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在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2n+1．（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn．
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（Ⅰ）因为n+1-(n+1)an-n＝3an-2n+1-(n+1)an-n＝3an-3nan-n=3，所以数列{an-n}是公比为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得an-n=（2-1）o3n-1=3n-1；则an=3n-1+n；（Ⅲ）所以数列{an}的前n项和Sn=（1+5+8+…+3n-1）+（1+2+3+…+n）=n+n2+n-12
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（Ⅰ）由an+1=3an-2n+1．得到：n+1-(n+1)an-n＝3an-2n+1-(n+1)an-n＝3an-3nan-n=3得到数列{an-n}是公比为3的等比数列；（Ⅱ）由（1）an-n=（2-1）o3n-1=3n-1，解得an=3n-1+n即可；（Ⅲ）由an=3n-1+n即可得到Sn=（1+5+8+…+3n-1）+（1+2+3+…+n）求出之和即可．
本题考点：
等比关系的确定；数列的求和；数列递推式．
考点点评：
此题考查学生数列的递推式的能力，数列求和的能力，以及等比关系的确定能力．
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在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=an+2n-1,求此数列的通项公式 an
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由a(n+1)=an+2n-1得a(n+1)-an=2n-1于是：a2-a1=2*1-1a3-a2=2*2-1a4-a3=2*3-1.an-a(n-1)=2*(n-1)-1把上式累加得：an-a1=2(1+2+3+.+(n-1))-(n-1)*1an-2=2[1+(n-1)](n-1)/2-(n-1)an=n(n-1)-n+1+2an=n^2-2n+3
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等式化为a(n 1)-an=2n-1 所以a2-a1=1a3-a2=3a4-a3=5：：：an-a(n-1)=2n-3累加法，即an一a1=1 3 5 7 …… (2n-3)an=n^2-2n 1
a2=a1+2*2-1a3=a2+2*3-1....a(n+1) = an+2*(n+1)-1左侧=a2+...a(n+1) = Sn+a(n+1)-a1右侧=a1+a2+...+an + 2(2+3+...+(n+1)) - n = Sn + 2* [(n+1)(n+2)/2 - 1] - n = Sn + (n+1)(n+2)-2-n∴a(n+1)-2=(n+1)(n+2)-2-na(n+1) = (n+1)(n+2)-(n+1)+1∴an = n*(n+1)-n+1 = n²+1
a(n+1)=a(n)+2n-1=a(n) + n(n+1)-(n-1)n - (n+1) + n,a(n+1)-n(n+1)+(n+1) = a(n) - (n-1)n + n,{a(n)-(n-1)n+n}是首项为a(1)-0+1=3的常数数列。a(n)-(n-1)n+n = 3,a(n) = (n-1)n - n + 3 = n^2 - 2n + 3
正确答案an=n^2-2n+3SNOWHORSE70121方法好，但难掌握……
由于目测到有2n-1这项，因此左右两边同时减去n^2构造完全平方，有a(n+1)-n^2=an-（n-1）^2=a1-0=2，也就是说an-（n-1）^2=2，所以an=n^2-2n+3一般来说a(n+1)-an=f(n)，除了直接的累加之外，配方构造的时候需要在f(n)处配出n的高一阶的形式,就是说如果f(n)中的n最高次方是k次方，那配方构造的时候需要两边配出n的k+1次方才能配出等...
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在数列{an}中，a1=1，n+1＝2an+2n；（1）设n＝an2n-1．证明：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．
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（1）∵n+1＝2an+2n，∴n+12n＝an2n-1+1．∵n＝an2n-1，∴bn+1=bn+1，∴数列{bn}是以1＝a120=1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知：bn=1+（n-1）×1=n．∴n2n-1，∴n＝no2n-1．
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（1）由于n+1＝2an+2n，可得n+12n＝an2n-1+1．由于n＝an2n-1，于是得到bn+1=bn+1，因此数列{bn}是等差数列．（2）由（1）利用等差数列的通项公式可得：bn，进而得到an．
本题考点：
数列递推式；等比关系的确定．
考点点评：
本题考查了可化为等差数列的数列的通项公式的求法、等差数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
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＞＞＞在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2n+1．（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数..
在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2n+1．（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）因为an+1-(n+1)an-n=3an-2n+1-(n+1)an-n=3an-3nan-n=3，所以数列{an-n}是公比为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得an-n=（2-1）o3n-1=3n-1；则an=3n-1+n；（Ⅲ）所以数列{an}的前n项和Sn=（1+5+8+…+3n-1）+（1+2+3+…+n）=3n+n2+n-12
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2n+1．（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2n+1．（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数..”考查相似的试题有：
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