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小升初专题训练学生版
小升初名校真题专项测试-----计算测试时间：15 分钟 姓名_________ 测试成绩_________1、计算：39×148 86 74 ＋148× ＋48× =____________________.（06 年清华附中入学测试题） 149 149 1492、计算 1 ?1 1 2? ? 3 1 4? 1 5（03 年三帆中学入学测试题）3、计算1 2 3 9 + ＋ ＋??＋ 的值为 1 ? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1 ? 2 ? ....? 10。4、1 1 1 1 ＋ ＋ ＋...＋ =_______________________. 1＋2 1＋2＋3 1＋2＋3＋4 1＋2＋3＋...＋19（06 年清华附中入学测试题）5、一串分数： 是 .1 21 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 8 1 2 , , , , , , , , , , , , ..... , , ,......, 其 中 的 第 2000 个 分 数 3 3, 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 9 9 9 11 11（06 年西城实验中学入学测试题）学生版Page 1 of 1006、下面方阵中所有数的和是________． 01 03
? ? 49 195004 1905 ? 05 1906 ? ? 1949 ? 1950 ? 1951 ? 1952 ? ? ? 1997 ? 19987、六年三班有 40 名同学，每人都向希望工程捐了款.其中有一名同学捐了 2.80 元。但是统计数字时把这 个数字搞错了，结果计算出的全班平均每人捐款数比实际平均每人捐款数高了 0.63 元。统计数字时把这 个数字当成了 元.（06 年三帆中学入学测试题）学生版Page 2 of 100第一讲小升初专项训练-----计算及其规律小升初选拔的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近两年来又以考察分数的计算和巧算为明显趋势 （分值大体在 5 分～12 分） ，学员应针对两方面强化练习： 一 分数小数的混合计算；二 繁分数的化简和简便运算； 以下是总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过。n?n ? 1? 2 n?n ? 1??2n ? 1? 2 2 2 2、 1 ? 2 ? ? ? n ? 6 [练习]： 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 19 ? 201．基本公式： 1 ? 2 ? 3? n ?3、 1 ? 2 ? ? ? n ? ?1 ? 2 ? ? n ? ?3 3 3 2n 2 ?n ? 1? 424、 abcabc? abc? 1001? abc? 7 ? 11? 13 [练习]：06-07=____.? 如： ? 78 ? 7 ? 11? 13? 6 ? 1001? 6 ? 6006 775、 a 2 ? b 2 ? ?a ? b??a ? b? [练习]：8 -7 +6 -5 +4 -3 +2 -1 ____.2 2 2 2 2 2 2 21 2 ? ? ? ? ? 0.14285 7 ? 0.28571 4 ?? 7 7 1 [练习]： 化成小数后，小数点后面第 2007 位上的数字为____。 7 n 化成小数后，小数点后若干位数字和为 1992，问 n=____。 76、7、1+2+3+4?（n-1）+n+（n-1）+?4+3+2+1=n 8、 11 ? 11 ? 1212111 ? 111 ? 123212 111111 ?
1[练习]：321×(1+2+3+4?8+?4+3+2+1)是一个数的平方，则这个数是_____学生版 Page 3 of 1009、等比数列求和偶尔会考s?=____a1 1 ? q n 1? q??a1为首项，n为项数，q为公比[练习]：2+2 +2 ??2232008[拓展]：22008-22007 ? 9 ? [练习]：0更多的知识需要大家活学活用，希望大家在学习过程中要注意总结归纳，不断充实和巩固自己的知识。典型例题解析一、填空：? ? 【例 1】 （★★★）某学生将 1.23 乘以一个数 a 时，把 1.23 误看成 1.23，使乘积比正确结果减少 0.3。则正确结果应该是________。 【来源】北京市第一届“迎春杯”决赛第一题第 9 题【例 2】 （★★★） 、 、 是三个最简真分数，如果这三个分数的分子都加上 c，则三个分数的和为 6， 求这三个真分数。 【来源】第三届“从小爱数学”邀请赛第 2 题a b c 3 4 6【例 3】如果 1=1! 1×2=2! 1×2×3=3! ? ? 1×2×3×?×99×100=100! 那么 1!+2!+3!+?+100!的个位数字是________? 【来源】 北京市第四届“迎春杯”决赛第二题第 8 题学生版Page 4 of 100【例4】从1到个自然数中，有_______个数与5678相加，至少发生一次进位． 【来源】 第十届《小数报》数学竞赛决赛第11题【例 5】 （★★★）所有分母小于 30 并且分母是质数的真分数相加，和是__________。 【来源】第八届《小数报》数学竞赛决赛填空题第 2 题【例 6】 （★★★）分母为 1996 的所有最简分数之和是_________。 【来源】北京市第二届“迎春杯”初赛第二第 6 题二、各类速算（请大家在做题过程中注意总结） 【例 7】19+199+1999+??+ 199??9 =_________。 ? ?? ? ?1999 9 个【来源】第七届华杯赛复赛第 7 题【例 8】 （★★） 【来源】第十届《小数报》数学竞赛决赛填空第 1 题【例 9】 （★★★） 74480 ? 2＝＿＿＿＿＿
35255【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第二题第 2 题【例 10】 （★★★） 1 ?1 ? 1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 9 ? 10【来源】第三届祖冲之杯邀请赛填空题第 12 题学生版Page 5 of 100【例 11】 （★★）1?2 3 4 ? ? ? ?? 1 ? 1 ? 2） (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4) （?10 = (1 ? 2 ? 3 ? ?? ? 9) ? (1 ? 2 ? 3 ? ?? ? 10)【来源】1989 年小学数学奥林匹克初赛第 1 题【例 12】 （★★）已知1 1? 2? 1 1 x? 1 4?8 ，那么 x=_________. 11【来源】2005 小学数学奥林匹克预赛 A 卷第 3 题【例 13】 （★★★） ? ?
? ?2【拓展】0....=_________.22【例 14】 （★★★） (1? 2 ?1 1 1 1 ) ? (2 ? 3 ? ) ? (3 ? 4 ? ) ? ..... ? (7 ? 8 ? ) 3? 4 4?5 5? 6 9 ?10【来源】仁华学校
