奇点到底该念啥？
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核心提示：“奇点”是一个网名，本来愿意念成什么主人说了算。不过电视剧里给了个定义：“奇点是时空中的一点，是大爆炸宇宙论所追溯的宇宙演化的起点……”
文章来源：科技让生活更美好
提问时间：《欢乐颂》里这个人物网名叫什么？念出来！
q& dian——不是念jī吗？这个词儿应该跟数学或者物理有关吧？不是在说大爆炸的起源什么什么的吗？！
来自数学的奇点，本来应该读q&
“奇点”是一个网名，本来愿意念成什么主人说了算。不过电视剧里给了个定义：“奇点是时空中的一点，是大爆炸宇宙论所追溯的宇宙演化的起点……”
照这么说，那就是用的引力奇点的概念了。
在奇点上，平常的物理定律不再管用的点，比如大爆炸前的宇宙奇点。图片来源：Youtube
真正的引力奇点其实比片子的定义更广。它指的是，某个天体在这个位置上的引力场似乎变得“无穷大”了。准确地说，是我们平常用来测量引力场所用的量变得无穷大，在这个点上平常的物理定律不管用了。目前广义相对论和量子力学在描述宇宙大爆炸最初的瞬间时都会失效，因此那里有一个奇点。广义相对论还无法描述黑洞内部的一个位置，因此这也是一个奇点。
不过，“奇点”这个概念并非物理学原创，它是从数学上的奇点引申来的。
在数学上，奇点(singularity)真的是一个点。在这个点上，一个函数(或者别的数学对象)或者没有良好定义(比如趋向于无限大)，或者表现出了别的奇怪的属性(数学上称之为“病态”，和“良态”相对)。
听起来很高深，但是它有很多常见的例子。比如最典型的，初中就学过的反比例函数：
f(x) = 1 / x
这里 x 是不能取 0 的，因为随着 x 无限趋向于 0， f(x) 无限趋向于无穷，在0点没有定义。那么，x = 0 就是这个函数的“奇点”。
很贴合物理学上的用法吧。
当然奇点不一定都没有定义，比如 f(x) = |x| 的 x = 0 也是一个奇点，但这只是因为这里是函数上唯一一个不可导的点。
函数f(x) = |x|。
在数学里正确的念法是q&，其实就是“奇怪”的意思。因为 jī这个读音已经被占用了——数学里有奇(jī)偶性的概念，jī指的是孤零零一个、不成对、不能被2整除的数字，比如3或者1023这种的。奇偶性也可以引申用来指函数，因为对于f(x) = x^n 这样的幂函数而言，n是奇(jī)数时函数就是奇(jī)的，n是偶数时函数就是偶的。显然这和函数上的一个“奇(q&)怪的点”是完全不同的概念，区分一下也是理所应当的。
但日常的奇点念啥，这是一个语言问题
虽说奇点来自数学的奇(q&)点，但并没有哪条规定说它一定要保持念法不变。到底念什么，这是语言问题，不是数学问题。
而这就涉及到语言领域的万年大坑：规定性语法 vs. 描述性语法。用人话说就是，当我们谈论一门语言的用法时，到底是语言“应该”怎么用，还是语言“事实上”怎么用？
你在语言课上学习的的，多半是规定性语法。它的目的是教会人使用一种正确的或者说合适的语言。比如你的英语老师会对你说，“不要把不定式的to和中心词分开。”
但是对不起，有些人就是这么用的！最典型的莫过于星际迷航系列的开场白：“To boldly go where no man has gone before”。一个规定性语法者会说，这句话不合语法，是错的。相反，一个描述性语法者会说，语言不存在对错，我只是观察并发现人们会把不定式分开，然后我把这个现象记录下来。
这种被《银河系搭车客指南》称为“勇敢地分开前人所未分的不定式”( "to boldly split infinitives that no man had split before")的说法一出便一发而不可收，现在已经成了人们普遍接受的用法。图片来源：Pinterest
显然，规定性语法是很有用的，因为它等于是在确立一种“标准语言”，为不同人之间的交流带来了很大的便利。且不说学校的语言课程，几乎所有学科在定义自己所使用的术语时，都在尽可能使用规定性语法——毕竟学术交流里清晰是第一要求。也因此我们可以毫无疑问地说，数学里奇点就是q& dian。
可是在日常生活里，规定性语法就有些问题了。规定性语法的深层愿望是为语言建立逻辑。可惜，语言注定是不能完全遵守逻辑的，大家日常说话时根本不会想那么多，表意的简洁和明确性要远比深层逻辑重要。当代汉语中有一个特别典型的例子：“台风登陆新加坡。”这看起来是一个合情合理人畜无害的小句，但一分析语法就遇到问题。登陆本身已经是一个动宾短语“登上陆地”了，怎么能把它当成动词用、后面强行再加一个新加坡作为宾语呢？完全违反逻辑嘛！在五十年前这也的确是错的，但今天动宾短语当动词已经是标准用法。毕竟，这比“台风在新加坡登陆”要省一个字，而且也没有产生任何歧义。
