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范数与距离的关系
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加入CSDN，享受更精准的内容推荐，与500万程序员共同成长！正文 240A+ 本文信息本文由发表于，共 881 字，转载请注明：，如果我网站的文章对你有所帮助的话，来给个好评呗！继续以第一节的表1.5为例，我们做出如下的精简（如表1.7）：
其中每个对象都是一个特征向量，从直觉上，我们可将其分为两大类：大型动物:大象、鲨鱼水果:苹果、梨因为大象和鲨鱼都很大，生命周期也都很长，相比之下苹果和梨要小得多，保质期也都很短。很大、很长对很小、很短是在量上的比较，因此，利用初等数学的知识，这些给定数值的对象就可以看作一个n维坐标系下的点，并通过点与点之间的距离来度量。两个向量之间的距离(此时向量作为n维坐标系中的点)计算，在数学上称为向量的距离(Distance)，也称为样本之间的相似性度量(Similarity Measurement)。 它反映为某类事物在距离上接近或远离的程度，直觉上，距离越近的就越相似，越容易归为一类，距离越远就越不同，但这个直觉的标准是什么呢? 换句话说，这么划分的依据是什么呢？由此，我们引出向量间的各类距离公式，下面这些距离公式从不同角度对向量间的距离定义了衡量标准。 在引入距离公式之前，我们先看一个概念:范数(来自百度百科): 向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度，或者向量到坐标系原点的距离，或者相应空间内的两个点之间的距离。向量的范数定义：向量的范数是一个函数||x||,满足非负性||x|| &= 0，齐次性||cx|| = |c| ||x|| ，三角不等式||x+y|| &= ||x|| + ||y|| L1范数: ||x||为x向量各个元素绝对值之和。 L2范数: ||x||为x向量各个元素平方和的开方，L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数 Lp范数: ||x||为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方 L∞范数: ||x||为x向量各个元素绝对值最大那个元素，如下：
1234567891011向量范数的运算：A = [8,1,6]# 手工计算modA = sqrt(sum(power(A,2)))print "modA:",modA# 库函数normA = linalg.norm(A)print "norm(A):",normA结果：modA: 10.norm(A): 10.
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23 queries in 0.279 seconds, using 9.75MB memory向量l2范数的定义 完美作业网 www.wanmeila.com
请问什么是矩阵或向量的欧几里得范数，什么是L2范数 简单来说，就是向量的模，或者矩阵的谱范数（最大奇异值）
什么是L1 范数 10分给定向量x=（x1，x2，...xn）L1范数：向量各个元素绝对值之和弗2范数：向量各个元素的平方求和然后求平方根Lp范数：向量各个元素绝对值的p次方求和然后求1/p次方L∞范数：向量各个元素求绝对值，最大那个元素的绝对值
什么是范数？向量的范数公式是什么 范数，在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的向量赋予零长度。向量范数定义:设满足1. 正定性:║x║≥0,且║x║=0
x=02. 齐次性:║cx║=│c│║x║,3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.
一个向量的2范数等于1是什么意思 1-范数：是指向量（矩阵）里面非零元素的个数。类似于求棋盘上两个点间的沿方格边缘的距离。x||1 = sum（abs(xi)）； 2-范数（或Euclid范数）：是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点见的直线距离 （无需只沿方格边缘）。
一个向量函数的范数可以怎么定义，请给一个例子 一个向量的范数可以由其分量的平方和的算术根确定，如果这个向量是x的函数，则对该算术根按函数的范数定义取范数，如该算术根在区间上平方积分的算术根，也可以定义为该向量范数在区间上的绝对值的最大值等等。
matlab范数 %X为向量，求欧几里德范数，即 。n = norm(X,inf) %求 无穷-范数，即 。n = norm(X,1) %求1-范数，即 。n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值，即 。n = norm(X, p) %求p-范数，即 ，所以norm(X,2) = norm(X)。命令 矩阵的范数函数 norm格式 n = norm(A) %A为矩阵，求欧几里德范数 ，等于A的最大奇异值。n = norm(A,1) %求A的列范数 ，等于A的列向量的1-范数的最大值。n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数 ，和norm(A)相同。n = norm(A,inf) %求行范数 ，等于A的行向量的1-范数的最大值即：max(sum(abs(A')))。n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数 ，矩阵元p阶范数估计需要自己编程求，计算公式如下举个例子吧a=magic(3)sum(sum(abs(a)^4))^(1/4)a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2ans = 19.7411
