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高中数学知识精要_16.解析几何-圆锥曲线教案_新人教a版.doc 圆锥曲线1圆锥曲线的定义（1）定义中要重视“括号”内的限制条件椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，122A2A21FF当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；21FF1221FF双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小122A2A于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以122A122A12F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹122A12仅表示双曲线的一支。抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线如①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是0,3,0,321FF?A．421??PFPFB．621??PFPFC．1021??PFPFD．（答C）；122221??PFPF②方程表示的曲线是_____（答双曲线的左支）2222668XYXY??????（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P（X,Y）,则Y|PQ|的最小值是0,22Q42XY?_____（答2）2圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）（1）椭圆焦点在轴上时（）（参数方程，X12222??BYAX0AB????COSSINXAYB????其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆?Y2222BXAY?0AB??22AXBYC??的充要条件是什么（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答12322????KYKXK）；113,,222????（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是RYX?,62322??YXYX?22YX?___（答）5,2（2）双曲线焦点在轴上1，焦点在轴上＝1（X2222BYAX?Y2222BXAY?）。方程表示双曲线的充要条件是什么（ABC≠0，且A，B异号）0,0AB??22AXBYC??。如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程2514922??YX2_______（答）；2214XY??（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点O1F2F2?E，则C的方程为_______（答）10,4?P226XY??（3）抛物线开口向右时，220YPXP??开口向左时，220YPXP???开口向上时，220XPYP??开口向下时。220XPYP???3圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）（1）椭圆由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程X2Y2表示焦点在Y轴上的椭圆，则M的取值范围是__（答12122????MYMX）23,11,????（2）双曲线由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；X2Y2（3）抛物线焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位12置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题,AB时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，A222ABC??C。222CAB??4圆锥曲线的几何性质（1）椭圆（以（）为例）①范围12222??BYAX0AB??；②焦点两个焦点；③对称性两条对称轴，,AXABYB??????,0C?0,0XY??一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线,0,0,AB??AB两条准线；⑤离心率，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，2AXC??CEA??01E??EE椭圆越扁。如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答3或）；（2）以1522??MYX510?EM325椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答）22（2）双曲线（以（）为例）①范围或；22221XYAB??0,0AB??XA??,XAYR??②焦点两个焦点；③对称性两条对称轴，一个对称中心（0,0），两,0C?0,0XY??个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称,0A?AB为等轴双曲线，其方程可设为；④准线两条准线；⑤离心率22,0XYKK???2AXC??，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；CEA??1E??2E?EE用心爱心专心3⑥两条渐近线。BYXA??如（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答023??YX或）；）双曲线的离心率为，则（答4或）；（3）221AXBY??5AB14设双曲线（A0,B0）中，离心率E∈,2,则两条渐近线夹角Θ的取值范12222??BYAX2围是________（答）；,32??（3）抛物线（以为例）①范围；②焦点一个焦点220YPXP??0,XYR??，其中的几何意义是焦点到准线的距离；③对称性一条对称轴，没有对,02PP0Y?称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线一条准线；⑤离心率，抛物线2PX??CEA?。如设，则抛物线的焦点坐标为________（答）；?1E?RAA??,024AXY?161,0A5、点和椭圆（）的关系00,PXY12222??BYAX0AB??（1）点在椭圆外；00,PXY?2200221XYAB??（2）点在椭圆上＝1；00,PXY?220220BYAX?（3）点在椭圆内00,PXY?2200221XYAB??6．直线与圆锥曲线的位置关系（1）相交直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线0???0???相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，0??故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，0??0???但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交0??且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。0??如（1）若直线YKX2与双曲线X2Y26的右支有两个不同的交点，则K的取值范围是_______（答,1）；315（2）直线YKX10与椭圆恒有公共点，则M的取值范围是_______（答2215XYM??1，5）∪（5，∞））；（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样12122??YX的直线有_____条（答3）；（2）相切直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线0???0???0???与抛物线相切；（3）相离直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线0???0???0???4与抛物线相离。特别提醒（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如2222BYAX?00,PXY下①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答4,2XY82?2）；（2）过点0,2与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为116922??YX______（答）；445,33????????????