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自动控制原理第七章z变换
第七章? 线性离散系统的分析与校正课前复习- z变换的定义?在线性连续系统中，连续时间函数f(t)的拉氏变换为F(s);同样在线性离散系统中，也可以对采样信号f*(t)作拉氏变换。采样信号f*(t)拉氏变换L? ?f*? kTS ? F s ? f kT e ? t ?? ? ? ? ? ? ? * k ?0?z ? e TSF ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?栗忍 83#D103课前复习-z变换的级数求和法z变换的级数求和法F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0 ?F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? k ? f ? 0 ? ? f ?T ? z ?1 ? f ? 2T ? z ?2 ? f ? 3T ? z ?3 ? ?k ?0?例 求指数函数f（t）的z变换? e ?at f(t ) ? ? ?0t ? 0 t ? 0栗忍 83#D103课前复习-级数求和法F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? k ? f ? 0 ? ? f ?T ? z ?1 ? f ? 2T ? z ?2 ? f ? 3T ? z ?3 ? ?k ?0 ?解：f (kT ) ? e?? akTk ? 0,1,2,?F ( z ) ? Z [e ? at ] ? e? 2aT? akT ?k ? aT ?1 e z ? 1 ? e z ? ? k ?0 ?3z?2?e? 3aTz?? ?1 1 ? e ? aT z ?1z ? z ? e ? aT栗忍 83#D1037.1 z变换与反变换1. z变换部分分式法 2. z变换留数法 3. z变换性质 4. z反变换方法 （部分分式、幂级数法、留数法）栗忍 83#D1037.1.2、 z变换-部分分式法求它所对应的z变换式F(z)。?F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0??设连续信号f(t)没有直接给出，但给出了f(t)的拉氏变换式F(s)，首先为了进行拉氏变换，将F(s)写成部分分式之和的形式，即：Ai F ( s) ? ? i ?1 s ? si式中，n为F(s)的极点数目；Ai为常数，Si为F(s)的极点。?n然后，由拉氏反变换得出f(t)为f (t ) ? ? Ai ei ?1nsi t栗忍 83#D1037.1.2、 z变换-部分分式法f (t ) ? ? Ai e siti ?1 n对上式中的每一项，都可以利用指数函数的z变换直接写 出它所对应的z变换式，这样就得到了F(z)如下：?? at 指数函数z变换 F(z ) ? Z [e ] ?z z ? e ?aTnAi F ( s) ? ? i ?1 s ? sinAi z F ( z) ? ? si T i ?1 z ? e栗忍 83#D1037.1.2、 z变换-部分分式法Ai F ( s) ? ? i ?1 s ? sin例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 a F ( s) ? s( s ? a) 解：a 1 1 F (s) ? ? ? s( s ? a) s s ? a由Ai z F ( z) ? ? si T z ? e i ?1n可得z z z(1 ? e-aT ) F ( z) ? ? ? 2 - aT z?1 z?e z ? (1 ? e- aT ) z ? e- aT栗忍 83#D1037.1.2、 z变换-部分分式法Ai F ( s) ? ? i ?1 s ? sin例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 a F ( s) ? 2 s ? a2 解：a ?1/ 2 j 1/ 2 j F ( s) ? 2 ? ? 2 s ?a s ? ja s ? ja1 1 1 1 F(z ) ? ? ? ? jaT ?1 2j 1 ? e 2j 1 ? e jaT z ?1 zz ?1 sin aT ? 