扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
高数函数n阶导问题,f(θx)的n阶导表示的是复合函数f(g(x)),g(x)=θx的n阶导,还是f(x)的n阶导在θx处的值其中0
艺吧顶贴组小愛
扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
θx如果是一个确定的数字,就是n阶导在那一点的倒数值θx如果是一个函数表达式,就是n阶导数对你这个题应该是后者,相当于g(x)是正比例函数,斜率（0,1）
谢谢您的回答，您所说的“后者”是您所给答案的“后者”，还是我提问中所指的那个“后者”？
是我说的后者……不客气~
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码> 问题详情
设f（x)在[a,b]上有（n－1)阶连续导数，在（a,b)内有n阶导数，且f（b)=f（a)=f'（a)=...=f^（n－1)（a)=0
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
发布时间：
设f(x)在[a,b]上有(n-1)阶连续导数，在(a,b)内有n阶导数，且试证：在(a,b)内至少存在一点ζ，使
您可能感兴趣的试题
1对函数上验证柯西定理的正确性2证明恒等式：3高等数学复旦大学出版第三版下册课后习题答案习题十试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性：&4高等数学复旦大学出版第三版下册课后习题答案习题十证明:&
我有更好的答案
相关考试课程
请先输入下方的验证码查看最佳答案
图形验证：
验证码提交中……
找答案会员
享三项特权
找答案会员
享三项特权
找答案会员
享三项特权
选择支付方式：
支付宝付款
郑重提醒：支付后，系统自动为您完成注册
请使用微信扫码支付(元)
支付后，系统自动为您完成注册
遇到问题请联系在线客服QQ：
请您不要关闭此页面,支付完成后点击支付完成按钮
遇到问题请联系在线客服QQ：
恭喜您！升级VIP会员成功
常用邮箱：
用于找回密码
确认密码：[原创] 计算阶乘n!末尾所含0的个数 - ChinaUnix.net
[原创] 计算阶乘n!末尾所含0的个数
http://www.chinaunix.net 作者:&&发表于： 18:57:46
------------------------------------------------------------------------
今天整理资料时发现了一段有趣的笔记，稍加整理，贴上来作个标签吧
期待数学达人能用更严格的数学形式证明
-------------------------------------------------------------------------
[color=Orange]问题描述[/color]
&&&&给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。
&&&&例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！=&3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！=&6640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。
&
[color=Orange]计算公式[/color]
&&&&这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。
&&&&令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有：
&&&&&&当0&&&n&&&5时，f(n!)&=&0;
&&&&&&当n&&=&5时，f(n!)&=&k&+&f(k!),&其中&k&=&n&/&5（取整）。
&
[color=Orange]问题分析[/color]
&&&&显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。
&
&&&&我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。
&
&&&&我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：
&&&&结论1：&对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。
&&&&下面对这个结论进行证明：
&&&&(1)当n&&&5时,&结论显然成立。
&&&&(2)当n&&=&5时，令n！=&[5k&*&5(k-1)&*&...&*&10&*&5]&*&a，其中&n&=&5k&+&r&(0&&=&r&&=&4)，a是一个不含因子“5”的整数。
&&&&对于序列5k,&5(k-1),&...,&10,&5中每一个数5i(1&&=&i&&=&k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1&&=&i&&=&k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。
&&&&我们进一步把n！表示为：n！=&5^k&*&k!&*&a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。
&&&&
&&&&上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。
&
&&&&令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数,&g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：
&&&&&&&f(n!)&=&g(n!)&=&g(5^k&*&k!&*&a)&=&k&+&g(k!)&=&k&+&f(k!)
所以，最终的计算公式为：
&&&&当0&&&n&&&5时，f(n!)&=&0;
&&&&当n&&=&5时，f(n!)&=&k&+&f(k!),&其中&k&=&n&/&5（取整）。
&
[color=Orange]计算举例[/color]
&&&f(5!)&=&1&+&f(1!)&=&1
&&&f(10!)&=&2&+&f(2!)&=&2
&&&f(20!)&=&4&+&f(4!)&=&4
&&&f(100!)&=&20&+&f(20!)&=&20&+&4&+&f(4!)&=&24
&&&f(1000!)&=&200&+&f(200!)&=&200&+&40&+&f(40!)&=&240&+&8&+&f(8!)&=&248&+&1&+&f(1)&=249
&&&...
&
终于写完了，困S了：）
& 回复于： 16:35:30
也算递归吧
& 回复于： 16:43:35
Pot_p(n!)&=&[n/p]&+&Pot_p([n/p]!)
递归使用这个公式就可以得到&Pot_p(n!)&的表达式。
可以参考柯召，孙琦的&《数论讲义》上册，数论函数部分。
& 回复于： 16:48:41
引用：原帖由&win_hate&于&&16:43&发表
Pot_p(n!)&=&[n/p]&+&Pot_p([n/p]!)
