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《一元二次方程根的分布》教学设计
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芝罘区数学实际问题与一元二次方程
【芝罘区数学】【芝罘区数学】实际问题与一元二次方程(1)教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题． 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模 型，并利用它解决实际问题． 重难点关键 1．重点：用“倍数关系”建立数学模型 2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题 1：列方程解应用题 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格） ： 星期 甲 乙 一 12 元 13.5 元 二 12.5 元 13.3 元 三 12.9 元 13.9 元 四 12.45 元 13.4 元 五 12.75 元 13.75 元某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等） ， 则在他帐户上，星期二比星期一增加 200 元，?星期三比星期二增加 1300 元，这人持有的甲、乙股票各多 少股？ 老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张，由于从 表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是 x 或 y 乘以相应的每天每股的收盘价， 再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加 200 元，星期三比星期二增加 1300 元，便可列出等式． 解：设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张． 则??0.5x ? (?0.2) y ? 200 ?0.4 x ? 0.6 y ? 1300解得 ?? x ? 1000(股) ? y ? 1500(股)答： （略） 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没 有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下 面问题． （学生活动）问题 2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电视机的总台数是 3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为 x．?因为一月份是 1 万台，那么二 月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x） +（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式． 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为 x，则 1+（1+x）+（1+x）2?=3.31 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10% 答： （略）【芝罘区数学】【芝罘区数学】以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组） 、分式方程等为背景建立数学模型是一 样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型． 例 1．某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、?二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为 x，由一月份的营业额就可列出用 x 表示的二、三月份的营业额，又由三月份的 总营业额列出等量关系． 解：设平均增长率为 x 则 200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50% 答：所求的增长率为 50%． 三、巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场有木材多少立 方米? （2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化 工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程为__________． 四、应用拓展 例 2．某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应 得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的 年利率． 分 析 ： 设 这 种 存 款 方 式 的 年 利 率 为 x ， 第 一 次 存 2000 元 取 1000 元 ， 剩 下 的 本 金 和 利 息 是 x?80%；第二次存，本金就变为 x?80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为 x 则：x?80%+（x?8%）x?80%=1320 整理，得：x+，即 8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去） ，x2=1 =0.125=12.5% 8答：所求的年利率是 12．5%． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 六、布置作业 1．教材 P53 复习巩固 1 综合运用 1． 2．选用作业设计． 作业设计 一、选择题 1．2005 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共 250 家，设 二、三月份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是（ ） ． 2 2 A．100（1+x） =250 B．100（1+x）+100（1+x） =250 2 C．100（1-x） =250 D．100（1+x）2 2．一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，因库存积压，?所以就按销售价的 70%出售，那 么每台售价为（ ） ． A． （1+25%） （1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元 C． （1+25%） （1-70%）a 元 D． （1+25%+70%）a 元【芝罘区数学】【芝罘区数学】3．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，?售价的折扣（即降低的百分数） 不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（ ） ． A．p 100 ? pB．pC．100 p 1000 ? pD．100 p 100 ? p二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg，?第二年的产量为_______kg，第 三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2．某糖厂 2002 年食糖产量为 at，如果在以后两年平均增长的百分率为 x，?那么预计 2004 年的产量将是 ________． 3． ?我国政府为了解决老百姓看病难的问题， ?决定下调药品价格， ?某种药品在 1999 年涨价 30%?后， ?2001? 年降价 70%?至 a?元，?则这种药品在 1999?年涨价前价格是__________． 三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林” ，改变我省水土流失的严重现状，2000 年我省某地退耕还林 1600 亩，计划到 2002 年一年退耕还林 1936 亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率 2．洛阳东方红拖拉机厂一月份 生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型 16 台，?从二月份起，甲型每月增产 10 台，乙型每月按相同的增 长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是 3：2，三月份甲、乙两型产量之和为 65 台，?