1 ? 2z ?1 cos aT ? z ? 2栗忍 83#D103e i? ? cos ? ? i sin ?7.1.2、 z变换-部分分式法1 s 2 ( s ? 1)Ai F ( s) ? ? i ?1 s ? sin例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。F (s) ?解： F ( s) ?A1 ? s 2 F (s) s?0 ? 1d 2 A2 ? s F ( s) ds??A3 1 A1 A2 ? 2? ? 2 s ( s ? 1) s s s ?11 1 1 F ( s) ? 2 ? ? s s s ?1Tz ?1 1 1 F ( z) ? ? ? ? (1 ? z ?1 ) 2 1 ? z ?1 1 ? e ?T z ?1 (T ? e ?T ? 1) z ?1 ? (1 ? e ?T ? Te ?T ) z ? 2 (1 ? z ?1 ) 2 1 ? e ?T z ?1??s ?01 ?? (s ? 1) 2? ?1s ?0A3 ? ?(s ?1)F (s)? s??1 ? 1栗忍 83#D103??7.1.3、 z变换-留数法?若已知连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及全部极点si，则f(t)的z变换可用留数计算法求取，即：n1 ? ? F ( z ) ? ? Re s ? F ( s ) ? sT ?1 ? 1 ? e z ? s ? si ? i ?1 z ? ? Re s ? F ( si ) ? ? si T ? z ?e ? ? i ?1 n ? 1 d ri ?1 ? z ri ( s ? si ) F ( s ) ? ? ri ?1 ? sT ( r ? 1 )! z ? e ds ? i ? n1 ?1 ? i栗忍 83#D103n1?? ? ? ? ? s ? si7.1.3、 z变换-留数法式中 si (i ? 1,2 ， ,?, n1 ) 为F(s)的n1个单极点；Re s???为极点 s ? si 处的留数。n n1si (i ? n1 ? 1, n1 ? 2,?, n) 为F(s)的n-n1个重极点； ri 为重极点 si 的阶数；T为采样周期；1 ? ? F ( z ) ? ? Re s ? F ( s ) ? sT ?1 ? 1 ? e z ? s ? si ? i ?1 z ? ? Re s F ( s ) ? ? i si T ? ? z ? e ? ? i ?1 n ? 1 d ri ?1 ? z ri ( s ? s ) F ( s ) ? ? i ri ?1 ? z ? e sT ? i ? n1 ?1 ? ( r i ? 1)! ds?? ? ? ? ? s ? si栗忍 83#D1037.1.3、 z变换-留数法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 a F ( s) ? s( s ? a) 解： F ( z ) ? ? Re s ? ? F ( s)n i ?1?1 ? 1 ? e sT z ?1 ? ? s ? si? a ? 1 ? ? Re s ? sT ?1 ? i ?1 ? s ( s ? a ) 1 ? e z ? s ?0, ? a2? ? ? ? a 1 a 1 ? ?s ? ( s ? a ) ? sT ?1 ? s ( s ? a ) 1 ? e sT z ?1 ? ? s ( s ? a ) 1 ? e z ? s ?0 ? ? s ?? a1 1 (1 ? e ? aT ) z ?1 ? ? ? ?1 ? aT ?1 1? z 1? e z (1 ? z ?1 )(1 ? e ?aT z ?1 )栗忍 83#D1037.1.3、 z变换-留数法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。a s2 ? a2 n 1 ? ? F ( z ) ? Re s F ( s ) 解： ? ? 1 ? e sT z ?1 ? ? ? s ?si i ?1 F ( s) ?1 ? a ? ? ? Re s ? 2 2 sT ?1 ? s ? a 1? e z ? ? s ?? ja i ?12a 1 a 1 ? ? ? ? ? ?