑筋， 当所给图形是一个组合图形或不规则的图形时，需要开动脑筋，将它分割成我们熟悉的 基本图形。在计算每一个部分面积时，要充分利用格点图的特点，准确地找出所需数据。 基本图形。在计算每一个部分面积时，要充分利用格点图的特点，准确地找出所需数据。练习: 练习:第二十讲看谁算得巧（ 第二十讲看谁算得巧（三） 看谁算得巧知识要点：选用基准数和利用高斯求和进行巧算 知识要点：选用基准数和利用高斯求和进行巧算 重点及难点： 重点及难点：选用适当的基准数当许多大小不同而又比较接近的数相加时， 当许多大小不同而又比较接近的数相加时，我们可以选择其中一个数或接近于这些 数的整十数作为计数的基础，所选的这个数我们叫做基准数。 数的整十数作为计数的基础，所选的这个数我们叫做基准数。再把大于基准数的加 数分成基准数与某数的和，把小于基准数的加数用基准数减去某数的差的形式表示， 数分成基准数与某数的和，把小于基准数的加数用基准数减去某数的差的形式表示， 最后再利用加、减运算进行简便计算。 最后再利用加、减运算进行简便计算。立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；37启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION计算： 例 1： 计算：11+12+13+14+15+16这样想： 这样想：上面算式中的 6 个加数都接近于 10，我们把 10 当作基准数，每个加数都可分成 10， 当作基准数， 基准数与某数的和。 基准数与某数的和。 11+12+13+14+15+16 10+1） 10+2） 10+3） 10+4） 10+5） 10+6） =（10+1）+（10+2）+（10+3）+（10+4）+（10+5）+（10+6） =10×6+（1+2+3+4+5+6） =10×6+（1+2+3+4+5+6） =60+21 =81计算： 例 2：计算：16+17+18+1920， 作为基准数， 这样想： 这样想：上面算式中的 4 个加数都接近于 20，我们把 20 作为基准数，每个加数 都可用基准数减去某数的差的形式表示。 都可用基准数减去某数的差的形式表示。 16+17+18+19 =（20-4）+（20-3）+（20-2）+（20-1） =20× =20×4-4-3-2-1 =80- 4+3+2+1） =80-（4+3+2+1） =80=80-10 =70 在拓展课堂中，老师曾经给小朋友讲过数学家高斯小时候巧妙解题的故事， 在拓展课堂中，老师曾经给小朋友讲过数学家高斯小时候巧妙解题的故事，你们还记得他用了什 么方法解题吗？下面我们就用高斯求和的方法进行巧算。 么方法解题吗？下面我们就用高斯求和的方法进行巧算。计算： 例 3：计算：1+2+3+4+5+6+7+8这样想：我们发现： 这样想：我们发现：1+8=9，2+7=9，3+6=9，4+5=9，共有 4 个 9。1+2+3+4+5+6+7+8 1+8） 2+7） 3+6） 4+5） =（1+8）+（2+7）+（3+6）+（4+5） =9× =9×4 =36计算： 例 4：计算：1+2+3+4+5+6+7这样想：首先，我们把加法算式抄下来，然后再把这个算式倒着抄一遍，如下： 这样想：首先，我们把加法算式抄下来，然后再把这个算式倒着抄一遍，如下：1+2+3+4+5+6+7 7+6+5+4+3+2+1 容易发现， 但是， 容易发现，两个加式上下相对的两个数相加的和都是 8，共有 7 个 8，但是，7 个 8 的和是两个立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；38启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION的和， 的和的一半。 1+2+3+4+5+6+7 的和，所以原加式的和等于 7 个 8 的和的一半。 