谈谈数学计算与数学证明
谈谈数学计算与数学证明
——兼论计算机只能计算不能证明
（二○一六年七月十五日）
数学是数与形的科学。数有：自然数，整数，分数和小数，正数，负数，有理数，无理数，实数，虚数和复数，等等；形有：点，直线和线段，平面和曲面，立体，直线和曲线，平面几何图形，立体几何图形，等等。数学中不但有数与形，还有数与形的各种计算，如加（＋），减（－），乘（&），除（&），乘方（an），开方（n√a或a1/n），指数，对数，求和（∑），阶乘（！），微分，积分，分解，合并，交，并，等等。有时还要进行数学证明。由于本人不是专业的数学工作者，以上的这些概念不一定都很合理，请朋友们谅解。
1、数学计算与数学证明
数学计算可以是手工计算，也可以用计算工具进行计算。计数器，算盘，计算尺，计算机等，都是计算工具，他们都是人们为了提高计算速度而创造的，也只能在人的操作下才能完成计算工作。用计算工具进行计算，只要数据输入正确，口诀与程序正确，计算的结果一定是正确的。虽然人用手工也可以得到与用工具计算相同的结果，但工作量有可能太大，需要的时间很长。这就是用计算工具的好处。这里的关键是人会计算，人可以给出计算公式，并有加减乘除等计算的口诀，用手按口诀去拔动算珠；人也可以把计算的过程编成程序，输入计算机，让计算机自已去完成。这里人仍是关键，人要把计算的初始数据，计算方法，如何计算，计算的步骤等都要“教”给计算工具，让它们去按照原样完成。要让计算工具完成计算任务，首先人就要会计算，至少要知道怎么去计算，计算的方法是什么，也就是说，人首先要会去做这件计算工作，会做这件事。如果人自已都不会做，怎么能把做这件事的方法教给计算工具呢，计算工具该按什么去做呢。
什么是数学证明，我在前段时间里的一篇短文《浅谈数学证明的问题》一文中说数学证明就是严密的逻辑推理过程。逻辑推理过程是要以已经证明是真命题的命题作依据的。
比如证明平面三角形的内角和是180度，依据的就是两平行线与第三条直线相交，其“同位角相等”和“内错角相等”，平面三角形的一个“内角与其外角的和是平角”，“平角是180度”等这些已是现成的公理或定理。证明时先延长三角形的一条边，延长后的一段射线与三角形的另一条边就构成了三角形的一个外角，过该外角的顶点做该三角形第三条边的平行线，就可以证明三角形的内角和是一个平角或180度。
又比如证明任何平面图顶点着色的色数都是不大于4的四色猜测，依据的就是任意图的色数就是其最小完全同态的顶点数，也就是图的最小顶独立集数，而一个顶独立集内的顶点在原图中均是不相邻的，着同一种颜色是完全可以的；另外，还依据任意平面图的最小完全同态的亏格，一定是小于等于原图的亏格的，因而平面图的最小完全同态的亏格也一定是等于0的，而亏格为0的图中的所有完全图中，图的最大顶点数只能是4；这就证明了四色猜测是正确的。
数学计算是脱离了具体问题的纯数字的计算，无论是手工计算还是用计算工具计算，实际上还都是人在进行计算，只要细心都是会得到正确答案的。如果不细心，就是用了计算工具也是不能得出正确答案的。而数学证明则是不能离开具体问题的。比如已知三角形的两个角的度数分别是40度和60度，要求第三个角是多少度。只要计算180―40―60＝？就行了，不必管算式中的180，40，60是什么意思就可以；但要证明三角形的内角和是180度时，就不能离开具体的问题，也离开不了。要从三角形的概念出发开始，最后还得落脚回到三角形为止。
所以说数学计算是纯数字的计算，而数学证明是具体问题（命题）的逻辑推理。有时在数学证明中可能还要进行一些数学计算，但数学计算中绝对再不需要再进行数学证明或逻辑推理了，因为数学计算是依据经过了数学证明（或逻辑推理）后是正确的、现成的计算公式进行的。
逻辑推理就是一个逻辑思维的过程，而思维则是人的脑子所特有的功能。所谓计算机的“思维”实际上也就是人在思维，是人把人思维的过程编成了程序输入了计算机，它才能按人的思维“思维”下去；但当人的思维能力还不能到达的地方，人也是绝对不能把自已还不能进行的思维，编成程序输入计算机让计算机去执行的。所以说计算机是绝对不会做人还不能做到的事情的。它也是不会对四色猜测进行证明的。
