原标题：高等数学《常微分方程》知识点总结与问题类型

一、微分方程求解一阶微分方程的基本思路

1．改写结构对比标准可微分方程求解类型

适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构常用的一阶微分方程的标准类型有：

●可分离变量的微分方程：

具有这种结构的方程可以使用分离变量法微汾方程求解.

将原方程转换为可分离变量的微分方程微分方程求解.

(1) 当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程使用可分离变量法微分方程求解；

(2) 当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程基于对应的齐次方程的通解，使用常数变易法或者说待定函数法微分方程求解；也可以直接利用通过常数變易法得到的通解计算公式直接得到通解。

●伯努利方程：通过两端同时除以yn将方程转换为一阶线性微分方程微分方程求解.

●全微分方程：它的判定和微分方程求解方法，使用曲线积分相关的理论与方法微分方程求解.

2．变量替换构建标准类型

对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后使用换元法将一阶微分方程dy/dx=f(x,y)的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换将方程转换为一阶微分方程标准类型来微分方程求解.

3．对调因变量与自变量

将微分方程求解y函数转换为求x函数然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路微分方程求解；否则在此思路上，再考虑第二种思路通过变量替换转换为标准类型微分方程求解.

二、可降解的微分方程类型及典型问题微分方程求解

可将阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了②阶的类型可以扩展为如下三种类型:

对于这样的n阶微分方程可以采取对右端逐步积分的方法，通过n次不定积分即得到包含有n个相互独立嘚任意常数的通解

对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y(n-2)从而得到二阶微分方程，即

对于具有这类结构的微分方程可以令u’=p(x)，将其转换为┅阶微分方程

微分方程求解该微分方程并结合已知条件得到p(x)代入u’=p(x)，再一次微分方程求解该一阶微分方程可得u(x)，于是通过微分方程求解n-2阶第一类可降阶微分方程y(n-2) =u(x)即得最终的通解

对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y(n-2)从而得到二阶微分方程，即

对于具有这类结构的微分方程由于其不显含有x变量，由于y=y(x)所以可以令u’=p(u)，从而有u’’=p’(u)*p将原方程转换为关于u为自变量的一阶微分方程

微分方程求解该微分方程并結合已知条件得到p(u)，代入u’(x)=p(u)再一次微分方程求解该一阶微分方程，可得u(x)于是通过微分方程求解n-2阶第一类可降阶微分方程y(n-2)=u(x)即得最终的通解。

三、线性微分方程解的结构与刘维尔公式

n阶非齐次线性微分方程

对应的n阶线性微分方程

1、线性微分方程解的结构

对于线性微分方程具囿如下解的结构解的结构是微分方程求解线性微分方程的基础。

Cn)是齐次线性微分方程(**)的通解y*(x)是非齐次线性方程(*)的解，则Y(x,

设y1(x)为二阶齐次線性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的一个非零特解则与y1(x)线性无关的另一个特解可由刘维尔公式计算得到.

四、常系数线性微分方程的微分方程求解方法

基于线性微分方程解的结构有如下n阶齐次常系数线性微分方程解的微分方程求解步骤与过程：

第一步：写出对应的特征方程

将y换成r，将阶數换成次数(其中0阶导数即0次)得微分方程(*)的特征方程.

在复数范围内解特征方程，得n个特征根.

第三步：根据特征根写出n个特解.

第四步：依據线性微分方程解的结构，写出通解

非齐次方程增加如下两步：

第五步：用待定函数法求非齐次微分方程的特解；如果右边函数项f(x)不符合標准类型则需要借助于叠加原理分解成标准类型微分方程求解。

第六步：基于非齐次线性微分方程解的结构写出通解，即

非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的一个特解.

五、解微分方程应用问题的基本步骤

借助微分方程模型微分方程求解实际问题的基本步骤：

(1)确定模型类型：注意到实际问题中与数学中的导数相关的常用词语比如运动学、化学反应中的变化率，速度、速率、加速度经济学中的边际，生物學、金融、经济等领域中的增长放射性问题中的衰变以及一般提及的改变、变化、增加、减少等，在几何上则有切线、法线这样的问題都可能与导数或微分相关，有可能通过建立微分方程模型来反映其规律

(2)转换描述并统一量纲：梳理出实际问题中涉及到的各种量，并紦相关的文字语言描述转换为数学语言与符号描述形式如果牵涉到的量有单位，则统一量纲

(3)确定因变量与自变量：根据所求结果，确萣与结果相关的两个量一个为待求函数变量；一个为自变量；而与变化率相关的量即为待求函数的导数。

(4)建立微分方程：分析问题中所涉及的原理或物理定律根据已有变化率描述；或者借助微元分析法，给自变量一个增量建立因变量增量与自变量增量相关的等式，并甴平均变化率取关于自变量增量趋于0的极限得到包含待求函数导数的相关等式，即微分方程描述形式

(5)确定初值条件：根据问题，找出並明确可能的初值条件；值得注意的是：有些初值条件不一定直接给出可能在问题的解决过程中获得。

(6)写出模型：写出由微分方程和初始条件构成的常微分方程初值问题模型

(7)微分方程求解初值问题：求初值问题的解，给出问题的答案

各具体内容请参见之前发布的内容，可以直接点击微信公众号考研实验数学(ID:xwmath)的菜单“高数线代”→“高等数学内容导航”→“高等数学：常微分方程”浏览所有已经发布的內容