(s ? ja) 2 ? ( s ? ja ) s ? a 2 1 ? e sT z ?1 ? s 2 ? a 2 1 ? e sT z ?1 ? ? ? s ?? ja ? ? ? s ? ja1 1 1 1 (sin aT ) z ?1 ?? ? ? ? jaT ?1 jaT ?1 2 j 1? e z 2 j 1? e z 1 ? (2 cosaT ) z ?1 ? z ?2栗忍 83#D1037.1.3、 z变换-留数法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。F ( s) ? 1 ( s ? a) 2解：1 ? ? F ( z ) ? Re s ? F ( s ) 1 ? e sT z ?1 ? ? ? s ? si ? 1 ? 1 ? Re s ? 2 sT ?1 ? ( s ? a ) 1 ? e z ? s?? a ? ? 1 d ? 1 1 2 ? (s ? a) ? (2 ? 1)! ds ? ( s ? a ) 2 1 ? e sT z ?1 ? ? s ?? a ??1 ? eTe sT z ?1sTz?1 2 s?? a???1 ? eTe ? aT z ?1? aTz ?1?2栗忍 83#D1037.1.3、 z变换? (t )11 s1 s2 1 s3 1 s ? a 1 (s ? a) 21z z ?1zT ( z ? 1) 2z ( z ? 1)T 2 2( z ? 1) 31(t )tt /22e ? atz z ? e ? aTte? atzTe ? aT ( z ? e ?aT ) 2z sin ?T z ? 2 z sin ?T ? 12sin ? tcos ? ts2 s2? ??2s ??2z 2 ? z cos?T z 2 ? 2 z cos?T ? 1栗忍 83#D1037.1.4、 z变换性质1 线性定理若Z[ f (t )] ? F ( z )F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?Z[ g (t )] ? G( z )x(t ) ? ?f (t ) ? ?g (t )相加与相乘X ( z ) ? ?F ( z ) ? ?G( z )乘以 ? k 后的z变换？证明：Z[? k f (k )] ? F (? ?1z)?kZ [? f (k )] ? ?? f (k ) zk k k ?0?? ? f (k )(? ?1 z ) ?k ? F (? ?1 z )k ?0?栗忍 83#D1037.1.4、 z变换性质2.实数平移定理（位移定理）F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?Z[ f (t ? nT )] ? z ? n F ( z)Z [ f (t ? nT )] ? z n [ F ( z ) ? ? f (kT ) z ?k ]k ?0 n ?1滞后 超前证明：Z [ f (t ? nT )] ? ? f (kT ? nT ) z ?k ? z ?n ? f (kT ? nT ) z ?( k ?n )k ?0 k ?0??令 m ? k ?nZ [f(t ? nT )] ? z ? nm ? ?n?m ?n f ( mT ) z ? z F(z ) ??栗忍 83#D1037.1.4、 z变换性质F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?例：求 f (k ? 1) 、 f (k ? 2) 、f (k ? n) 和 f (k ? n)的z变换。f (k ? n) 是向左移了n个采样周期的序列（时间超前）f (k ? n) 是向右移了n个采样周期的序列（时间滞后）Z[ f (k ? 1)] ? zF ( z) ? zf (0)Z[ f (k ? 2)] ? z 2 F ( z) ? z 2 f (0) ? zf (1)Z[ f (k ? n)] ? z n F ( z) ? z n f (0) ? z n?1 f (1) ? z n?2 f (2) ? ?? zf (n ?1) Z[ f (k ? n)] ? z ?n F ( z)栗忍 83#D1037.1.4、 z变换性质3.