求乙 型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．3．某商场于第一年初投入 50 万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金 相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为 p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（?用代数式来表示） （注：年 获利率=年利润 ?100%） 年初投入资金（2）如果第二年的年获利率多 10 个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与 10%的和） ， 第二年年终的总资金为 66 万元，求第一年的年获利率．【芝罘区数学】【芝罘区数学】答案: 一、1．B 2．B 3．D 二、1．6（1+x） 6（1+x）2 2．a（1+x）2t 3．6+6（1+x）+6（1+x）2100 a 39三、1．平均增长率为 x，则 1600（1+x）2=1936，x=10% 2．设乙型增长率为 x，甲型一月份产量为 y：3 ? y ? 10 ?16(1 ? x) ? 2 则? ?( y ? 20) ? 16(1 ? x) 2 ? 65 ?即 16x2+56x-15=0，解得 x=? y ? 2 4x ? 1 4 ? 2 2? ?1 6x ? y ? 3 x2?901 =25%，y=20（台） 43． （1）第一年年终总资金=50（1+P） （2）50（1+P） （1+P+10%）=66，整理得：P2+2.1P-0.22=0，解得 P=10%22.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 重难点关键 1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．【芝罘区数学】【芝罘区数学】2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的题目． 问题： 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡， 一种贺年卡平均每天可售出 500 张， 每张盈利 0.3 元， 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么 商场平均每天可多售出 100 张，?商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润?总件数．设每张贺年卡应降价 x 元，?则每件平均利润应是（0.3-x） 元，总件数应是（500+x ?100） 0.1解：设每张贺年卡应降价 x 元 则（0.3-x） （500+100 x ）=120 0.1解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价 0.1 元． 二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了减少库存降价销售， 并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种 贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系． 例 1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈利 0.75 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降 价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙种贺 年卡的售价每降价 0.25 元，?那么商场平均每天可多售出 34?张．?如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大． 分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是 150 元；0.3 0.75 100 ? ? ，从这些数目看，? 0.1 0.25 34好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题． 解： （1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利 120 元，甲种贺年卡应降价 0.1 元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y 元， 则： （0.75-y） （200+ 即（y ?34）=120 0.253 -y） （200+136y）=120 4整理：得 68y2+49y-15=0 y=?49 ? 6481 2 ? 68∴y≈-0.98（不符题意，应舍去） y≈0.23 元 答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大． 因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律． （学生活动）例 2．两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t?乙种药品的成本是 6000 元，随【芝罘区数学】【芝罘区数学】着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t?乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品 成本的年平均下降率较大? 老师点评： 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（）÷2=1000 元，?乙种药品成本的年平均下降额 为（）÷2=1200 元，显然，?乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降 率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x， 则一年后甲种药品成本为 5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1-x）元． 依题意，得 5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） 设乙种药品成本的平均下降率为 y． 则：6000（1-y）2=3600 整理，得： （1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大． 因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等． 三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当销售价为 2900 元 时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台．乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时，?平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 45 元时，平均 每天就能多售出 4 台，?商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰箱的定价应 各是多少? 四、应用拓展 例 3．某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，?据市场分析，?若每千克 50 元销售，一个月 能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的关系式． （3）商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多 少? 分析： （1）销售单价定为 55 元，比原来的销售价 50 元提高 5 元，因此，销售量就减少 5?10kg． （2）销售利润 y=（销售单价 x-销售成本 40）?销售量[500-10（x-50）] （3）月销售成本不超过 10000 元，那么销售量就不超过1kg，在这个提前下，?求月销售利 40润达到 8000 元，销售单价应为多少． 解： （1）销售量：500-5?10=450（kg） ；销售利润：450?