（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足1222??YXL?AB条件的直线有____条（答3）；L（4）对于抛物线C，我们称满足的点在抛物线的内部，XY42?0204XY?,00YXM若点在抛物线的内部，则直线与抛物线C的位置关系是,00YXML200XXYY??_______（答相离）；（5）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长XY42?F分别是、，则_______（答1）；PQ??QP11（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和191622??YXFLM右准线分别于，则和的大小关系为___________填大于、小于或等于RQP,,PFR?QFR?（答等于）；（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答）；284722??YX01623???YX81313（8）直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、1??AXY1322??YXABAA分别在双曲线的两支上②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点（答①BA；②）；??3,3?1A??7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。RED?D如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为1162522??YX____（答）；353（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的XY82?Y用心爱心专心5焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答MM）；（4）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两7,2,4?192522??YX倍，则点P的横坐标为_______（答）；2512（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离XY22?Y为______（答2）；（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使13422??YX1,1?P之值最小，则点M的坐标为_______（答）；MFMP2?1,362?8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别00,PXY12,FF为，焦点的面积为，则在椭圆中，①＝，且12,RR12FPF?S12222??BYAX?12ARCCOS212?RRB当即为短轴端点时，最大为＝；②，12RR?P??MAX222ARCCOSACB?20TAN||2SBCY???当即为短轴端点时，的最大值为BC；对于双曲线的焦点三角形0||YB?PMAXS22221XYAB??有①；②。如（1）短轴长为，离心??????????21221ARCCOSRRB?2COTSIN21221??BRRS??5率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为32?E1F2F1F2ABF?________（答6）；（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右0222???AAYX焦点，若，|PF1|6，则该双曲线的方程为（答）；0212??FFPF224XY??（3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当0时，点P的横22194XY??PF2→PF1→坐标的取值范围是（答）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率E＝3535,55?，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是26AB与等差中项，则＝__________（答）；（5）已知双曲线的离心率为2AF2BFAB822，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲?6021??PFF31221??FPFS线的标准方程（答）；221412XY??9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦，M为准线与X轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的1111延长线交准线于C，则BC平行于X轴，反之，若过B点平行于X轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。10、弦长公式若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的YKXB??12,XX6横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝AB2121KXX??12,YYAB，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别21211YYK??XKYB??AB2121KYY??地，焦点弦（过焦点的弦）焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线Y24X的焦点作直线交抛物线于A（X1，Y1），B（X2，Y2）两点，若X1X26，那么|AB|等于_______（答8）；（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|10，O为坐标原点，则ΔABCXY22?重心的横坐标为_______（答3）；11、圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率K－；在双曲线12222??BYAX00,PXY0202YAXB中，以为中点的弦所在直线的斜率K；在抛物线22221XYAB??00,PXY0202YAXB中，以为中点的弦所在直线的斜率K。220YPXP??00,PXY0PY如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是221369XY??（答）；（2）已知直线Y－X1与椭圆相交于A、B280XY???222210XYABAB????两点，且线段AB的中点在直线LX－2Y0上，则此椭圆的离心率为_______（答）；22（3）试确定M的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称13422??YXMXY??4（答）；3?????????特别提醒因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、0??对称问题时，务必别忘了检验0??12．你了解下列结论吗（1）双曲线的渐近线方程为；12222??BYAX02222??BYAX（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为XABY??12222??BYAX为参数，≠0）。如与双曲线有共同的渐近线，且过点??2222??BYAX?116922??YX的双曲线方程为_______（答）32,3?224194XY??（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；221MXNY??（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相22BA应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；2BC2PP（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；用心爱心专心7（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①220YPXP??1122,,,AXYBXY；②12||ABXXP???PXXYYP???