所以在语言学研究里，几乎所有人都是遵循着描述性语法的路线：只是观察、记录和研究。如果有很多人说话的方式和课本不一样，那就记录和发表，不会跳出去说“你错了”。
回到眼前的这个话题。黑洞这样的概念早已是科幻领域的家常便饭，身为科幻爱好者的奇点不能说是在讨论专业学术问题(要知道，虫洞的度规表达式很复杂的，不同虫洞的度规不同，掉进去的结果也不同，不带数学公式的讨论都只是文学创作和玩票)，所以不能一口咬定规定性。但是我们随便写篇文章，这也不是做语言学研究，也没必要抱死描述性不放。所以……本文并不能给出答案。毕竟已经有很多人在念 jī dian了。(作者：Ent 古生物学博士生，科学松鼠会成员)
责任编辑：马郡
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i请填写生词本名称!数学概念&奇点&奇异点&&转载
在中，奇点（singularity）或奇点，是数学物件中无法处理的点。一般来说，可以分成两种状况：
这个点的值在数学上没有定义。例如，一个的点。函数&<img ALT="f(x) = 1/x" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/d/c9da953ad99c8b1deec00.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&在&<img ALT="x=0" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/1/eecade3fc3fc.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&的点，是一个奇点；这个点有个性质－它冲往。然而，在数学中，无限的值是没有定义的。在物理中，也尽量避免或除去导致无限的点，虽然在中有（黑洞奇点）。
或者，在某方面来说，这个点破坏了该数学物件的整体一致性。这个点被称为的（pathological），是的反义。一般的例子是：
光滑的曲线或平面（）上一个尖起来的点，它破坏了该函数的。
连续的曲线中一个断掉的点，它破坏了该曲线的。
曲线&<img ALT="y^2 = x" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/5/a/f/5af1bcfc73e5ce1f9d933.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&在&<img ALT="x=0" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/1/eecade3fc3fc.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&的点是该曲线的奇点，因为该点的切线是垂直的。（vertical tangent）的斜率是无限，所以该点。
函数&<img ALT="f(x) = \left|x\right|" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/8/1/d/81db3add84e9e2cefb95de.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&在&<img ALT="x=0" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/1/eecade3fc3fc.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&的点是该函数的奇点，因为在该点上无法决定斜率，所以该点不可微。
代数集合&<img ALT="\{(x,y):\left|x\right|=\left|y\right|\}" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/e/d/9/edcf11b6574.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&在&<img ALT="x=0" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/e/1/1/eecade3fc3fc.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&的点是奇点，因为该点不可微。
