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五年级奥数正式教材老师用
智合教育……暑期蓝天行动目录目录 .......................................................... - 1 （一） 数的整除 ............................................... - 2 （二） 数字谜 ................................................. - 6 ① ② 横式字谜 .................................... - 6 竖式字谜 .................................... - 8 -（三） 定义新运算 ............................................ - 11 （四） 行程问题 .............................................. - 15 ① ② 追击及遇问题 ................................... - 15 火车过桥 ................................... - 19 -（五） 列方程解应用题 ........................................ - 22 （六） 抽屉原理 .............................................. - 27 （七） 不规则图形面积计算（1） ............................... - 30 （八） 不规则图形面积计算（2） ............................... - 34 （九） 逻辑推理 .............................................. - 39 （十） 牛吃草 ................................................ - 41 （十一） 流水行船 ............................................ - 45 （十二） 奇数与偶数 .......................................... - 48 （十三） 周期性问题 .......................................... - 52 （十四） 植树问题 ............................................ - 56 （十五） 有趣的树阵图 ........................................ - 60 （十六） 有趣的树阵图练习 .................................... - 64 -- 1 -智合教育……暑期蓝天行动（一） 数的整除如果整除 a 除以不为零数 b，所得的商为整数而余数为 0，我们就说 a 能被 b 整除，或叫 b 能整除 a。如果 a 能被 b 整除，那么，b 叫做 a 的约数，a 叫做 b 的倍数。 数的整除的特征： （1） 能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 2、4、6、8、0， 那么这个整数一定能被 2 整除。 （2） 能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被 3（或 9）整除，那么这个整数一定能被 3（或 9）整除。 （3） 能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4 （或 25）整除，那么这个数就一定能被 4（或 25）整除。 （4） 能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0 或 5，那么这 个整数一定能被 5 整除。 （5） 能被 6 整除的数的特征：如果一个整数能被 2 整除，又能被 3 整除， 那么这个数就一定能被 6 整除。 （6） 能被 7（或 11 或 13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三 位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是 0 或是 7（或 11 或 13） 的倍数，这个数就能被 7（或 11 或 13）整除。 （7） 能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被 8 （或 125）整除，那么这个数就一定能被 8（或 125）整除。 （8） 能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位 数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除。一、例题与方法指导 例 1. 一个六位数 23□56□是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是_____ 或_____.思路导航：一个数如果是 88 的倍数,这个数必然既是 8 的倍数,又是 11 的倍数.根据 8 的倍数,它的末三位数肯定也是 8 的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是 0 或 8.而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是 0 或 11 的倍数,从已知的四个数看, 这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为 0,两个方框 内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能 23 0 56 0 或 23 8 56 8 又 230560 ? 88= ? 88=2711 所以,本题的答案是 2620 或 2711. 例 2. □□,这个十一位数能被 36 整除,那么这个数的个位上的- 2 -智合教育……暑期蓝天行动 数最小是_____.思路导航：因为 36=9 ? 4,所以这个十一位数既能被 9 整除,又能被 4 整除.因为 1+2+? +9=45，由能被 9 整除的数的特征， （可知□+□之和是 0（0+0） 、9（1+8，8+1， 2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和 18（9+9）.再由能被 4 整除的数的特征:这 个数的末尾两位数是 4 的倍数,可知□□是 00,04,?，36，?，72，?96.这样, 这个十一位数个位上有 0,2,6 三种可能性. 所以,这个数的个位上的数最小是 0. 下面一个 1983 位数 33?3□44?4 中间漏写了一个数字(方框),已 991 个 991 个 知这个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_____. 例 3.思路导航：33?3□44?4991 个 990 个 991 个 990 个 990 个 990 个=33?3 ?
因为 111111 能被 7 整除，所以 33?3 和 44?4 都能被 7 整除,所以只要 3□4 能被 7 整除，原数即可被 7 整除.故得中间方框内的数字是 6. 例 4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是 11 的倍数.这三 个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是 3 的倍数,已知其和是 11 的倍数,而 3 与 11 互质, 所以和是 33 的倍数,能被 33 整除的两位数只有 3 个,它们是 33、66、99.所以有 当和为 33 时,三个数是 10,11,12； 当和为 66 时,三个数是 21,22,23； 当和为 99 时,三个数是 32,33,34. 所以，答案为 10,11,12 或 21,22,23 或 32,33,34。[注]“三个连续自然数的和必能被 3 整除”可证明如下： 设三个连续自然数为 n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2) =3n+3 =3(n+1)所以， n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 能被 3 整除.二、巩固训练 1. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数,它的两个数字之和也能被 4 整除.所有这样的两位数的和是____.- 3 -智合教育……暑期蓝天行动2. 一个小于 200 的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数 的乘积,那么这个自然数是_____.3. 任取一个四位数乘 3456,用 A 表示其积的各位数字之和,用 B 表示 A 的 各位数字之和,C 表示 B 的各位数字之和,那么 C 是_____.4. 有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如 果把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来， 第五个数的末位数字是_____.1. 118 符合条件的两位数的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数, 如果十位数不变,则个位增加 1,其和便不能整除 4,因此个位数一定是 9,这种两 位数有:39、79. 所以,所求的和是 39+79=118. 2． 195 因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且 15 ? 15=225&200,所以其中至 少有 1 个因数小于 15,而且这些因数均需是奇数,但 11 不可能符合条件,因为对 于小于 200 的自然数凡 11 的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是 奇数,十位必是偶数.所以只需检查 13 的倍数中小于 200 的三位数 13 ? 13=169 不 合要求,13 ? 15=195 适合要求.所以,答案应是 195. 3. 9 根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能. 因为
? 9,所以任何一个四位数乘 3456,其积一定能被 9 整除,根据 能被 9 整除的数的特征,可知其积的各位数字之和 A 也能被 9 整除,所以 A 有以下 八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而 A 的各位数字之和 B 总是 9,B 的各 位数字之和 C 也总是 9. 4. 9 ∵0+1+4+7+9=21 能被 3 整除,∴从中去掉 0 或 9 选出的两组四个数字组成的- 4 -智合教育……暑期蓝天行动 四位数能被 3 整除.即有 0,1,4,7 或 1,4,7,9 两种选择组成四位数,由小到大排列 为:07,97?.所以第五个数的末位数字是 9.三、拓展提升 1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可 以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小, 那么这四个数里中间两个数的和是多少？ 2． 只修改 21475 的某一位数字,就可知使修改后的数能被 225 整除,怎样修 改？ 3． 500 名士兵排成一列横队.第一次从左到右 1、2、3、4、5（1 至 5）名 报数；第二次反过来从右到左 1、2、3、4、5、6（1 至 6）报数，既报 1 又报 6 的士兵有多少名？ 4. 试问,能否将由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5 个 相连的数中,都至少有两个数可被 3 整除？如果回答： “可以” ，则只要举出一种 排法；如果回答： “不能” ，则需给出说明. 答案 1. 如果最小的数是 1,则和 1 一起能符合“和被差整除”这一要求的数只 有 2 和 3 两数，因此最小的数必须大于或等于 2.我们先考察 2、3、4、5 这四个 数,仍不符合要求,因为 5+2=7,不能被 5-2=3 整除.再往下就是 2、3、4、6,经试 算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7. 2. 因为 225=25 ? 9,要使修改后的数能被 25 整除,就要既能被 25 整除,又能 被 9 整除,被 25 整除不成问题,末两位数 75 不必修改,只要看前三个数字即可, 根据某数的各位数字之和是 9 的倍数,则这个数能被 9 整除的特征,因为 2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把 1 改为 0；把 4 改为 3；把 1 改为 9；把 2 改为 1. 3. 若将这 500 名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被 5 整除 的士兵报 1；第二次报数时，编号能被 6 整除的士兵报 6，所以既报 1 又报 6 的 士兵的编号既能被 5 整除又能被 6 整除，即能被 30 整除，在 1 至 500 这 500 个 自然数中能被 30 整除的数共有 16 个，所以既报 1 又报 6 的士兵共有 16 名. 4. 不能. 假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的 100 个数,我们来按所排列顺序 将它们每 5 个分为一组,可得 20 组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组 的 5 个数中都至少有两个数是 3 的倍数.从而一共有不少于 40 个数是 3 的倍数. 但事实上,在 1 至 100 的自然数中有 33 个数是 3 的倍数,导致矛盾.- 5 -智合教育……暑期蓝天行动（二） 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头” （打一城市 名） 。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天” 。这个地 名第 1 个字可能是天。 “码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是 “天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这 样谜底就出来了：天津。 算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了 无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字， 把算式还原。 “虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常 用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文 字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数 字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。 在数学里面， 文字也可以组成许许多多的数学游戏， 就让我们一起来看看吧。① 横式字谜一、例题与方法指导 例 1 □，□8，□97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？ 思路导航：150*3-8-97-5=340 所以 3 个数之和为 3+4+5=12。 例 2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立： （1）6□□4÷56=□0□， （2）7□□8÷37=□1□， （3）3□□3÷2□=□17， （4）8□□□÷58=□□6。 分析： （1）