（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒220YPXP??经过定点2,0P13．动点轨迹方程（1）求轨迹方程的步骤建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法①直接法直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F1,0和,XY,0FXY?直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答或3?X212434YXX?????）；2403YXX???②待定系数法已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过X轴正半轴上一点M（M，0），端点A、B0?M到X轴距离之积为2M，以X轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答）；22YX?③定义法先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如1由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为221XY??A、B，∠APB600，则动点P的轨迹方程为（答）；224XY??（2）点M与点F4,0的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是05??XL且_______（答）；3一动圆与两圆⊙M和⊙N216YX?122??YX都外切，则动圆圆心的轨迹为（答双曲线的一支）；012822????XYX④代入转移法动点依赖于另一动点的变化而变化，并且,PXY00,QXY又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线00,QXY,XY00,XY00,XY得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所122??XY1,0?A???PA成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答）；3162??XY⑤参数法当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可,PXY考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如,XY（1）AB是圆O的直径，且|AB|2A，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答）；（2）若点在圆P||||OPMN?P22||XYAY??,11YXP上运动，则点的轨迹方程是____（答）；122??YX,1111YXYXQ?2121||2YXX???（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方YX42?L程是________（答）；222XY??注意①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分012222????BABYAX别是F1（－C，0）、F2（C，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，2||1AQF?并且满足（1）设为点P的横坐标，证0||,022???TFTFPTX8明；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问在点T的轨迹C上，是否存XACAPF??||1在点M，使△F1MF2的面积S若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由（答2B（1）略；（2）；（3）当时不存在；当时存在，此时222XYA??2BAC?2BAC?∠F1MF2＝2）②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容（1）给出直线的方向向量或；??KU,1????NMU,??（2）给出与相交,等于已知过的中点OBOA?ABOBOA?AB（3）给出,等于已知是的中点0???PNPMPMN（4）给出,等于已知与的中点三点共线??BQBPAQAP????QP,AB（5）给出以下情形之一①；②存在实数；③若存在实数ACAB//,ABAC?????且,等于已知三点共线,,1,OCOAOB??????????????????????且且CBA,,（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即?????1OBOAOPPAB?PBAP??（7）给出,等于已知,即是直角,给出0??MBMAMBMA?AMB?,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐0???MMBMAAMB?0???MMBMAAMB?角,（8）给出,等于已知是的平分线/MPMBMBMAMA?????????????MPAMB?（9）在平行四边形中，给出，等于已知是ABCD0????ADABADABABCD菱形（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩ABCD||||ABADABAD???????????????????ABCD形（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形ABC?222OCOBOA??OABC?外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形ABC?0???OCOBOAOABC?的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂ABC?OAOCOCOBOBOA?????OABC?心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过ABC???OAOP||||ABACABAC????????????????????R?AP的内心；ABC?用心爱心专心9（15）在中，给出等于已知是的内心（三ABC?,0??????OCCOBBOAAOABC?角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线ABC???12ADABAC??????????????ADABC?BC
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2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
一、选择题
1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又
2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=
解:过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
3.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 (
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．
已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（
．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．
【解析】对于椭圆，因为，则
6.（2009北京理）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且
，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
（第8题解答图）
消去n,整理得关于x的方程
∵恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
7.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为(
【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D.
【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(
【解析】: 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.
