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两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法（1）若r&0，则x增大时，y也相应增大；（2）若|r|越趋近于1，则x， y线性相关程度越强；（3）若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有（　　）A．①②B．②③C．①③D．①②③
题型：单选题难度：偏易来源：不详
D&&&&&试题分析：根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关，|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱，故可知①②③正确．故选D．点评：简单题，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关； 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强； 的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
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据魔方格专家权威分析，试题“两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法（1）若r&0，则x增大..”主要考查你对&&线性回归分析&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
线性回归分析
回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；
最小二乘法：
使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。
回归直线方程：
，其中。回归分析是处理变量相关关系的一种常用数学方法，其步骤为：
（1）确定特定量之间是否有相关关系，如果有，那么就找出他们之间贴近的数学表达式；（2）根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；（3）求出回归直线方程。
发现相似题
与“两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法（1）若r&0，则x增大..”考查相似的试题有：
283936769579768750462679481667618433已知α1,α2,α3线性无关,若β1=α1+α2,β2=aα2-α3,β3=α1-α2+α3线性相关_百度知道
已知α1,α2,α3线性无关,若β1=α1+α2,β2=aα2-α3,β3=α1-α2+α3线性相关
已知α1,α2,α3线性无关,若β1=α1+α2,β2=aα2-α3,β3=α1-α2+α3线性相关,求a的值
这题的解答过程中有把β1β2β3中α的系数写成行列式，令行列式等于零求出来a的值。不明白为什么可以这么做，求解释。还有不明白α1,α2,α3线性无关这个条件有什么用，...
所以 r(B)&3, 则 r(B) = r(C) 那个行列式等于0 说明r(C)&3知识点: 若 B=AC, A的列向量线性无关
若 B=AC, A的列向量线性无关, 则 r(B) = r(C)请问这个怎么证明呢？谢谢
证明BX＝0与CX＝0同解
能详细一点吗？谢谢
手机不好打，明天你专门提问一下吧
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来自团队：
由a1,a2,a3变换到后面向量组的变换矩阵P为1
2 00 2 a2 0 3由于变换后向量组线性相关，上述矩阵秩小于3所以det(P) = 6+4a =0a=-2/3希望对你能有所帮助。
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重新安装浏览器，或使用别的浏览器【图文】线性代数§4.2向量组的线性相关性_百度文库
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线性代数§4.2向量组的线性相关性
&&线性代数同济大学第六版
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你可能喜欢向量组的线性相关性
1．教学目的和要求： （1）理解n维向量、向量的线性表示的概念. （2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. （3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. （4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. （5）理解线性方程组解的性质. （6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. （7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. （8）会用初等行变换求解线性方程组. 2．教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构.
3．教学难点： （1）向量组的线性相关性中相关定理的证明. （2）求向量组的秩及最大线性无关组. （3）线性方程组的解的结构定理及其应用.
4．教学内容：
向量组及其线性组合 n所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n定义1
n个有次序的数1个分量,第i个数称为第i个分量. ?,?,?定义2
对n维向量?及使得表示． ?1,?,?m, 若有数组k1,?,km, ?=k1?1+?+km?m， 称?为?1,?,?m的线性组合,或?可由?1,?,?m线性?1??1??3??5?????1????1????3??1??0234?????????????1??, ??1??, ??1??, ?1?? 试判断?4可否由?1,?2,?3例1
设线性表示? 解
设?4?k1?1?k2?2?k3?3，比较两端的对应分量可得 3??k1??5??k1??0??11?k???2??01??k???1?3?2??????2?????11?1????1?? ?k3????k3????1??,
求得一组解为?
???0?1?2?2?1?3, 即?4可由?1,?2,?3线性表示．
于是有4 1 ?k1??2??k???3??2????k??0???2?1?3?2?0?3． [注]
取另一组解?3???时, 有4a,?,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,?,am) 定理1
向量b能由向量组A:1的秩等于矩阵的秩B=(a1,?,am,b). l, 若B组中每个向量都能由向量组m及B:1 定义3
设有两个向量组A:1A线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能互相线性表示, 则称这两个向量组等价. a,?,ab,?,b 定理2
向量组B:b1,?,bl能由向量组A:a1,?,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,?,am)的秩等于矩阵的秩(A,B)=(a1,?,am,b1,?,bl)的秩, 即R(A)?R(A,B) a,?,am与向量组B:b1,?,bl等价的充分必要条件是 推论 向量组A:1R(A)?R(B)?R(A,B), 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵. b,?,bl能由向量组A:a1,?,am线性表示, 则 定理3
设向量组B:1R(b1,?,bl)?R(a1,?,am) 课后作业: 习题四 1，2，3，4，5
向量组的线性相关性 定义4
线性相关：对n维向量组
?1,?,?m, 若有数组k1,?,km不全为0, 使得 k1?1+?+km?m=0 ?,?,?m线性相关, 否则称为线性无关．
则称向量组1
线性无关：对n维向量组
?1,?,?m, 仅当数组k1,?,km全为0时, 才有 k1?1+?+km?m=0 ?,?,?m线性无关, 否则称为线性相关．
则称向量组1
对于单个向量?：若?=0, 则?线性相关； 0, 则?线性无关．
对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关.
判断例1中向量组
设?1,?2,?3,?4的线性相关性． k1?1+k2?2+k3?3+k4?4=0, 比较两端的对应分量可得 ?k1?35????0??11?01??k2???0?13???k???3???11?11???k???0???4?