（2） （3）
（4） 例 3 在算式 40796÷□□□=□99??98 的各个方框内填入适当的数字后， 就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。 分析：9...98。 例 4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学 在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的 4 个不同的数字。如- 6 -智合教育……暑期蓝天行动 果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少？ 分析：学=1，我=8，数=6 ，=例 5 □÷（□÷□÷□）=24 在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数， 使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这 样 ， 我 们 可 以 先 用 字 母 代 替 数 字 ， 原 等 式 写 成 ： a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a&b&c&d) 当 a=1 时，有 6*8/2=24，8*9/3=24； 当 a=2 时，有 4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12； 所以，满足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24， 2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。 例 6 ① □×□=5□； 12+□－□=□， 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面 ② 把 两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3 个数字已经填好。 分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为 7*8=56， 则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当 6*9=54 时，余下的数字有：3、7、 8，那么，12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。 二、训练巩固 1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛 在上面的 3 个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的 数字。如果这 3 个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？ 分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春 春=迎迎赛赛 的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第 一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445； 所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。 2. 迎+春×春=迎春， （迎+杯）×（迎+杯）=迎杯 在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的 数字。那么“迎+春+杯”等于多少？ 分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）= 81，于是，迎=8； 这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。 三、拓展提升 1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数： (1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。- 7 -智合教育……暑期蓝天行动 2.将 3～9 中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字： (1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。3.在下列各式的□中填入合适的数字： (1)448÷□□=□； (3)13×□□= 4□6。 4.在下列各式的□中填入合适的数： (1) □÷32＝8??31； (3)4837÷□＝74??27。 答案与提示 练习 22 (2)573÷32＝□??29； (2)2822÷□□=□□；4.(1)287；(2)17；()65。②竖式字谜一、例题与方法指导 例 1 在图 4-1 所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不 同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到“欢”是 0 或 5，但是“欢”是第二个数- 8 -智合教育……暑期蓝天行动 的十位，所以“欢”不能是 0，只能是 5。 再看十位，“欢”是 5，加上个位有 进位 1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是 “人”，所以“人”只能是 2；由此可知，“喜”等于 8。 所以，“喜欢”这两 个汉字所代表的两位数就是 85。 例 2 在图 4-2 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示 不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多 少？分析：还是先看个位，5 个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”， “谜”必定是 5（0 显然可以排出） 接着看十位，四个“字”相加再加上进位 ； 2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是 6； 再看百位，三个“数”相加 再加上进位 2，结果尾数还是“数”，“数”可能是 4 或 9； 再看千位， （1）如 果“数”为 4，两个“解”相加再加上进位 1，结果尾数还是“解”，那说明 “解”只能是 9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于 6 与“字”等于 6 重复， 不能； （2） 如果“数”为 9， 两个“解”相加再加上进位 2， 结果尾数还是“解”， 那说明“解”只能是 8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的 三位数是 965。 例 3 在图 4-3 所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字 表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是 8 或 9，那么“人” 就相应的只能是 0 或 1。 但是“华”=1， 所以， “人”就是 0；再看百位， “人”=0， 那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比 “港”大 1，这样就说明“港”不是 9，百位向千位也没有进位。于是可以确定 “香”等于 9 的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比 “港”大 1，那么“爱”就等于 8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相- 9 -智合教育……暑期蓝天行动 加至少 12， 至多 13， 即只能是 5+7 或 6+7， 显然“港”=5， “回”=6， “归”=7。 这样，整个算式就是：652。 例 4 图 4-4 是一个加法竖式，其中 E，F，I，N，O，R S，T，X，Y 分别表示 从 0 到 9 的不同数字，且 F，S 不等于零．那么这个算式的结果是多少？分析：先看个位和十位，N 应为 0，E 应为 5；再看最高位上，S 比 F 大 1； 千位上 O 最少是 8；但因为 N 等于 0，所以，I 只能是 1，O 只能是 9；由于百位 向千位进位是 2， X 不能是 0， 且 因此决定了 T、 只能是 7、 这两个； R 8 如果 T=7， X=3，这是只剩下了 2、4、6 三个数，无法满足 S、F 是两个连续数的要求。所以， T=8、 R=7； 由此得到 X=4； 那么， F=2， S=3， Y=6。 所以， 得到的算式结果是 31486。 二、训练巩固 1. 在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代 表不同的数字．那么 D+G 等于多少？分析：先从最高位看，显然 A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为 E 等于 9，说明个位有借位，所以 F 只能是 8；由 F=8 可知，C=7；这样，D、G 有 2、4， 3、5 和 4、6 三种可能。所以，D＋G 就可以等于 6，8 或 10。 2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成 的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得 2529．求 王老师家的电话号码． 分析：我们可以用 abcdefg 来表示这个七位数电话号码。由题意知， abcd+efg=9063，abc+defg=2529； 首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个 算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式， b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是 8371692。 3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比- 10 -智合教育……暑期蓝天行动 原数大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？ 分析： abcd 来表示愿四位数， 用 那么新四位数为 dcba， dcba-abcd=7902； 由最高为看起，a 最大为 2，则 d=9；但个位上 10+a-d=2，所以，a 只能是 1；接 下来看百位，b 最大是 9，那么，c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是 1989。 三、拓展提升 1.已知图 4-6 所示的乘法竖式成立．那么 ABCDE 是多少？分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=4*3=428571。 2. 某个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成 的新数恰好是原数的 4 倍．问原数最小是多少？ 分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为 6；4*6+1=25，原百位为 5；4*5+2=22，原千位为 2； 4*2+2=10，原万位为 0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是 102564。 3. 在图 4-7 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示 不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？分析：同第 10 题一样，也是利用 1/7 的特点。因为每个字母代表不同 的数字，因此“好”只有 3 和 6 可选： 好=3，则：=428571；好=6，则：=857142；两个都能满足，所 以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是 428571 或 857142。