解方程的方法
解方程的方法
范文一：解方程的方法1、根据等式的性质解方程等式的性质（一）：等式的两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。这是等式的性质（一）等式的性质（二）：等式的两边同时乘或者除以同一个不为0的数，等式仍然成立。这是等式的性质（二）一）根据等式的性质（一）解方程例题1、解方程
x+1.5 =11解：x+1.5-1.5=11-1.5X=9.5小结：方程中原来左边是x加几时，解答时可以在方程两边同时减去几，使方程左边只剩下x。例题2、解方程：x-2.8=7.2解
x-2.8+2.8=7.2+2.8x=10小结：方程中原来左边是x减去几时，解答时可以在方程两边同时加几，使方程左边只剩下x。二）根据等式的性质（二）解方程例题3、
2.5x=7.5解：2.5x÷2.5=7.5÷2.5X=3小结：方程中原来左边是x乘几时，解答时可以在方程两边同时除以几，使方程左边只剩下x。例题4、
x÷4=13解： x÷4×4=13×4X=52小结：方程中原来左边是x除以几时，解答时可以在方程两边同时乘几，使方程左边只剩下x。2、根据加、减、乘、除法中各个数之间的关系解方程① 一个加数=和-另一个加数②
被减数=减数+差③
减数=被减数-差④ 一个乘数=积÷另一个乘数⑤
被除数=除数×商⑥
除数=被除数÷商A、加减法方程的解答方法例题5： x+4.2=8.9解：x=8.9-4.2X=4.7小结：方程中原来左边x是一个加数，解答时可以根据解答。例题6、
x-15=12.5解;x=12.5+15X=27.5小结：方程中原来左边x是被减数，解答时可以根据解答。
25.3-x=13解：x=25.3-13X=12.3小结：方程中原来左边x是减数，解答时可以根据解答。B、乘除法方程的解答方法例题8、
5x=25.5解：x=25.5÷5X=5.1小结：方程中原来左边x是一个乘数，解答时可以根据解答。例题9、
x÷2.5=13解：x=13×2.5X=32.5小结：方程中原来左边x解答。 例题10、
35÷x=7解：x=35÷7X=5小结：方程中原来左边x是除数，解答时可以根据解答 练习题：解方程X-7.7=2.85
X +13 =45X-0.6=8
13÷x ＝1.3X+8.3=19.7
x-2=73x+=12
5.37+x=7.47x÷3=53x=1854÷x=8x+2=8030÷x=7.5
45.6- x =1.6原文地址：解方程的方法1、根据等式的性质解方程等式的性质（一）：等式的两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。这是等式的性质（一）等式的性质（二）：等式的两边同时乘或者除以同一个不为0的数，等式仍然成立。这是等式的性质（二）一）根据等式的性质（一）解方程例题1、解方程
x+1.5 =11解：x+1.5-1.5=11-1.5X=9.5小结：方程中原来左边是x加几时，解答时可以在方程两边同时减去几，使方程左边只剩下x。例题2、解方程：x-2.8=7.2解
x-2.8+2.8=7.2+2.8x=10小结：方程中原来左边是x减去几时，解答时可以在方程两边同时加几，使方程左边只剩下x。二）根据等式的性质（二）解方程例题3、
2.5x=7.5解：2.5x÷2.5=7.5÷2.5X=3小结：方程中原来左边是x乘几时，解答时可以在方程两边同时除以几，使方程左边只剩下x。例题4、
x÷4=13解： x÷4×4=13×4X=52小结：方程中原来左边是x除以几时，解答时可以在方程两边同时乘几，使方程左边只剩下x。2、根据加、减、乘、除法中各个数之间的关系解方程① 一个加数=和-另一个加数②
被减数=减数+差③
减数=被减数-差④ 一个乘数=积÷另一个乘数⑤
被除数=除数×商⑥
除数=被除数÷商A、加减法方程的解答方法例题5： x+4.2=8.9解：x=8.9-4.2X=4.7小结：方程中原来左边x是一个加数，解答时可以根据解答。例题6、
x-15=12.5解;x=12.5+15X=27.5小结：方程中原来左边x是被减数，解答时可以根据解答。
25.3-x=13解：x=25.3-13X=12.3小结：方程中原来左边x是减数，解答时可以根据解答。B、乘除法方程的解答方法例题8、
5x=25.5解：x=25.5÷5X=5.1小结：方程中原来左边x是一个乘数，解答时可以根据解答。例题9、
x÷2.5=13解：x=13×2.5X=32.5小结：方程中原来左边x解答。 例题10、
35÷x=7解：x=35÷7X=5小结：方程中原来左边x是除数，解答时可以根据解答 练习题：解方程X-7.7=2.85
X +13 =45X-0.6=8
13÷x ＝1.3X+8.3=19.7
x-2=73x+=12
5.37+x=7.47x÷3=53x=1854÷x=8x+2=8030÷x=7.5
45.6- x =1.6
范文二：方程的解法在数学教学中，应注重传授问题解决的方法，让学生从繁杂的数学推导中解脱出来。为此，我结合自己的学习实际，将初等数学和高等数学中有关方程的问题归类并给出了一些解决的方法。（一）一元一次方程的解法 1、消除分数项：等式两边同乘以分母的最小公倍数；2、合并同类项：将所有带x的项的系数相加，所有常数项（不带x）项相加；3、移动：带x的项移至等号左边，常数项移至等号右边（注意变+、-号）；4、相除：用常数除以x的系数（即：等号右边的数除以等号左边的数），结果就是方程的解。例1.解下列方程(1)8-9x=9-8x(2)解：(1)8-9x=9-8x-9x+8x=9-8-x=1x=-1易错点关注：移项时忘了变号；(2)6x-3(3-2x)=6-(x+2)6x-9+6x=6-x-212x+x=4+913x=13x=1易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号； （二）一元二次方程的解法此类问题的内容不仅基础而且非常重要，因此要引起重视一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法 （或十字交叉法）。一、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如
(x-m)^2=n (n≥0)的方程例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，此方程也可用直接开平方法解。2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)先将数c移到方程右边：a x^2 + b x=-c将二次项系数化为1． 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方． 方程左边成为一个完全平方式。当b＾2 －4ac ≥0时， 便可求出实数解。3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。当b^2 - 4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2- 4ac)]/ 2 a（两个不相等的实数根）当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当b^2-4acx1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个共轭的虚数根）（初中理解为无实数根）例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5解：将方程化为一般形式：3x^2-8x+5=0∴a=3, b=-8, c=5b^ 2-4ac=(-8)^2-4×3×5=64-60=4>0∴原方程的解为x1=3/5,x2=1 .4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3) (x-6) = -8(3) 6x^2+5x-50=0