复数平移定理Z ? f (t )? ? F ( z)F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?Z e?at f (t ) ? F ( ze aT )证明：??Z e ?at f (t ) ? ? f (kT )e ?akT z ?k ? ? f (kT )(ze aT ) ?k ?F ( ze aT )k ?0 k ?0????栗忍 83#D1037.1.4、 z变换性质例 ：求 te? at 的z变换。Tz ?1 Z ?t ? ? (1 ? z ?1 ) 2 Z te ?atF ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?? ?Te ? aT z ?1 ? (1 ? e ?aT z ?1 ) 2栗忍 83#D1037.1.4、 z变换性质4.初值定理Z ? f (t )? ? F ( z)z ??F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?lim F ( z )存在z ??f (0) ? lim F ( z )5.终值定理 假设当k&0时f(k)=0，它的z变换F(z)的所有极点都在 单位圆内，可能的例外是在单位圆上z=1处有单极点。f (?) ? lim f (k ) ? lim (1 ? z ?1 ) F ( z )k ?? z ?1??栗忍 83#D1037.1.4、 z变换性质F ? z ? ? ? f ? kT ?z ? kk ?0?例：如果 f (t )的z变换由下式给出，试确定其初始值f(0)。(1 ? e ?T ) z ?1 F ( z) ? (1 ? z ?1 )(1 ? e ?T z ?1 )1 1 ? 例：用终值定理确定下式的终值f(?)。F ( z ) ? ?1 1? z 1 ? e ?T z ?1(1 ? e?T ) z ?1 f (0) ? lim F ( z ) ? lim ?0 ?T ?1 z ?? z ?? (1 ? z ?1 )( 1? e z )1 1 ? ? ?1 f (?) ? lim (1 ? z ) F ( z ) ? lim ?(1 ? z )( ? ) z ?1 z ?1 1 ? z ?1 1 ? e ?T z ?1 ? ? ??1??? 1 ? z ?1 ? ? lim ?1 ? ) ?1 ?T ?1 ? z ?1 ? 1? e z ?栗忍 83#D103小结-z变换方法与性质z变换的部分分式法 z变换的留数法 Z变换线性性质F ( z) ?? z ?ei ?1nAi zsi TX ( z ) ? ?F ( z ) ? ?G( z )Z e?at f (t ) ? F ( ze aT )z变换实数、复数位移定理 z变换初值、终值定理z ????f (0) ? lim F ( z ) f(?) ? lim (1 ? z ?1 ) F(z )z ?1??栗忍 83#D1037.1.5、z反变换z变换在离散控制系统中所起的作用与拉氏变换在 连续控制相同中所起的作用是同样的。??z反变换的符号为 Z ?1 。F(z)的z反变换产生相应的时间序列f(k)。??注意：由z反变换获得的仅是在采样瞬时的时间序列。因而，F(z)的z反变换获得的仅是单值的f(k)，而 不是单值的f(t)。栗忍 83#D103Z反变换的方法1 部分分式法（查表法）2 幂级数法（综合除法）3 留数法（反演积分法）栗忍 83#D1037.1.5、z反变换-部分分式法b0 z m ? b1 z m?1 ? ? ? bm?1 z ? bm F ( z) ? n z ? a1 z n?1 ? ? ? an?1 z ? an m?n首先，对F(z)的分母多项式进行因式分解，并求其极点：b0 z m ? b1 z m?1 ? ? ? bm?1 z ? bm F ( z) ? ( z ? p1 )(z ? p2 )?( z ? pn )?注意：若分母和分子多项式的系数都是实数的话，那么任何一个复数极点或复数零点，都分别伴有共扼复数 的极点或零点。栗忍 83#D1037.1.5、z反变换-部分分式法?当F(z)的极点全部是低阶极点，并且至少有一个零点是在坐标原点（即bm=0）时，一般采用的反变换求 解步骤是，用z去除F(z)表达式的两端，然后将F(z)/z 展开成部分分式。展开后的F(z)/z，将是下列形式an F ( z) a1 a2 ? ? ??? z z ? p1 z ? p2 z ? pnF ( z) ? ? ai ? ??z ? pi ? ? z ? ? z ? pi栗忍 83#D103单极点7.1.5、z反变换-部分分式法?