在中，奇点是，或是的不连续点。
在中，有四类奇点，如下所述。假定&U&为&C&的一个，a&是U内的一元素，而&f&为定义在去心U&\ {a}下的。
：假定&f&即使定义在U&\
{a}，但未定义于&a。
：扼要的说，支点通常是的结果，诸如&<img ALT="\sqrt{z}" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/7/f/6/7f625b4d06fc8b307e45.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&或&<img ALT="\log{z}" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://upload.wikimedia.org/math/4/9/4/49461aa0ecd821e9add1.png" STYLE="border-style: vertical-align: display: inline-"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />&定义在确实的范围内，使得它的呈现如同单值函数。
数学概念 转载/?page_id=963
Math concepts / 数学概念
这里记录了我在学习过程中遇到或总结的一些基础数学概念，保存于此，与需要者共享。
are some basic math concepts I read or summarized in my learning
process, I wrote them down here to share with those who need
（1）奇异函数
奇异函数是一种理想化的函数，它具有一个或多个间断点，在这些点上无法确定函数或其导数值。常用的有阶跃函数和冲激函数。
所有不满足整体性质的个别点，在数学上都可以称为奇点。
如果奇点出现在分母极限为0的情况，通常来说就是产生无穷大解的表达式，在这种情况下数学计算失效。&
在复变函数中，奇点的定义：若函数（复变函数）f(z)在某点z0不解析，但在z0的任一邻域内都有f(z)的解析点，则z0称为f(z)的奇点（singular
“奇点”是复变函数里的一个概念。在一个区域内可导的复变函数，称为这个区域内的解析函数，如果一个复变函数在挖掉点z的区域内解析，但在点z处不解析，则z称为这个解析函数的奇点。解析函数的奇点总是孤立的，奇点按其性质，可以分为：可去奇点、极点和本性奇点三大类。&
（3）病态多项式
“病态多项式”是与病态代数方程的概念相关的。
在代数方程中，有的多项式系数有微小扰动时其根变化很大，这种根对系数变化的敏感性称为不稳定性（instability），这种方程就是病态多项式方程。通常重根的方程是病态的，有几个根彼此很靠近，则这些根对系数的扰动也是敏感的，有时根看起来分隔得很好，但同样可能是病态的——这段话来自《现代应用数学手册：计算与数值分析卷》一书。
由于在计算机数值算法中，求根过程总是通过迭代来完成的，而迭代过程又是通过一个初始解，不断地修改这个解，最后达到某个收敛标准为止，而一个病态多项式的系数微小变化就会引起根的很大变化，因此在迭代过程中可能导致求出的根不可信。
病态多项式的一个例子：
p(x)=(x&1)(x&2)(x&3)&#8943;(x&7)=x7&28x6+322x5&1960x4+6769x3&13132x2+13068x&5040
（4）超线性收敛
如果一种方法（这里指算法），是以前一次迭代的一阶幂乘以一个小于1的因子的速度收敛，则称这种方法为线性收敛（例如二分法），而以高阶幂收敛的方法称为超线性收敛。
具体描述：
设算法产生点列&{x(k)}，收敛到解&x&，且x(k)≠x&,&k&，则
A）线性收敛：&#8741;&#8741;&#8741;x(k+1)&x&&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;x(k)&x&&#8741;&#8741;&#8741;&&/span&1&，当k充分大时成立