(4) x^2-4x+4=0(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有实解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。（三）一元三次方程的解法对于求解一元三次方程，只解决特殊的一元三次方程，这个要针对具体的题目具体对待，主要是利用配方法和因式分解的知识：一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)下面再介绍一下有关一元三次方程的改进公式：对于一般三次方程：
ax3+bx2+cx+d=0设方程的三根分别为：X1= (-b+A+B) /(3a)X2= (-b+wA+w2B) / (3a)X3= (-b+w2A+wB) / (3a)(w为x3=1的单位根,即w=-1/2+31/2/2i)则A3+B3=-2b3+9abc-27a2d————记为pA3B3=(b2-3ac)3————————记为q则A3，B3是关于一元二次方程：y2-py+q=0的两根（四）费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4=px2+qx+r??关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数a，我们有? (x2+a)^2 = (p+2a)x^2+qx+r+a2等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即q2 = 4(p+2a) (r+a2)这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x同样可采用其它方法。例如对于一般一元四次方程：ax4+bx3+cx2+dx+e=0设方程的四根分别为：X1= (-b+A+B+K)/ (4a)X2= (-b-A+B-K)/ (4a)X3= (-b+A-B-K)/ (4a)X4= (-b-A-B+K)/ (4a)(A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理：方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个根。)将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得：x1+ x2+ x3+ x4= -b/ax1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/ax1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= (1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/ax1x2 x3 x4= (1/256a4)(b4+A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bABK)=e/a整理后为：A2+B2+K2=3b2-8ac————————————————记为pA2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e——记为qABK=(b-4abc+8ad)——————————————记为r由此可知：A2，B2，K2是关于一元三次方程y3-py2+qy-r=0的三根从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。若y11/2, y21/2, y31/2是A，B，K的一组解（A，B，K具有轮换性，所以在代入时无须按照顺序） 222322那么另外三组为（ y11/2,- y21/2,- y31/2（- y11/2, y21/2, -y31/2（-y11/2,- y21/2, y31/2从而将以上任意一组解代入到所设代数式中，均可解得原四次方程的四根。 由这种方法来解一元四次方程，只需求界一个一元三次方程即可，而费拉里的公式则需先解一个三次方程，再转化成两个复杂的一元二次方程，并且若要以其系数来表示它的求根公式的话，其形式也是相当复杂的。我的求解方法尽管在推导公式的过程中有一定的计算量，但如果要运用于实际求根，尽用结论在计算上绝对要比费拉里公式简便。（五）一元高次方程的解法一般地，数学家已经证明一元高次（n>4）方程是没求根公式的。但是有些特殊的高次方程也可以求其解的。比如倒数,根与系数的关系等等。这里我们就不一一介绍了。有兴趣者可查阅 第三版《初等数学研究》（六）方程组的解法1.二元一次方程组 （此类题较容易）利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。 这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减法解二元一次方程的一般步骤是：1. 将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数） 2. 通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 解这个一元一次方程，得到这未知数的值； 4. 将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；5. 写出方程组的解。2．多元一次方程组对于多元一次方程组则可采用高等数学知识克拉默法则来计算，里面涉及到行列式等有关问题。克拉默法则实用来解决齐次和非齐次的线性方程组的一般方法。（七）不定式方程的解法对于不定式方程的求解一般都来源于费马大定理的各种形式。其中最简单的就有求ax+by=c 的整数解及满足勾股定理a2+b2=c2 的一组数这里就这两种形式加以说明.1. ax+by=c 的整数解的求法先找出其一组特殊解p ,q，则x= p +k b , y=q – k a, ( k是整数 ) 是原方程的通解.证明从略.2. 勾股数的求法 a=n
b= (n ^ 2 - 1) / 2
c= (n^2+1)/2其中n为整数 且n大于等于3. 或者用同一个正整数k乘以a,b,c,所得到的三个数同样组成一组勾股数! 证明也从略.（八）其它方程的解法方程有很多种.除以上所列出的一些外还有其他的各种形式.例如初等超越方程.微分方程.积分方程等等 .在此就不一一列举了.如有兴趣者可查看相关资料!小结:方程的解法你有很多种，对具体的题就得先分析它是哪类方程，然后依据具体方法来解答。有些题还可以与函数相结合，利用函数的观点来解方程。
范文三：第八讲