（55-40）=450?15=6750 元 （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+ （3）由于水产品不超过 1kg，定价为 x 元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60 当 x1=80 时，进货 500-10（80-50）=200kg&250kg，满足题意． 当 x2=60 时，进货 500-10（60-50）=400kg&250kg， （舍去） ． 五、归纳小结 本节课应掌握： 建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．【芝罘区数学】【芝罘区数学】六、布置作业 1．教材 P53 复习巩固 2 综合运用 7、9． 2．选用作业设计： 一、选择题 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共（ ） ． A．12 人 B．18 人 C．9 人 D．10 人 2．某一商人进货价便宜 8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前 x 增加到（x+10%） ， 则 x 是（ ） ． A．12% B．15% C．30% D．50% 3．育才中学为迎接香港回归，从 1994 年到 1997 年四年内师生共植树 1997 棵，已知该校 1994 年植树 342 棵， 1995 年植树 500 棵， 如果 1996 年和 1997 年植树的年增长率相同， 那么该校 1997 年植树的棵数为 （ ） ． A．600 B．604 C．595 D．605 二、填空题 1．一个产品原价为 a 元，受市场经济影响，先提价 20%后又降价 15%，现价比原价多_______%． 2．甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利 10%，乙而后又将这手股票返 卖给甲，但乙损失了 10%，?最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈 了_________元． 3．一个容器盛满纯药液 63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，?第二次又倒出同样多的药液，再加水 补满，这时容器内剩下的纯药液是 28L，设每次倒出液体 xL，?则列出的方程是________． 三、综合提高题 1．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率为 200 万元，九月份 的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，?现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每 多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，?如果要使产量增加 15.2%，那么应多种多少棵桃树?3．某玩具厂有 4 个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有 a（a&0）个成品，且每个车间每天都生产 b（b&0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、?周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有 成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验 的成品数相同． （1）这若干名检验员 1 天共检验多少个成品?（用含 a、b 的代数式表示） （2）若一名检验员 1 天能检验4 b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 5答案： 一、1．C 2．B 3．D 二、1．2 2．1 3． （1-x 2 28 ）= 63 63三、1．甲：设上升率为 x，则 100（1+x）2=121，x=10% 乙：设上升率为 y，则 200（1+y）2=288，y=20%，【芝罘区数学】【芝罘区数学】那么乙商场年均利润的上升率大． 2．设多种 x 棵树，则（100+x） （1000-2x）=100?1000?（1+15.2%）?，? 2 整理，?得：?x -400x+7600=0， （x-20） （x-380）=0， 解得 x1=20，x2=380 3． （1）2a ? 2 ? 2b 2a ? 2 ? 5b =a+2b 或 2 3（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．2 a ? 10b ，解得：a=4b 3 4 4 30 所以（a+2b）÷ b=6b÷ b= =7.5（人） 5 5 4所以 a+2b= 所以至少要派 8 名检验员．22.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1．?重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．?难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （口述）1．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题． 例 1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，?上口宽比渠深多 2m， 渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？【芝罘区数学】【芝罘区数学】（2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，?渠底为 x+0.4，那么，根 据梯形的面积公式便可建模． 解： （1）设渠深为 xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得：1 （x+2+x+0.4）x=1.6 2整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=4 =0.8m，x2=-2（舍） 5∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m． （2）1.6 ? 750 =25 天 48答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道． 学生活动：例 2．如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，?正中央是一个与整个封面长 宽比例相同的矩形，?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右 边衬等宽，?应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？九 年 级 数 学 同 步练 习老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，?由此可以判定：上下边衬 宽与左右边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm，?则左、右边衬的宽均为 7xcm，依题意，得： 中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 所以（27-18x） （21-14x）= 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=1 ，则中央矩形的面积是封面面积的． 43 ?27?21 46?3 3 ， 4x1≈2.8cm，x2≈0.2 所以：9x1=25.2cm（舍去） ，9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm． 三、巩固练习 有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时， 各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 0．1 尺） 四、应用拓展 例 3．如图（a） 、 （b）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A?开始沿 AB 边 向点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运动．【芝罘区数学】【芝罘区数学】（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 S△ PBQ=8cm2． （2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C?