若F(z)/z有多重极点，例如，在 z ? p1 处有二重极点且无其他极点，那么F(z)/z将有如下形式： F ( z) c1 c2 ? ? 2 二重极点 z ?z ? p1 ? z ? p1? 2 F ( z) ? c1 ? ?? z ? p1 ? ? z ? ? z ? p1?d ? 2 F ( z) ?? c2 ? ? ??z ? p1 ? ? ? z ?? z? p ? dz ? 1栗忍 83#D1037.1.5、z反变换-部分分式法例：试求F(z)反变换f(k)。F ( z) ? 10z ( z ? 1)(z ? 0.2)解： F ( z ) ? 12.5 ? 12.5 z z ? 1 z ? 0.2? 1 ? Z ? ?1 ?1 ? ?1 ? z ??11 ? 1 ? F ( z ) ? 12.5? ? ?1 ?1 ? 1 ? 0.2 z ? ?1? z1 ? ? k Z ?1 ? ? 0 . 2 ?1 ? ?1 ? 0.2 z ?f (k ) ? 12.5 1 ? 0.2kf (0) ? 0 f (1) ? 10??k ? 0,1,2,?f (3) ? 12.4 f (4) ? 12.48f (2) ? 12栗忍 83#D1037.1.5、z反变换-部分分式法(1 ? e ? aT ) z ( z ? 1)(z ? e ?aT ) 式中，a为常数，且T为采样周期，试用部分分式展开法 求解它的z反变换f(kT)。 1 1 F ( z) 1 1 F ( z) ? ? ? ? ? 1 ? aT ?1 解： ? aT 1 ? z 1 ? e z z z ?1 z ? e? 1 ? Z ? ?1 ?1 ? ?1 ? z ??1例：已知z变换 F ( z) ?1 ? ? ? akT Z ?1 ? ? e ? aT ?1 ?1 ? e z ? ?f (kT ) ? 1 ? e?akT栗忍 83#D103k ? 0,1,2,?7.1.5、z反变换-部分分式法z?2 F ( z) ? ( z ? 2) z 2 求解它的z反变换f(kT)。 1 1 1 z ?1 ?2 ?1 F ( z) ? ? 2? ? ? z ? z z?2 z z 1 ? 2 z ?1例：已知z变换注意：在z=0处，F(z)有双重极点。k ?1 ?1 ? ? ? 2 k ? 1,2,3,? z ?1 Z ? ?? ?1 ? k ?0 ?1 ? 2 z ? ? 0栗忍 83#D1037.1.5、z反变换-部分分式法Z ?1 z ?2 ? 1 Z ?1?1? ? ?z ? ? 1k ?2 k ?1k ?0 ? 0?0?0 ? 0 ? 1 ? 0 ?1 ? 0 k ?1 ? f (k ) ? ? k ?2 ? 2 ?1 ? 0 ? 1 k ?1 k ?1 ? 2 ? 0 ? 0 ? 2 k ? 3,4,5,? ? k ? 0,1 ? 0 ? f (k ) ? ? 1 k ?2 ?2 k ?1 k ? 3,4,5, ? ?栗忍 83#D1037.1.6、z反变换-幂级数法?把F(z)展开成z-1的无穷幂级数，以获取z反变换。特点：在确定z反变换闭合表达式较困难的场合， 以及只求取f(k)的前几项时，直接除法是很有效的。F ( z ) ? ? f (kT ) z ?k ? f (0) ? f (T ) z ?1 ? f (2T ) z ?2 ? ? ? f (kT ) z ?k ? ?k ?0 ?例：试求F(z)反变换f(k)，k=0,1,2,3,410z ? 5 F ( z) ? ( z ? 1)(z ? 0.2)栗忍 83#D1037.1.6、z反变换-幂级数法将F(z)写成的 z ?1 多项式之比10 z ?1 ? 17 z ?2 ? 18.4 z ?3 ? 18.68z ?4 ? ??1 ?2 1 ? 1.2 z ?1 ? 0.2 z ?2 10z ? 5z 10z ?1 ? 12z ?2 ? 2 z ?3F ( z) ?10z ? 5 ( z ? 1)(z ? 0.2)10z ?1 ? 5 z ?2 F ( z) ? 1 ? 1.2 z ?1 ? 0.2 z ?217z ?2 ? 2 z ?317z ?2 ? 20.4 z ?3 ? 3.4 z ?4 18.4 z ?3 ? 3.4 z ?4 18.4 z ?3 ? 22.08z ?4 ? 3.68z ?518.68z ?4 ? 3.68z ?5 18.68z ?4 ? 22.416z ?5 ? 