方程与方程组1、解二元一次方程组{y?2x?3 3x?2y?82、甲乙二人2时共可以加工54个零件，甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个，问：甲每时加工多少个零件？3、学校组织学生参观，如果每辆汽车坐35个学生，则有16个学生没有座位；如果每辆汽车坐52个学生，则空出一辆汽车，问共有几辆汽车和多少名学生？4、甲对已说：我在你这么大的时候，你才6岁；已对甲说：我到你这么大的时候，你已经27岁了。问：甲乙现在各有多少岁？5、解二元一次方程组{2x?y?11 3x?2y?66、有大小两盘苹果，如果从大盘拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿一个苹果放到大盘李，大盘苹果的个数是小盘苹果数的3倍，问：大小两盘苹果原来各有多少个？7、在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得三位数比原数大8倍，求这个两位数。8、甲乙两人玩游戏牌，第一轮过后，甲赢了已13张牌，这是甲的牌数是乙的2倍少10张；由于得意忘形，甲在第二轮惨败，输了29张牌，结果乙的牌数反而是甲的牌数的7倍少10张，求甲乙原来各有多少张牌？x?y?59、解二元一次方程组{y?z?8z?x?710、食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋，大米60袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下200袋，这个食堂买来大米多少袋？11、小明玩射击气球的游戏，游戏有两关，两关的气球数量相同。如果小明第一股射中的气球数比没有射中的气球数的4倍多2个；第二关射中的气球数比第一股增加了8个，正好是没有射中的气球数的6倍吗，则游戏中每关有气球多少个？12、有两次测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题得8分，答错或者不答1 题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但是第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
范文四：第1课时 方程与方程组的解法（1）考点1、方程及方程组有关概念?x?1例1、
(08年杭州市) 已知? 是方程2x?ay?3的一个解, 那么a的值是?y??1______. 例2、若?m?2?xm2?3?5是一元一次方程，则m的值是__________考点2、方程或方程组的一般解法 例3、解方程2x?1x?2??1 34?xy1????236例4、解方程组??1x?1y??11?218?3考点3、图像法解方程或方程组例5、（2008年贵阳市）利用图象解一元二次方程x2?x?3?0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y?x2和直线y??x?3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程x2?x?3?0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y?
和直线y??x，其交点的横坐标就是该方程的解．66（2）已知函数y??的图象（如图9所示），利用图象求方程?x?3?0的近xx似解（结果保留两个有效数字）．（图9）（图9）【基础训练】 1、（2008年自贡市）方程3x?6?0的解的相反数是__________ 2、解方程?2x?y?40.05?0.02x1?0.3x3、（08江苏常州）解方程组 ???1?x?y?50.030.02第7题图4、如图，已知函数y?ax?b和y?kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组??y?ax?b的解是________。y?kx?【能力提升】5（07郴州）解方程组 x-y=3
、-y)=112y+3(x-y)=11第2课时
方程与方程组的解法（2）考点1、一元二次方程有关定义及解法： 例1：已知关于x的一元二次方程(m-2)m=__________例2：（1）（08济宁）用配方法解方程：2x2x+3x+(m2?4?1?3x2)=0有一个解是0，则（2）（08年南昌市改编）用适当的方法解方程x(x?1)?x考点2、分式方程的有关定义及一般解法：例3、（08襄樊市）当m?________时，关于x的分式方程例4、（07怀化）解方程考点5、换元法解方程： 例5、解分式方程2x?m??1无解 x?35x?23?
2x?xx?162?x?x?1 2x?x【基础训练】1、（2008年潜江市）关于x的一元二次方程x?mx?2m?0的一个根为1，则方程的另一根为__________ 2、解方程32?x?2??2x?4所用方法比较简单的是（
C、因式分解法
D、三种方法一样3、用配方法解下列方程，配方有错误的是（
） A、2x2?2x?99?0化为?x?4??252B、x2?8x?9?0化为?x?4??25C、2t2?7t?4?0化为81?t?7??162D、2x22?10?4x?2?0化为??x????3?924、若关于x的方程mx2?9?21有无实数解，则m=__________ ?x?3x?3x5??4 5、（08威海）解方程2x?33?2x【能力提升】226、（08山东）若关于x的一元二次方程(m?1)x?5x?m?3m?2?0的常数项为0，则m的值为_______27、已知关于x的一元二次方程x-kx-4=0的一个根是2，则另一个根是_________ 8、（07天津）方程(x2x)?6?5()的整数解是_______ ．．x?1x?1a?b的分式方程，使它的x?2【应用与探究】9、（08烟台）请选择一组a,b的值，写出一个关于x的形如解是x?0，这样的分式方程可以是__________.
范文五：16.3 分式方程第一课时
分式方程的解法学习目标:1.理解分式方程的解法，会判断一个方程式不是分式方程。2.了解解分式方程的基本思路和解法，会熟练的解分式方程。3.理解解分式方程是可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。 学习重点:解分式方程的基本思路和解法。学习难点：理解解分式方程时可能无解的原因。知识梳理：1.___________________________________________的方程叫做分式方程。??22.解方程：（1m?）；（2）。比较方程(1)和（2）x?5x?25320?v20?v的结果有差异吗？为什么呢？在这里，x=5不是原方程（2）的根。因为它使得原分式方程的_____________为零，我们称它为原方程的增根。3.产生增根的原因是：_______________________________________________。4．因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须_________________.5．你能用比较简洁的方法检验分式方程产生的增根吗？_________________________________________________________________.6.解分式方程一般需要经过哪几个步骤？_________________________________________________________________. 学法指导：题型一：判断一个方程是不是分式方程。7、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？x?2x13x(x?1)43?，
23x?2xxxyxx?112x?1?10，
2x??25xx判断一个方程是不是分式方程的方法是：题型二：解分式方程x?115x?412x?5??0；??8.解分式方程:（1）（2）. x?352x?423x?63?x?题型三:分式方程增根的应用：xm1?3m?9.关于x的方程有增根，且m?，求m的值。 x?11?x3当堂训练：14?x4x?3x?1?2???10.解分式方程: (1)；
(2) 2； x?33?xx?4x?2x?2x?142xx?2?1 ； （4）??2。 （3）x?1x?12x?1x?2达标测评：11.在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（
）x?12x35x?1?3??④.?3⑤①2x?3y?0
③.27x?2xx?2162?2?2. x?xx?1A.2个
D.5个12. 下列方程中，是分式方程的是（
） x?1x?11x?1x?24??