9.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线的渐近线与圆相切，则r=
10.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=
解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=。
11.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是
[解析]由得，选B
12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】依据双曲线的离心率可判断得..选B。
13.（2009安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是
【解析】可得斜率为即，选A。
14.（2009江西卷文）设和为双曲线()的
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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的和等于常数 2a ， 且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ，当常数等于 F1 F2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ，当常数小于 F1 F2 时，无 轨迹； 双曲线中， 与两定点 F 1 ， 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ， F 且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |， 定义中的“绝对值”与 2a ＜|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a ＝|F 1 F 2 |，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射 线，若 2a |F 1 F 2 |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：x2 y2 y2 x2 （1） 椭圆： 焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ） 焦点在 y 轴上时 2 ? 2 ＝1 a ? b ? 0 ） （ ， （ 。 a b a b 2 2 方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A，B，C 同号，A≠B） 。若 x, y ? R ，且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ，则 x ? y 的最大值是____， x 2 ? y 2 的最小值是___（答： 5, 2 ） （2）双曲线：焦点在 x 轴上：x2 y2 y2 x2 ? 2 =1，焦点在 y 轴上： 2 ? 2 ＝1（ a ? 0, b ? 0 ） 。方程 a2 b a b。 Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A，B 异号） 如设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e ? 则 C 的方程为_______（答： x ? y ? 6 ）2 22 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ，2（ 3 ） 抛 物 线 ： 开 口 向 右时 y ? 2 px( p ? 0) ， 开 口 向 左 时 y ? ?2 px( p ? 0)， 开 口 向 上 时2x2 ? 2 py( p? 0)，开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ： （1）椭圆：由 x , y 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如 已知 方程2 2x2 y2 ? ? 1 表 示 焦 点在 y 轴 上 的 椭 圆 ， 则 m 的 取 值范 围 是__ （ 答： m ?1 2 ? m3 ( ?? ,?1) ? (1, ) ） 2（2）双曲线：由 x , y 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中， a 最大， a ? b ? c ，在双曲线中， c 最大， c ? a ? b 。2 2 2 2 2 22 24.圆锥曲线的几何性质：x2 y2 ? ? 1 （ a ? b ? 0 ）为例） ：①范围： ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ；②焦点：两 a2 b2 个焦点 (?c, 0) ；③对称性：两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ，（1）椭圆（以 其中长轴长为 2 a ， 短轴长为 2 b ； ④准线： 两条准线 x ? ?c a2 ； ⑤离心率：e ? ， 椭圆 ? 0 ? e ? 1 ， a ce 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆25 x2 y2 10 ，则 m 的值是__（答：3 或 ） ； ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 __（答： 2 2 ）x2 y2 ? ? 1 （ a ? 0, b ? 0 ）为例） ：①范围： x ? ?a 或 x ? a, y ? R ；②焦点： a 2 b2 两个焦点 (?c, 0) ；③对称性：两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ，一个对称中心（0,0） ，两个顶点 (? a, 0) ，其 中实轴长为 2 a ，虚轴长为 2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 c a2 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ；④准线：两条准线 x ? ? ； ⑤离心率： e ? ，双曲线 ? e ? 1 ，等轴双曲线 a c b ? e ? 2 ， e 越小，开口越小， e 越大，开口越大；⑥两条渐近线： y ? ? x 。 a p （3）抛物线（以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例） ：①范围： x ? 0, y ? R ；②焦点：一个焦点 ( , 0) ，其中 p 2 的几何意义是： 焦点到准线的距离； ③对称性： 一条对称轴 y ? 0 ， 没有对称中心， 只有一个顶点 （0,0） ； c p ④准线：一条准线 x ? ? ； ⑤离心率： e ? ，抛物线 ? e ? 1 。 a 2（2）双曲线（以 如设 a ? 0, a ? R ，则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________（答： (0,21 ； )） 16 ax2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1（ a ? b ? 0 ）的关系： （1）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 0 ? 0 ? 1 ； a 2 b2 a2 b 2 2 2 2 x0 y 0 x0 y0 （2）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ＝1； （3）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交： ? ? 0 ? 直线与椭圆相交； ? ? 0 ? 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一 定有 ? ? 0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 ? ? 0 是直线与 双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； ? ? 0 ? 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定 有 ? ? 0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 ? ? 0 也仅是直线 与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切： ? ? 0 ? 直线与椭圆相切； ? ? 0 ? 直线与双曲线相切； ? ? 0 ? 直线与抛物线相 切； （3）相离： ? ? 0 ? 直线与椭圆相离； ? ? 0 ? 直线与双曲线相离； ? ? 0 ? 直线与抛物线相 离。 