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高等数学讲义之积分表公式推导
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高等数学-第五章定积分讲解
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二、定积分的分部积分法
则 二、定积分的分部积分法
则 证: 例5. 计算 解: 原式 = 例6. 证明 证: 令 n 为偶数 n 为奇数 则 令 则 由此得递推公式 于是 而 故所证结论成立 . 内容小结
基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限
思考与练习 1. 提示:
令 则 2. 设 解法1. 解法2. 对已知等式两边求导, 得 3. 设 求 解: (分部积分) 1. 证明
证： 是以 ? 为周期的函数. 是以 ? 为周期的周期函数. 证： 2. 右端 试证 分部积分 再次分部积分 = 左端 作业 P253
1 (4) , (10) , (16) ,(24) ;
(4), (9), (10)
二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分
一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为
定义1. 设 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,
记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现
它表明该反常积分发散 . 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 复习例3. 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 例1. 计算反常积分 解: 思考:
分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,
否则会出现错误 . 例2.
证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有
当 p ≠ 1 时有
当 p &1 时收敛 ;
时发散 . 因此, 当 p &1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 .
例3. 计算反常积分 解: 二、无界函数的反常积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为
定义2. 设 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分,
则定义 则称此极限为函
记作 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 则定义 注意: 若瑕点 计算表达式 :
则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 例5.
计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
已知自由落体速度为 故所求平均速度 内容小结 1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 2. 定积分的性质 3. 积分中值定理 矩形公式
梯形公式 连续函数在区间上的平均值公式 近似计算 抛物线法公式 思考与练习 1. 用定积分表示下述极限 : 解: 或 P236 题13 (4) 解: 设 则 即 作业
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
第二节 微积分的基本公式
积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 取 例.
利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 证: 则有 定理2.
若 说明: 1) 定理 2 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 例1.
求 解: 原式 洛 例3.
证明 在 内为单调递增函数 .
证: 只要证 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
证: 根据定理 2, 故 因此 得 记作 定理3. 函数 , 则 或 例4. 计算 解: 例5.
计算正弦曲线 的面积 .
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高等数学微积分公式大全
一、基本导数公式
⑴ ()0c '=
⑵ 1x x μμμ-=
⑶ ()sin cos x x '= ⑷ ()cos sin x x '=-
tan sec x x '=
cot csc x x '=-
⑺ ()sec sec tan x x x '=?
⑻ ()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x
)arcsin x '=
)arccos x '=⒂ ()21arctan 1x x '=
1arc cot 1x x '=-+⒄ ()1x '=
二、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=±
()uv u v uv '''=+
u u v uv v v '''-??= ???
三、高阶导数的运算法则
(1) ()()()
()()n n n u x v x u x v x ±=±????
()()n n cu x cu x =????
(3) ()()()
u ax b a u
ax b +=+????
(4) ()()()
n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????
四、基本初等函数的 n 阶导数公式
n ax b n ax b e a e ++=?
ln n x x n a a a =
sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???
(5) ()()cos cos 2n n
ax b a ax b n π??+=++??? ????
n a n ax b ax b +???
ln 1n n n n
a n ax b ax b -?-+=-????
五、微分公式与微分运算法则
⑴ ()0d c =
d x x dx μμμ-=
⑶ ()sin cos d x xdx =
⑷ ()cos sin d x xdx =-
tan sec d x xdx =
cot csc d x xdx =-
⑺ ()sec sec tan d x x xdx =?
⑻ ()csc csc cot d x x xdx =-?
x x d e e dx =
d a a adx =
⑾ ()1ln d x dx x
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哪里有高数积分常用公式的详细证明过程呢?看了共有147个 不知有没有前辈整理过
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你翻看任何教材啊,有些书把那些作为附录放在书后面.但事实上：同学,那些公式不是让大家去记的!是需要你对每一个公式都可以熟练的推导并掌握其中方法,书上介绍的是两大类主要方法：换元法和分部积分法.你只要你够勤奋好好练习就没问题,在数学里面至少是求积分里面 没有公式只有方法.
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读大学的时候 自己推导过，你也可以自己推导，那种感觉很爽，而且基本不会忘记，记住了就相当于记住了求导，现在还是记得一部分的，哈哈，现在已经毕业三年多啦，意思就是六年前推导过。
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就这个t突然变成Ti导又变成Ti又变回t
那个Ti我不明白设他有什么用
从第二张图片开始就不明白了
楼主，你这是什么教材啊？我的课本上都没有证明过程，直接给了公式！
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