324x?1x?1x?1xxaC.2x2??0
D.??x(ab?0) 5abm?1，下列说法正确的是（
） 13.关于x的分式方程x?5A．方程的解是x?m?5
B．m??5时，方程的解是正数C．m??5时，方程的解为负数
D．无法确定2314. 方程?的解为（
） xx?1A.x?2
D. x??115.已知A.-y2x?y2?，则的值为（
） xx?y344
D.5 5516若方程AB2x?1??,那么A、B的值为（
） x?3x?4(x?3)(x?4)12?x?1x?2A.2，1
17. 满足方程：的x的值是________.x2?2x?0的增根是
18. 分式方程x?219. 如果关于x的方程能力提高：20.解分式方程a解：设由a1?2x?1?有增根，则a的值为________. x?44?x12??3时，王刚采用了以下方法： x?1x?11?y，则原方程可化为y?2y?3，解得y?1。 x?11?1去分母得x?1?1，所以x=0。 x?1检验：当x=0时x?1?0，? x=0是原分式方程的解。 x4x??2。 上面的方法叫换元法，请用换元法解方程x?23x?62x?a??1的解是正数，求实数a的取值范围。 21.若方程x?21111122.关于x的方程：x??c?的解为：x1?c,x2?;x??c?（可变形为xccxc?1?1?122x??c?;x??c?）的解为：x1?c,x2?的解为：xccxc2333x1?c,x2?;x??c?的解为：x1?c,x2?;… cxccmm（1）请你根据上述方程与解的特征，比较关于x的方程x??c?（m?0)与xc它们的关于，猜想它的解是什么？（2）请总结上面的结论，并求出方程y?22?a?的解. y?1a?1
范文六：微分方程解法? 一阶微分方程方程形式：y'?f(x,y) 或写成对称形式 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0一、可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能写成g(y)dy?f(x)dx的形式，原方程称为可分离变量的微分方程。解法：若g(y),f(x)连续，两边积分即可求解?g(y)dy二、齐次方程1、如果一阶微分方程则称方程为齐次方程。解法：引进新的未知函数u?2、可化为齐次的方程 方程dydx?yxdydx??f(x)dx。?f(x,y)中的f(x,y)可写成yx的函数，即f(x,y)??()，xy化成可分离变量的微分方程求解。ax?by?ca1x?b1y?c1当c?c1?0时为齐次，否则为非齐次，在非齐次情况下可适当变换化为齐次。方法：令x?X?h，y?Y?k从而?dx?dX,dy?dY，代入原方程中a1ab1b①若系数a,a1,b,b1满足?，原方程可以化为齐次形式dYdXaX?bYa1X?b1Y?；②当a1a?b1b时，令a1a?b1b??同样可以求解。? 以上方法同样可用于dy?ax?by?c?f??ax?by?cdx11?1?? ??型方程的求解。三、一阶线性微分方程㈠、线性方程形如dydx?P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程。其通解为y?Ce??P(x)dx?e??P(x)dx?Q(x)e?P(x)dx， dx（用常数变异法可以求解）dydx?P(x)y?Q(x)的一个其中前一项为齐次方程dydx?P(x)y?0的通解，后一项为方程特解。（通解中的记号?P(x)dx表示某个确定的原函数） ㈡、伯努利方程形如dydx?P(x)y?Q(x)y
(n?0,1)n的方程叫做伯努利（Bernouli）方程。解法：等式两边同时乘以y?n化成y?ndydx?P(x)y1?n?Q(x)（*），引入新的未知函数z?y1?n，那么dzdx?(1?n)y?ndydx，用(1?n)乘方程（*）的两端，再通过dzdxdzdx代换便得到线性方程?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)，求出解后以y1?n代替z便得到伯努利方程的通解。四、全微分方程一阶微分方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中，如果P(x,y)和Q(x,y)满足条件（充分必要条件）：P(x,y)、Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数，且有?P?y??Q?x成立，那么方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0是一个全微分方程，其通解为u(x,y)??xxoP(x,y)dx??yy0Q(x,y)dy?C，y,y)其中x0,y0是在区域G内适当选定的点M0(x0,y0)的坐标。y0? 可降阶的高阶微分方程一、y(n)?f(x) 型y(n)连续积分n次，得到含有n个任意常数的通解。 ?f(x) 型微分方程的一般解法是，二、y''?f(x,y') 型（不显含未知函数y）设y'?p，那么y''?dpdx?p'，原方程写成p'?f(x,p)，这是一个关于变量x、p一阶微分方程，用前面的方法可解得其通解，设为p??(x,C1)，也即dydx??(x,C1)，积分一次就得到原方程的通解y???(x,C1)dx?C2。三、y''?f(y,y') 型 （不显含自变量x）令y'?p，利用复合函数求导法则dpdxdpdydydxdpdyy''????p，原方程改写为pdpdy?f(y,p)，这是关于变量y、p的一阶微分方程，其通解为y'?p??(y,C1)，分离变量并积分，得y''?f(y,y')的通解为dy??(y,C1)?x?C2 。? 高阶线性微分方程? 关于线性方程的解的结构，给出四个定理：? 定理1
如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的两个解，那么y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的解，其中C1、C2是任意常数。 ? 定理2
如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的两个线性无关的解，那么y?C1y1(x)?C2y2(x)就是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的通解，其中C1、C2是任意常数。推论
如果y1(x),y2(x),???,yn(x)是n阶齐次线性方程y(n)?a1(x)y(n?1)?????an?1(x)y'?an(x)y?0，的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为y?C1y1(x)?C2y2(x)?????Cnyn(x)，其中C1,C2,???,Cn为任意常数。? 定理3
设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的一个特解，Y(x)是与非齐次方程y''?P(x)y'?Q(X)y?f(x)对应的齐次方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的通解，那么y?Y(x)?y*(x)就是二阶非齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的通解。? 定理4
设非齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的右端f(x)是几个函数的和，如y''?P(x)y'?Q(x)y?f1(x)?f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f1(x)与
