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3秒后窗口关闭唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为2$\sqrt{3}$．
（2）实践运用
如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
（1）根据轴对称中最短路线问题，可以得出AC的长即为BP+AP的最小值，利用三角函数关系求出即可；
（2）根据轴对称中最短路线问题，得出BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，即A′B是BP+AP的最小值，求出即可；
（3）运用待定系数法求二次函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点坐标，当AM+CM取最小值时，△ACM周长最小值，求出AM+CM最小值，即可得出．
（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$2\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$；
（2）如图作点A关于MN的对称点A′，则A′在⊙O上，
连接BA′交MN于P′点，此时BP′+AP′最小．
由对称性可知AP′=A′P′，
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，
连接OA、OB、OA′，
可知弧AN=弧A′N，
则∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°，
而点B为弧AN中点，
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
∴在Rt△OA′B中，A′B=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
即BP+AP的最小值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（3）①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、
C（0，-3）两点，分别代入二次函数解析式得：
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{a-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴二次函数解析式为：y=x2-2x-3，
②得到直线BC：y=x-3，
∴M（1，-2），AC的长为：$\sqrt{10}$，
∴△ACM周长最小值即是：AM+CM最小时的值，
∵AM+CM=BC=3$\sqrt{2}$，
∴△ACM周长最小值为：$\sqrt{10}+3\sqrt{2}$．设函数f(x)在[a,b]上有连续的导函数,且f(a)=f(b)=0,∫(b,a) [f(x)^2]dx=1,则∫(b,a) [xf(x)f'(x)]dx=?【注意∫（）括号里面第一个数字是在上面,第二个数字在下面】（A）-1/2（B）1/2（C）0（D）1请问如何做出这道题目,请尽可能通俗地,傻瓜式地讲解,要过程和你的最终选项,
对“原式∫(b,a) [xf(x)f'(x)]dx”凑微分得=∫(b,a) [xf(x)]df(x),用分部积分法得=[xf(x)f(x)]代(b,a)-∫(b,a) [f(x)*（f(x)+xf'(x)）]dx=0-∫(b,a) f(x)f(x)dx-∫(b,a) [xf(x)f'(x)]dx= -1-∫(b,a) [xf(x)f'(x)]dx,最后一个积分是原式,得原式=-1-原式,则原式=-1/2.
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选A。考查分步积分。xf(x)f’(x)=1/2×x{f(x)^2}’，所以把f(x)f’(x)拿到d()里面，再打开后前面的含有f(a)和f(b)，故为零，后面是题目已知的积分乘以1/2，由于前后两部分是差，故为-1/2，懂了吗，亲？
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