B）超线性收敛：limk→∞&#8741;&#8741;&#8741;x(k+1)&x&&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;x(k)&x&&#8741;&#8741;&#8741;=0&
C）二阶收敛：&α&0&，当k充分大时有：&&#8741;&#8741;&#8741;x(k+1)&x&&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;&#8741;x(k)&x&&#8741;&#8741;&#8741;2≤α
我们知道上面的符号||……||是范数的符号，范数可以用来度量向量之间的距离。对最简单的情况——一维向量来说——上面的各个相减的式子就可以表示两点之间的距离。
（6）最小二乘的理论依据
（7）Powell算法
（8）黄金比例搜索算法
（9）奇异方程组
行退化或列退化的方程组称为奇异方程组。
（10）奇异值分解
一种处理奇异问题的方法，有时能将奇异问题转为非奇异问题来解决。
在很长时间内，奇异值分解都无法并行处理（虽然
Google 早就有了MapReduce 等并行计算的工具，但是由于奇异值分解很难拆成不相关子运算，即使在 Google
内部以前也无法利用并行计算的优势来分解矩阵）。
2007年初，Google
中国的张智威博士和几个中国的工程师及实习生已经实现了奇异值分解的并行算法，这是
Google中国对世界的一个贡献。
（11）主元
在解线性方程组时，通过加减乘除，将系数矩阵的a00，a11，a22，……（即主对角线上的元素）化为单位矩阵的形式（其他元素均化为零），在每一次计算过程中，用作除数的元素即为主元/主元素。如果计算过程中完全没有“行交换”或“列交换”，则这种方法称为“不选主元”的方法。
（12）完全主元法
& 部分主元法
在解线性方程组的选主元法中，如果只有行交换操作，则称该方法为部分主元法；如果行交换和列交换操作都有，则称该方法为完全主元法。
（13）矩阵的初等变换
a、交换矩阵的两行（列）；
b、用一个不为零的数乘矩阵的某一行(列)；
c、用一个数乘矩阵某一行（列）加到另一行（列）上。
（14）外推法
一种&“根据已知的数值推断已知数值范围以外的数值” 的方法。
（15）Ridders求导算法
（16）线性/非线性规划
第一次看到这个名词的时候，你一定有一种它好高深的感觉，但实际上它不过是“最优化”问题的一种“特例”罢了。当最优化问题中的自变量的定义域是有限维空间中的一个子集时，这种问题就称为线性/非线性规划。举个简单的例子来说，对一个自变量为1维的函数f(x)=ax+b，自变量的定义域为（1,
9.8），它是1维空间的一个子集，那么，通过最优化方法来求解a、b的问题，就称为线性规划。但是要注意，当x只能取几个值时，例如x只能取1、5、9.8这几个值，则这种最优化问题就不叫线性/非线性规划了，而是叫组合优化。有时候这些界限划分得很清晰的概念反而让人觉得很混淆，我认为它们确实对理解问题起到了负面的作用。
平常看到的很多资料中，对这些类似的概念故弄玄虚的解释什么的，最让人不舒服了！
（17）凸集
凸集在最优化领域占有重要地位。其数学定义是：设有N维空间的子集D，如果对于任意的向量（也可以说是N维空间中的点）X1，X2∈D，以及任意的实数a∈[0,
1]，都有aX1+(1-a)X2∈D，则称D为凸集。凸集的几何意义是：如果D为非空集合，则连接D中任意两个点X1、X2的线段仍属于该集合。
这似乎有点令人费解：aX1+(1-a)X2与两点之间的连线有什么关系呢？它表示连接这两点的线段上的任意一点。简单推导如下：假设X为线段X1X2上的任一点，则向量X2X（向量应该打上箭头，但是为了书写方便，我就省略了）平行于向量X2X1，且0≤
。因此，存在a∈[0, 1]，使得&X2X
= a&X2X1，即：X
a (X1&-&X2)，即
X =&aX1+(1-a)X2&。由于X是线段X1X2上任一点，因此前面的结论不言自明。
（18）半正定矩阵
n&n的矩阵M，若对于任意非零的x∈Rn，有xTMx≥0，则称M为半正定矩阵。
（19）奇异矩阵
首先，一个矩阵必须是方阵，才有奇异或非奇异的概念。其次，若该矩阵的行列式为0，则其为奇异矩阵，否则就是非奇异矩阵。
可逆矩阵是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。
（20）最速下降法/steepest
descent，牛顿法/newton，共轭方向法/conjugate direction，共轭梯度法/conjugate
gradient，etc.