二范数的分类 除了矩阵之外，向量和函数均有范数，其中：矩阵范数：矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号；向量范数：向量x的2范数是x中各个元素平方之和再开根号；函数范数：函数f(x)的2范数是x在区间（a,b）上f(x)的平方的积分再开根号。2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)。（参考“矩阵范数”的定义）
矩阵的2范数与向量的2范数有什么关系 答：这两种范数实际上是有非常紧密的联系的。一方面，矩阵的2范数是向量二范数对应的诱导范数。另一方面，向量范数可以认为是矩阵的诱导范数的特例，如果将长度为的向量视为一个的矩阵，你会发现前者的向量范数是等于后者的矩阵范数的！参考：[]
欧氏范数的定义 欧氏范数：Euclidean norm参考二维和三维向量的“向量大小/长度”的表示方法，欧氏范数是一种向量的量化表示，如n维向量X＝（x1,x2,...,xn）的欧氏范数可表示为：下式开根号：（x1）^2+(x2)^2+...+(xn)^2；
向量的二范数的算子范数怎么求 1-范数：是指向量（矩阵）里面非零元素的个数。类似于求棋盘上两个点间的沿方格边缘的距离。||x||1=sum（abs(xi)）；2-范数（或Euclid范数）：是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点见的直线距离（无需只沿方格边缘）。||x||2=sqrt(sum(xi.^2))；∞－范数(或最大值范数)：顾名思义，求出向量矩阵中其中模最大的向量。||x||∞=max(abs(xi))；PS.由于不能敲公式，所以就以伪代码的形式表明三种范数的算法，另外加以文字说明，希望楼主满意。相互学习，共同进步~请登录查看
tf.norm 函数norm(
ord=&#39;euclidean&#39;,
axis=None,
keep_dims=False,
定义于：。
请参阅指南：
计算向量、矩阵和张量的范数。
这个函数可以计算几个不同的向量范数（1-norm，Euclidean 或 2-norm，inf-norm，p& 0 的 p-norm）和矩阵范数（Frobenius，1-norm 和 inf -norm）。
tensor：float32，float64，complex64，complex128 类型的张量。
ord：范数的顺序。支持的值是“fro”、“euclidean”、0、1 、2、np.inf 和任意正实数，得到相应的 p-norm。缺省值是 &#39;euclidean&#39;，如果张量是一个矩阵，则相当于 Frobenius 范数；如果是向量，则相当于 2-norm。一些限制适用：1、所述的 Frobenius 范数不是为向量所定义；2、若轴为 2 元组（矩阵范数），仅支持 “euclidean”、“fro”、1 、np.inf&。有关如何计算在张量中存储的一批向量或矩阵的准则，请参见轴的说明。
axis：如果 axis 是 None（默认值），那么输入被认为是一个向量，并且在张量的整个值集合上计算单个向量范数，即 norm(tensor，ord=ord)是等价于norm(reshape(tensor, [-1]), ord=ord)。如果 axis 是 Python 整数，则输入被认为是一组向量，轴在张量中确定轴，以计算向量的范数。如果 axis 是一个2元组的 Python 整数，则它被认为是一组矩阵和轴，它确定了张量中的坐标轴，以计算矩阵范数。支持负数索引。示例：如果您在运行时传递可以是矩阵或一组矩阵的张量，则通过
axis=[-2,-1]，而不是 axis=None 确保计算矩阵范数。
keep_dims：如果为 True，则 axis 中指定的轴将保持为大小 1。否则，坐标轴中的尺寸将从 "输出" 形状中移除。
name：操作的名字。
output：与张量具有相同类型的 Tensor，包含向量或矩阵的范数。如果 keep_dims 是 True，那么输出的排名等于张量的排名。否则, 如果轴为 none，则输出为标量；如果轴为整数，则输出的秩小于张量的秩；如果轴为2元组，则输出的秩比张量的秩低两倍。
可能引发的异常：
ValueError：如果 ord 或者 axis 是无效的。
numpy 兼容性
大致相当于 numpy.linalg.norm。不支持：ord &= 0，矩阵的 2-norm，nuclear norm。
其他区别：1、如果轴为 None， 则将扁平的张量视为向量，而不考虑秩。2、明确支持 "euclidean" 范数作为默认值，包括高阶张量。