（三） 定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本 上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、 、&、&”等。表示运算意- 11 -智合教育……暑期蓝天行动 义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如 a☆b=3a-3b，新运算使用的符号 是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。 正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照 规定的法则进行运算。 如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的 数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。 值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质， 所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。 一、例题与方法指导 例 1. 设 ab 都表示数，规定 a△b 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 a△b=4 ×a-3×b,试计算 5△6，6△5。 解 5△6-5×4-6×3=20-18=2 6△5=6×4-5×3=24-15=9 说明 例 1 定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。 例 2. 对于两个数 a、b,规定 a☆b 表示 3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5 ☆（6☆7） 。思路导航：先做括号内的运算。 解 （5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95 5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79 说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。 例 3. 已知 2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数 a、b，a△b 表 示 a×(a+1)×?（a+b-1）. 计算（6△3）-（5△2） 。思路导航：原式=6×7--5×6 =336-30 规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+?+（a+b-1）,其中 a,b 表示自然数。 例 4. 求 1△100 的值。已知 x△10=75,求 x.思路导航：（1）原式=1+2+3+?+100=（1+100）×100÷2=5050 （2）原式即 x+(x+1)+(x+2)+?+（X+9）=75, 所以 10X+(1+2+3+?+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=3 二、巩固训练- 12 -智合教育……暑期蓝天行动 1. 若对所有 b,a△b =a×x,x 是一个与 b 无关的常数； a☆b=(a+b)÷2,且 （1 △3）☆3=1△（3☆3） 。 求（1△4）☆2 的值。 分析 注意本题有两种运算，由（1△3）☆3=1△（3☆3） ，可求出 x. 解 因为（1△3）☆3=1△（3☆3） ，所以（1×x） 即 （x+3）÷2=x x+3=2x x=3 因为（1△4）☆2 =（1×4）☆2 =（4+2）÷2 =3 2. 如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，??，⑨=8×9×10， 求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。解题思路 依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积，而且，⑤里的数就是 三个连续数中的中间的哪个数，即③是 2，3，4 三个连续的乘积，④是 3，4，5 三个连续睡的乘积，从而不难求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。 解：原式=8×9×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4 =720+504+-339+210-120+60-24 =1014 三、能力提升- 13 -智合教育……暑期蓝天行动答案- 14 -智合教育……暑期蓝天行动（四） 行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小 升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流 水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自 己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三 个量，三个关系”： 这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t) 三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 × 时间 2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 × 时间 3. 追击问题： 路程差 = 速度差 × 时间 牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系， 就会发现解决行程问题还是 有很多方法可循的。① 追击及遇问题一、例题与方法指导 例 1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向 行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走 40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走 36 米。在途中，甲和乙相遇后 3 分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三 个人的速度，以及一个“3 分钟”的时间。- 15 -智合教育……暑期蓝天行动 第一个相遇：在 3 分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米） 第一个追击：这 228 米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的 速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为 228÷ （38-36） =114（分钟） 第二个相遇：在 114 分钟里，甲、乙二人一起走完了全程 所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米） 我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更 加清晰。 例 2. 东西两地间有一条公路长 217.5 千米，甲车以每小时 25 千米的速度 从东到西地，1.5 小时后，乙车从西地出发，再经过 3 小时两车还相距 15 千米。 乙车每小时行多少千米？思路导航：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行 了多少路程和行这段路程所用的时间。 解： （1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时） （2）甲车一共行多少千米路程？25× 4.5=112.5（千米） （3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米） （4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)÷ 3=30（千米） 答：乙车每小时行 30 千米。 例 3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距 1400 米。哥哥骑 自行车每分钟行 200 米，妹妹每分钟走 80 米。哥哥刚到学校就立即返回来在途 中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？思路导航：从图中可以看出 哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的 ， 2 倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距 2800 米，两人同时出发，相向而行， 哥哥每分钟行 200 米，妹妹每分钟行 80 米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就 容易了。 解： （1）从家到学校的距离的 2 倍：1400× 2=2800（米） （2）从出发到相遇所需的时间：2800÷ （200+80）=10（分） （3）相遇处到学校的距离：1400-80× 10=600（米） 答：从出发到相遇，妹妹走了 10 分钟，相遇处离学校有 600 米。 二、巩固训练- 16 -智合教育……暑期蓝天行动 1. 两城市相距 328 千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。 甲每小时行 28 千米，乙每小时行 22 千米，乙在中途修车耽误 1 小时，然后继续 行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？ 分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和： 328+22× 1=350（千米） ，两车的速度和：28+22=50（千米/小时） ，然后根据相遇 问题“路程和÷ 速度和=相遇时间”得 350÷ 50=7（小时） 解： （328+22× 1）÷ （28+22） =350÷ 50 =7（小时） 解法 2： （328-22× 1）÷ （28+22） =300÷ 50 =6（小时） 6+1=7（小时） 答：从出发到相遇经过了 7 小时。 2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行 40 千米，经过 3 小时快车已过中点 12 千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？ 分析:从图中可知：快车 3 小时行的路程 40× 3=120 千米，比全程的一半多 12 千米， 全程的一半是 120-12=108 千米。而慢车 3 小时行的路程比全程的一半还少 12 千 米，所以慢车 3 小时行的路程是 108-12=96 千米，由此可以求出慢车的速度。 解：①甲乙两地路程的一半：40× 3-12=108（千米） ②慢车 3 小时行的路程：108-12=96（千米） ③慢车的速度：96÷ 3=32（千米） 答：慢车每小时行 32 千米。 3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城 85 千米处相遇，到达 对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城 35 千米处相遇，两城相距多少 千米？分析:- 17 -智合教育……暑期蓝天行动从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了 85 千米。当小华和小明第二次相遇时，共行了 3 个全程，这时小华共行了 3 个 85 千米，如果再加上 35 千米，相当于小华行了 2 个全程，甲乙两地全长也就可以 求出来了。 解： （1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？ 85× 3=255（千 米） （2）甲乙两城相距多少千米？（ 255+35）÷ 2=290÷ 2=145（千米） 答：两城相距 145 千米。三、拓展提升 1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行 54 千米，货车每 小时行 48 千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返 回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行 216 千米。 求甲乙两站相距多少千米？分析如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行 3 个全程，在这段时间里客车一 共比货车多行 216 千米，客车每小时比货车快 54-48=6 千米，这样可以求出行 3 个全程的时间为 216÷ 6=36 小时，由此可求出行一个全程时间：36÷ 3=12 小时， 因而可以求出甲乙两站的距离。 解：①从出发到第二次是两车行驶的时间：216÷ （54-48）=36（小时） ②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷ 3=12（小时） ③甲乙两站的距离： （54+48）× 12=1224（千米） 答：求甲乙两站相距 1224 千米。2. 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车速度分别为每 小时 60 千米和 48 千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 小时、7 小 时、8 小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。 分析:- 18 -智合教育……暑期蓝天行动解答的关键是求出卡车的速度，从图上明显看出，甲车 6 小时的行程与乙车 7 小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关 系，求出丙车速度。 