（21）水平集
假设X∈Rn，则集合&S
= {X∈Rn&|
a}&称为一个水平集，其中a为常数。
（22）由两两线性无关的列向量构成的矩阵是满秩的
先看，就很容易明白了：两两线性无关的列向量构成的矩阵必然是满秩的。
（23）线性流形
“流形”（manifold）是数学中用于描述几何形体的一个概念，它是指局部具有欧几里得空间性质的空间。
欧几里得空间就是最简单的流形的实例。欧几里得空间也被理解为线性流形。
这个词听起来挺怪的，我想，要记住它，可以从表面含义来看：“流形”——流动的形状，光滑的；“线性”——连续的。结合起来，N维欧几里得空间Rn就是这么回事。
（24）满秩与正定的一个关系
设C为满秩矩阵，A为正定的实对称矩阵，则CTAC是正定的。因此可推出：若C是由两两线性无关的向量构成的矩阵（则其为满秩的），则CTAC正定。
（25）二次型
二次型是一些变量上的二次齐次多项式。齐次多项式是指各项的总次数均相同的多项式 ，例如 x5&+
9xy4&就是一个五次的双变元（x和y）齐次多项式，其各项的总次数都是5。
（26）正定二次型
设有实二次型 f = XTAX，若对于任何X≠0，都有
f(X)&0，则称 f 为正定二次型，并且称对称矩阵A为正定的。反之，若 f(X)&0，则称 f
为负定二次型。
（27）正定矩阵均可逆，并且其逆也是正定矩阵
（28）柯西不等式/柯西-施瓦茨不等式/Cauchy&Schwarz
inequality
相当有用的一个不等式，表达式如下：
<img ALT="Cauchy&Schwarz_inequality" HEIGHT="40" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="/wp-content/uploads/2011/06/math_concepts_Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality_1.png" WIDTH="522" STYLE="margin: 0 outline: 0 padding: 0 max-width: 576"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />
若把这个式子写成两个向量u，v的形式，则为：
<img ALT="Cauchy&Schwarz_inequality" HEIGHT="62" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="/wp-content/uploads/2011/06/math_concepts_Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality_2.png" WIDTH="315" STYLE="margin: 0 outline: 0 padding: 0 max-width: 576 cursor:"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />
（29）大O和小o：同阶无穷小与高阶无穷小
大O和小o分别代表同阶无穷小与高阶无穷小，注意不要弄混了。例如，β与α是同阶无穷小，记作β=O(α)；β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)
（30）稀疏矩阵：元素大部分为0的矩阵
（31）关于正定矩阵共轭的非零向量组线性无关
（32）实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得
A=CTC。由于可逆矩阵是正定矩阵，所以对称正定矩阵A满足：存在正定矩阵D，使得A=DTD
（33）每一个秩一矩阵都可以化为一个列向量与一个行向量之积
例如A为n&n的秩一矩阵，则存在n&1向量u，v，使得A=uvT
（34）驻点及鞍点
驻点：一阶导数为0的点。它包括3种类型：极小点、极大点、鞍点。
鞍点：沿某些方向是极小点；沿另一些方向是极大点，这样的点称为鞍点。想像一下马鞍的形状：马鞍凹下去的那部分的最低点，就是鞍点的一个例子（图片来源于网络，感谢原作者）：
<img ALT="saddle point" HEIGHT="308" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="/wp-content/uploads/2011/06/math_concepts_saddle_point.png" WIDTH="389" STYLE="margin: 0 outline: 0 padding: 0 max-width: 576 cursor:"
TITLE="数学概念&奇点&奇异点&&转载" />
（35）雅可比矩阵（Jacobi
matrix）不一定是方阵（n&n的矩阵）
（36）无解的线性方程组被称为是不相容的，有一或无穷多个解的线性方程组被称为是相容的
（37）若一个矩阵经过一系列行初等变换可以变成另一个矩阵，则称这两个矩阵是行等价的
（38）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
<img ALT="formula of root of unary quadratic equation" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="/wp-content/uploads/2013/06/formula_of_root_of_unary_quadratic_equation.png" STYLE="margin: 0 outline: 0 padding: 0 max-width: 576 width: 200 height: 66"
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/etc/nginx/nginx.conf.}