学年六年级展示题学生版Page 6 of 100【例 15】 （★★★★） 、下面是两个 1989 位整数相乘：111Λ11×111Λ111989 个 1 1989 个 1问：乘积的各位数字之和是多少?估算：【例 16】 （★★★）除式 1 计算结果的小数点后前三位数字是多 少？【例 17】 （★★★）数1 的整数部分是几？ 1 1 1 1 ? ? ......? 10 11 12 19【例 18】 （★★★） 、估算下面式子的整数部分作业1、 （★★★）1995 个 8 的连乘积减去 1995 个 7 的连乘积，差的个位数字是＿＿＿＿。 【来源】 第五届“祖冲之杯”数学邀请赛填空题第 7 题2、 （★★）有 A、B 两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有 25 个数。A 组数中前几个是 这样排列的 1、6、11、16、21、??；B 组数中最后几个是这样排列的??、105、110、115、120、125。 那么，A、B 这两组数中所有数的和是＿＿＿＿＿＿＿。 【来源】第五届《小数报》数学竞赛初赛填空题第 1 题学生版Page 7 of 100? 3、 （★★★）有一串数 、 、 、 、 、 、 、 、 它的前 1996 个数的和是多少？【来源】北京市第十三届“迎春杯”初赛第三题第 2 题1 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 3 3 4 44、 （★★★）任取一个4位数乘3456，用A来表示积的数字和，用B表示A的数字和，C表示B的数字和． 那么C_______. 【来源】 1990年小学数学奥林匹克初赛第12题5、 （★★★） (6117 ? 8 112 ) ? 1 665
? 3 13 ? 41 13 17 221【来源】北京市第十一届“迎春杯”刊赛第 24 题6、 （★）将右式写成分数1 2? 2? 1 1 2? 1 236 2 ? 15 ? 3 2 ? 2 3 3 7、 （★★） 40 ? (5.6 ? 4 2 ) 5【来源】北京市第八届“迎春杯”决赛第一题第 2 题8、 （★★★） ?? 621 739 458? ? 739 458 378? ? 621 739 458 378? ? 739 458? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? 126 358 947? ? 358 947 207? ? 126 358 947 207? ? 358 947?学生版Page 8 of 100名校真题 测试卷 2时间：15 分钟 满分 5 分（几何篇一）姓名_________ 测试成绩_________1 （06 年清华附中考题） 如图，在三角形 ABC 中， 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE= ，D 求三角形 ABC 的面积.1 AB,已知四边形 EDCA 的面积是 35， 32 （06 年西城实验考题） 四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是 1 平方米， 大正方 形面积是 5 平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.3 （05 年 101 中学考题） 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说： “小灵通， 听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、 南部各需 10 分钟，16 分钟，20 分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？北 西 南 东学生版Page 9 of 1004 （05 年三帆中学考题） 右图中 AB=3 厘米，CD=12 厘米，ED=8 厘米，AF=7 厘米.四边形 ABDE 的面积是平方厘米．5 (06 年北大附中考题) 三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形 AMN（阴影部分）的面积为多少？学生版Page 10 of 100第二讲小升初专项训练-----几何篇（一）小升初考试热点及命题方向几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在 12-14 分（包含 1 道大题和 2 道左右的小题）。尤其重要 的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆 的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。 从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。典型例题解析1 等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2×底×高 因此我们有 【结论 1】等底的三角形面积之比等于对应高的比 【结论 2】等高的三角形面积之比等于对应底的比 这 2 个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作 用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。【例 1】 （★★）如图，四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于 O 点，三角形 ADO 的面积=5，三角形 DOC 的面积 =4，三角形 AOB 的面积=15，求三角形 BOC 的面积是多少？【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论 2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论 2 转化成面积比，解决了问题。事实上，这 2 次转化的 过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁” ，请同学们体会一下。 【拓展】S△AOD×S△BOC=S△COD×S△AOB，也适用于任意四边形。 【练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1 平方 千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工 湖的面积是多少平方千米？学生版 Page 11 of 100【例 2】 （★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之 比为 2:3。已知右图中 3 个阴影的三角形面积之和为 1，那么重叠部分的面积为多少？【总结】份数在小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想！