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不宜公开讨论的政治内容第八课：向量的范数写在前面的话：很高兴能够认识饭卡里还有好多钱这位土豪大佬。向大佬学习，为成为一名真正的段子手+逗比而奋斗。范数的概念向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值，复数的模，三维空间向量的长度，都是抽象范数概念的原型。上述三个对象统一记为
，衡量它们大小的量记为
（我们用单竖线表示绝对值，双竖线表示范数），显然它们满足以下三条性质：这也是范数的定义，满足上述三条性质的映射我们称之为范数。显然，范数是函数的一种特例。关于三角不等式我们可以通过三角形两边之和大于第三边来理解。随着以后的学习我们可以知道，长度是范数的一个特例。事实上，二范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时，就是把这三条性质作为公理来定义内积的。我们下面给出向量范数的一些性质：我们对于第四条性质给出证明。该性质我们可以理解为两边之差小于第三边。我们下面具体考虑一个范数证明的题：我们下面就二范数进行证明。虽然前两个性质貌似是显然的，但是我们并不能这么说，我们现在用数学语言来描述一下。关于三角不等式的证明需要用到柯西不等式，我们先来讲解一下柯西不等式。柯西不等式说的就是
，这样就把向量的内积和范数联系起来了。我们在课本24页定义向量的长度的时候是这样定义的：
。现在我们知道，这实际上是二范数的一种表示方式。我们下面给出柯西不等式的证明：下面结合柯西不等式我们给出三角不等式的证明：P范数的定义及证明我们下面来引入更一般的范数定义：我们要证明他的确是范数需要做诸多的准备工作。在证明过程中就用到了Young不等式和Holder不等式。虽然我们还没有证明，不过我们先引入这个概念和这种记法，因为在接下来的证明过程中会反复的用到。希望大家在看后面的证明过程中不要忘了开头提到的这一点。（就是P范数的定义形式）我们下面来介绍一下Young不等式，这个不等式的介绍为Holder不等式的证明提供了一个快捷的途径。该引理（Young不等式）证明如下，其思路就是矩形面积uv不会超过两个曲边梯形面积之和。注意这里会用到了变积分限。对u是在x轴上积分。对v就变成了y轴。这里我们的曲线公式完全可以写成
，我们应当注意到，积分与符号无关这一点，因此可以写成下图这种形式。我们有了Young不等式之后，下面来证明Holder不等式。我们首先给出Holder不等式的定义：下面正面该结论成立：在这里提醒大家一下，不要忘了开头P范数的定义，因此这里会有:
还记得我们前面说的柯西不等式吗？通过观察Holder不等式其实可以发现，柯西不等式是Holder不等式的一个特例。
（当p和q取2时，结合和的模小于等于模的和所得的结论）我们给出课本上一道例题：我们之前只对1范数，2范数和无穷范数进行过证明。我们现在要证明的是如果一个运算，只要满足这个性质。那么它就是一个范数。下面我们给出证明过程，注意这个证明过程少了正定性和齐次性的证明，只证明了三角不等式。关于正定性和齐次性的证明可以参考之前的证明。是不是大家已经看晕了，一坨又一坨。接下来的证明写的不是很详细，我写一个更详细的版本。如果忘了，请再次回顾一下P范数的定义。这里特别要注意开P次幂的位置，一定要在中括号的外面。好了，至此，P范数的证明就全部结束了。好像整个证明过程略微有点长。通过这个证明，P可以取得任意正整数，大大丰富了我们对于如何度量长度的手段，可能有人会问，那P能不能取分数呢？我们现在来说一下：答案是不行的，只需要举一个反例： P取1/2，我们知道x+y的P范数是4。而x和y 的P范数都是1。不满足三角不等式，所以不成立。我们之所以引入范数，为的就是能够在线性空间中进行度量。为了实现这一点，我们有必要引入一个新的概念，这也是这一节啰啰嗦嗦说了半天，想要表达的核心内容。向量的范数为了实现在n维空间中的度量，我们必须 将向量的概念和范数进行结合。直接上定理：这里的
是m维向量范数。A是n维空间中的m×n矩阵。
是n维向量。证明如下（范数的三条定义）：实际上这个定理想表达这样一种思想：m维空间中的范数通过矩阵A映射到了n维空间上。有的时候一个空间中的范数我们不好度量，这时候我们可以在另外一个n维空间中进行度量，只需要找到这样的映射矩阵就可以了。我们下面给出向量序列收敛的定义：同数列一样，向量也是有好多元素组合而成的，我们将之称为向量序列
。还记得在《高等数学》中我们在定义极限的概念的时候就是从数列极限开始的。类似的，我们这里是从向量序列处定义极限。通过向量序列的收敛性分析我们就从范数的角度给出了极限的定义。向量存在的充要条件就是n个数列极限存在。我们下面介绍一下向量范数等价：向量范数等价是为了解决这样一个问题：我们知道范数有无穷多种（1范数，2范数。。。），同一向量按不同的规定算出的范数一般是不相等的。那么到底按照哪种规则呢？这不就乱了。范数等价保证了向量序列的收敛性与范数选取无关。无穷范数收敛，其他范数一定收敛。其他范数收敛，无穷范数一定收敛。我们给出一个定理来具体说明一下：再给出一个例题：通过这个例题我们可以看到通过范数来证明收敛的优越性所在，这也是为什么我们有了长度之和还要定义长度的一个原因。审稿大人辛苦了，这篇文章有点长。5711 条评论分享收藏文章被以下专栏收录咳咳，好吧，我说一下。这个专栏会一直更新电子科技大学刘福体老师所讲的“矩阵理论”课程。目前撰稿人就是我，审稿人是数学院的一位不愿透露姓名的大神。}