2014中考数学知识点小结：点 直线和圆的位置关系
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直线、点及两直线的相对位置关系
&由于抽求直线AB与已知直线CD相交，则其交点K的投影应在CD的同面投影上。又点K跟H面12mm，即点K的正面投影蹑OX轴12mm。据此即可作出交点K的投影。然后，连接A与K，并延长，使另一端点B在点A右方25mm处，直线AB即为所求。
作图步骤（如图2&24b所示）：
（1）X轴上方12mm作水平线交于，并由求得k。k、即为交点k的两个投影。
（2）连接a、k和、，并分别延长到点A右方25mm处得b、。ab和即为所求直线AB的两面投影。
（三）两直线交叉
&&& 如果空间两直线既不平行，又不相交，则称为两直线交叉。交叉两直线不存在共有点，但必存在重影点。其同面投影表面为相交的点，不符合一个点的投影规律，实际是两直线在处于同一投射线上的两点（重影点）的投影（重影）。重影点在某一投影中的可见性，一定要相应地从另一投影中用&前遮后、上遮下、左遮右&来判别。
如图2&25a、b及c分别示出了两一般位置交叉及侧平线与一般位置直线交叉。图2&25a、b中，水平线投影ab、cd的&交点&，实际上是空间直线AB上的点Ⅰ和直线CD上的点Ⅱ的重合的投影，因为点Ⅰ和点Ⅱ位于向H面投射的同一条投射线上，所以它们的水平投影1（2）重合为一点。从正面投影中可看出，点Ⅰ比点Ⅱ的z坐标大（），所以点Ⅰ的水平投影1可见，点Ⅱ的水平投影（2）不可见，不可见的投影用括号括起。同样，正面投影和的&交点&，是CD上的点Ⅲ和AB上的点Ⅳ的重合的投影，点Ⅲ和点Ⅳ位于向V面投射的同一条投射线上，它们的正面投影重合为一点。从水平投影中呆看出，点Ⅲ在点Ⅳ之前（）所以点Ⅲ的正面投影 可见，点Ⅳ的正面投影（）不可见。图2&25c中两交叉直线的重影点的可见性，读者可自行分析判别。　空间直线及点、线、平面间的位置关系判定内容总结
1．空间直线的方向向量
给定一条直线，称平行于这条直线的非零向量s为该直线的方向向量．显然，与s平行的所有非零向量均可作为此直线的方向向量．直线上的所有向量都与该直线的方向向量平行．
2．直线的向量式参数方程
设直线L过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记
则直线L参数为t的向量式参数方程为
3．空间直线的坐标式参数方程
过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的坐标式参数方程为
4．空间直线的标准式方程
过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的标准式方程，或者对称式方程，点向式方程为
5．空间直线的两点式方程
已知空间直线L上的相异的两点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则两点的连线构成的直线的两点式方程为
6．空间直线的一般式方程
设两平面方程分别为：
则两平面的交线的一般式方程为
7．直线方程描述形式的转换
两个平面描述的直线的方向向量可取为两平面的法向量n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)的向量积，即
因此，取(x0,y0,z0)满足方程组，则由此向量可以将直线的一般式方程转换为以上方程的描述形式。
同样，由直线L的标准式方程、参数式方程、两点式方程也容易得到直线L的一般式方程。
如由直线L的标准式方程
可以将直线描述为
它对应通过直线L的两个特定的平面。
如果方向向量的某一分量为零，如s=(m,n,0)，则过点(x0,y0,z0)的直线L的坐标式参数方程为
直线的一般式方程为
对于这样方向向量有坐标分量为0的直线，一般也记它的标准式方程为
8．两直线的位置关系
设两直线的标准式方程分别为：
并设M1(x1,y1,z1)是直线L1上的点，s1=(m1,n1,p1)是它的一个方向向量；M2(x2,y2,z2)是直线L2上的点，s2=(m2,n2,p2)是它的一个方向向量，则有：
【注】：两条平行直线可以位于不同的平面上，但由于它们可以位于一个平面上，所以它们也表示共面直线。
(5) 不管是共面的直线还是异面的直线，规定两直线的夹角θ为两直线的方向向量间的夹角，即有
【注】：若两直线平行或重合，则它们的夹角可看成是0或π；如果两直线垂直，则它们的夹角为π/2.
9．点到直线的距离
设点M1(x1,y1,z1)是直线
上的一点，s=(m,n,p)是直线的方向向量，则点M0(x0,y0,z0)到直线L的距离为由方向向量s与M1和M0构成的向量为邻边构成的平行四边形，在方向向量所在边上的高，即由平行四边形的面积公式可得
10．直线间的距离
平行直线之间的距离归结为一直线上的任一点到另一直线之间的距离，即平行直线之间的距离可以直接使用点到直线的距离公式计算得到。
如果两条直线为异面直线，即已知两直线的标准式方程分别为：
并设M1(x1,y1,z1)是直线L1上的点，s1=(m1,n1,p1)是它的一个方向向量；M2(x2,y2,z2)是直线L2上的点，s2=(m2,n2,p2)是它的一个方向向量，则两异面直线之间距离等于向量M1, M2构成的向量在向量s1ⅹs2上的投影的绝对值，即
11．平面与直线的位置关系
设平面和直线的方程分别为：
并设n=(A,B,C)是平面π的法向量，s=(m,n,p)是直线L的方向向量，M0(x0,y0,z0)是直线L上的一点，则有：
直线L在平面π上n⊥s且
Ax0+By0+Cz0+D=0.
(3) 直线L与平面π相交Am+Bn+Cp≠0.
【注1】：点P在平面π上的投影为过点作平面的垂线，垂线与平面的交点为点在平面上的投影点。
【注2】：不与平面π垂直，且不在平面π内的直线L上不同两点在平面π上的投影点的连线构成直线L在平面π上的投影直线，简称投影线。直线L与它的投影线构成的平面与平面π垂直。
(4) 规定直线L与它在平面π上的投影线的夹角θ为直线与平面的夹角，即
【注1】：平面、直线的位置关系归结为直线的法向量、直线的方向向量之间位置关系的讨论。
【注2】：直线与平面相交，相交的交点的求解可以由平面方程与直线的一般式方程的三个平面方程构成的三元一次方程组求得；也可以将直线的参数方程代入平面的方程，通过求解参数值得到。
12．平面束方程
(1) 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，直线叫做平面束的轴。
如果两个平面
交于一条直线L，那么以直线L为轴的平面束的所有平面方程可以表示为
其中λ,μ是不全为零的任意实数。
当λ=1,μ=0时，则表示平面π1的方程；λ=0,μ=1时，则表示平面π2的方程。
【注】：如果仅仅取μ=1，则平面束方程为
λ是不全为零的任意实数，则该方程能够表示的平面为除了平面π1的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解决问题的过程中，减少了一个参数，简化问题求解过程，但是需要单独考虑平面π1。
(2) 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束。
空间中与平面π:Ax+By+Cz+D=0平行的平行平面束，或者说由平面π确定的平行平面束为
Ax+By+Cz+λ=0，
其中λ是任意实数.
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