递归使用这个公式就可以得到&Pot_p(n!)&的表达式。
可以参考柯召，孙琦的&《数论讲义》上册，数论函数部分。&
恩，我上面推出的公式就是这个，p为5吧？
哎，又吃了数字的亏了:em10:
手头没这本书，看能不能找到
& 回复于： 16:53:09
我去年去学校招聘的时候，给应届生出了这个题目，只有2个人的想法靠近这个答案。
& 回复于： 16:54:50
引用：原帖由&tyc611&于&&16:48&发表
恩，我上面推出的公式就是这个，p为5吧？
哎，又吃了数字的亏了:em10:
手头没这本书，看能不能找到&
我以前写过一个资料，复制到这里吧：
......
另一很精致的方法来自柯召的&“数论讲义”，把&ord_p&简记为&ord:
&&&&*&ord(ab)=ord(a)+ord(b)&
&&&&&&&
&&&&*&ord(n!)&=&[n/p]&+&ord(&[n/p]!&)，因为:
&&&&&&ord(n!)&
&&&&&&=&ord(1)&+&...&+&ord(n)&
&&&&&&=&ord(p)&+&ord(2p)&+&...&+&ord([n/p]p)&
&&&&&&=&(ord(1)&+&ord(p))&+&(ord(2)+ord(p))&+&...&+&(ord([n/p])+ord(p))&
&&&&&&=&(ord(1)&+1)&+(ord(2)+1)&+...+(ord([n/p])+1)&
&&&&&&=&[n/p]+ord(&[n/p]!&)
&&&&*&&[&[n/p]/p&]&=&[n/p^2]
&&&&&&若把&n&写成&p&进制表达，则上面这个式子很好理解&
现在只要递归地调用&ord(n!)&=&[n/p]&+&ord(&[n/p]!&)&就可以得到&ord(n!)&的表达式：
[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]&+....
& 回复于： 18:23:54
& 回复于： 19:42:50
一个和此问题有点关系的有趣问题是:
给定质数p,&求杨辉三角第n行有多少个元素被p整除.
& 回复于： 22:18:31
引用：原帖由&ArXoR&于&&19:42&发表
一个和此问题有点关系的有趣问题是:
给定质数p,&求杨辉三角第n行有多少个元素被p整除.&
嗯，柯召那本书的&pot&一节最后一个定理就是求&pot_p&(&binomial(n,&r)&)&&的表达式.
& 回复于： 22:49:21
引用：原帖由&win_hate&于&4/21/07&22:18&发表
嗯，柯召那本书的&pot&一节最后一个定理就是求&pot_p&(&binomial(n,&r)&)&&的表达式.&
pot_p&(&binomial(n,&r)&)&有close&from?&我只知道级数表达的形式.
不过不妨碍我说的这个问题的解决,&呵呵.
& 回复于： 00:19:43
引用：原帖由&ArXoR&于&&22:49&发表
pot_p&(&binomial(n,&r)&)&有close&from?&我只知道级数表达的形式.
不过不妨碍我说的这个问题的解决,&呵呵.&
不是&close&的，一个关系式吧，在你给的这个题目用不上。
考虑&pot_p(&binomial&(n,&r)),
[n/p^i]&&=&&[&(n-r)/p^i]&+&[r/p^i].&如果&p&&不整除&binomial(n,&r),&意味着对所有的&i，等号都成立.
设&n&=&(n_m&...&n_0&)_p,&r&=&(r_s&...&r_0)_p,&等号成立要求
n_m&...&n_i&=&[n_m&...&n_i&.&n_{i-1}&...&n_0&-&r_s&...&r_i&.&r_{i-1}&...&r_0]&+&r_s&...&r_i&
=&n_m&...&n_i&+&[0.&n_{i-1}&...&n_0&-&0.&r_{i-1}&...&r_0&]
&[0.&n_{i-1}&...&n_0&-&0.&r_{i-1}&...&r_0&]&=&&0.
即对每个&i,&&n&mod&p^i&&=&r&mod&p^i，能被&p&整除的个数为&
n&+&1&-&(n_m+1)...(n_0+1).[&本帖最后由&win_hate&于&&00:31&编辑&]
& 回复于： 00:39:08
引用：原帖由&win_hate&于&4/22/07&00:19&发表
不是&close&的，一个关系式吧，在你给的这个题目用不上。
考虑&pot_p(&binomial&(n,&r)),
[n/p^i]&&=&&[&(n-r)/p^i]&+&[r/p^i].&如果&p&&不整除&binomial(n,&r),&意味着对所有的&i，等号都成立.