解： （1）卡车的速度： 60× （ 6-48× 7）÷ （7-6）=24÷ 1=24（千米） （2）AB 两地之间的距离： （60+24）× 6=504（千米） （3）丙车与卡车的速度和：504÷ 8=64（千米） （4）丙车的速度：64-24=40（千米/小时） 答：丙车的速度每小时 40 千米。 3. 两列火车从某站相背而行，甲车每小时行 58 千米，先开出 2 小时后，车以 每小时 62 千米才开出，乙车开出 5 小时后，两列火车相距多少千米？② 火车过桥过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥 到车尾离桥。列车过桥的 总路程是桥长加车长， 这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问 题的基本数量关系： 过桥问题的一般数量关系是： 因为： 过桥的路程 = 桥长 + 车长 所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）÷车速 车速 = （桥长 + 车长）÷过桥时间 公式的变形： 桥长 = 车速×过桥时间 ― 车长 车长 = 车速×过桥时间 ― 桥长 后三个都是根据第二个关系式逆推出的。 火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的， 也要通过上面的数量关系来解 决。 一、例题与方法指导 例 1. 一列客车经过南京长江大桥，大桥长 6700 米，这列客车长 100 米， 火车每分钟行 400 米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？思路导航：- 19 -智合教育……暑期蓝天行动从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是 过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过 桥的时间。 （1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米） （2）过桥时间： = 17（分） 答：这列客车通过南京长江大桥需要 17 分钟。 例 2. 一列火车长 160 米，全车通过 440 米的桥需要 30 秒钟，这列火车每 秒行多少米？思路导航：要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。 （1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米） （2）火车的速度：600÷30 = 20（米） 答：这列火车每秒行 20 米。 例 3. 某列火车通过 360 米的第一个隧道用了 24 秒钟，接着通过第二个长 216 米的隧道用了 16 秒钟，求这列火车的长度？思路导航：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了 8 秒，为什么多用 8 秒呢？原 因是第一个隧道比第二个隧道长 360―216 = 144（米） ，这 144 米正好和 8 秒相 对应，这样可以求出车速。火车 24 秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已 知的隧道长，就是火车长。 （1）第一个隧道比第二个长多少米？ 360―216 = 144（米） （2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？ 24―16 = 8（秒） （3）火车每秒行多少米？ 144÷8 = 18（米） （4）火车 24 秒行多少米？ 18×24 = 432（米） （5）火车长多少米？ 432―360 = 72（米） 答：这列火车长 72 米。二、巩固训练- 20 -智合教育……暑期蓝天行动 1. 某列火车通过 342 米的隧道用了 23 秒，接着通过 234 米的隧道用了 17 秒，这列火车与另一列长 88 米，速度为每秒 22 米的列车错车而过，问需要几秒 钟？思路导航：通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长。 （342―234）÷（23―17）= 18（米）??车速 18×23―342 = 72（米） ????????车身长 两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总 路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程÷速度和 = 相遇 时间” ，可以求出两车错车需要的时间。 （72 + 88）÷（18 + 22）= 4（秒） 答：两车错车而过，需要 4 秒钟。 2. 一列火车全长 265 米， 每秒行驶 25 米， 全车要通过一座 985 米长的大桥， 问需要多少秒钟？ （265 + 985）÷25 = 50（秒） 答：需要 50 秒钟。 3. 一列长 50 米的火车，穿过 200 米长的山洞用了 25 秒钟，这列火车每秒 行多少米？ （200 + 50）÷25 = 10（米） 答：这列火车每秒行 10 米。 三、拓展提升 1. 一列长 240 米的火车以每秒 30 米的速度过一座桥， 从车头上桥到车尾离 桥用了 1 分钟，求这座桥长多 少米？ 1 分 = 60 秒 30×60―240 = 1560（米） 答：这座桥长 1560 米。 2. 一列货车全长 240 米， 每秒行驶 15 米， 全车连续通过一条隧道和一座桥， 共用 40 秒钟，桥长 150 米， 问这条隧道长多少米？ 15×40―240―150 = 210（米） 答：这条隧道长 210 米。 3. 一列火车开过一座长 1200 米的大桥，需要 75 秒钟，火车以同样的速度 开过路旁的电线杆只需 15 秒钟，求火车长多少米？ 1200÷（75―15）= 20（米） 20×15 = 300（米） 答：火车长 300 米。- 21 -智合教育……暑期蓝天行动 4. 在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长 182 米，每秒行 18 米，另一列火车每秒行 17 米，两列火车错车而过用了 10 秒钟，求另一列火车长 多少米？ （18 + 17）×10―182 = 168（米） 答：另一列火车长 168 米。（五） 列方程解应用题同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆 向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培 养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五 步： （一）审题； （弄清已知数和未知数以及它们之间的关系） （二）用字母表示未知数； （通常用“x”表示） （三）根据等量关系列出方程； （四）解方程求出未知数的值； （五）验算并答题。 一、例题与方法指导 例 1. 金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树 252 棵，比五年级1 植树总数的 4 倍少 8 棵，五年级植树多少棵？ 1思路导航：1 1 1 六年级比五年级植树总数的 4 倍少 8 棵，就是六年级的 4 倍的数少 8，等 1 1 于六年级植树的总数。等量关系是：五年级的 4 倍－8＝六年级的植树总数。 1解：设五年级植树 x 棵，根据题意列方程，得 1 1 x ? 8 ? 252 4 1 1 x ? 252 ? 8 4 1 1 x ? 260 4 1 x ? 260 ? 1 4 x ? 208 验算：把 x ? 208 代入原方程1 ? 1 ? 208 ? 8 ? 252 4 左边- 22 -智合教育……暑期蓝天行动 右边＝252 左边＝右边 x ? 208 是原方程的解。 答：五年级植树 208 棵。 例 2. 一瓶农药 700 克，其中水比硫磺粉的 6 倍还多 25 克，含硫磺粉 的重量是石灰的 2 倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？思路导航：这是道比较复杂的“和倍应用题” ，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰 也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为 x 克。水的重量是硫磺的 6 倍还多 251 x 克，也就是（6x＋25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以 2，也就是 2 克。等量关系式表示为： 水＋硫磺粉＋石灰＝农药重量 解：设硫磺粉的重量是 x 克，那么，水的重量是（ 6x ? 25 ）克，石灰重1 x 量是 2 克。根据题意列方程，解。1 x ? 700 2 1 7 x ? 700 ? 25 2 7.5x ? 675 x ? 90 x ? 90 代入原方程 验算：把 6 x ? 25 ? x ?左边? 6 ? 90 ? 25 ? 90 ?1 ? 90 ? 700 2右边＝700 左边＝右边 x ? 90 是原方程的解。 例 3. 两袋米同样重，第一袋吃去 18 千克，第二袋吃去 25 千克，余下 的第一袋刚好是第二袋的 2 倍，两袋原来各有多少千克？思路导航：题中告诉我们原来两袋大米同样重， 解答时可以设两袋大米原来各重 x 千克， 第一袋剩下的则是 ( x ? 18) 千克，第二袋剩下的则是 ( x ? 25) 千克。根据题意，第 一袋剩下的大米是第二袋剩下的 2 倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大 2 倍就和第一袋剩下的相等。 解：设两袋大米原来的重量各为 x 千克，根据题意，列方程得 ( x ? 25) ? 2 ? x ? 18 2 x ? 50 ? x ? 18- 23 -智合教育……暑期蓝天行动2 x ? x ? 50 ? 18 x ? 32验算：左边 ? (32 ? 25) ? 2 ? 14 右边＝32－18＝14 左边＝右边 x＝32 是原方程的解 答：两袋大米原来各重 32 千克。 二、巩固训练7 1. 李红看一本小说，上午看了 60 页，相当于下午看的页数的 8 又 4 页，李红这天共看了多少页小说？思路导航：这道题和求的问题是这一天共看了多少页小说。题目中已知上午看了 60 页， 所以， 只要求出下午看的页数， 就可以了。 题目中明确告诉了我们等量关系即 “上7 午看了 60 页，相当于下午看的页数的 8 又 4 页” 。 7 等量关系：下午看的页数× 8 ＋4＝上午看的页数解：法（一） ：设下午看了 x 页。 7 x ? 4 ? 60 8 7 x ? 60 ? 4 8 7 x ? 56 8 7 x ? 56 ? 8 x ? 64 60＋64＝124 页 答：这天共看了 124 页。 解：解法（二） ：这一天共看了 x 页。 7 ( x ? 60) ? ? 4 ? 60 8 7 7 x ? 60 ? ? 4 ? 60 8 8 7 x ? 60 ? 52.5 ? 4 8 7 x ? 108.5 8- 24 -智合教育……暑期蓝天行动x ? 108.5 ? x ? 124 答：这一天共看了 124 页。 7 82.已知一个长方形的长是 20 米，如果把它的宽减少 4 米，新得到一个5 长方形，它的面积想法于原来长方形的面积的 7 ，原来长方形的周长是多少？思路导航：这道题的所求问题是求原来长方形的周长，而题目中明确告诉了我们等量关5 系即“新得到的长方形的面积相当于原来长方形面积的 7 。 ”如果没有原来长方形的宽为 x 米， 原来长方形的面积就是 20x 平方米； 新的长方形的宽就是 （x―4） 米；新的长方形面积就是 20 ? ( x ? 4) 平方米。5 等量关系：原长方形面积× 7 ＝新长方形面积解：设原长方形的宽是 x 米 根据题意列方程，得 5 20 ? ( x ? 4) ? 20 x ? 7 100 20 x ? 80 ? x 7 100 20 x ? x ? 80 7 40 x ? 80 7 40 x ? 80 ? 7 x ? 14 (14 ? 20) ? 2 ? 68 答：原来长方形的周长是 68 米。2 1 3. 两根绳共长 90 米，已知第一根绳长的 5 等于第二根绳长的 2 ，求两根绳各长多少米？思路导航：- 25 -智合教育……暑期蓝天行动2 1 解答时， 首先抓住题目中的等量关系 “第一根绳长的 5 等于第二根绳长的 2 ”再根据第一根绳长为（90－x）米，就可以列出方程。2 1 等量关系：第一根绳长× 5 ＝第二根绳长× 2解：设第一根绳长 x 米，第二根绳长（ 90 ? x ）米，根据题意列方程， 得2 1 x ? ? (90 ? x) 5 2 2 1 x ? 45 ? x 5 2 9 x ? 45 10 9 x ? 45 ? 10 x ? 50 90－50＝40 答：第一根绳长 50 米，第二根绳长 40 米。三、拓展提升3 1. 甲乙两个粮仓共有粮食 55 万千克，如果甲仓运出 5 ，乙仓运出 6 万千克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？ 解：设甲仓原有粮食有 x 万千克，则乙仓原有粮食（ 55? x ）万千克。 根据题意列方程，得 3 (1 ? ) x ? 55 ? x ? 6 5 2 x ? 49 ? x 5 2 x ? x ? 49 5 7 x ? 49 5 7 x ? 49 ? 5 x ? 35 55－35＝20 答：甲仓原有 35 万千克，乙仓原有 20 万千克。 2. 用 5 千克含盐 20%的盐水，如果把它稀释为含盐 15%的盐水，需要加水 多少千克？- 26 -智合教育……暑期蓝天行动 解：设需要加水 x 千克。 (5 ? x) ? 15% ? 5 ? 20% 015x ? 0.25 . 2 x ?1 32 答：需要加水 3 千克。 13. 有甲、乙两筐苹果，如果从甲筐取 10 千克放入乙筐，则两筐相等；如1 3 果从两筐中各取出 10 千克，这时甲筐余下的 10 比乙筐余下的 3 多 5 千克。求两筐苹果原来各多少千克？ 解：设乙筐原有苹果 x 千克。 1 3 ( x ? 10) ? ? 5 ? ( x ? 20 ? 10) ? 3 10 1 10 3 x ? ? 5 ? ( x ? 10) ? 3 3 10 1 2 3 x ?1 ? x?3 3 3 10 1 1 x ?1 30 3 x ? 40 40＋20＝60 答：甲筐原有苹果 60 千克，乙筐原有 40 千克。 