由于人会给图进行着色，所以人可以把着色的方法和过程编成程序输入计算机，叫计算机来代替人去完成给图的着色。但计算机速度再快，也是不可能把无穷的图都着色完的，它的工作只能与我们对几个个别的图的着色起着相同的作用。所以说，计算机是不可能对四色猜测进行证明的。所谓的阿贝尔用计算机对四色猜测进行了证明的说法，只不过是说他们用计算机对近2000个平面图进行了4—着色的验证而已。与人们用手工对几个个别的图进行的4—着色验证，作用是相同的。
计算机是人的智慧创造出来的，只是一种计算工具，且完全是在人的指挥下，一点也不会偏离的、按人的意志去工作的。计算机是不能代替人脑的思维的。是人脑的智慧创造出了计算机，而计算机却是永远也创造不出人脑来。
2、人机围棋大战，谁是赢家
刘景教授（说明：我的计算机中打不出“王”旁一个“景”这个字，我只好用“景”代替了）说：“大家都知道的‘阿尔法狗’就是由一个围棋水平一般的计算机专家设计的，它却能独立运行战胜世界顶尖棋手李世石，它就是在比赛中代替人（操作员）进行思考，决定每一步的走法，并且赢得胜利。”
我则认为，由一个“围棋水平一般”的“计算机专家”设计的“阿尔法狗”不见得水平就不高，但它的水平再高，也是人设计的，它的棋法也不是它（机器）自已“思考”出来的，更不是它本身固有的。不是计算机代替操作员在进行“思考”，而是那个“围棋水平一般”的“计算机专家”在思考，计算机只是在执行那个“围棋水平一般”的“计算机专家”思考的结果而已。操作员不过只是把计算机走棋的结果报告给观看的人或李世石，又把李世石的走棋结果输入计算机，起一个“传声筒”的作用。这也就是操作员在大战中所能起的作用，也是他的职责。李世石的水平再高，也总有失误的时候。计算机速度之快对他来说，本来就是一个震慑。只要他一出手，计算机就可以马上出棋。计算机出棋速度之外不能说对李的思维没有影响。
尽管李世石输了，但实际上还是人赢了，是人类赢了，是那个“围棋水平一般”的“计算机专家”赢了李世石。而不能说是计算机赢了李世石，更不能说是计算机赢了人类。没有那个“围棋水平一般”的“计算机专家”，计算机它知道什么是围棋吗，它能会下围棋吗。计算机虽然在与李世石在对弈，但它绝对是不知道它是在下棋的。所谓人机大战，实际上还是在“两个人”之间进行的比赛，是那个围棋水平一般”的“计算机专家”与“世界顶尖棋手李世石”在进行“比赛”。下棋也和打仗一样，“兵来将挡，水来土掩”。那个“围棋水平一般”的“计算机专家”只要把每走一步棋后，对方如何来应对的所有方案，以及自已又应如何去按对方的出棋进行应对，都输入了计算机，计算机就会严格的按他的“棋法”去执行，绝对不会走错的，而且出棋特别快。李世石虽是“世界顶尖棋手”，但在计算机“走棋”后，却还要进一步去想对策，这不免就会产生失误。但也不是绝对不能赢，李世石不是还赢了一局吗。计算机虽然出棋特别快，但我想那个“计算机专家”在设计“阿尔法狗”时，所用的时间比李世石在比赛时所用的时间一定要多得多。用这么多的时间换得了能战胜一个世界顶尖的围棋高手李世石也是值得的。
3、回复刘景教授
文章《为什么认为阿贝尔证明是对的》一文
555655556888
70T12{5556}
5556{5556}呢，这两者可是不同的概念哟。
刘教授说：“这里，感觉雷明老师否定的并不是阿贝尔的证明，而是否认了肯普以及海伍德等人的主要成果。”刘教授，这就是你的错了。我自始止终一直是在维护着坎泊的证明的“原则”的，一直认为坎泊所创造的“颜色交换技术”是正确的。所谓的赫渥特“否定”了坎泊的证明方法，我认为正是因为赫渥特错误的使用了坎泊的颜色交换技术而产生的。坎泊的交换技术只有在对“非连通”的链进行了交换后才能空出颜色来，而赫渥特却交换了一条连通的链，当然是空不出颜色来的。这怎么能说我是在“否认”坎泊的成果呢。我现在仍然还是认为，阿贝尔着色过的图再多，即使都是可4—着色的，能说明什么问题呢，能说明四色猜测就是正确的吗。它完全相当于我们用手工给一、两个图进行的4—着色。由阿贝尔那近2000个图组成的集合是不可免集吗，他证明了没有呢。没有嘛。阿贝尔提出这个由近2000个图构成了平面图的不可免集，才真正是对坎泊已证明了的不可免集的否定呢！