2燕尾定理在三角形中的运用下面我们再介绍一个非常有用的结论: 【燕尾定理】: 在三角形 ABC 中，AD,BE,CF 相交于同一点 O,那么 S△ABO:S△ACO=BD:DC【证明】 ：根据结论 2 BD/DC=S△ABD/S△ADC=S△BOD/S△COD 因此 BD/DC=( S△ABD- S△BOD)/( S△ADC- S△COD) =S△ABO/S△ACO 证毕 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为△ABO 和△ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以 这个定理被称为燕尾定理。该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用。学生版Page 12 of 100【例 3】 （★★★）在△ABC 中BD AE OB =2:1, =1:3，求 =? EC OE DC【例 4】 （★★★）三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形 AMN（阴影部 分）的面积为多少？3平行线定理在三角形中的运用（热点★★★）下面我们再来看一个重要定理： 平行线的相关定理： （即利用求面积来间接求出线段的比例关系） 同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了．相交线段 AD 和 AE 被平行线段 BC 和 DE 所截，得到的三角形 ABC 和 ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．体 现在右图中， 就是 AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形 ABC 的高：三角形 ADE 的高．这种关系称为“相似” ， 同学们上了中学将会深入学习． 相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用， 要多加练习． 在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图） ， 往往不易看出相似关系．如（右下图）AB 平行于 DE，有比例式 AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形 ABC 与三 角形 DEC 也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．学生版Page 13 of 100【例 5】 （★★） 如图所示， CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， BD， △DEF 的面积是 4 cm ， △CED 的面积是 6cm 。 问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？22【例 6】 （★★★）如右图，单位正方形 ABCD，M 为 AD 边上的中点，求图中的阴影部分面积。【例 7】 （★★★）如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是________平方厘米。4利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系学生版Page 14 of 100【例 8】（★★）如图，正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形 DEFG 的长 DG 为 5 厘米，求它的 宽 DE 等于多少厘米？【例 9】 （★★）如下图所示，四边形 ABCD 与 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等。5差不变原理的运用【例 10】 （★★★）左下图所示的 ABCD 的边 BC 长 10cm，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8cm，已知两 2 块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大 10cm ，求 CF 的长。【例 11】 （★★★）如图，ABCG 是 4×7 的长方形，DEFG 是 2×10 的长方形，那么，三角形 BCM 的面积与 三角形 DCM 的面积之差是多少？[总结]：对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目的.学生版 Page 15 of 100[拓展]：如图,已知圆的直径为 20,S1-S2=12,求 BD 的长度?6其他常考题型【例 12】 （★★）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？【例 13】用同样大小的 22 个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是 18 厘米，求图中阴影部分 的面积和。小结本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）等积变换在三角形中的运用。参见例 1，2 2）燕尾定理在三角形中的运用。 参见例 3，4 3）平行线定理在三角形中的运用。参见例 5，6，7 4）利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。参见例 8，9 5）差不变原理的运用。参见例 10，11 6）其他常考题型。参见例 12，13学生版Page 16 of 100【课外知识】春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战。父亲已做了将军，儿子还只是马前卒。又一阵号角吹 响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭。父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配 带身边，力量无穷，但千万不可抽出来。” 那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾。一眼便能认定用 上等的孔雀羽毛制作。儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的 主帅应声折马而毙。 果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡。当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气， 完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟。骤然间他惊呆了。一只 断箭，箭囊里装着一只折断的箭。我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱 的房子，轰然意志坍塌了。结果不言自明，儿子惨死于乱军之中。 拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军。” 