4. 同学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少， 他说领 55 个。又问“多少人吃饭” ，他说： “一人一个饭碗，两人一个菜碗，三 人一个汤碗。 ”算一算，有多少人吃饭。 解：设参加野炊活动的人数为 x 人。 1 1 x ? x ? x ? 55 2 3 5 1 x ? 55 6 5 x ? 55 ? 1 6 x ? 30 答：参加野炊活动的有 30 人。（六） 抽屉原理- 27 -智合教育……暑期蓝天行动 如果将 5 个苹果放到 3 个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放 的苹果不少于 2 个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于 2 个，即放 1 个或不放，那么 3 个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于 3，这与有 5 个苹果的 已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个。 同样， 5 只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽 有 子。 以上两个简单的例子所体现的数学原理就是 “抽屉原理” 也叫 ， “鸽笼原理” 。 抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的 物品不少于 2 件。 说明这个原理是不难的。假定这 n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到 2 件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n 个抽屉中所放物 品的总数就不会超过 n 件， 这与有多于 n 件物品的假设相矛盾， 所以前面假定 “这 n 个抽屉中， 每一个抽屉内的物品都不到 2 件” 不能成立， 从而抽屉原理 1 成立。 从最不利原则也可以说明抽屉原理 1。为了使抽屉中的物品不少于 2 件，最 不利的情况就是 n 个抽屉中每个都放入 1 件物品，共放入 n 件物品，此时再放入 1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有 1 个抽屉不少于 2 件物品。这就说明了 抽屉原理 1。 一、例题与方法指导 例 1. 某幼儿园有 367 名 1996 年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋 友？ 分析与解：1996 年是闰年，这年应有 366 天。把 366 天看作 366 个抽屉，将 367 名小朋友看作 367 个物品。这样，把 367 个物品放进 366 个抽屉里，至少有一个 抽屉里不止放一个物品。因此至少有 2 名小朋友的生日相同。 例 2. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整 除？ 分析与解：因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形。我们将余 数的这三种情形看成是三个“抽屉” 。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就 将此整数放在那个“抽屉”里。 将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说 至少有两个数除以 3 的余数相同。这两个数的差必能被 3 整除。 例 3. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？ 分析与解：根据例 2 的讨论，任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2。现在，对 于任意的五个自然数， 根据抽屉原理， 至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数， 于是可分下面两种情形来加以讨论。 第一种情形。 有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余 数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三 个数之和能被 3 整除。 第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每 个抽屉里各取一个数，这三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2。因此这三个数之 和能被 3 整除。 综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数。- 28 -智合教育……暑期蓝天行动二、巩固训练 1. 有苹果和桔子若干个，任意分成 5 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总 数与桔子的总数都是偶数？ 分析与解： 由于题目只要求判断两堆水果的个数关系， 因此可以从水果个数的奇、 偶性上来考虑抽屉的设计。 对于每堆水果中的苹果、 桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每 堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有 4 种情形： （奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶） ， ， ， ， 其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶 性。 将这 4 种情形看成 4 个抽屉，现有 5 堆水果，根据抽屉原理可知，这 5 堆水 果里至少有 2 堆属于上述 4 种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数 加偶数仍为偶数， 所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数 都是偶数。2. 用红、蓝两种颜色将一个 2×5 方格图中的小方格随意涂色（见右图） ， 每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？分析与解： 用红、 蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色， 只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉” 。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉， 至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。 在上面的几个例子中，例 1 用一年的 366 天作为 366 个抽屉；例 2 与例 3 用整数被 3 除的余数的三种情形 0，1，2 作为 3 个抽屉；例 4 将一条线段的 10 等份作为 10 个抽屉；例 5 把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为 4 个抽屉；例 6 将每列中两个小方格涂色的 4 种情形作为 4 个抽屉。由此可见， 利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。 3. 在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，是否至少有两个点，它们之 间的距离不大于 1 厘米？ 分析与解：把长度 10 厘米的线段 10 等分，那么每段线段的长度是 1 厘米（见下 图） 。将每段线段看成是一个“抽屉” ，一共有 10 个抽屉。现在将这 11 个点放到 这 10 个抽屉中去。 根据抽屉原理， 至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点 （包- 29 -智合教育……暑期蓝天行动 括这些线段的端点） 。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会 大于 1 厘米。 所以，在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，至少存在两个点，它们之 间的距离不大于 1 厘米。三、拓展提升 1. 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋 子.请你证明， 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 这 分析与解答 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉.把每人的 3 枚棋 作为一组当作一个苹果，因此共有 5 个苹果.把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组 情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至 少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 2. 一副扑克牌（去掉两张王牌） ，每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保 证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色，2 张牌的花色可以 有：2 张方块，2 张梅花，2 张红桃，2 张黑桃，1 张方块 1 张梅花，1 张方块 1 张黑桃，1 张方块 1 张红桃，1 张梅花 1 张黑桃，1 张梅花 1 张红桃，1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况.把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉， 只要苹果的个数比抽 屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果.所以至少有 11 个人。 3. 从 2、4、6、?、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个 数之和是 34。 分析与解答 我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34。 现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个） ， 必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34。（七） 不规则图形面积计算（1）- 30 -智合教育……暑期蓝天行动 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和 扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式 直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组 合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图 形为不规则图形。 那么， 不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过 实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 一、例题与方法指导 例 1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米.求阴影部分的面积。思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白” 三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。- 31 -智合教育……暑期蓝天行动例2 如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形 AECF 的面积 彼此相等，求三角形 AEF 的面积.思路导航：∵△ABE、△ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE、△ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的1 。 3在△ABE 中，因为 AB=6.所以 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为 2×2÷2=2。 所以 S△AEF=S 四边形 AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米和 6 厘米。如右图那样 C重合.求重合部分（阴影部分）的面积。思路导航：在等腰直角三角形 ABC 中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=4， ∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。 B例4 如右图，A 为△CDE 的 DE 边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为 5 平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积.思路导航：取 BD 中点 F，连结 AF.因为△ADF、△ABF 和△ABC 等底、等高， 所以它们的面积相等，都等于 5 平方厘米. ∴△ACD 的面积等于 15 平方厘米，△ABD 的面积等于 10 平方厘米。 又由于△ACE 与△ACD 等底、等高，所以△ACE 的面积是 15 平方厘米。- 32 -智合教育……暑期蓝天行动二、巩固训练1. 如右图，在正方形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积是 8 平方厘米，它是三角形 DEC 的 面积的4 ，求正方形 ABCD 的面积。 