后又继续在 CA 边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于 12.6cm2． （友情提示：过点 Q?作 DQ⊥CB，垂足为 D， 则：DQ CQ ? ） AB ACCCQQ D PB A (a) B (b) www.czsx.com.cn 2 www.czsx.com.cn 分析： （1）设经过 x 秒钟，使 S△ PBQ=8cm ，那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型． （2）设经过 y 秒钟，这里的 y&6 使△PCQ 的面积等于 12.6cm2．因为 AB=6，BC=8，由勾股定理得： AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y） ，CQ=（2y-8） ，又由友情提示，便可得到 DQ，那么根据三角形的面积 公式即可建模． 解： （1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△PBQ 的面积为 8cm2． 则：AP1 （6-x） ?2x=8 2整理，得：x2-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 ∴经过 2 秒，点 P 到离 A 点 1?2=2cm 处，点 Q 离 B 点 2?2=4cm 处，经过 4 秒，点 P 到离 A 点 1? 4=4cm 处，点 Q 离 B 点 2?4=8cm 处，所以它们都符合要求． （2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使 CQ=（2y-8）cm，过 点 Q 作 DQ⊥CB，垂足为 D，则有 ∵AB=6，BC=8 ∴由勾股定理，得：AC= 62 ? 82 =10DQ CQ ? AB AC6(2 y ? 8) 6( y ? 4) ? 10 5 1 6 ( y4 ) ? 则： （14-y） ? =12.6 2 5∴DQ= 整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 即经过 7 秒， 点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处 （CP=14-y=7） ， 点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处 （CQ=?2y-8=6） ， 2 使△PCD 的面积为 12.6cm ． 经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm&10， ∴点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解 y1=7． 五、归纳小结 本节课应掌握：【芝罘区数学】【芝罘区数学】利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 六、布置作业 1．教材 P53 综合运用 5、6 拓广探索全部． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ） ． A． 37 B．5 C． 38 D．72．有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的 3 倍，已知第二 块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ） ． A．第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m; B．第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m; C．第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m; D．以上都不对 3．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） ． 2 2 A．8cm B．64cm C．8cm D．64cm 二、填空题 1．矩形的周长为 8 2 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为________． 2．长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为________． 3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m，所围的面 积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题 1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形） ，坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为 1：1，若坝长 30m， 完成大坝所用去的土方为 4500m2， 问水坝的高应是多少? （说明： ?背水坡度 （精确到 0.1m）CF 1 DE 1 ? ） = ， 迎水坡度 BF 2 AE 1CDAE F B www.czsx.com.cn2．在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2?的长方形花台，要使花坛四周的 宽地宽度一样，则这个宽度为多少?【芝罘区数学】【芝罘区数学】3．谁能量出道路的宽度: 如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且 花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，?只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．D H GCEFB A www.czsx.com.cn答案: 一、1．B 2．B 3．D 二、1．2 2 + 7 2 2- 72．32cm 3．20m 和 7.5m 或 15m 和 10m 三、 1．设坝的高是 x，则 AE=x，BF=2x，AB=3+3x， 依题意，得：1 （3+3+3x）x?30=4500 2整理，得：x2+2x-100=0 解得 x≈?2 ? 20.10 即 x≈9.05（m） 22．设宽为 x，则 12?8-8=2?8x+2（12-2x）x 整理，得：x2-10x+22=0 解得：x1=5+ 3 （舍去） ，x2=5- 3 3．设道路的宽为 x，AB=a，AD=b 则（a-2x） （b-2x）= 解得：x=1 ab 21 [（a+b）- a 2 ? b2 ] 4【芝罘区数学】【芝罘区数学】量法为：用绳子量出 AB+AD （即 a+b ）之长，从中减去 BD 之长（对角线 BD= a 2 ? b2 ） ，得AB ? AD ? BD a ? b ? a 2 ? b2 L=?AB+AD-BD，再将 L 对折两次即得到道路的宽 ，即 ． 4 422.3 实际问题与一元二次方程(4)教学内容 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题． 教学目标 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题． 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 重难点关键 1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 2．难点与关键：建模． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？ 二、探究新知 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度?时间”来建立一元二次方程的数学模型， 并且解决一些实际问题． 请思考下面的二道例题． 例 1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间 t（s）?之间的关系为：?s=10t+3t2，那么 行驶 200m 需要多长时间? 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把 s=200?代入求关系 t 的一元二次方 程即可． 解：当 s=200 时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 解得 t=20 （s） 3【芝罘区数学】【芝罘区数学】答：行驶 200m 需20 s． 