3.736z ?6栗忍 83#D1037.1.6、z反变换-幂级数法F ( z) ? 10z ?1 ? 17z ?2 ? 18.4z ?3 ? 18.68z ?4 ? ?f (0) ? 0 f (1) ? 10 f (2) ? 17 f (3) ? 18.4 f (4) ? 18.68?由上例可见，如果仅仅希望求取序列的前几项，直接除法可用手算来实现。直接除法一般不产生 f(k)的闭合表达式。栗忍 83#D1037.1.6、z反变换-幂级数法?若f(t)的z变换为F(z)，则n 1 k ?1 k ?1 f (kT ) ? F ( z ) z dz ? Re s F ( z ) z ? 2?j ?? i ?1??z ? zi例：F ( z) ?n0.5 z ( z ? 1)(z ? 0.5)f (kT ) ? ? Re s F ( z ) z k ?1i ?1??z ? zi? ? 0.5 z k ? ? Re s ? ? ( z ? 1 )( z ? 0 . 5 ) i ?1 ? ? z ?1, 0.52? ? ? ? 0.5 z k 0.5 z k k ? ?( z ? 1) ? ( z ? 0 . 5 ) ? 1 ? 0 . 5 ? ? ? ( z ? 1 )( z ? 0 . 5 ) ( z ? 1 )( z ? 0 . 5 ) ? ? z ?1 ? ? z ?0.5f * (t ) ? f (kT )?T (t ) ? 1 ? 0.5k ?T (t )栗忍 83#D103??7.1.6、z反变换-幂级数法例：求2(a ? b) z 的z反变换。 F ( z) ? ( z ? a)(z ? b)ni解： f (kT ) ? ? Re s?F ( z ) z k ?1 ?z ? zi ?12? 2(a ? b) z k ? ? ? Re s ? ? ( z ? a )( z ? b ) i ?1 ? ? z ? a ,b? ? 2(a ? b) z k ? 2(a ? b) z k ? ? ?( z ? a) ? ? ?( z ? b) ? ( z ? a )( z ? b ) ( z ? a )( z ? b ) ? ? z ?a ? ? z ?b? 2(a k ? bk )f (t ) ? f (kT )?T (t ) ? 2 a ? b ?T (t )* k k??栗忍 83#D1037.1.7、关于z 变换的说明?z 变换的非唯一性z 变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此 z 变换与原连续时间函数并非一一对应，而只是与采样序列相对应。 z 变换的收敛区间 对于拉氏变换，其存在的条件是下列绝对积分收敛：?z 变换也有存在性问题，通常，z 变换定义为令??0e(t )e ??t dt ? ?E( z) ?n ? ??? e(nT) z??nz ? e sT 因为 s ? ? ? j?则z ? eaT e j?T栗忍 83#D1037.1.7、关于z 变换的说明若令， r ?| z |? eaT 则有 z ? re j?T 于是 E ( z ) ?n ? ?? ? n j?T e ( nT ) r e ? ??n e ( nT ) r ?? ? ?上述级数收敛的条件是：n ? ??若上式满足，则 z 变换一致收敛， e(nT ) 的 z 变换存在。 e(nT ) ? 0(n ? 0) 工程中通常有 ? E ( z ) ? ? e(nT ) z ?nn ?0它是单边的，且 E ( z ) 为有理分式函数。 所以， z 变换的收敛区间与 E ( z ) 的零极点分布有关。栗忍 83#D1037.1.7、关于z 变换的说明例 如：e(nT ) ? a n1(nT ) E( z) ? ? a zn ?0 ? n ?na ?n ? ?( ) n ?0 z?Im Z平面 发散区上式只有当z ?r ? a才收敛，|a|Re 收敛区其收敛区间为 ( z ? a ) ，这时z E ( z) ? z?az?a栗忍 83#D103小结-重点z变换的部分分式法、留数法 z反变换的定义 z反变换的部分分式法、幂级数法、留数法 关于z变换的两点说明栗忍 83#D103Homework＃Chapter7P353-7.2、7.3 （书面作业）栗忍 83#D103
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