提醒： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果 直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点； 如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线x2 y2 ? ＝1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个 a2 b2公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线 和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原 点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线； （3） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题： S ? b tan2?2? c | y0 | ，当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时，S max 的最大值为 bc； 对于双曲线 S ?b2 t an?2。 如 （1）短轴长为 5 ，8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切； （2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则∠AMF＝∠BMF； （3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影 分别为 A 1 ，B 1 ，若 P 为 A 1 B 1 的中点，则 PA⊥PB； （4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴， 反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。 9、弦长公式： 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、 且 x1 , x2 分别为 A、 的横坐标， AB B， B 则 ＝ 1? k2x1 ? x2 ，若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB ＝ 1 ?21 y1 ? y 2 ，若弦 AB 所在直线 k2方程设为 x ? ky ? b ，则 AB ＝ 1 ? ky1 ? y2 。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 抛物线：10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=－ 2 ； a b a y0弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：b2 x x2 y 2 ? 2 ? 1 中 ， 以 P( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 0 ； 在 抛 物 线 a2 b a y0 p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 提醒：因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别 忘了检验 ? ? 0 ！在双曲线11．了解下列结论 2 2 2 2 （1）双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ； a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b （2）以 y ? ? x 为渐近线（即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线）的双曲线方程为 x ? y ? ? (? 为 a a2 b2 a2 b2 参数， ? ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 离）为2b 2 ，焦准距（焦点到相应准线的距 ab2 ，抛物线的通径为 2 p ，焦准距为 p ； c2（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB， A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则① | AB |? x1 ? x2 ? p ；p2 , y1 y2 ? ? p 2 ② x1 x2 ? 4（7）若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点2(2 p, 0)12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： ? ? （1） 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ； （2）给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; （3）给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; （4）给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线;???（ 5 ） 给 出 以 下 情 形 之 一 ： ① AB // AC ； ② 存 在 实 数 ?, 使AB ? ? AC ； ③ 若 存 在 实 数??? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.（6） 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已 知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角,??? ???? ???? ?? ? ? MA MB ? （8）给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? （9）在平行四边形 ABCD 中，给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ，等于已知 ABCD 是菱形; ??? ???? ??? ???? ? ? （10） 在平行四边形 ABCD 中，给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ，等于已知 ABCD 是矩形;（11）在 ?ABC 中，给出 OA ? OB ? OC ，等于已知 O 是 ?ABC 的外心（三角形外接圆的圆 心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点） ； （12） 在 ?ABC 中，给出 OA ? OB ? OC ? 0 ，等于已知 O 是 ?ABC 的重心（三角形的重心是 三角形三条中线的交点） ； （13）在 ?ABC 中，给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ，等于已知 O 是 ?ABC 的垂心（三角形 的垂心是三角形三条高的交点） ；2 2 2??? ? ??? ? AB AC ? ? （14）在 ?ABC 中，给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内 | AB | | AC |心； （15）在 ?ABC 中，给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心（三角形内切 圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点） ；? 1 ??? ???? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2 ??? ??? ? ? 2 （3）已知 A,B 为抛物线 x =2py(p&0)上异于原点的两点， OA ? OB ? 0 ，点 C 坐标为（0，2p）（16） 在 ?ABC 中，给出 AD ???????（1）求证：A,B,C 三点共线；（2）若 AM ＝ ? BM （ ? ? R ）且 OM ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。???? ??? ? ???? ??? ? ? x12 x2 ), B( x2 , 2 ) ，由 OA ? OB ? 0 得 2p 2p ???? ? x 2 ??? x 2 ? x12 x2 x 2 ) x1 x2 ? 1 2 ? 0,? x1 x2 ? ?4 p 2 ，又? AC ? (? x1 , 2 p ? 1 ), AB ? ( x2 ? x1 , 2 2p 2p 2p 2p ??? ??? ? ? x2 2 ? x12 x12 ?? x1 ? ? (2 p ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ，? AC // AB ，即 A,B,C 三点共线。 2p 2p ???? ??? ? ? （2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由 OM ? AB ? 0 及 AM ＝ ? BM （ ? ? R ）知 OM?AB，垂（1）证明：设 A( x1 , 足为 M， 所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆， 除去坐标原点。 即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0， y?0)。 13.圆锥曲线中线段的最值问题： 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 ______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析： （1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PH ? PF ，因而易发现， 当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作 QR⊥l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线 时，距离和最小。 