3例 2．一辆汽车以 20m/s 的速度行驶， 司机发现前方路面有情况，?紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）?从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析： （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．?因为刹车以后，其速度的减 少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为20 ? 0 =10m/s，那么根据：路程= 2速度?时间，便可求出所求的时间． （2）很明显，刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为车速减少值 20， 是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间即可． （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs．?由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出 滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路程=速度?时间，便可求出 x 的值． 解： （1）从刹车到停车所用的路程是 25m；从刹车到停车的平均车速是 那么从刹车到停车所用的时间是20 ? 0 =10（m/s） 225 =2.5（s） 10 20 =8（m/s） 2.5（2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是（3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为 所以 x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得 x=20 ? (20 ? 8 x) =（20-4x）m/s 25 ? 10 2x1≈4.08（不合，舍去） ，x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s． 三、巩固练习 （1）同上题，求刹车后汽车行驶 10m 时约用了多少时间． （精确到 0.1s） （2）刹车后汽车行驶到 20m 时约用了多少时间． （精确到 0.1s） 四、应用拓展 例 3．如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，?在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：?小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直 线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，?那么相遇时补 给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里）【芝罘区数学】【芝罘区数学】A DB E F C www.czsx.com.cn分析： （1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就 可求，因此由勾股定理便可求 DF 的长． （2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 Rt△DEF 中，由勾股定理即 可求． 解： （1）连结 DF，则 DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里． ∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45° ∴CD=1 AC=100 2 海里 2DF=CF， 2 DF=CD∴DF=CF=2 2 CD= ?100 2 =100（海里） 2 2所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里． （2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2 整理，得 3x2-=0 解这个方程，得：x1=200-100 6 ≈118.4 3x2=200+100 6 （不合题意，舍去） 3所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里． 五、归纳小结 本节课应掌握： 运用路程＝速度?时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题． 六、布置作业 1．教材 P53 综合运用 9 P58 复习题 22 综合运用 9． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，?则这个两位数为（ ） ．【芝罘区数学】【芝罘区数学】A．25 B．36 C．25 或 36 D．-25 或-36 2．某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3km 都需付 7 元车费） ；超过 3km 以后，每 增加 1km，加收 2.4 元（不足 1km 按 1km 计） ，某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元，则此人从 甲地到乙地经过的路程（ ） ． A．正好 8km B．最多 8km C．至少 8km D．正好 7km 二、填空题 1．以大约与水平成 45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离 s（单位：m）?与标枪出手的速度 v（单 位：m/s）之间大致有如下关系：s=v2 +2 9.8如果抛出 40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到 0.1） 2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，?通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（m）与时间 t（s） 的数据如下： 时间 t（s） 距离 s（m） 1 2 2 8 3 18 4 32 ?? ??写出用 t 表示 s 的关系式为_______． 三、综合提高题 1．一个小球以 10m/s 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动 20m 后小球停下来． （1）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少多少? （3）小球滚动到 5m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）?2．某军舰以 20 节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以 30?节的速度由南向北航行，它能侦察出周围 50 海里（包括 50 海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至 A 处时，电子侦察船正位于 A 处正南方向 的 B 处，且 AB=90 海里，?如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否 侦察到这艘军舰?如果能，?最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．北A东B www.czsx.com.cn【芝罘区数学】【芝罘区数学】答案: 一、1．C 2．B 二、1．19.3m/s 2．s=2t2 三、 1． （1）小球滚动的平均速度= （2）10 ? 0 20 =5（m/s） 小球滚动的时间： =4（s） 2 510 ? 0 =2.5（m/s） 4 10 ? (10 ? 2.5 x) 20 ? 2.5 x = 2 2（3）小球滚动到 5m 时约用了 xs 平均速度= 依题意，得：x?20 ? 2.5 x =5，整理得：x2-8x+4=0 2解得：x=4±2 3 ，所以 x=4-2 3 2．能．设侦察船最早由 B 出发经过 x 小时侦察到军舰，则（90-30x）2+（20x）2=502 整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28） （x-2）=0，x1=2 ∴最早再过 2 小时能侦察到．2 ，x2=2， 13
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