5解：过 E 作 BC 的垂线交 AD 于 F。 在矩形 ABEF 中 AE 是对角线，所以 S△ABE=S△AEF=8. 在矩形 CDFE 中 DE 是对角线，所以 S△ECD=S△EDF。 2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=2 BC.求阴影部分的面积。 3解：连结 DF。∵AE=ED， ∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BEDD3. 如右图，正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形 DEFG 的长 DG 为 5 厘米， 求它的宽 DE 等于多少厘米？ 解： 连结 AG， A 作 AH 垂直于 DG 于 H， 自 在△ADG 中， AD=4， DC=4 （AD 上的高） . ∴S△AGD=4×4÷2=8，又 DG=5， ∴S△AGD=AH×DG÷2， ∴AH=8×2÷5=3.2（厘米）， ∴DE=3.2（厘米）。 4. 如右图，梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，△AED 的面积是 5 平方米，BC=10 米，求阴影部分面积. 解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2- 33 -智合教育……暑期蓝天行动即 45=（AD+BC）×6÷2， 45=（AD+10）×6÷2， ∴AD=45×2÷6-10=5 米。 ∴△ADE 的高是 2 米。 △ EBC 的高等于梯形的高减去△ADE 的高，即 6-2=4 米， 5. 如右图，四边形 ABCD 和 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等. 证明：连结 CE， ABCD 的面积等于△CDE 面积的 2 倍，而 ∴DEFG 的面积也是△CDE 面积的 2 倍。 ABCD 的面积与 DEFG 的面积相等。（八） 不规则图形面积计算（2）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长 方形等规则图形组合而成的， 这是一类更为复杂的不规则图形， 为了计算它的面 积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转 化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合 A 与集合 B 之间有：SA∪B＝SA＋Sb-SA∩B）合并使用才能解决。 一、例题与方法指导例 1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影 部分的面积。- 34 -智合教育……暑期蓝天行动解法 1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中 阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中 阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 解法 2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示. 阴影部分的面积是正方形面积的一半。 解法 3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影 部分的面积是正方形的一半. 例 2. 如右图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在 正方形内画圆，求阴影部分面积。解：由容斥原理S 阴影＝S 扇形 ACB＋S 扇形 ACD-S 正方形 ABCD例3 如右图，矩形 ABCD 中，AB＝6 厘米，BC＝4 厘米，扇形 ABE 半径 AE＝6 厘米， 扇形 CBF 的半 CB=4 厘米，求阴影部分的面积。例 4. 如右图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB＝20 厘米，如果阴影（Ⅰ） 的面积比阴影（Ⅱ）的面积大 7 平方厘米，求 BC 长。 分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大 7 平方厘米，就是半圆面积比三角形 ABC 面积大 7 平方厘米；又知半圆直径 AB＝20 厘米，可以求出圆面积.半圆面积 减去 7 平方厘米，就可求出三角形 ABC 的面积，进而求出三角形的底 BC 的长.- 35 -智合教育……暑期蓝天行动二、巩固训练1. 如右图，两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积。 分析 阴影部分的面积，等于底为 16、高为 6 的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。 而（I）的面积等于边长为 6 的正方形的面积减去1 以 6 为半径的圆的面积。 42. 如右图，将直径 AB 为 3 的半圆绕 A 逆时针旋转 60°，此时 AB 到达 AC 的位置，求 阴影部分的面积（取π =3）. 解：整个阴影部分被线段 CD 分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以 AB 为直径的半圆被 弦 AD 分 成两部分，设其中 AD 右侧的部分面积为 S，由于弓形 AD 是两个半圆的公共部分， 去掉 AD 弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：3. 如右图，ABCD 是正方形，且 FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.- 36 -智合教育……暑期蓝天行动4. 如下页右上图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周上的中点，BC 是半圆的直径， 且 AB=BC=10，求阴影部分面积（π 取 3.14）。 解：∵三角形 ABC 是等腰直角三角形，以 AC 为对角线再作一个全等的等腰 直角三角形 ACE，则 ABCE 为正方形（利用对称性质）。总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法 有：一、 相加法： 这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形， 分别计算它们的面积， 然后 相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的 面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了. 二、 相减法：- 37 -智合教育……暑期蓝天行动这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如， 右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可. 三、 直接求法： 这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图， 欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是 2，高为 4 的三角形，面积可直 接求出来。 四、 重新组合法： 这种方法是将不规则图形拆开， 根据具体情况和计算上的需要， 重新组合成一个新的图 形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影 部分分布在正方形的 4 个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、 辅助线法： 这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线， 使不规则图形转化成若 干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影 部分的面积.此题虽然可以用相减法解决， 但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、 割补法： 这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则 图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切 割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半. 七、 平移法： 这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置， 使之组合成一个 新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间 切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方 形。- 38 -智合教育……暑期蓝天行动八、 旋转法： 这种方法是将图形中某一部分切割下来之后， 使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补 在另一图形的一侧， 从而组合成一个新的基本规则的图形， 便于求出面积.例如， 欲求图 （1） 中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180°，使 A 与 C 重合，从而构成 如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面 积.九、 对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面 积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿 AB 在原图下方作 关于 AB 为对称轴的对称扇形 ABD.弓形 CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分， 然后运用 “容斥原 理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇 形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.（九） 逻辑推理曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有 98%的人回答不出!!让我们一 起来看看是什么题呢。 在一条街上有 5 座颜色不同的房子，住着 5 个不同国家的人，他们抽着 5 种 不同的烟，喝着 5 种不同的饮料，养着 5 种不同的宠物。有下面 15 个已知条件， 求解。 1、英国人住红色房子。 2、瑞典人养狗。 3、丹麦人喝茶。 4、绿色房子在白色房子左面。 5、绿色房子主人喝咖啡。- 39 -智合教育……暑期蓝天行动 6、抽 Pall Mall 香烟的人养鸟。 7、黄色房子主人抽 Dunhill 香烟。 8、住在中间房子的人喝牛奶。 9、挪威人住第一间房。 10、抽 Blends 香烟的人住在养猫的人隔壁。 11、养马的人住抽 Dunhill 香烟的人隔壁。 12、抽 Blue Master 的人喝啤酒。 13、德国人抽 Prince 香烟。 14、挪威人住蓝色房子隔壁。 15、抽 Blends 香烟的人有一个喝水的邻居。 问:哪个国家的人养鱼? 这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于他的最基本 的逻辑问题吧。 一、例题与方法指导 例 1. 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别： 甲判断：不是铁，也不是铜。 乙判断：不是铁，而是锡。 丙判断：不是锡，而是铁。 经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人 完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？思路导航：丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后，再设 乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。 例 2. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌， 一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测： “小明得金牌，小华不得金牌，小强不得 铜牌。 ”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？思路导航：小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。 （1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌” ，这与“老师只猜对了一个”相矛盾， 不合题意。 （2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的， 那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。 例 3. 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、 丁进行了审问。四人分别供述如下： 甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中。 ” 乙说： “我没有做案，是丙偷的。 ” 丙说： “在甲和丁中间有一人是罪犯。 ” 丁说： “乙说的是事实。 ” 经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？- 40 -智合教育……暑期蓝天行动思路导航：乙和丁是盗窃犯。 如果甲说的是假话， 那么剩下三人中有一人说的也是假话， 另外两人说的是真话。 