解： （2， 2 ） （ （1） （2）A Q H P F B。1 ,1 ） 4x2 ? y 2 ? 1 ，双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右 1、 已知椭圆 C1 的方程为 4顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程； (2) 若直线 l： y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点，且 l 与 C2 的两个交点 A和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点)，求 k 的取值范围。2 2 解： （Ⅰ）设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ，则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1. 2 2 a b故 C2 的方程为x2 x2 ? y 2 ? 1. ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. （II） y ? kx ? 2代入 将 3 4k2 ? 1 . 4由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即①x2 将y ? kx ? 2代入 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不 3?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 即k 2 ? 且k 2 ? 1. 同的交点 A，B 得 ? 2 2 2 3 ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ??? ? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1③?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2于是3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 15 3 3k ? 1 3k ? 11 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15由①、②、③得故 k 的取值范围为 (?1, ?13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB//OA， MA?AB = MB?BA， M 点的轨迹为曲线 C。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =（-x,-1-y）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再??????????? ?由愿意得知（ MA + MB ）? AB =0,即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.???? ??????? ?1 2 1 2 &#39; 1 x -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,所 4 4 2 1 1 以 l 的斜率为 x 0 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ，即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2 2所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?2 | 2 y0 ? x0 |1 2 x0 ? 4 1 2 1 4 2 2 .又 y0 ? x0 ? 2 ，所以 d ? ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 2 4 x0 ? 4 x0 ? 4 2 x0 ? 42 当 x0 =0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.x2 y 2 2 设双曲线 2 ? 2 ? 1 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线 y=x +1 相切，则该双曲线的离心率等于( a b设双曲线)x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线，则双曲线的离心率为( a2 b2).过椭圆x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P ， F2 为 右 焦 点 ， 若 a 2 b2?F1PF2 ? 60? ，则椭圆的离心率为已知双曲线x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，其一条渐近线方程为 y ? x ，点 2 b2)0P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF ? PF2 ＝( 12 已 知 直 线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与 抛 物 线 C : y ? 8 x 相 交 于 A、B 两 点 ， F 为 C 的 焦 点 ， 若| FA |? 2 | FB | ，则 k ? ()已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ， 抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之2和的最小值是（）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的 中点为（2，2） ，则直线 l 的方程为_____________.x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ，点 P 在椭圆上，若 | PF1 |? 4 ，则 | PF2 |? 椭圆 9 2小为 .； ?F PF2 的大 1过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为?8，则 p ? ________________【解析】设切点P( x0 , y0 ) ， 则 切 线 的 斜 率 为 y |x ? x0 ? 2 x0&#39;.由题意有y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 解 得 : x0b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 a ab ? b x2 y2 ? y? x 双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? a ,消去 a a b ? y ? x2 ? 1 ?=(y,得 x2?b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△ ab b 2 c a 2 ? b2 b ) ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 , e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 a a a a ay ? x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和由渐近线方程为（ 2 ， 0 ）， 且P( 3,1)或P( 3,?1).不妨去P( 3,1)，则PF1 ? (?2 ? 3,?1) ， PF2 ? (2 ? 3,?1) .∴PF 1?PF2＝(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0【解析】设抛物线 C :y 2 ? 8x 的准线为 l : x ? ?2 直线Py ? k ? x ? 2?? k ? 0? 恒过定点AM ? l于? ?2,0?N.如图过A、B 分别作 , 则M,BN ? l于, 由| FA |? 2 | FB || AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |? ? OB |?| BF | |点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为1 | AF | , 2(1, 2 2) ? k ?2 2 ?0 2 2 , ? 1 ? (?2) 3故选 D? y12 ? 4 x1 ? A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2， 2 ? ? y2 ? 4 x2 ? y ? y2 4 2 两式相减得，y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?， 1 ? ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2 ? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
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