1+2+3+4+5+6+7 1+7） =（1+7）×7÷2 = 8 × 7÷ 2 =56÷ =56÷2 =28 还可以这样想： 还可以这样想：上面的算式有 7 个加数，其中 4 是中间的一个，我们可以把 4 当作基准数，每个 个加数， 是中间的一个，我们可以把 当作基准数， 减去某数的差的形式表示， 小于基准数 4 的用基准数 4 减去某数的差的形式表示，每个大于基准数的用基准数与某数的和的 形式表示。 形式表示。 1+2+3+4+5+6+7 +4+（4+1） 4+2） 4+3） =（4-3）+（4-2）+（4-3）+4+（4+1）+（4+2）+（4+3） =4× =4×7-3-2-1+1+2+3 =4× =4×7+0 =28[解题招术]其实，单数个连续的数相加，我们只要用正中间的那个数（当作基准数）乘以加 解题招术]其实，单数个连续的数相加，我们只要用正中间的那个数（当作基准数）数的个数，乘积就是这些加数的和。 为例， 中间的一个， 数的个数，乘积就是这些加数的和。以例 4 为例，题中加数共有 7 个，4 是中间的一个，所以这些 7=28。 加数的和就等于 4×7=28。 小朋友，通过这一讲的学习，你有没有发现，其实很多算式都有不同的计算方法， 小朋友，通过这一讲的学习，你有没有发现，其实很多算式都有不同的计算方法，你们要积极开 动脑筋，找出最巧妙的方法。 动脑筋，找出最巧妙的方法。练习: 练习:第二十一讲 二十一讲合理分组知识要点：小朋友们已学习了加、减运算。有些题目，已经列好算式， 知识要点：小朋友们已学习了加、减运算。有些题目，已经列好算式，要求你把所给的几个数合理分组，填入式子中，使等式成立。解这类题目， 所给的几个数合理分组，填入式子中，使等式成立。解这类题目，小朋友要仔细观 察，找出题中的规律，并能大胆进行尝试。 找出题中的规律，并能大胆进行尝试。 分别填入□ （每个数只能用一次） （每个数只能用一次 ： [ 例 1 ] 把 2、3、4、5 分别填入□中， 每个数只能用一次）□ ＋ □ － □ =□ 分析： +5=3+4，可以有以下几种填法： 分析：根据 2+5=3+4，可以有以下几种填法： 2+5-3=4； 3+4-5=2； 2+5-3=4； 3+4-5=2； 2+5-4=3； 3+4-2=5； 2+5-4=3； 3+4-2=5； 5+2-3=4； 4+3-5=2； 5+2-3=4； 4+3-5=2； 5+2-4=3； 4+35+2-4=3； 4+3-2=5.分别填入括号中， 每个数只能用一次） （每个数只能用一次 ， ，使两个算 [ 例 2 ] 把 2、6、7、8、9 和 14 分别填入括号中， 每个数只能用一次） 使两个算 （立德树人，传道解惑； 立德树人，传道解惑；39启发思维，成就英才。 启发思维，成就英才。雅智教育奥数讲义资料中小学课外辅导YAZHI EDUCATION式都成立： 式都成立：①（ ）+ （ ） =（ ） ； ②（ ）－（ ） =（ ）. 分析：通过观察， 这六个数可以分成下面两组:第一组:2 :2、 分析：通过观察，发现 2、6、7、8、9 和 14 这六个数可以分成下面两组:第一组:2、7、9；第二 :6、 .每一组中,最大的数等于其余两个数的和,因此, 根据加、减法之间的关系， 每一组中 组:6、8、14 .每一组中,最大的数等于其余两个数的和,因此, 根据加、减法之间的关系，有以下 种填法： 4 种填法： ⑴①（ ⑴①（ 2 ）+ （ 7 ）=（ 9 ） ； ②（14 ）－（ 6 ）=（ 8 ）. ⑵①（ ⑵①（ 7 ）+ （ 2 ）=（ 9 ） ； ②（14 ）－（ 8 ）=（ 6 ）. ⑶①（ ⑶①（ 6 ）+ （ 8 ）=（14 ） ； ②（ 9 ）－（ 2 ）=（ 7 ）. ⑷①（ ⑷①（ 8 ）+ （ 6 ）=（14 ） ； ②（ 9 ）－（ 7 ）=（ 2 ）之间添上加号（相邻的两个数字可以组成一个数） ，使他 ， [ 例 3 ] 在 1、2、3、4、5 之间添上加号（相邻的两个数字可以组成一个数） 使他 们的和等于 60。 们的和等于 60。45， 60， 分析：我们发现要}