y''?P(x)y'?Q(x)y?f2(x) 的特解，那么y1*(x)?y2(x)就是原方程的特解。? 定理3和定理4同样可以推广到n阶非齐次线性方程。? 常系数齐次线性微分方程的解法一、 二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0 中，如果y'、y的系数P(x)、Q(x)均为常数，即y''?py'?qy?0，p、q为常数，时称为二阶常系数齐次线性微分方程，如果p、q不全为常数称为二阶变系数齐次线性微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程的解法（一般步骤）：1．
写出方程y''?py'?qy?0的特征方程r?pr?q?022． 求出特征方程的两个根r1,r2二、n阶常系数齐次线性微分方程解法 n阶常系数齐次线性微分方程y(n)?p1y(n?1)?p2y(n?2)?????pn?1y'?pny?0其中p1,p2,???,pn?1,pn都是常数解法步骤： 1． 写特征方程rn?p1rn?1?p2rn?2?????pn?1r?pn?02． 求解特征方程常系数非齐次线性微分方程的解法 一般形式?y''?py'?qy?f(x)其中p、q为常数。一、f(x)?e?xPm(x)型常系数非齐次线性微分方程y''?py'?qy?e?xPm(x)具有形如：y*?xQm(x)ek?x的特解。其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重跟依次取0、1或2。k?x上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意特解y*?xQm(x)e中的k是特征方程含根?的重复次数（即若?不是特征方程的根，k取0；若?是特征方程的s重根，k取s）。二、f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型常系数非齐次线性微分方程y''?py'?qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]具有形如：y*?xek?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x](1)(2)(1)(2)的特解。其中Rm而k按??i?（或??i?）(x)、Rm(x)是m次多项式，m?max{l,n}，不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次取0或1。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意特解y*?xek?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x](1)(2)中的k特征方程中含根??i?（或??i?）的重复次数。
?欧拉方程解法形如xyn(n)?p1xn?1y(n?1)?????pn?1xy'?pny?f(x)的方程（其中p1,p2,???,pn为常数） ⑴ 在x?0范围内求解作变换tx?e 或 t?lnx ，将自变量x换成t，代入欧拉方程，便得到一个以t为自变量的常系数线性微分方程。求出这个方程的解后，把t换成lnx，即得到原方程的解。t⑵ 在x?0范围内求解时，作变换x??e 或 t?ln(?x) 即可，结果与x?0内类似。?微分方程的幂级数解法1． 求一阶微分方程dydx?f(x,y)满足条件yx?x0?y0的特解，其中函数f(x,y)是(x?x0)、(y?y0)的多项式lmf(x,y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)?????alm(x?x0)(y?y0) ①这时，所求特解可以展开成x?x0的幂级数：y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)?????an(x?x0)???? ，
②2n其中a1,a2,???,an,???,是待定的系数。把②代入①中，便得一恒等式，比较这恒等式两端x?x0的同次幂的系数，就可定出常数a1,a2,???,以这些常数为系数的级数②在其收敛区间内就是方程①满足初始条件yx?x0?y0的特解。2． 关于二阶齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的幂级数解法，给出一个定理：定理
如果方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0中的系数P(x)与可在?R?x?R内展开成x的幂级数，那么在?R?x?R内，方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0必有形如?y??an?0nxn的解。微分方程解法? 一阶微分方程方程形式：y'?f(x,y) 或写成对称形式 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0一、可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能写成g(y)dy?f(x)dx的形式，原方程称为可分离变量的微分方程。解法：若g(y),f(x)连续，两边积分即可求解?g(y)dy二、齐次方程1、如果一阶微分方程则称方程为齐次方程。解法：引进新的未知函数u?2、可化为齐次的方程 方程dydx?yxdydx??f(x)dx。?f(x,y)中的f(x,y)可写成yx的函数，即f(x,y)??()，xy化成可分离变量的微分方程求解。ax?by?ca1x?b1y?c1当c?c1?0时为齐次，否则为非齐次，在非齐次情况下可适当变换化为齐次。方法：令x?X?h，y?Y?k从而?dx?dX,dy?dY，代入原方程中a1ab1b①若系数a,a1,b,b1满足?，原方程可以化为齐次形式dYdXaX?bYa1X?b1Y?；②当a1a?b1b时，令a1a?b1b??同样可以求解。? 以上方法同样可用于dy?ax?by?c?f??ax?by?cdx11?1?? ??型方程的求解。三、一阶线性微分方程㈠、线性方程形如dydx?P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程。其通解为y?Ce??P(x)dx?e??P(x)dx?Q(x)e?P(x)dx， dx（用常数变异法可以求解）dydx?P(x)y?Q(x)的一个其中前一项为齐次方程dydx?P(x)y?0的通解，后一项为方程特解。（通解中的记号?P(x)dx表示某个确定的原函数） ㈡、伯努利方程形如dydx?P(x)y?Q(x)y
(n?0,1)n的方程叫做伯努利（Bernouli）方程。解法：等式两边同时乘以y?n化成y?ndydx?P(x)y1?n?Q(x)（*），引入新的未知函数z?y1?n，那么dzdx?(1?n)y?ndydx，用(1?n)乘方程（*）的两端，再通过dzdxdzdx代换便得到线性方程?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)，求出解后以y1?n代替z便得到伯努利方程的通解。四、全微分方程一阶微分方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中，如果P(x,y)和Q(x,y)满足条件（充分必要条件）：P(x,y)、Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数，且有?P?y??Q?x成立，那么方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0是一个全微分方程，其通解为u(x,y)??xxoP(x,y)dx??yy0Q(x,y)dy?C，y,y)其中x0,y0是在区域G内适当选定的点M0(x0,y0)的坐标。y0? 可降阶的高阶微分方程一、y(n)?f(x) 型y(n)连续积分n次，得到含有n个任意常数的通解。 ?f(x) 型微分方程的一般解法是，二、y''?f(x,y') 型（不显含未知函数y）设y'?p，那么y''?dpdx?p'，原方程写成p'?f(x,p)，这是一个关于变量x、p一阶微分方程，用前面的方法可解得其通解，设为p??(x,C1)，也即dydx??(x,C1)，积分一次就得到原方程的通解y???(x,C1)dx?C2。三、y''?f(y,y') 型 （不显含自变量x）令y'?p，利用复合函数求导法则dpdxdpdydydxdpdyy''????p，原方程改写为pdpdy?f(y,p)，这是关于变量y、p的一阶微分方程，其通解为y'?p??(y,C1)，分离变量并积分，得y''?f(y,y')的通解为dy??(y,C1)?x?C2 。? 高阶线性微分方程? 关于线性方程的解的结构，给出四个定理：? 定理1
