2017考研数学常考题型之计算三重积分
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　　2017考研数学常考题型之恰当选择坐标系计算三重积分
　　对于数一同学来说，三重积分的计算是重积分计算中必考的一部分，有些题目直接考查三重积分的计算，有些题目考查的是第二类曲面积分的计算，但是通过高斯公式可以转化为三重积分的计算.
　　在计算三重积分时，恰当选取合适的坐标系这对于解题来说很关键，一般情况下，有三种方法，可以选择直角坐标、柱面坐标及球面坐标计算三重积分可简化运算.
常用下述方法：
　　第三，若积分区域由平面围成，即边界方程均为一次方程时，可利用直角坐标系计算该三重积分. 要根据积分区域和被积函数的特点适当选择积分次序.
选择积分次序的原则是使积分计算较为简单，其方法有两种.
　　先一后二法：先对某一变量积分，再把积分区域向相应的坐标面上投影，然后再在投影区域上进行积分.
　　先二后一法：用平行某个坐标平面(或垂直于某个坐标轴的平面)去截积分区域得到一个平面闭区域，在这些平面区域哈桑作二重积分，然后再对另一个变量积分.
　　同学们在做题的过程中，根据题目的已知条件选用合适的坐标系.
选取适当的坐标系，这对于我们做题来说，可以又快又准地完成了.而且三重积分的计算经常放在曲面积分的计算中进行考查，所以要求同学们对于三重积分的计算一定要掌握了!
(责任编辑：田学江)
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二重积分计算习题
二重积分的计算――习题解析与相关练习 习题解析与相关练习y 利用极坐标计算二重积分 ∫∫ arctan dσ 作业 P366 x D 2 2 2 2 其中D是由圆周 x + y = 4, x + y = 1 其中D及直线y= 0，y= x所围成的在第一象限内 及直线y= 0， x所围成的在第一象限内 的闭区域。 的闭区域。解： 在极坐标系中， 在极坐标系中，于是y D = {(r , θ ) |1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ }, arctan = θ 4 x yπ∫∫ arctan x dσD D= ∫∫ θ ? rdrdθ = ∫ θ dθ ∫ rdr4 0 1π21 π 1 3 = ( ) 2 ? (22 ? 1) = π 2 2 4 2 64[知识整理 知识整理] 知识整理（1） 直角坐标系下二重积分的计算 ） I、 x 型区域（先y后x） 、 型区域（V = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫a Db?2 ( x )?1 ( x )f ( x, y ) dyII、 y 型区域（先x后y） 、 型区域（V = ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫c D dψ2 ( y)ψ1 ( y )f ( x, y)dxIII、方法与步骤 、绘出区域D的图形 的图形： ① 绘出区域 的图形： 确定积分限： ② 确定积分限： 计算积分： ③ 计算积分： 利用奇偶性简化运算。 ④ 利用奇偶性简化运算。（2） 极坐标系下二重积分的计算 ）∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cos θ , r sin θ )rdrdθD ?注： 计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函 计算二重积分可利用区域 的对称性和被积函 数的奇偶性简化计算。 数的奇偶性简化计算。对 ID =∫∫ f (x, y)dxdyD有 y f(x,y)是 的偶函数（ 函数） f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数） xx 关于x D关于x、y轴对称 y2I D / 2 ? I D = 4I D / 4 2I D / 2 ( I D = 0)例1求以xOy面上的圆域 求以xOy面上的圆域 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} xOy 为底， 圆柱面2 2 x + y = 1 为侧面 ， 抛物面 z = 2 ? x ? y2 2为顶的曲顶柱体的体积。 并在极坐标系下求其二重积分值 为顶的曲顶柱体的体积。z2解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为 如图所示，V = ∫∫ (2 ? x 2 ? y 2 )dσD其中积分区域D可表示为 其中积分区域DO x y D = {( x, y ) | ? 1 ? x 2 ≤ y ≤ 1 ? x 2 , ?1 ≤ x ≤ 1}由D的对称性及被积函数f ( x, y ) = 2 ? x ? y22关于x 关于x，y均为偶函数可知 V = 4 其中2∫∫ (2 ? xD12? y ) dσ2D1 = {( x, y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ? x , 0 ≤ x ≤ 1}1 1? x 2 3 2 (2 ? x 2 ? y 2 )dy = 4∫ [ 1 ? x 2 + (1 ? x 2 ) 2 ]dx 0 3 1为D在第一象限部分，于是 在第一象限部分，V = 4∫ dx ∫π002 = 4 ∫ (cos t + cos 4 t )dt 3 1 π 2 3 1 π 3 = 4( ? + ? ? ? ) = π 2 2 3 4 2 2 22 0 2解法2： 极坐标系下解） 解法 ：（极坐标系下解）在极坐标系中，闭区域D可表示为 在极坐标系中，闭区域DD = {(r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π }于是V = ∫ dθ ∫ (2 ? r )rdr2 0 02π1r 1 = ∫ [r ? ] |0 dθ 0 4 3 2π 3 = ∫ dθ = π 4 0 222π4例2 计算二重积分∫∫ x cos( x + y)dσDD是顶点分别为 (0, 0), (π , 0), (π , π ) 的三角形闭区域解：y∫∫ x cos( x + y)dσDπD= ∫ dx ∫ x cos( x + y )dy0 0πx= ∫ xdx ∫ cos( x + y )dy0 0πxπx= ∫ xdx[sin( x + y )] |0πx 0续解= ∫ x(sin 2 x ? sin x)dx0π1 = ∫ xd (cos x ? cos 2 x) 0 2 π 1 1 π = [ x(cos x ? cos 2 x)]0 ? ∫ (cos x ? cos 2 x)dx 0 2 2 1 3 = π (?1 ? ) ? 0 = ? π 2 2π例3 计算二重积分其中∫∫ eDx+ ydσy1D = {( x, y ) || x | + | y |≤ 1}解： 如图 D = D1 + D2e x + y dσ = ∫∫ e x + y dσ + ∫∫ e x + y dσ 因此 ∫∫D D1 D2= ∫ e dx ∫x ?1 00x +1? x ?1e dy + ∫ e dx ∫y x 0 ?1 1 01? x +1x ?1e dyy-1D1D21x= ∫ (e?12 x +1? e )dx + ∫ (e ? e 2 x ?1 )dx-1= e?e?1【相关练习】 相关练习】①∫∫ sinDx +y22D = {( x, y ) | π 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4π 2 }② ③∫∫ 1 ? x ? y dσ2 2D为圆域 为圆域x +y ≤42 21 + xy ∫∫ 1 + x 2 + y 2 dσ DDD为半圆域 为半圆域x + y ≤ 1, x ≥ 02 2例4把下列二重积分∫∫ f ( x, y)dxdyD化为二次积分（写出两种积分次序） 写出两种积分次序） 积分区域为抛物线y=x2与直线 2 x +yy=3及x轴所围成的闭区域 轴所围成的闭区域所以 ∫∫ f ( x, y )dxdyD?2 x + y = 3 得 解：解方程组 ? 2 ? y = x (?3,9), (1,1)11 1 (3? y ) 2 y= ∫ dy ∫0f ( x, y )dx3 2 1 3? 2 xD3 2x= ∫ dx ∫ 2 f ( x, y )dy + ∫ dx ∫0 x111f ( x, y )dy化出积分区域， 例5 化出积分区域，把积分 ∫∫ f ( x, y )dσ 表示为极坐标形式的二次积分DD = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ a 2 }如图，在极坐标系中， 如图，在极坐标系中， π π D = {(r ,θ ) | 0 ≤ r ≤ a, ? ≤ θ ≤ } 2 2 所以(a & 0)a解：yrOa -ax∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθD D= ∫ π dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ )rdr2 ? 2 0πa【相关练习】 相关练习】① 交换二次积分的次序∫ dy ∫011+ 1? y 2 yf ( x, y ) d σ② 把积分化为极坐标形式∫a0dx ∫? a + a2 ? x2 2 2dy x + y ? 4a ? x ? y2 2 2?x平均利润问题】 例6 【平均利润问题】设公司销售商品甲x个单位，商品乙 个单位 设公司销售商品甲 个单位，商品乙y个单位 个单位 的利润是由下列函数式确定： 的利润是由下列函数式确定：P ( x, y ) = ?( x ? 200) 2 ? ( y ? 100) 2 + 5000现已知一周内甲商品的销售量在150～200之 ～ 现已知一周内甲商品的销售量在 之 间变化，乙商品的销售量在80～ 间变化，乙商品的销售量在 ～100之间变 之间变 试求销售这两种商品一周的平均利润。 化，试求销售这两种商品一周的平均利润。的变化范围D:150≤x≤200,80≤y≤100, 的变化范围 解：因x,y的变化范围 这个区域D的面积为 这个区域 的面积为σ = 50 × 20 = 1000这家公司销售两种商品一周的平均利润是： 这家公司销售两种商品一周的平均利润是：1 P ( x, y ) d σ = [?( x ? 200) 2 ? ( y ? 100) 2 + 5000]dσ σ ∫∫ 1000 ∫∫ D D100 1 200 = dx ∫ [?( x ? 200) 2 ? ( y ? 100) 2 + 5000]dy 80 1000 ∫150 1 200
= ∫150 [?20( x ? 200) + 3 ]dx
12100 3 ? ?20( x ? 200) + 292000 x ? = = ≈ 4033 ? ?150 3000 31作业：习题9―2 P369 作业：习题914、 15、