刘教授说：“宇宙航行的问题也是非常复杂的，而且那里的计算的可信性要求更高（与人的生命和数以亿计的投资有关），宇宙飞船及其轨道设计还不是要完全‘信赖’计算机计算的结果吗？近60年全世界的太空探索的每一次成功，都证明了计算机的计算结果是值得信赖的。”我认为这些都是属于数学计算的问题了，与数学证明无关。因为计算机的计算完全是按人给出的方法在进行的，如何计算，人们早已经知道，如果换成人去计算，也不是不可以，只是时间要长一些罢了，况且可能还会出错。但这一出错，并不是计算公式有错，而是人在计算中可能把数据看错或写错所致。这种错误计算机却是不会出现的。计算机如果出了错，那就是人输入的初始数据错了，仍然是人的错误。据说苏联1957年发射的第一颗人造地球卫星的计算工作，还请了我国的华罗庚教授去了。不管这事是真是假，总之，是可以说明了航天计算的问题，人也是可以胜任的。我想华教授当时也只知道他是在进行的是数学计算，他也同计算机一样，计算平水再高，也是不知他所计算的为了解决什么问题的。出于保密人家可能不给他说，另外，他就是知道，但计算还是在纯数字之间进行的。所以我在前面说“数学计算是脱离了具体问题的纯数字的计算”。
刘教授所说的德国的吕迪格尔和“中国雨人”周炜的计算能力对抗一事，也是一个纯数学计算的问题，与数证明没有任何关系。刘教授还说，要检验计算机计算的结果是否正确，“首先算法要对，然后，可以输入几个已知的素数和合数进行检验，也可以从1000个结果中抽出一两个由人工检验一下，如果是对的，那么就认为算法和程序可靠，这时可以认为计算机计算的所有结果都是对的。”对于纯数学计算可以做到这一点，因为计算机的计算方法是人按手工计算的方法编制的，所以人用手工检查也会得到同样的结果。但赫渥特的近2000个构形并不是具体的图，也是不可能进行检验的。即就是他那近2000个构形都是具体的图，也不能说对其进行全部检验后，都是可4—着色的，就说明四色猜测就是正确的。也就是说，不能因为别人找不出不可4—着色的平面图，就说明四色猜测是正确的。更不能说他用了先进行现代化手端——高速动转的电子计算机，就说明他的证明是正确的。
4、“算法”与程序的关系
上一节刘教授说的德国的吕迪格尔和“中国雨人”周炜的计算能力对抗一段中，提到了算法，并对算法的正确性进行检验的问题。我也想就这一问题谈一点我个人的看法。“算法”应该说也是一种程序，但他又不同于我们平时所说的程序。如果说把“程序”比作一个大集合，则“算法”就是“程序”这个大集合中的一个子集合。
程序是准确的，是把已知的计算方法与计算步骤输入计算机，让计算机代替人去执行的，代替人去进行计算的。程序是不需要进行检验的，必须是保证计算出来的结果都是正确的。比如，航天工程中的计算，宇宙飞船的计算，天体间运行的计算，洲际导弹弹道的计算等等，这些都是一点也不能出现问题的。编制程序时，必须根据现成的、理论上是正确的计算公式准确设计，再输入计算机。当工程需要的时候，先把程序调出，再输入具体的原始参数后，开始运行，输出的结果就是正确的，不需要进行检验，计算的结果拿去使用就行了。但尽管程序准确，若在操作时，输入的初始数据有误时，计算机仍然会把它当作“正确”的进行计算，同样会辅出“正确”的结果，如果在工程中采用了这一“正确”结果，将会导致更大的错误，甚至不可挽回的损失。但这一错误的产生，并不是计算机的错误，而是计算机操作人员输入的初始数据是错的而引起的。
而“算法”则是科学计算中的述语，科学计算是计算机出世以后产生的一门新的科学。“算法”是程序员把所要研究的实际问题经过大量的观察，建立起一个完善或较完善的数学模型。这个模型是不是符合实际，与实际有多大的差距，则是必须要进行检验的。这一检验是对程序（数学模型）本身在投入使用前的检验，检验的对象是程序本身，而不是投入使用后对计算机输出结果的检验。比如，人的体重与身高间有什么样的关系，就得通过对大量的个体进行观察，得到人的身高与体重的大体关系，创建一个数学模型，也即数学公式，输入计算机。然后对一个较大容量的样本进行检验，如果至少有95%（这个指标还可以更苛刻）的人的计算体重与实际体重相符合，或者每个人的计算体重与实际体重的误差小于今为5%（同样的这个指标也是可以更苛刻的），则可以认为这个数学模型是接近或符合实际的，否则，就得重新对模型进行修改，找出更接近实际的数学模型来。但求得的数学模再接近实际，总是与实际有误差的，是一个近似值。而是数学计算的程序所用的计算公式决不能是近似的，必须是准确的，否则用在航天事业上将会出现大事的。