如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的两个解，那么y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的解，其中C1、C2是任意常数。 ? 定理2
如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的两个线性无关的解，那么y?C1y1(x)?C2y2(x)就是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的通解，其中C1、C2是任意常数。推论
如果y1(x),y2(x),???,yn(x)是n阶齐次线性方程y(n)?a1(x)y(n?1)?????an?1(x)y'?an(x)y?0，的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为y?C1y1(x)?C2y2(x)?????Cnyn(x)，其中C1,C2,???,Cn为任意常数。? 定理3
设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的一个特解，Y(x)是与非齐次方程y''?P(x)y'?Q(X)y?f(x)对应的齐次方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的通解，那么y?Y(x)?y*(x)就是二阶非齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的通解。? 定理4
设非齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的右端f(x)是几个函数的和，如y''?P(x)y'?Q(x)y?f1(x)?f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f1(x)与
y''?P(x)y'?Q(x)y?f2(x) 的特解，那么y1*(x)?y2(x)就是原方程的特解。? 定理3和定理4同样可以推广到n阶非齐次线性方程。? 常系数齐次线性微分方程的解法一、 二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0 中，如果y'、y的系数P(x)、Q(x)均为常数，即y''?py'?qy?0，p、q为常数，时称为二阶常系数齐次线性微分方程，如果p、q不全为常数称为二阶变系数齐次线性微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程的解法（一般步骤）：1．
写出方程y''?py'?qy?0的特征方程r?pr?q?022． 求出特征方程的两个根r1,r2二、n阶常系数齐次线性微分方程解法 n阶常系数齐次线性微分方程y(n)?p1y(n?1)?p2y(n?2)?????pn?1y'?pny?0其中p1,p2,???,pn?1,pn都是常数解法步骤： 1． 写特征方程rn?p1rn?1?p2rn?2?????pn?1r?pn?02． 求解特征方程常系数非齐次线性微分方程的解法 一般形式?y''?py'?qy?f(x)其中p、q为常数。一、f(x)?e?xPm(x)型常系数非齐次线性微分方程y''?py'?qy?e?xPm(x)具有形如：y*?xQm(x)ek?x的特解。其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重跟依次取0、1或2。k?x上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意特解y*?xQm(x)e中的k是特征方程含根?的重复次数（即若?不是特征方程的根，k取0；若?是特征方程的s重根，k取s）。二、f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型常系数非齐次线性微分方程y''?py'?qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]具有形如：y*?xek?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x](1)(2)(1)(2)的特解。其中Rm而k按??i?（或??i?）(x)、Rm(x)是m次多项式，m?max{l,n}，不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次取0或1。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意特解y*?xek?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x](1)(2)中的k特征方程中含根??i?（或??i?）的重复次数。
?欧拉方程解法形如xyn(n)?p1xn?1y(n?1)?????pn?1xy'?pny?f(x)的方程（其中p1,p2,???,pn为常数） ⑴ 在x?0范围内求解作变换tx?e 或 t?lnx ，将自变量x换成t，代入欧拉方程，便得到一个以t为自变量的常系数线性微分方程。求出这个方程的解后，把t换成lnx，即得到原方程的解。t⑵ 在x?0范围内求解时，作变换x??e 或 t?ln(?x) 即可，结果与x?0内类似。?微分方程的幂级数解法1． 求一阶微分方程dydx?f(x,y)满足条件yx?x0?y0的特解，其中函数f(x,y)是(x?x0)、(y?y0)的多项式lmf(x,y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)?????alm(x?x0)(y?y0) ①这时，所求特解可以展开成x?x0的幂级数：y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)?????an(x?x0)???? ，
②2n其中a1,a2,???,an,???,是待定的系数。把②代入①中，便得一恒等式，比较这恒等式两端x?x0的同次幂的系数，就可定出常数a1,a2,???,以这些常数为系数的级数②在其收敛区间内就是方程①满足初始条件yx?x0?y0的特解。2． 关于二阶齐次线性方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的幂级数解法，给出一个定理：定理
如果方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0中的系数P(x)与可在?R?x?R内展开成x的幂级数，那么在?R?x?R内，方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0必有形如?y??an?0nxn的解。