习题 9-2 - 1.计算下列二重积分: (1) (2) (3) ∫∫ ( x D 2 + y 2 )dσ , 其中 D 是矩形区域: x ≤ 1, y ≤ 1 ; 其中 D 由直线 y ...高等数学习题详解-第8章 二重积分_理学_高等教育_教育专区。习题 8-1 1. 设...0 2. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值: -2- (1) ∫ a 0 dy ...二重积分练习题_理学_高等教育_教育专区。二重积分自测题 (一)选择题 1.设 D 是由直线 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 3 , x ? y ? 5 所围成的闭...定积分应用求面积(体积) 二重积分(大题) 第六部分 定积分应用求面积(体积) ...21 计算二重积分 I = ∫∫ xdxdy ,其中区域 D 由曲线 y = D x ,直线 ...?? 100 ? cos 习题 9-2 1、计算下列二重积分: (1) ?? ( x D 2 2 ? y 2 )d? ,其中 D 是矩形区域: | x |? 1, | y |? 1 ; 解: ?? ...二重积分习题一、改变下列二次积分的积分次序: (1) (4) ∫ 1 0 2a 0 dx...x 的一段弧和坐标轴所围成的区域 七、计算 ∫∫ arctan D y dxdy ,其中...第九章一、单项选择题 2 2 二重积分 复习题答案 1、设 D 是由曲线 x + ...( x, y )dy ___; x 三、计算题: 计算题: 1、求 ∫∫ (2 x + y...高​数​习​题二重积分、三重积分习题选练 1.利用二重积分计算曲面 z ? R ? x ? y 与 xoy 面所围成立体的体积. 2 2 2 2.选择合适的坐标系计算...第八章二重积分习题答案练习题 8.1 1.设 D: 0 ≤ y ≤ a 2 ? x 2 , 0 ≤ x ≤ a ,由二重积分的几何意义 计算 ?? a2 ? x2 ? y 2 dxdy D...二重积分部分练习题_理学_高等教育_教育专区。高数下练习题题目部分,(卷面共有 100 题,405.0 分,各大题标有题量和总分) 一,选择 (16 小题,共 53.0 分)...
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高数重积分练习题.doc 18页
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高数重积分练习题
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高数重积分练习题
一、填空题
x2?y2?R2???? ；.
x?y?1d??；
为??fd?化为二次积分
D3. 将二重积分
y?x,y?0,y?在第一象限所围成的封闭区域；
4. 改变积分次序
5. 将二重积分?dy?012?yy2fdx?
转化为极坐标系下的两次单积分
6. 将三重积分v为三次积分，其中?为z?x???fd化
x?y?1,y?0,x?0,z?0所围成的封闭区域；
7. 将三重积分????fdv化为柱面坐标系下的三次积分，其中?为z?x2?
z?所围成的封闭区域.
二、计算题
1. 计算二重积分
2. 计算二重积分??xydxdy，其中D是由y?x,xy?1,x?3所围成的区域； D??D
0x?，其中D：x2?y2?1,x?0,y?0； 1xy3.
计算二次积分
4. 计算三重积分
计算三重积分
三、应用题 ?dx?dy；223?
x?y?z?1,z?，其中： zdv????
，其中是由柱面及平面z?0,z?a
,y?0所围y?????
求旋转抛物面z?x?y
与上半球面z?
22所围成的立体体积及表面积.
一、填空题
x1231．?R；. ；
3.?fdy?fdx；
及0y0003?dx010fdy??dx?1
022?x0fdy；
7. ??20d??f?d?；.
?dx?011?x0dy?x2?y20fdz；
0d???d?01?2fdz
二、计算题 1. 10?18121ln；
； . ? ； . a92316
三、应用题
A?A1?A2?1)?1)
高数测试题七答案
一、选择题
1、交换积分?dy?fdxdyB
f，其中 f为连续函数，f?存
在，而f?0,f??1，则lim
3、球面x2?y2?z2?4a2与柱面x2?y2?2ax所围成立体体积为
2acos?02acos?0
4、设D是xy平面上以点,,为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则??d?=
A??cosxsin
?sin1arctan?2222
区域D:x2?y2??
二、填空题 1、 设I?
fdxdydz，积分区域
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30页41页33页14页40页33页133页11页38页12页二重积分的计算法
第二节& 二重积分的计算法
教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法
教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分
教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题
教学内容：
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分&&&X—型
&&&&&&&&&&&&&
极坐标系下&&
作业 教材161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）【图文】高等数学重积分计算复习1_百度文库
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