由数列递推公式求通项公式的几种方法--《数学教学》1985年01期
由数列递推公式求通项公式的几种方法
【摘要】：正 81、82、83连续三年的高考试题中,都涉及到由数列递推公式求通项公式的试题,因此,这个问题引起了人们(特别是中学数学教师)的重视。笔者今年在《数列》一章的复习教学中,根据学生的知识实际,就如何由递推公式求通项
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81、82、83连续三年的高考试题中,都涉及到由数列递推公式求通项公式的试题,因此,这个间题引起了人们(特别是中学数学教师)的重视.笔者今年在《数列》一章的复习教学中,根据学生的知识实际,就如何由递推公式求通项公式讲授了五种方法,现将教学简案抄录如下. 一、求差相消法
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京公网安备75号数列的递推法是什么意思?
嗨__静子·泷e
就是用等式给出一个数列任意相邻项之间存在的规律,称之为递推公式,是对数列规律的一种呈现方式.最简单的是给出任意相邻两项之间的规律,并给出第一项的值；也有给出任意相邻三项之间的规律,并给出第一项和第二项的值.根据这样的递推公式,我们可以依次求出已知项的后一项,再后一项……,还可以求出数列的通项公式.递推公式与通项公式的相同之处都是揭示数列存在的规律；不同之处在于前者揭示的是任意相邻项之间的规律,后者揭示的是任一项与项数之间的规律.
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扫描下载二维码递归数列与递推数列的区别
　递归数列 （recursive sequence ）：一种用归纳方法给定的数列.　　例如,等比数列可以用归纳方法来定义,先定义第一项 a1 的值( a1 ≠ 0 ),对 于以后的项 ,用递推公式an+1＝qan （q≠0,n＝1,2,…）给出定义.一般地,递归数列的前k项a1,a2,…,ak为已知数,从第k＋1项起,由某一递推公式an+k＝f（an,an+1,…,an+k-1） ( n＝1,2,…）所确定.k称为递归数列的阶数.例如 ,已知 a1＝1,a2＝1,其余各项由公式an+1＝an＋an-1（n＝2,3,…）给定的数列是二阶递归数列.这是斐波那契数列,各项依次为 1 ,1 ,2 ,3,5 ,8 ,13 ,21 ,…,同样 ,由递归式an+1－an ＝an－an-1( a1,a2 为已知,n＝2,3,… ) 给定的数列,也是二阶递归数列,这是等差数列.递推数列　　递推公式：如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.　　用递推公式表示的数列就叫做递推数列 　　比如等比数列An=A1*q^（n－1）可以表示为：An=q*An-1
这么说an+k＝f（an，an+1，…，an+k-1）；也可称为递推公式？这样，递归数列就是递推数列了？
是的，但是两者还是有一点微妙的差异，当递归数列为定值变换是就是递推数列，你可以理解递推数列是递归数列的一种特殊情况。。。
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他们都是一个意思，没有什么区别。都是通过已知的项和递推式，得到一个无穷多项的数列。望采纳，谢谢
扫描下载二维码递推法与数列法；凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同；(1)逐个分析开始的几个物理过程；(2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是；凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的；(1)逐个分析开始的几个物理过程；；(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这；(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求；无穷数列的求和，一般是无
递推法与数列法
凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”.该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程
(2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题；③无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用.
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差：Sn＝错误！未指定书签。＝na1＋错误！未指定书签。d(d为公差)．
等比：Sn＝错误！未指定书签。(q为公比)．
运用数列的思想可以解决一些往复运动的问题。如等比数列与等差数列在物理题中的应用。其一般步骤为：根据物理知识列出一般数学关系式；分析关系式遵循的数学规律，找出通项，根据数列规律求出物理量。运用极限的思想能够解决在理想状态下的物理问题的解等。数学中的数列与物理学中的运动学的数理结合问题，在求解该问题中，正确写出某一物理量的通项表达式是解题的关键。
例5一个球从100米高处自由落下，每次着地后，又跳回到原高度的一半再落下，假定球与地面每次碰撞过程中没有能量损失，空气平均阻力大小不变，问等到球停止运动，停留在地面上时，球总共经过的距离为多少米?