范文七：六年级解方程练习题 班级34223x-
X－ X=55745X×3=20×1545X－3×521＝5734X?14?38X-38X=400
23X÷14＝12
X×( 131368128 X = 196×1651213X÷4＝12 34X?134?8X÷2=817X=×164X－6×2=2716125÷X=310x?14x?204X－6×23=2X＋38X＝121965123X+12X=42
2--135X3X=10
1x + 126x = 4
33X－21×2103=4X＋738X=4X－ 27X=34X÷4=15528
范文八：解方程与不等式主要内容：一元一次方程、一元二次方程，一元一次不等式、一元二次不等式，含绝对值不等式，分式不等式1.一元一次方程形如：ax+b=0当a=0，b=0时方程的解为R当a=0,b?0时方程此时无解当a?0时方程的解为x=ba。2.一元二次方程形如：ax2+bx+c=0=b2-4ac时x1,2当>0当?=0时x1=x2=--b2a当?3.一元一次不等式(a>0)?ax+b>0此时不等式的解集为ì?í-bü???x|x>a????ax+b??x|xa???4.一元二次不等式(a>0)(1)ax2+bx+c>0?△>0(见图1)不等式解集为{x|xx2}?△=0不等式解集为?ìí-bü???x|x?2a,x?R????△不等式解集为R(2)ax2+bx+c?△>0不等式解集为{x|x1?△=0不等式解集为AE?△AE5.含绝对值不等式?f(x)>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)0?f(x)·g(x)>0g(x)f(x)ìf(x)?f(x)g(x)?0??0?íg(x)??g(x)?0④ìf(x)?f(x)g(x)?0?0?íg(x)??g(x)?0
范文九：第三节
差分方程常用解法与性质分析高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组
（341200）在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程xn+1=kxn+b
(1) 是讨论的重点，其一般形式为xn+1=kxn+f(n)
(2)其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程xn+1=kxn
(3)称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法． 1
求一阶齐次差分方程xn+1=kxn的通解用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程xn+1=kxn的通解为23x1 = kx0，x2=kx1=kx0，x3=kx2=kx0，,,， 一般地，有n-1nxn= kx0-1= k(k x0)= kx0，n = 1，2，,,，由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程xn+1=kxn的通解可表为nxn=kc（c为任意常数）.对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c即可. 2
求一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b的通解2．1探索一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b通解的结构设数列﹛yn﹜，﹛zn﹜为方程（3）的任意两个解，则 yn+1=k yn +b
(4) zn+1= k zn +b
(5)(4)－(5) 得 yn +1－zn +1=k(yn － zn )这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若an为非齐次方程（3）的任意一个解，bn为非齐次方程（3）的一个特解，则an-bn就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解an作适当变形：an=an+bn- bn= bn +( an - bn) 这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解． 2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，,,代入（3），有 x1=kx0+bx2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k)x3=kx2+b= k[k2x0+b(1+k)]+b= k3x0+b(1+k+k2) ,,,,xn=knx0+b(1+k+k2+,,+k n-1)nⅰ）当k≠1时, 1+k+k2+,,+k n-1 = 1?k1?knb(1?k)=kn(x－b)+b 此时xn=kx0+01?k1?k1?kn由于x0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x0－数．令x0－b也为任意常1?kb=c，则（3）的通解可表为 1?kxn=knc+b
（c为任意常数）1?kⅱ）当k=1时,1+k+k2+,,+k n-1=n 此时xn=x0+nb由于x0可任意给定，即其可为任意常数，故（3）的通解可写为 xn=c+nb
（c为任意常数） ②待定系数法与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f(n)的特点，用与f(n)形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数），然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解．ⅰ）当k≠1时，设方程（3）有一特解xn =A，其中A为待定常数，将其代入（3），有A=kA+b ， A=b ， 即xn=b1?k1?k知此时方程（3）的通解为 xn= knc+b
（c为任意常数）1?kⅱ）当k=1时，方程（3）为xn+1=xn+b，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如xn =An的特解，代入（3），有A(n+1)=An+b ， 得A=b ， 即xn=bn
知此时方程（3）的通解为xn= knc+bn= c+bn
（c为任意常数）例1
求差分方程2yt+1+5yt=0的通解，并求满足y0=2的特解.解
将原方程改写成yt+1=（-故其通解为yt=(-5）yt ， 25t)c ， c为任意常数. 250用y0=2代入通解：2=（-）c ， 得 c = 2 .25t满足初值y0=2的特解为yt=2(-).2例2
求下列差分方程的通解 （1）xn+1=xn+4（2）xn+1+xn=4解（1）方程中有k=1，b=4 .其通解为xn=c+4n ，（c为任意常数）. （2）原方程可化为 xn+1= －xn+4 ，方程中k=－1，b=4 ， 其通解为 xn= (－1)nc+41?(?1)= (－1)nc+2
，（c为任意常数）.例3
某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多2个座位.已知第一排有30个座位，（1）若用yn表示第n排的座位数，试写出用yn表示yn+1的公式. （2）第10排的座位是多少个？（3）若用Sn表示前n排的座位数，试写出用Sn表示Sn+1的公式. （4）若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？解 （1）yn+1= yn+2