Bingo...&:)
& 回复于： 09:38:33
#include&&stdio.h&
#include&&string.h&
#include&&stdint.h&
int&main(void)
{
uint32_t&count&=&0;
uint32_t&n;
for&(n&=&1;&n&&=&1000;&n&++)
while((0&==&(tmp&%&5))&&&&(tmp&&&0))
printf("%d",&count);
return&0;
}
& 回复于： 16:35:44
win_hate和ArXoR兄的回复太深奥了，发晕中。。。
& 回复于： 16:40:01
引用：原帖由&yuanchengjun&于&&09:38&发表
#include&&stdio.h&
#include&&string.h&
#include&&stdint.h&
int&main(void)
{
uint32_t&count&=&0;
uint32_t&n;
for&(n&=&1;&n&&=&1000;&n&++)
t&...&
你这个太慢了，看看我上面的示例计算1000时才几步，你的步进方式有问题，还有应该利用前面已经计算的结果
我写个上面公式的实现吧，收敛速度很快的：5^x&=&num&/&5&*&5，x递归或者迭代次数
（一个递归，一个迭代）
#include&&stdio.h&
int&f_r(int&num)
{
&&&&if&(num&&&5)
&&&&&&&&return&0;
&&&&else
&&&&&&&&return&(num&/&5)&+&f_r(num&/&5);
}
int&f_i(int&num)
{
&&&&int&count&=&0;
&&&&for&(;&num&&=&5;&num&/=&5)
&&&&&&&&count&+=&num&/&5;
&&&&return&
}
int&main(void)
{
&&&&int&num&=&1000;
&&&&printf("%d\n",&f_r(num));
&&&&printf("%d\n",&f_i(num));
&&&&&&&&
&&&&return&0;
}&
& 回复于： 12:14:03
LZ的方法部可取，N很大时n/5的阶乘就溢出了！
& 回复于： 12:20:51
引用：原帖由&openq&于&&12:14&发表
LZ的方法部可取，N很大时n/5的阶乘就溢出了！&
不好意思，可能是我公式没写好，其实根本就不计算阶乘的
看下我15楼给的算法实现就明白了[&本帖最后由&tyc611&于&&12:22&编辑&]
& 回复于： 12:35:30
引用：原帖由&圆点坐标&于&&16:53&发表
我去年去学校招聘的时候，给应届生出了这个题目，只有2个人的想法靠近这个答案。&
要求太高了，只要计算结果正确，就应该算通过。
算法有很多，题目没有给出“最优算法”的信息，
如果那样，假设满分10分，凡正确的6分，剩下4分安计算复杂度给分，
最优的或者达到什么程度以上的10分。
计算机和数学不一样的，有时候要考虑具体运算环境。
1，计算机除了算法以外要考虑速度和时间。
2，有的时候，正确性和稳定性比优秀算法、高速更重要。
3，有的时候，多循环10次，比多一次递归调用节省时间。
运算速度：
1，公式。
2，枚举，只举出有效情况。不是枚举所有，再判断是否有效。
3，枚举，尽可能缩小有效情况范围。
4，枚举所有。最无奈的情况。
有的时候想不出来，有的时候时间有限，而且我不是大侠:-(
想不出公式就枚举；枚举的时候尽可能缩小范围；
如果不知到缩小范围条件，就枚举所有……
想这些东西需要一定的基础，还有时间的，……[&本帖最后由&yuanchengjun&于&&12:53&编辑&]
& 回复于： 12:58:53
引用：原帖由&yuanchengjun&于&4/24/07&12:35&发表
要求太高了，只要计算结果正确，就应该算通过。
算法有很多，题目没有给出“最优算法”的信息，
如果那样，假设满分10分，凡正确的6分，剩下4分安计算复杂度给分，
最优的或者达到什么程度以上的10分&...&
这是在知道可以有更优算法的情况下才有这些选择...
连知道都不知道的话在应用规模很大的时候就完全没有办法了.
就像如果知道可以用Simplex&Algorithm去做线性规划至少应该知道线性规划是有P类算法的.
而且基本上没法要求最优算法,&求解并证明最坏复杂度紧下界不是一件简单的事情.
& 回复于： 13:13:57
ACM里面这么写会time&out否
& 回复于： 13:15:32
同意楼上，一般这些算法需要千锤百炼，好的软件公司会把类似这些东西沉淀下来，要用调一下就OK。
再帖一次，按照楼主算法。
#include&&stdio.h&
#include&&stdint.h&
int&main(void)
{
&&&&uint32_t&
&&&&uint32_t&n;
&&&&n&=&1000;
&&&&count&=&0;
&&&&while&(n&&&4)
&&&&&&&&count&+=&n&/=&5;
&&&&printf("%d\n",&count);
&&&&return&0;
}[&本帖最后由&yuanchengjun&于&&13:17&编辑&]
& 回复于： 14:06:56
从2开始，阶乘的最后一位数字非零数字都是偶数，所以最后一位肯定不是5，那么这些偶数只有碰到5或者10乘起来才会再多一个0
& 回复于： 15:16:19
引用：原帖由&win_hate&于&&16:54&发表
我以前写过一个资料，复制到这里吧：
......