可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是 丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯” 。这样一来，甲说的也是 对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是 真话。 同理， 剩下的三人中只能是丙说真话。 乙和丁说的是假话， 即丙不是罪犯， 乙是罪犯。 又由甲所述为真话， 即甲不是罪犯。 再由丙所述为真话， 即丁是罪犯。二、巩固训练 1. 小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是 大学生。现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年 龄小。那么三人各是什么职业? 解：小李是大学生，小王是战士，小张是工人. 2. 甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不 懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？ 解：甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人。 3. 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们 都是象棋迷。 （1）车工只和电工下棋； （2）王、陈两位师傅经常与木工下棋； （3）徐师傅与电工下棋互有胜负； （4）陈师傅比钳工下得好。 问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？徐是车工，王是钳工，陈是电工，赵是木工。 解：提示：由（2） （3） （1）可画出右表：（十） 牛吃草牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿 提出来的。 典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛- 41 -智合教育……暑期蓝天行动 吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同， 草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断 地变化。 解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草 是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应 该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃 的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数） ； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） ； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为 &1&，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量， 再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 一、例题与方法指导例 1.青青一牧场 青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？ （注： “廿”的读音与“念”相同。 “廿”即二十之意。 ） 【解说】这道诗题，是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英 国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述。他曾写过一本书，名叫《普遍 的算术》“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是： ， 一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃 完。若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。 ） 解答这一问题， 首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的，而并非一个固 定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度，但我们不要害怕。只要依据下 面的思路，就一定会找到问题的答案。思路导航：因为 27 头 6 星期草料=（27×6=）162 头一星期草料 23 头 9 星期草料=（23×9=）207 头一星期草料 而这一牧场 6 星期吃完与 9 星期吃完，草料数量要相差 207―162=45（头牛 吃一星期的草料） 这多出的草料，便是 9―6=3（个星期之内新长出的草料） 所以，一个星期新长出的草料便是 45÷3=15（头牛吃一星期的草料） 进而可知，这牧场最初的草料数量就是- 42 -智合教育……暑期蓝天行动 （27―15）×6=72（头牛吃一个星期的草料） 现在， 21 头牛来吃这牧场里的草，其中必须拿出 15 头牛来吃每个星期新 有 长出来的草料，这就只剩下：21-15=6（头牛） 去吃最初已经长成的草料了。所以，21 头牛来吃这牧场的草料，全部吃光 所需要的时间就是 72÷6=12（个星期） 列成综合算式，就是： [27-（23×9―27×6）÷（9―6）]×6÷[21-（23×9―27×6）÷（9―6）] =[27-45÷3]×6÷[21-45÷3] ＝12×6÷6 =12（个星期） 答：21 头牛要 12 个星期才可以吃完。例 2. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6 天把草吃尽，同样一片牧场，牛 23 头，9 天把草吃尽。如果有牛 21 头，几天能 把草吃尽？ 摘录条件： 27 头 6天 原有草+6 天生长草 23 头 9天 原有草+9 天生长草 21 头 ？天 原有草+？天生长草 解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设 1 头牛 1 天吃的草为 &1&，由条件可知，前后两次青草的问题相差为 23×9-27×6=45。为什么会多出 这 45 呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3 天生长出来的，所以每天生长 的青草为 45÷3=15 现从另一个角度去理解， 这个牧场每天生长的青草正好可以满足 15 头牛吃。 由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的 15 头牛来吃当天长 出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场 上有多少青草呢？ （27-15）×6=72 那么：第一次吃草量 27×6=162 第二次吃草量 23×9=207 每天生长草量 45÷3=15 原有草量（27-15）×6=72 或 162-15×6=72 21 头牛分两组， 头去吃生长的草， 15 其余 6 头去吃原有的草那么 72÷6=12 （天） 例 3. 一水库原有存水量一定，河水每天入库。 台抽水机连续 20 天抽干， 5 6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干，若要 6 天抽干，要多少台同样的抽水机？ 摘录条件： 5台 20 天 原有水+20 天入库量 6台 15 天 原有水+15 天入库量 ？台 6天 原有水+6 天入库量 设 1 台 1 天抽水量为&1&， 第一次总量为 5×20=100， 第二次总量为 6×15=90 每天入库量(100-90)÷(20-15)=2- 43 -智合教育……暑期蓝天行动 20 天入库 2×20=40，原有水 100-40=60 60+2×6=（台） 二、巩固训练1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消 失（还有人在接受检票） ，若开 5 个检票口，要 30 分钟，开 6 个检票口，要 20 分钟。如 果要在 10 分钟消失，要开多少个检票口？ 解：把每个检票口一分钟检票量作为 1 份，则每分钟来的旅客为： v5×30-6×20w÷v30-20w=3 份 开始检票前有旅客：5×30－30×3=60 份 所以要 10 分钟剪完票，需要看开v60＋3×10w÷10=9 个 2、画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样 多，如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有 人排队。求第一个观众到达的时间。 解：设每一个入场口每分钟通过“1 份”人。 每分钟到来的人有v27-25w÷v9-5w=0.5 份人 开门前已经有 27-0.5×9=22.5 份人 这些人来到画展，用时间 22.5÷0.5=45（分） 第一个观众到达的时间为 9 点-45 分=8 点 15 分 3、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。经过计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或者供 16 头牛吃 6 天，那么这片牧场上的草可供 11 头牛吃几天？ 解：20 头牛 5 天吃草 20×5=100（份） ，16 头牛 6 天吃草 16×6=96（份） 青草每天减少（100-96）÷v6-5w=4（份） 牧场原有草：100+4×5=120（份） 每天减少 4 份草，相当于 4 头牛吃掉，所以 120 份草可供 11＋4=15 头牛吃 8 天。 4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果牧场上 的草可供 20 头牛吃 5 天，或者供 15 头牛吃 6 天，那么可供多少头牛吃 10 天？ 解：青草每天减少（20×5-15×6）÷v6-5w＝10（份） 牧场原有草：100+10×5=150（份） 150 份草 10 天可供 150÷10=15（头） 但每天减少 10 份，相当于 10 头牛吃掉，所以只能供牛：15-15（头）三、拓展提升1. 自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶，小明和小红要从扶梯上楼，小明每分钟走 20 梯 级，小红每分钟走 14 梯级，结果小明 4 分钟到达楼上，小红用 5 分钟到达楼上，求扶梯共有多 少级？ 解：电梯每分钟走 20×4-14×5=10（级） 所以扶梯共有（20＋10）×4=120（级） 2. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能 走 20 分米，另一只只能走 15 分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛 5 昼夜到达井底，另一只却恰好用了 6 昼夜。问井深是多少？ 解：蜗牛黑夜下滑的速度为v20×5-15×6w÷v6-5w=10（分米） 。 井深：v20+10w×5=150（分米） 3. 有三块草地，面积分别是 5 公顷，15 公顷和 24 公顷。草地上的草一样厚而且长得一样 快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天；第二块草地可供 28 头牛吃 45 天。那么第三块草地可供多- 44 -智合教育……暑期蓝天行动少头牛吃 80 天？ 解：一头牛一天吃草量为 1 份 10×30=300 ??????5 公顷草量+5 公顷 30 天生长量 300÷5=60 ??????1 公顷草量+1 公顷 30 天生长量 28×45=1260 ??????15 公顷草量+15 公顷 45 天生长量
??????1 公顷草量+1 公顷 45 天生长量 v84-60w÷v45-30w=1.6 ??????1 公顷 1 天生长量 1 公顷草地原有草：60-1.6×30=12 24 公顷草地原有草够多少头牛吃 80 天：12×24÷80=3.6（头） 24 公顷草地每天生长的草够多少头牛吃：1.6×24=38.4（头） 共 3.6+38.4=42 头 4. 12 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛 63 天可以吃完 30 公亩牧场上 全部牧草。多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且 每公亩牧场上每天生长草量相等）？ 解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？ v63×21÷30-12×28÷10w÷v63－28w＝0.3（头） 一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？ 12×28÷10-0.3×28=25.2（头） 72 公亩的牧草可供多少头牛吃 126 天？ 72×25.2÷126+72×0.3=36（头）（十一） 流水行船船在流水中航行的问题叫做行船问题。 行船问题是行程问题中比较特殊的类 型，它除了具备行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系，同时还涉及 到水流的问题，因船在江、河里航行时，除了它本身的前进速度外，还会受到流 水的顺推或逆阻。 行船问题中常用的概念有：船速、水速、顺水速度和逆水速度。船在静水中 航行的速度叫船速； 江河水流动的速度叫水速；船从上游向下游顺水而行的速度 叫顺水速度；船从下游往上游逆水而行的速度叫逆水速度。 除了行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系在这里要反复用到 外，行船问题还有几个基本公式要用到。 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速 如果已知顺水速度和逆水速度，由和差问题的解题方法，我们可以求出船速 和水速。 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2- 45 -智合教育……暑期蓝天行动 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2 一、例题与方法指导 例 1. 