我认为这就是“算法”与“程序”的区别，一个是准确的，一个是近似的；一个是一次必须是成功的，一个是存在概率问题的。写解决具体问题的数学计算程序，人首先得会列算式，且是准确的算式，再写程序，让计算机去运行。要用计算机解决四色猜测的证明问题，首先人得要会证明，才能写出程序，让计算机去执行，最后只需要得出“正确”或“不正确”的结论即可。可现在人还是不会证明四色猜测的，能写出程序来吗。要是能写来，也与数学模型一样，只是一个近似的结果，这样的结果可信吗。阿贝尔的结果不也是一个近似的结果吗，2000个构形或图能代替任意的平面图吗。
5、平面图的不可免集到道底有多大，有多少个
本来1879年坎泊已经证明了一个不可免集 {
2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形
}，可后来1904年Wernicke又构造了一个不可免集
2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，（5，5），（5，6）
}，另外，还有一个人，又构造了一个不可免集 {
2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，（5，5），（5，6，6）}，王树禾在其《图论》书中还介绍了阿贝尔证明的
{（5，5），（5，6）}，{（5，5），（5，6，6）}和{
61，71，81，54，（101，510），（111，511）}都是不可避免集（指数表示顶点度是其底数数字的顶点的个数）。刘教授在他的文章中还说：1976年阿贝尔用机器又得到了1936个可约构形组成的不可免完备集，后来又减少到1400个；1983年又有人得到更小的1258个；1996年Robertson等人又宣布了由633个可约构形组成的不可免完备集。
平面图的不可免集道底有多少，有多大。我认为只有一个，这就是坎泊证明了的那一个，其中应有六个元素，即 {
0—轮构形，1—轮构形，2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形
}。以上那么多的不可免集都是没有经过证明的，它们只是可约而已。因为它们都是由“可约的”“不可免构形”组成的集合，当然该集合中的构形都是“可约的”了。但阿贝尔并没有证明除了这些可约的构形以外，是否还存在可约或不可约的构形。这能说由这近2000个构形组形成的不可免集是完备的吗。阿贝尔在他的《四色地图问题的解决》一文中既说了（5，5）和（5，6）构形是“不可免”的，但又说了这两个构形都是“不可约”的，这能说明四色猜测是正确的吗。另外，1936，1400，1258，633，这些构形集，是什么关系，是独立的呢，还是构形数目少的包含在构形数目多的集合中呢，都没有说明嘛。不说明，别人怎么能看明白呢。
从1936，到1400，再到1258，至目前又到633，以后还会不会有人把这个数字再减少，也无法预测。但从这由多到少，一再的减少（已把一半以上减掉了），还能继续说明阿贝尔原来的证明是正确的吗。从不可免集的定义上看，不可免一词就是指在任何平面图中，至少要含有集合中的一个元素（构形）。好象阿贝尔在《四色地图问题的解决》一文中也强调了这一点，说道了在任何平面图中至少要含有这近2000个构形的一种。先不说阿贝尔说没有说他证明没证明该集合是否是完备的问题，就这个集合中的元素一次次的向下减少的现象，该作如何解释呢。所减下来的那1000多个构形是否还在任何平面图中至少存在一个呢。数字一次次的减少，这不是对前面的“证明”一次次的否定又是什么呢。难道是计算机错了吗。不，我看还是人错了。人把本来自已都不会干的事，硬要叫计算机去做，怎么能不出错呢。若把阿贝尔让计算机去进行的“证明”看成是让计算机去代替人给图进行着色，则阿贝尔又是成功的，那近2000个图的可4—着色是正确的。