把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把希 望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上…… 温馨提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救 它的都只能是自己。作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1，2―类型 1；题 3，4―类型 5；题 5，6―类型 6；1、 （★★）如右图所示，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB；延长 BC 至 E，使 CE=2BC； 延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。2、 （★★）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为 15、 18、30 公顷，问图中阴影部分的面积是多少？学生版Page 17 of 1003、正方形 ABFD 的面积为 100 平方厘米，直角三角形 ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大 30 平方厘米，求 DE 的长是多少？4、 （★★★）如下图，已知 D 是 BC 的中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，且 ?ADG 的面积比 ?EFG 的面积大 6 平方厘米。△ABC 的面积是多少平方厘米？AF G B D E C5、 （★★）长方形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，E、F、G 分别为边 AB、BC、CD 的中点，H 为 AD 边 上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？6、（★★）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米，求阴影部分的面积。学生版Page 18 of 100名校真题 测试卷 3时间：15 分钟 满分 5 分（几何篇二）姓名_________ 测试成绩_________1 （101 中学考题） 求下图中阴影部分的面积：2 （清华附中考题） 从一个长为 8 厘米，宽为 7 厘米，高为 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积 是_________平方厘米.3 （三帆中学考试题） 有一个棱长为 1 米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为 60 个小长方体(见左下图). 这 60 个小长方体的表面积总和是______平方米.4 （西城八中考题） 右上图中每个小圆的半径是 1 厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（ ? ＝3.14）5(首师附中考题)一千个体积为 1 立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为 10 厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆 后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？学生版Page 19 of 100第二讲小升初专项训练-----几何篇（二）小升初考试热点及命题方向圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间 想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说 学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。典型例题解析1 与圆和扇形有关的题型【例 1】 （★★）如下图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10 厘米；以 A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形 AEF； 阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【例 2】 （★★★）草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着 一只羊（见左下图） 。问：这只羊能够活动的范围有多大？【例 3】 （★★）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差。【例 4】 （★★★）如图，ABCD 是正方形，且 FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。 （取π ＝3）学生版Page 20 of 100【例 5】（★★★）如下图，AB 与 CD 是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15 厘米，与立体几何有关的题型小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体） 、直 圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象 思维结合起来。 2 求不规则立体图形的表面积与体积【例 6】 （★★）用棱长是 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘 米？【例 7】 （★★★）在边长为 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是 边长为 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下图） ．求挖洞后木块的表面积和体积．学生版Page 21 of 100【例 8】 （★★★）如图是一个边长为 2 厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 厘米 的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为 1/2 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个 相同，边长为 1/4 厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？3水位问题【例 9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为 26.4π 立方 厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米．问：瓶内酒 精的体积是多少立方厘米？合多少升？