船在静水中的速度为每小时 13 千米，水流的速度为每小时 3 千米， 船从甲港顺流而下到达乙港用了 15 小时，从乙港返回甲港需要多少小时？思路导航：根据条件，用船在静水中的速度+水速=顺水速度，知道了顺水速度和顺水时 间，可以求出甲乙两港之间的路程。因为返回时是逆水航行，用船在静水中的速 度-水速=逆水速度， 再用甲乙两港之间的全长除以逆水速度即可求出乙港返回甲 港所需时间。 解： 顺水速度：13+3=16（千米/小时） 逆水速度：13-3=10（千米/小时） 全程：16×15=240（千米） 返回所需时间：240÷10=20（千米/小时） 答：从乙港返回甲港需要 24 小时。 例 2. 一艘小船往返于一段长 120 千米的航道之间，上行时行了 15 小时， 下行时行了 12 小时，求船在静水中航行的速度与水速各是多少？思路导航：求船在静水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的时间就是逆行速度， 路程除以下行时间就是顺水速度。顺水速度与逆水速度的和除以 2 就是船速，顺 水速度与逆水速度的差除以 2 就是水速。 解：逆水速度：120÷15=8（千米/小时） 顺水速度：120÷12=10（千米/小时） 船速： （10+8）÷2=9（千米/小时） 水速： （10--8）÷2=1（千米/小时） 答：船在静水中航行的速度是每小时 9 千米，水速是每小时 1 千米。 例 3. 甲、 乙两港相距 200 千米。一艘轮船从甲港顺流而下 10 小时到达 乙港，已知船速是水速的 9 倍。这艘轮船从乙港返回甲港用多少个小时？思路导航：根据甲、乙两港的距离和从甲港到乙港的时间可以求出顺水速度是每小时 200÷10=20（千米/小时） ，顺水速度是船速与水速的和，已知船速是水速的 9 倍， 可以求出水速是 20÷ （1+9） （千米/小时） 船速为 2×9=18 =2 ， （千米/小时） ， 逆水速度为 18-2=16（千米/小时） 解：顺水速度：200 ÷10=20（千米/小时） 水速：20÷（1+9）=2（千米/小时） 船速：2×9=18（千米/小时） 逆水速度：18-2=16（千米/小时） 返回时间：200÷16=12.5（小时） 答：这艘轮船从乙港返回甲港用 12.5 个小时。 二、巩固训练 1. A、B 两港间相距 360 千米，一艘轮船往返两港需 35 小时，逆流航行比- 46 -智合教育……暑期蓝天行动 顺流航行多花了 5 小时。另有一艘机帆船，静水中速度是每小时 12 千米，这艘 机帆船往返两港要多少小时？【思路导航】先根据和差问题的解题思路，分别求出顺行时间和逆行时间；再根据两港相距 360 千米和轮船的顺行时间、 逆行时间求出轮船的顺行速度和逆行 速度；求出了顺行速度和逆行速度就可以求出水流的速度；最后，根据两港相距 360 千米和机帆船的船速、水速可求出机帆船顺流航行和逆流航行的时间，两者 相加的和即是所求的问题。 解：顺行时间： （35-5）÷2=15（小时） 逆行时间：35-15=20（小 时） 顺水速度：360÷15 = 24（千米/小时） 逆水速度：360÷20=18 （千米/小时） 水速： （24-18）÷2=3（千米/小时） 往返时间：360÷（12+3）+360÷（12-3）=64（小时） 答：这艘机帆船往返两港要 64 小时。 2. 甲、乙两只小船在静水中速度分别为每小时 12 千米和每小时 16 千米， 两船同时从相距 168 千米的上、 下游两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果 同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时乙船追上甲船？【思路导航】此题为水中相遇问题和追及问题，甲、乙两船一个顺流，一个逆流，那么它们的速度和为甲、乙两只小船在静水中速度的和，而水中的追击问题 不论两船同向逆流而上还是顺流而下速度差均为甲、 乙两只小船在静水中速度的 差，因此用路程÷速度和=相遇时间，路程÷速度差=追及时间 解：相遇时间：168÷（12+16）=6（小时） 追及时间：168÷（16-12）=42（小时） 答：6 小时相遇；42 小时乙船追上甲船。 3. 一艘轮船从上游的甲港到下游的乙港，两港间的水路长 72 千米。已知这 艘船顺水 4 小时能行 48 千米，逆水 6 小时能行 48 千米。开船时，一个小朋友放 了个木制玩具在水里，船到乙港时玩具离乙港还有多少千米？【思路导航】根据条件，先求出轮船的顺水速度和逆水速度，然后很容易求出船速和水速，此时的水速也就是玩具运动的速度，轮船和玩具都是顺流而下， 它们每小时相距一个速度差，再用全长 72 千米除以轮船的顺行速度，得出轮船 的顺行时间，用顺行时间乘以速度差即可。 解：顺水速度：48÷4=12（千米/小时） 逆水速度： 48÷6=8（千米/小 时） 船速： （12+8）÷2=10（千米/小时） 水速： （12-8）÷2=2（千米/小 时） 船到甲港的时间：72÷（10+2）=6（小时） 玩具离乙港的距离：6×（10+2-2）=60（千米） 答：船到乙港时玩具离乙港还有 60 千米。- 47 -智合教育……暑期蓝天行动（十二） 奇数与偶数能被 2 整除的数叫做偶数， 不能被 2 整除的叫做奇数。 奇数平常也叫做单数， 偶数也叫做双数。0 也是偶数。所以。一个整数不是奇数，就是偶数。 奇数和偶数的运算有如下一些性质： 1．偶数±偶数=偶数；奇数±奇数=偶数；偶数±奇数=奇数。 2．奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。 3．如果一个偶数能被奇数整除，那么，商必是偶数。偶数除以，如果能整 除，商可能是奇数，也可能是偶数。奇数不能被偶数整除。 4．偶数的平方能被 4 整除，奇数的平方被 4 除余 1。 一、例题与方法指导 例 1. 用 0～9 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们 的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？思路导航：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果 达到全部要求。 这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的 和是奇数的要求。 要使组成的五个两位数的和最大， 应该把十个数码中最大的五个分别放在十 位上，即十位上放 5，6，7，8，9，而个位上放 0，1，2，3，4。根据奇数的定 义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是 1 和 3 的两个两位数。 要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个 数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是 1，3 的两位数。所以五个数 的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要 使五个数有奇数个奇数， 并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一 个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换 5 与 4 的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是 4，6，7，8，9，个 位上的数码是 0， 2， 5， 1， 3， 所求这五个数的和是 （4+6+7+8+9） ×10+ （0+1+2+3+5） =351。 例 2. 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子。能否 经过若干次翻转，使得 7 只杯子全部杯口朝下？思路导航：盲目的试验， 可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上 的杯子数的奇偶性， 就会发现问题所在。 一开始杯口朝上的杯子有 7 只， 是奇数； 第一次翻转后，杯口朝上的变为 5 只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两 只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。 类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能 是偶数 0。也就是说，不可能使 7 只杯子全部杯口朝下。 例 3. 有 m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）- 48 -智合教育……暑期蓝天行动 只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？思路导航：当 m 是奇数时， （m-1）是偶数。由例 2 的分析知，如果每次翻转偶数只杯子， 那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始 m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数 只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。 当 m 是偶数时， （m-1）是奇数。为了直观，我们先从 m= 4 的情形入手观察， 在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转 3 只杯子，保持不动的 杯子用*号标记。翻转情况如下：由上表看出，只要翻转 4 次，并且依次保持第 1，2，3，4 只杯子不动，就 可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。 对于 m 只杯子，当 m 是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1） 次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转 m 次，并且依次保持 第 1，2，?，m 只杯子不动，这样在 m 次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转， 即都翻转了（m-1）次。 综上所述：m 只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当 m 是奇数时，无 论翻转多少次，m 只杯子不可能全部改变初始状态；当 m 是偶数时，翻转 m 次， 可以使 m 只杯子全部改变初始状态。 例 4. 一本论文集编入 15 篇文章，这些文章排版后的页数分别是 1，2， 3，?，15 页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每 篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？思路导航：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数 页的文章， 它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页 的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的 第一面是排在偶数页码上。 一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的 页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后 一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页 码上。 以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。 题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只 要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第 1 页） ，那么接着每一篇有 偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有 7 篇这样的文章。然后考虑有 奇数页的文章， 第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数 页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在 8 篇奇数页的文章中， 有 4 篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有 7+4=11（篇）文章的第一面排在- 49 -智合教育……暑期蓝天行动 奇数页码上。二、巩固训练 1. 有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋子和 1000 枚同样大小的黑棋子，小 盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色， 则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内； 若摸出的两枚棋子异色， 则把其中白棋子放回大盒内。 问：从大盒内摸了 1999 次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？ 解答 大盒内装有黑、白棋子共 01（枚） 。 因为每次都是摸出 2 枚棋子放回 1 枚棋子， 所以每摸一次少 1 枚棋子， 摸了 1999 次后， 还剩 （枚）棋子。 从大盒内每次摸 2 枚棋子有以下两种情况： （1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸 两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多 了一枚黑棋子。 （2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大 盒，大盒内少了一枚黑棋子。 综}