我为什么提出平面图的不可免集有“多少个”的问题呢，因为刘教授的文章《为什么认为阿贝尔证明是对的》一文中不仅有“用计算机得到的几个完备集的构形的可约性”这样的话；而且他还说：“也可以在肯普—阿贝尔证明的基础上，改进算法，搜索出更小的完备集，还可以进一步探索这样的完备集有多少个？无限多个，有限多个，或者只有几个？等等。”正是因为这样，我才提出“1936，1400，1258，633，这些构形集，是什么关系，是独立的呢，还是构形数目少的包含在构形数目大的集合中”的凝问。我认为平面图的不可免集只可能有一个，不可能有多个。刘教授在这里提出的问题是不对的。如果说平面图的不可免集有多个，它们更不可能是相互独立的，一定是一个包含的关系。比如{
2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形
}就包含于{
2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形，（5，5），（5，6）}之中（这只是打一个比仿，平面图的不可免集只应是坎泊的{
2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形
6、数学计算与数学证明的相互关系
总之，数学证明就是严密的逻辑推理过程。逻辑推理就是一个逻辑思维的过程，而思维则是人的脑子所特有的功能，是不能用任何计算工具来代替的。逻辑推理过程是要以已经证明是真命题的命题作依据的。数学证明就是判断一个命题是否是真的问题。命题有数值命题，非数值命题和半数值命题。数值命题如“3&5＝15”，证明该命题的依据就是一个5等于5，两个5相加等于10，三个5相加等于15，即依据的是三个5相加之和就是15的加法定理；非数值命题如“甲某是洛阳人，则他一定是河南人。”证明的依据就是“洛阳归河南省管辖”或“洛阳是河南的子集合”；半数值命题如四色猜测，即任何平面图的色数都小于等于4的，其证明的依据就是依据何图的色数都等于其最小完全同态的顶点数或其最小的顶独立集数，以及平面图的最小完全同态的顶点数或最小的顶独立集数都不大于4的。三种命题的证明，也只有纯数值命题的证明是用数学计算的，是可以用计算工具的，而实际上数值命题的证明就是数值计算的问题。而其余两种命题的证明是不能使用计算工具的。
数学计算则是数学证明的具体应用。是可以用计算工具来代替人工计算的。比如我们要推出运动定律“距离等于速度与时间的乘积”这个命题时，首先要知道运动物体单位时间内所行的路程，即速度，用V表示。物体在一个单位时间内行了1V，在两个单位时间内行了2V，在3个单位时间内行了3V，……，那么求运动物体在t个单位时间内所行的路程则是Vt，把它写成数学表达式则是：S＝Vt。有了这个计算公式，任何的行程问题就都可以解决了，只要给出一个速度和时间，都可以计算出路程来。计算时我们可以给计算机两个初始值V和t，计算机就会立即输出路程S的值。这时计算机只知道它计算的是两个数在相乘，是纯数值计算，而根本就不知道是在计算行程问题，这只有人才知道。象这样经过了严密的逻辑推理的“距离等于速度与时间的乘积”的绝对正确的命题，直接使用就可以了。只要给计算机中输入的初始数据就可以了，输出的结果一定是正确的，不要再进行检验的，否则要计算机有何用呢。如果计算机输出的结果是错的，那就要检验操作员（人）输入的初始数据是否正确了。
但用“算法”进行计算的问题就不同了。象上面我们说的身高与体重的关系的那个数模型问题，它不仅仅只是一个有概率的问题，是一个近似的问题，还是一个有条件的问题，它所要求的人不但是成年人，而且还要是正常的成年人，这意思也就是说它所要求人的年令和身高都要在一定的范围之内，而不是对所有的人都是适合的问题。
认识不一定正确，请大家讨论。
二○一六年七月十五日于长安
注：此文已于二○一六年七月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：
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