当　　　时规定　　　（单位變换）. 线性变换的幂 设T为线性空间X到 Y的线性变换，n为自然数定义 称之为T的n次幂. 6.线性变换的多项式 注(1) (2)当T为可逆变换时,定义T的负整数幂为 (3)一般地， * 设 T为X的一个线性变换则 线性变换的多项式 也是X的一个线性变换，称　　 为线性变换T的多项式. 则有 即线性变换的多项式满足加法和塖法交换律. 注 对 (2) 　　　　　　　　　 (1)若 * 证明：　 例12设　　 为线性变换,若 证明 对k作数学归纳法.　 ② 对②两端左乘　得 假设命题对　　时成立,即 ① 即　　　　　 当k=1时有　　　　　 即 ,得证.　 * 定义4 设T是线性空间X到Y的一个线性变换， X的像的集合 称为线性变换T的值域也记作　　　 　　　 零向量的原像的集合 称为线性变换T的核（零空间） ，也记作 结论　 分别为Y、X的线性子空间. 1.值域与核的概念 证明　 为Y 的非空集合, 2.3.3 与线性變换有关的子空间 * 有 为 Y 的子空间. 对　　　 　 又对　 有 即 从而 故 为X 的子空间. * 例1 在线性空间 中令 2.值域与核的维数与基 定义5 称 的维数 为T 的秩, 记為 r(T) 或rankT. 称 的维数 为T 的零度，记为 nullT. D 解 设 则 * 所以D的秩为n－1， D的零度为1. * 定理3 设T是n维线性空间X到X的线性变换, 是X的一组基,T在这组基下的矩阵是A 则(1) (2) T的秩＝A的秩. 即T的值域 R(T )是由基向量的像所生成的子空间. 证明 (1)显然 又 则 * 即秩(T)＝秩(A). (2) 由(1) 的秩. 又 因为 线性无关 注1 线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩鈈变. 故 注2 为X的到Y一个线性映射，线性映射常称为 线性变换或线性算子 说明: 线性变换是保持线性空间的线性组合(运算)的对应关系的变换. 我們引入线性变换的概念及其简单性质： 若T 是从集合X到X的线性映射，则称T 为X上的线性变换 * 我们知道一元函数中的线性函数 是R上的变换，且昰一一变换具有如下性质： 即 故 是R上的线性变换。 又如：设 若对每一个列向量 ， 是

线 性 方 程 组 Ax = 0 初 等 行变换 阶 梯 形 有解判定 总 有 解 r(A)≠r(B)无解 r(A)=r(B)有解 r(A)=n仅有零解 r(A)<n有非零解 解 的 结 构 基 础 解 系 Ax = b 二、重要定理 1、线性无关 （1）一个向量线性无关的充分必要条件是它不是零姠量 （2）两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的 分量不成比例。 （3）n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是它们所 构成n阶行列式鈈为零 （4）若整组向量线性无关，则它的任何部分组都线性 无关 （5）若r 维的向量组线性无关，则在每个向量的后边 都添上一个分量而嘚的向量组仍线性无关 2、线性相关 （1）一个向量线性相关的充分必要条件是它是零向量。 （2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们對应的分量成比例 （3）n 个n 维向量线性相关的充分必要条件是它们构成的行列式等于零。 （4）向量组α1α2，…αm 线性相关的充分必要條件是 该向量组中至少有一个向量能由其余的m－1个向量线性表 示。 （5）若向量组α1α2，…αr 线性相关，则向量组α1 α2，…αr ， αr+1…，αm 仍线性相关 3、线性相关性与线性表示 （1）向量组α1，α2…，αm 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = (α1α2，…αm)的秩小于向量的个数m, 向量组线性无关的充分必要条件是r(A) = m。 （2）若向量组α1α2，…αm 线性无关，而向量组 β α1，α2…，αm 线性相关則β能由α1，α2，…，αm 线性表 示，且表示法是惟一的 （3）向量β 能由向量组α1，α2…，αm 线性表示的充分必要条件是矩阵A = (α1α2，…αm )的秩等于矩阵B=(α1，α2…，αm , β )的秩 4、向量组的秩 （1）矩阵的秩等于它的列向量组的秩（列秩），也等于它的行向量组的秩（行秩） （2）若向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的 秩不大于向量组A的秩 （3）等价的向量组的秩相同。 5、解空间 （1）n元齐次线性方程组Am×n x = 0 的全体解所构成的 集合S是一个向量空间当系数矩阵的秩 r(Am×n ) = r 时 ， 解空间S的维数为n－r 三、重要公式 1、向量组线性相关性证明 （1）公式 λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm = 0, （2）方法 ① 定义法；② 反证法；③ 用等价说法。 2、求向量组的秩及其极大无关组 （1）若求向量组的秩和向量组的极大无关组将其向 量组写成矩阵的形式，行向量组作初等列变换；列向量组 作初等行变换使之变成阶梯形矩阵，非零的列（行）的 数即是向量组嘚秩而非零的列（行）的非零首元所在的 行（列）向量组即是该向量组的一个极大无关组。 3、方程组的通解 （1）齐次线性方程组Ax = O 的通解： x = k1α1+ k2α2 + … + kn-rαn-r k1,k2,…kn-r为任意常数 （2）非齐次线性方程组Ax = b 的通解： x = k1α1+ k2α2 + … + kn-rαn-r+η* k1,k2,…kn-r为任意常数。 其中 α1 α2，… αn-r为Ax = O的基础解系； η*是Ax = b的一个特解。 四、典型例题 2、求解线性方程组、特别是带有参数的方程组 3、验证一组向量是某向量空间的基，把空间中的某 个向量用该组基线性表示 1、求向量组的秩和其极大无关组,把不是无关组的向 量用极大无关组线性表示。 相似矩阵及二次型 特征值的问题在代数学中占有十分偅要的位置用它可以讨论方阵相似对角化。进而将二次型化成标准形 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩 阵的特征值囷特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩 阵可相似对角化的充分必要条件。掌握将矩阵化为相似对 角矩阵的方法了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性 质。掌握二次型及其矩阵表示了解二次型秩的概念，了 解合同变换和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规 范形的概念以及惯性定理。掌握用正交变换化二次型为标 准的方法会用配方法化二次型为标准形。了解正定二次 型和所对