n =1,2,,, （2）解上述差分方程，其中k=1,b=2 ，通解为
yn=2n+c ，c为任意常数 . 由已知y1=30，代入，得c = 28 .特解为yn=2n+28
y10=2×10+28=48(个) . （3）Sn+1=Sn+yn+1=Sn+[2(n+1)+28]可得表达式为
Sn+1=Sn+2n+30 ，
n=1，2，,, （4）先解上述差分方程，2由Sn+1－Sn=2n+30 ，即△Sn=2n+30,知Sn的表达式为n的二次函数，设Sn=An+Bn+C，22则△Sn =A（n+1）+B（n+1）+C－An－Bn－C=2A n+ A+B = 2n+30 .可得
A=1， B=29
. 又由初始条件 y1= 30= S1，
有30 =A+B+C
，故C=0 .2因此本问题的特解Sn= n+29n ， n =1,2,,,2S20= 20+29×20=980（个）.注意：在本例小题（1）中每排座位数的表达式yn+1=yn+2 yn+1－yn=2,与小题（2）中前n+1排座位数表达式Sn+1=Sn+2n+30即Sn+1-Sn=2n+30都属一阶非齐次线性差分方程xn+1=kxn+f(n)类型，但前者属f(n)为常数的情况，而后者属f(n) 为n的一次函数的情况，利用差分有关知识，知Sn的表达式是关于n的二次函数．参考文献[1] 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，.[2] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.218-228.[3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，，448-460. [4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学（一）[M]. 北京：高等教育出版社， .（本文刊于中学数学教学(合肥)，2006，6．）1、常系数线性差分方程的解方程a0xn?k?a1xn?k?1?...?akxn?b(n)
其中a0,a1,...,ak为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
又称方程a0xn?k?a1xn?k?1?...?akxn?0
为方程（8）对应的齐次方程。nx??n
如果（9）有形如的解，带入方程中可得：kk?1a??a??...?ak?1??ak?0
（10） 01称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：（1）
若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：
xn?c1?1?c2?2?...?ck?k，（2）
若（10）有m重根?，则通解中有构成项：(c1?c2n?...?cmnm?1)????nnnn?i?????i????e（3）若（10）有一对单复根
，令：，??2??2,??arctan??，则（9）的通解中有构成项：nc?cos?n?c?sin?n 12?n?（4） 若有m 重复根：????i?，???e，则（9）的通项中有成项：?????i?(c1?c2n?...?cmnm?1)?cos?n?(cm?1?cm?2n?...?c2mnm?1)?nsin?nn综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程
（9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：xn
如果能得到方程（8）的一个特解：xn，则（8）必有通解：
（11）（1）
的特解可通过待定系数法来确定。nb(n)?bpm(n),pm(n)为n 的多项式，则当b不是特征
例如：如果??**nb根时，可设成形如qm(n)形式的特解，其中qm(n)为m次多项式；如nr果b是r重根时，可设特解：bnqm(n)，将其代入（8）中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法对差分方程两边关于xn取Z变换，利用xn的Z 变换F（z）来表示出xn?k的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的xn例1
设差分方程xn?2?3xn?1?2xn?0,x0?0,x1?1，求xn2解：解法1：特征方程为??3??2?0，有根：?1??1,?2??2nnx?c(?1)?c(?2)n12
故：为方程的解。nnx?0,x?1x?(?1)?(?2)01n
由条件得：解法2：设F（z）=Z(xn),方程两边取变换可得：1z2(F(z)?x0?x1.)?3z(F(z)?x0)?2F(z)?0zF(z)?zz2?3z?2由条件x0?0,x1?1得由F（z） 在z?2中解析，有11F(z)?z(?)?z?1z?2??12k???(?1)k??(?1)k??(?1)k(1?2k)z?kk?0zzk?0k?01?1?zz11?knnx?(?1)?(?2)n
所以，3、二阶线性差分方程组(xn)A?(ab)cd，形成向量方程组设z(n)?yn，z(n?1)?Az(n)
（12）nz(n?1)?Az(1)
（13） 则（13）即为（12）的解。为了具体求出解（13），需要求出A，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：（1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：A?p?1?p,An?p?1?np,?z(n?1)?(p?1?np)z(1)。/,A???,?,?为
（2）将A 分解成nn/n/.//n?1A?(?.?)??.?.?.?...?.??(??).An/n?1从而，z(n?1)?Az(1)?(??).Az(1)（3）
或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出A的内在构造规律，进而分析解z(n) 的变化规律，获得n它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根?i,i?1,2...k满足?i?1（2）一阶非线性差分方程xn?1?f(xn)
（14）的平衡点x由方程x?f(x)决定，
将f(xn)在点x处展开为泰勒形式：f(xn)?f(x)(xn?x)?f(x)
（15）f(x)?1/?/???????故有：时，（14）的解x是稳定的，?f(x)?1/?时，方程（14）的平衡点x是不稳定的。?
范文十：各类方程解法一 一元一次方程
1 一般形式ax+b=0
(a≠0) 2 求根公式bx=- 二 二元一次方程
1 一般形式ax+by=m
cx+dy=n2 求根公式bdamx= - ÷ -
acam y= -÷ -1 一般形式ax2+bx+c=0
(a≠0)2 判别式△=b2-4ac△>0,方程有两个不等实数根-b± x=
△=0,方程有两个相等实数根bx1=x2=- △1 一般形式ax3+bx2+cx+d=0
2 求根公式27a2d-9abc+2b327a2d-9abc+2b33ac-b2 3
+2d-9abc+2b32d-9abc+2ba3ac-b 3 b + -+
-27a2d-9abc+2b327a2d-9abc+2b33ac-b2 3 -1+
+(-1+ 2 x2=()? -+ +2d-9abc+2b32d-9abc+2ba3ac-b 3 b ? -+
+ -2d-9abc+2b32d-9abc+2ba3ac-b 3-1+ 2
+(-1+ ) x3=()? -+ +27a2d-9abc+2b327a2d-9abc+2b33ac-b2 3 b ? -+}