另一很精致的方法来自柯召的&“数论讲义”，把&ord_p&简记为&ord:
&&&&*&ord(ab)=ord(a)+ord(b)&
&&&&&&&
&&&&*&ord(n!)&=&[n/p]&+&ord(&[n&...&
&=&ord(1)&+&...&+&ord(n)
&&&&&&=&ord(p)&+&ord(2p)&+&...&+&ord([n/p]p)&
对于这一步不知道是怎么转的
& 回复于： 17:32:55
引用：原帖由&thinkinnight&于&&15:16&发表
&=&ord(1)&+&...&+&ord(n)
&&&&&&=&ord(p)&+&ord(2p)&+&...&+&ord([n/p]p)&
对于这一步不知道是怎么转的&
如果&a&不是&p&的倍数，则&ord(a)=0。&把值为&0&的项去掉，剩下的就只有&pk&形式的了，再估计一下&k&的范围即可。
& 回复于： 19:54:37
def&zeros(n)&:
&&&&result&=&0
&&&&n&=&n&/&5
&&&&while&n&!=&0&:
&&&&&&&&result&+=&n
&&&&&&&&n&=&n&/&5
&&&&return&result
That's&so&simple.&Primary&school's&math&problem.
& 回复于： 21:31:30
& 回复于： 22:10:22
(define&(f&n&p&r)&
(let&((t&(quotient&n&p)))
(if&(&&n&0)&(f&t&p&(+&r&t))&r)))
& 回复于： 11:44:41
10&=&2&*&5
由于在[1,n]中，2的因子远远多于5的因子，因此只要计算[1,n]当中有多少5的因子就能知道n!的末尾有多少连续的0了。
那么[1,n]当中有多少5的因子呢？
假设，现在有一个p，&使得&5&**&p&&=&n&&&5&**&(p&+&1)&，
则，&[1,&n]中，能整除5的数有&n&/&5，整除25的数有&n&/&25&,&...&,&n&/&(5&**&p)&&&--&这里的除号作整除讲
则&[1,&n]中，5的因子共有&n&/&5&+&n&/&25&+&n&/&125&+&...&+&n&/&(5&**p)&个
&
只不过是小学数学竞赛的题目，用得着动用那么吓人的数学知识吗？
& 回复于： 12:44:27
太easy了，
int&how_much_0(int&i)
{
&&&&&int&ret=0;
&&&&&while(i)&{
&&&&&&&&&&&&&i&/=&5;
&&&&&&&&&&&ret&+=&i;
&&&&&}
&&&&&&return&
}
& 回复于： 13:42:08
引用：原帖由&shhgs&于&&11:44&发表
只不过是小学数学竞赛的题目，用得着动用那么吓人的数学知识吗？
&...&
同样一个题目，小学生有小学生的做法，大学生有大学生的做法，这是个层次的问题......
& 回复于： 15:56:56
殊途同归，
& 回复于： 20:05:01
不错，分析的很经典！！！
呵呵，我原来是这样想的，
把所得&的乘积分解质因式，则2的个数肯定比5多，而又只有：
2x5才能产生末0..
因此：
yinzi&=&0&;
for(;&n&;)&{n/=i&;&yinzi&+=&n&;}&
其中：i=5&;
& 回复于： 20:46:03
LZ的递归式麻烦了：
多少个零可以算包含有多少个5，多少个25，多少个5^3...
f(a!)&=&a&/&5&+&2&*&(a/25)&+&3*(a/5^3)&+&...
& 回复于： 18:57:46
引用：原帖由&ArXoR&于&&19:42&发表&[url=http://bbs.chinaunix.net/redirect.php?goto=findpost&pid=6708836&ptid=926848]
一个和此问题有点关系的有趣问题是:
给定质数p,&求杨辉三角第n行有多少个元素被p整除.&
我在工作中居然真的碰到了这个问题，:shock:&
这个东西跟所谓的&lucas&公式有关，如果&
我们老大给了个漂亮的证明，在这里共享一下：
在&F_p[z]&上展开&(1+z)^n,&有&
对比一下两边的系数即可。
原文链接：
转载请注明作者名及原文出处有问题 @ 爱问Powered
举报原因(必选)：
广告或垃圾信息
不雅词句或人身攻击
激进时政或意识形态话题
侵犯他人隐私
其它违法和不良信息}