即Ax?0．因为未知量的个数是4, 而R(A)?4, 所以Ax?0
有非零解, 由定义知
已知向量组?1,?2,?3,?4线性相关． ?1,?2,?3线性无关, 证明向量组 2
???2??3, ?3??3??1 线性无关．
?1??1??2, 2k1?1+k2?2+k3?3=0, 则有 (k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0 ?,?,?
因为123线性无关, 所以 证
?k1?k3?0??k1?k2?0?k?k?03?2?101??k1??0??110??k???0????2????011????0?? ?k3??? , 即 ??0
系数行列式 011, 该齐次方程组只有零解．
故123线性无关．
判断向量组 ?,?,?e?(0,0,?,0,1)
e1?(1,0,0,?,0), e2?(0,1,0,?,0), ?, n
的线性相关性． k1e1+k2e2+?+knen=0, 则有 (k,k,?,kn)=0?k?0,k2?0,?,kn?0
12只有1e,e,?,en线性无关.
（1）向量组12向量线性表示． 证
已知?,?,?,?m(m?2)线性相关?其中至少有一个向量可由其余m?1个?1,?2,?,?m线性相关, 则存在k1,k2,?,km不全为零,
k1?1+k2?2+?+km?m=0 kk?1?(?2)?2???(?m)?mk1k1
不妨设k1?0, 则有 ． ??k2?2???km?m, 则有
(?1)?1+k2?2+?+km?m=0 (?1),k2,?,km不全为零, 所以?1,?2,?,?m线性相关．
因为?,?,?,?m线性无关, ?1,?2,?,?m,?线性相关，则?可由（2）若向量组12?1,?2,?,?m线性表示, 且表示式唯一． 证
因为?1,?,?m,?线性相关, 所以存在数组k1,?,km,k不全为零,
k1?1+?+km?m+k?=0 k?+?+km?m=0?k1?0,?,km?0．矛盾!
若k?0, 则有 11kk??(?1)?1???(?m)?mkk
故k?0, 从而有 ．
下面证明表示式唯一：
??k1?1???km?m,
??l1?1???lm?m (k1-l1)?1+?+(km-lm)?m=0 ?,?,?,?m线性无关, 所以
即?的表示式唯一． k?l?0,?,km?lm?0?k1?l1,?,km?lm （3）?1,?,?r线性相关??1,?,?r,?r?1,?,?m(m?r)线性相关．
证 因为?1,?,?r线性相关, 所以存在数组k1,?,kr不全为零, 使得 k?+?+kr?r+0?r+1+?+0?m=0
k1?1+?+kr?r=0 ? 11
数组k1,?,kr,0,?,0不全为零, 故?1,?,?r,?r?1,?,?m线性相关．
向量组线性无关?任意的部分组线性无关．
设?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,m ??1??a11a12?a1n?????a?a?a21222n?2A?????????????????aa?a?m2mn??m??m1
?,?,?,?m线性相关?(R)A<m；
(2) ?1,?2,?,?m线性无关?(R)A=m． k?+k?+?+k?=0
比较等式两端向量的对应分量可得 ?a11a21?am1??k1??0??a??k???a?a1222m2???2???0??????????????????aa?a?0? 2nmn??km?
即 Ax?0．由定理可得： T?,?,?,??Ax?0有非零解 12m
线性相关T?R(A)?m?R(A)?m
在定理5中, 当m?n时, 有 ?,?,?,?n线性相关?detA?0；
(1) 12?,?,?,?n线性无关?detA?0．
在定理5中, 当m?n时, 有 ?1,?2,?,?m线性相关?A中所有的m阶子式Dm?0（(R)A<m）； ?,?,?,?m线性无关?A中至少有一个m阶子式Dm?0((R)A=m)．
在定理5中, 当m?n时, 必有
向量组T1：?1,?2,?,?m线性相关．
因为R(A)?n?m, 由定理5(1)即得． ?i?(ai1,ai2,?,air),i?1,2,?,m 4
向量组T2：?i?(ai1,ai2,?,air,ai,r?1,?,ain),i?1,2,?,m a12a22?am2?a1r??a2r??????amr?? a1,r?1a2,r?1?am,r?1?a1n??a2n??????amn??
若T1线性无关, 则T2线性无关(即无关组添加分量仍无关). Am?r
??1??a11????a212???????????????m???am1??1??a11?a1r????a?a2r212???Bm?n?????????????m???am1?amr
T1线性无关?R(A)?m
A是B的子矩阵?R(B)?R(A)?m
?R(B)?m?T2线性无关 Am?n定理6
划分??1????2??????1???????m??2??n?, 则有
(1) A中某个Dr?0?A中“Dr所在的”r个行向量线性无关；
A中“Dr所在的”r个列向量线性无关．
(2) A中所有Dr?0?A中任意的r个行向量线性相关；
A中任意的r个列向量线性相关． 证
只证“行的情形”： Br?n
(1) 设Dr位于A的i1,?,ir行, 作矩阵
??i1?????????i??r?, 则有 ??i1?????????i??r?,
rankB?r??i1,?,?ir线性无关． Br?n
(2) 任取A中r个行, 设为i1,?,ir行, 作矩阵
[注] 称 R(B)?r??i1,?,?ir线性相关． ?1,?2,?,?m为A的行向量组, ?1,?2,?,?n为A的列向量组． §3
向量组的秩
向量组的秩：设向量组为A, 若
(1) 在A中有r个向量?1,?2,?,?r线性无关；
(2) 在A中任意r?1个向量线性相关（如果有r?1个向量的话）．}