【分析】此题是数学中的一个求无穷等比数列各项和的问题，如果用数学知识来计算求解比较复杂,我们采用逆向思维，利用物理学中功能原理则很容易求解。
【解答】：设球的质量为m千克，空气平均阻力大小为f牛顿，g为重力加速度，s为球总共经过的距离。
球从100米高处自由落下，着地后只回到50米处，说明球的重力势能减少了，减少的原因是空气阻力作了负功，则有Wf=f*d=△E代入数值得f(100+50)=100mg-50mg,求出f=1/3mg， 同理由功能原理有：100mg=fs,100mg=1/3mgs,s=300(米)。
1.把长为s的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端由静止出发，以加速度a运动，当它到达每一等份末端时，加速度增加a/n，则汽车到达终点站B时的速度是多少？
解析：依题意有：第一段的末速度v12－0＝2a1s n
2as第三段的末速度：v32－v22＝2（a＋） nn第二段的末速度：v22－v12＝2（a＋
第n段的末速度：vn2－vn－12＝2［a＋
以上n个式子累加得： (n－1)as］ nn
1n－1(＋)(n－1)as(3n－1)svn2＝2a××［］＝ n2nas(3n－1)即：vB＝． n
ss2v1?2avn?vn?1?2ann
as22vn?vn?1?2a[a?(n?1)]nn
as22vn?1?vn?2?2a[a?(n?2)]nn
as22vn?2?vn?3?2a[a?(n?3)]nn
as22v3?v2?2a(a?2)nn
as22v2?v1?2(a?)nn
两边同时累加，消去得
sn(n?1)a2vn?2a[
sa(n?1)vn?2a[an?]n2
?2a2s(1?n?13n?1)?as2nn
2.如图所示，n个相同的木块(可视为质点)，每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l，第n个木块到桌
边的距离也是l,木块与桌面间的动摩擦因数为μ．开始
时，第1个木块以初速度υ0向左滑行，其余所有木块都
静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运
动．最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下．
(1)求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．
(2)求第i次(i≤n一1)碰撞中损失的动能与碰撞前动
(3)若n=4，l=0.10 m，υ0一3.0m／s，重力加速度g=10 m/s，求μ的数值．
解：(1)整个过程木块克服摩擦力做功 2
w=μmg．l+μmg．2l+……+μmg．nl=n(n?1)?mgl① 2
根据功能关系，整个过程中由于碰撞而损失的总动能为
△Ek=Ek0一W② 得?E?12n(n?1)?mgl③ mv0?22
(2)设第i次(i≤n一1)碰撞前木块的速度为υi，碰撞后速度为υi’，则
(i+1)mυi’=imυi④
碰撞中损失的动能△E时与碰撞前动能Eki之比为
Ki112.?2imvi?(i?1)mvi(i≤n-1)⑤ ?2imvi2
2(3)初动能EK0?mv02
E?E??mgl⑦
第1次碰撞后E’=E??E?E?E/2?E/2??mgl/2⑧
第2次碰撞E=E’??（2mg)l?E/2??mgl/2
第2次碰撞后E’=E??E?E/3?5?mgl/3
第3次碰撞前E=E’??(3mg)l??E/3?14?mgl/3 第1次碰撞前K1K0K1K1K1K1K1K0K2K1K0K2K3K2K2K0K3K0
第3次碰撞后EK3’=EK3??EK3?EK0/4?7?mgl/2
据题意有EK0/4?7?mgl/2??(4mg)l⑨
带人数据，联立求解得 ?=0．15
例12小球从h0?45m高处自由落下，着地后又跳起，然后又下落，每与地面碰撞一次速度就减少为原来的k倍，若k?1，求小球从下落开始直至停止所用的总时间。（g取102碰撞s2
时间忽略不计）。
解析：要求小球运动的总时间，必须根据小球运动的特征，由运动学公式将小球每碰撞一次在空中运动的时间求出，然后再累加求和。
0处下落到地面时的速度vo?
，运动时间t0?
第一次碰撞后小球的速度v1?kv0?
小球再次与地面碰撞前做竖直上抛运动，这一过程小球运动的时间t1?
同理可推得：第n
次碰撞后，小球的运动速度为vn?k
运动时间为tn?2v1?2g2vn?
2kg?22k2k?
k?k2??kn?)
上式括号中是一个无穷递减的等比数列，其首项为k，公比也为k,用数学中等比数列求和公式求的：t
如图所示，小球从长L的斜面顶端自由滑下，滑到低端时与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的求小球从开始下滑到到最终停止于斜面下端共通过的路程。
解析：物体咋斜面上下滑和反弹上升加速度相等，设为a，物体在第一次碰撞前后加速度分别为v1?v1'?4v1 5
2v1'2?4?反弹的路程为：l1????
物体在第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为：
4v2?v2,5v2'24l2??()4l 2a5
第n次碰撞前后速度及弹起路程分别为：
vn'?(4)vn,54n?)5vn'2'ln??2a (42n)l 5
n+1次碰撞挡板时所经历的总路程：
sn?1?l?2l1?2l2??2ln?
?()2l?()4l?5?5
4?4?()2l?1?()2n?5?5?l?241?()254??()2nl??5
当n趋于无限大时，sn?1?455l,所以物体最终听在斜面低端时通过的总路程为4l。 99
2．甲、乙两个溜冰者，质量分别为60 kg和62 kg，甲手中拿着一个2 kg的球，两人在冰面上相隔一段距离且均以2 m／s的速度相向滑行，在滑行过程中甲将球抛给乙，乙接球后又将球抛给甲，这样抛接若干次后，乙的速度变为10 m／s，则甲的速度为．
答案：10 m／s．
3．小车静Z在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，人站在车的一端，
靶固定在车的另一端，如图所示，已知车、人、靶和枪的总质量为M(不包
括子弹)，每颗子弹质量为m，共n发，打靶时每颗子弹击中靶后，就留在
靶内，且待前一发击中靶后，再打下一发，打完n发后，小车移动的距离
答案：x?nmd M?nm
重心质心不变
（M?nm）x-nmd?0
4．例6如图8－7所示，一轻绳吊着一根粗细均匀的棒，棒下端离地面高为H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k＞1)．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
(1)棒第一次与地面碰撞后弹起上升的过程中，环的加速度．
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