3．2.1 直线的点斜式方程
理解教材新知
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直
线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．
问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？
问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？
问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？
1．直线的点斜式方程
(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程________叫做直线l
的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或________．
2.直线的斜截式方程
(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的________．倾斜
角是________的直线没有斜截式方程．
归纳升华领悟
1．直线的点斜式方程的前提条件是
(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；
(2)斜率必须存在，只有这两个条件都具备才可以写出点斜式方程．
2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0，y＝b时，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．
把握热点考向
考点一 直线的点斜式方程
[例1] 已知直线l过点A(2，－3)．
(1)若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′平行，求其方程；
(2)若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′垂直，求其方程．
[思路点拨] 首先由斜率公式求出直线l′的斜率，再由直线平行与垂直的条件求出直线l的斜率，最后由点斜式写出直线方程．
2－4[精解详析] (1)由斜率公式得kl′＝＝－2， －3－（－4）
∵l与l′平行，
∴kl＝－2.
由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2)，
(2)∵直线l′的斜率为k＝－2，l与其垂直，
1由直线的点斜式方程知l：y＋3＝(x－2)． 2
[一点通] 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
1．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(
2．写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
考点二 直线的斜截式方程
[例2] 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
[思路点拨] 由直线l1的方程确定l的斜率，由l2的方程确定l在y轴上的截距．
[精解详析] 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.
由题意知l2在y轴上的截距为－2，
∴l在y轴上的截距b＝－2，
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．
3．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则直线l的斜截式方程为________．
4．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝________．
5．写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是2，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是6；
(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
考点三 直线点斜式方程的应用
[例3] (12分)直线l过定点A(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[思路点拨] 本题可设出直线l的斜率为k，得出其点斜式方程．分别令x＝0，y＝0求出直线在x轴、y轴的截距，利用其面积为4进行求解．
[精解详析] 由题意直线l的斜率一定存在，故设直线l的斜率为k，且k≠0.(1分) ∴直线l的方程为：y－3＝k(x＋2)，(2分)
令x＝0，得y＝2k＋3，
3令y＝0，得x＝－2.(5分) k
13由题意知：k＋3)||(－2)|＝4，(6分) 2k
999∴8＝|12＋4k＋|即8＝12＋4k＋8＝12＋4kkkk
9解8＝12＋4k＋4k2＋4k＋9＝0得，方程无解．(8分) k
919解－8＝12＋4k＋4k2＋20k＋9＝0得k＝－(10分) k22
19故所求直线的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)．(12分) 22
[一点通] 过点(x1，y1)的直线，
(1)当斜率不存在时，方程为x＝x1，在x轴上截距为x1；
(2)当斜率为0时，方程为y＝y1，在y轴上的截距为y1；
y(3)当斜率k存在且k≠0时，方程为y－y1＝k(x－x1)，在x轴上的截距为x1－，在yk
轴上的截距为y1－kx1.
316．(1)过点(1，2)且与yx－平行的直线方程为________________． 44
(2)过点(2，1)且与y＝－2x＋10垂直的直线方程为____________________．
7．光线自点M(2，3)射到y轴的点N(0，1)后被y轴反射，其反射光线过点(2，－1)，求反射光线所在的方程．
方法规律小结
(1)利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标；③代入点斜式方程．
(2)当直线过点(0，b)时，方程为y＝kx＋b，即为直线的斜截式方程，是直线点斜式方程的一种特殊情况．
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直线方程的点斜式教学设计
本文摘要： 直线方程的点斜式教学设计,《直线方程的点斜式》教学设计陈萍一、教材依据本节课是北师大版数学（必修2）第二章《解析几何初步》第一节《1.2直线的方程》第一部分《直线方程的点斜式》内容。二、教材分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点
《直线方程的点斜式》教学设计
一、教材依据
本节课是北师大版数学（必修2）第二章《解析几何初步》第一节《1.2直线的方程》第一部分《直线方程的点斜式》内容。
二、教材分析
直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。从初中代数中的一次函数引入，自然过渡到本节课想要解决的问题——求直线方程问题。在引入，过程中要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程和方程的特征入手。
在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线方程。
三、教学目标
知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。
过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
情态与价值观：通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
四、教学重点
重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
五、教学难点
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
要点：运用数形结合的思想方法，帮助学生分析描述几何图形。
六、教学准备
1.教学方法的选择：启发、引导、讨论.
创设问题情境，采用启发诱导式的教学模式引导学生探索讨论，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。
2.通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题与几何问题间的密切联系。为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：
①.让学生自己发现问题，自己通过观察图像归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。
②.分组讨论。
七、教学过程
1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标 满足的关系式。
使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。
2、直线 经过点 ，且斜率为 。设点 是直线 上的任意一点，请建立 与 之间的关系。
学生根据斜率公式，可以得到，当 时， ，即
& 教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。
培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标 满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。
3、（1）过点 ，斜率是 的直线 上的点，其坐标都满足方程（1）吗？
学生验证，教师引导。
使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过 ，斜率为 的直线 上吗？
学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。
4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
学生分组互相讨论，然后说明理由。
使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。
5、（1） 轴所在直线的方程是什么？ 轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点 且平行于 轴（即垂直于 轴）的直线方程是什么？
&（3）经过点 且平行于 轴（即垂直于 轴）的直线方程是什么？
教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。
进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式。
6、例2、例4的教学。
教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。
学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。
7、例3的教学。
求经过点 ，斜率为 的直线 的方程。
学生独立求出直线 的方程：
在此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。
引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。
8、观察方程 ，它的形式具有什么特点？
学生讨论，教师及时给予评价。
深入理解和掌握斜截式方程的特点？
9、直线 在 轴上的截距是什么？
学生思考回答，教师评价。
使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。
10、你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？一次函数中 和 的几何意义是什么？你能说出一次函数 图象的特点吗？
学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。
体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
11、课堂练习第65页练习第1，2，3题。
学生独立完成，教师检查反馈。
巩固本节课所学过的知识。
教师引导学生概括：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。
13、布置作业：第77页第5题
学生课后独立完成。
八、教学反思
直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。
本节课的基本题形：1、已知直线上一点及直线的倾斜角，求直线的方程并作图；2、已知直线上两点，求直线的方程并作图。教学时应注意让学生明确直线的倾斜角与斜率的关系，掌握过两点的直线的斜率公式，训练学生求直线方程的书写格式及直线的规范作图。
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