【例 10】（★★）一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水桶，其中装有1 容积的 2水， 现在向桶中投入边长为 2 厘米 ? 2 厘米 ? 3 厘米的长方体石块， 问需要投入多少块这种石块才能使水面 恰与桶高相齐？4计数问题【例 11】有甲、乙、丙 3 种大小的正方体，棱长比是 1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正 方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？学生版Page 22 of 1005三维视图的问题【例 12】现有一个棱长为 1cm 的正方体，一个长宽为 1cm 高为 2cm 的长方体，三个长宽为 1cm 高为 3cm 的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用 下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。 例：6其他常考题型【例 13】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数 与长方形纸板的总数之比是 1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做 的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【例 14】左下图是一个正方体，四边形 APQC 表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四 边形 APQC 的四条边。小结本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）与圆和扇形有关的题型。参见例 1，2，3，4，5 2）求不规则立体图形的表面积与体积。参见例 6，7，8 3）水位问题。参见例 9，10 4）计数问题。参见例 11，12 5）三维视图的问题。参见例 13 6）其他常考题型。参见例 14，15学生版 Page 23 of 100【课外知识】剪正方体 ??此题旨在培养同学们的空间想象力和动手能力 ? ? 将 一 个 正 方 体 （ 图 1） 剪 开 可 以 展 成 一 些 不 同 的 平 面 图 形 （ 图 2） 。图 1 正方体（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）?? 图 2 正方体的平面展开图 ? ? 其 中 的 图 2 的 （ 1） ， （ 2） 都 是 “ 带 状 图 ” ， 好 像 是 一 条 完 整 的 削 下 来 的 苹 果 皮 。 仔 细 观 察（ 1）， 2）两 个 图 可 以 发 现 ，图 中 的 每 个 小 正 方 形 都 有 两 个 边 与 其 它 的 正 方 形 “ 共 用 ” ， （ 除 了 两 头 的 两 个 正 方 形 以 外 。 再 观 察 图 （ 3） 和 图 （ 4） ， 由 于 这 两 个 图 中 每 个 都 有 一 个 正 方 形 （ 粉 色 ） 有 两 条 以 上 的 边 （ 图 （ 3） 有 3 条 ， 图 （ 4） 有 4 条 ） 与 周 围 的 正 方 形 “ 共 用 ” 。 所 以 图 （ 3） 和 图 （ 4） 都 不 是 “ 带 状 图 ” 。 ? ? 问 题 1： 运 用 你 的 空 间 想 象 力 或 者 动 手 将 图 2 的 四 个 图 折 成 正 方 体 。 ? ? 问 题 2： 除 了 图 （ 1） 和 图 （ 2） 以 外 还 有 两 个 正 方 体 的 平 面 展 开 图 也 是 “ 带 状 图 ” ， 你 能找出来吗？ 答案：学生版Page 24 of 100作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1，2，3，4―类型 1；题 5―类型 4；题 6，7―类型 2；题 8―类型 61、（★★）如下图，求阴影部分的面积，其中 OABC 是正方形.2、 （★★★）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个 半径为 10 厘米的小扇形。3、（★★★）如右图，将直径 AB 为 3 的半圆绕 A 逆时针旋转 60°，此时 AB 到达 AC 的位置，求阴影部 分的面积（取 π =3）.4、 （★★★）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于 17 厘米，半 径为 10 厘米，求阴影部分的面积。学生版Page 25 of 1005、 （★★）2100 个边长为 1 米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是 10 米，长、宽都是大于 10（米） 的整数，问长方体长宽之和是几米？6、（★★）有一个正方体，边长是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是 5、3、2 的长方体（如下图）， 求它的表面积减少的百分比是多少？7、（★★）如下图，在棱长为 3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是 1 的正方 形高为 3 的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？8、（★★★）现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖 铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？学生版Page 26 of 100名校真题时间：15 分钟 满分 5 分测试卷 4（行程篇一）姓名_________ 测试成绩_________1 （清华附中考题） 大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走 1.5 小时，小轿车出发后 4 小时后追上了大 货车.如果小轿车每小时多行 5 千米，那么出发后 3 小时就追上了大货车.问：小轿车实际上每小时行多少 千米？2 （西城实验考题） 小强骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。由于途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速度 只有骑车的 1/3，结果用了 36 分钟才到学校。小强家到学校有多少千米?3 （101 中学考题） 小灵通和爷爷同时从这里出发回家，小灵通步行回去，爷爷在前4 的路程中乘车，车速是小灵通步行速度 7的 10 倍．其余路程爷爷走回去，爷爷步行的速度只有小灵通步行速度的一半，您猜一猜咱们爷孙俩谁先 到家？4 （三帆中学考题） 客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3 小时后，客车到达甲城，货车 离乙城还有 30 千米．已知货车的速度是客车的3 ，甲、乙两城相距多少千米？ 45 (人大附中考题) 小明跑步速度是步行速度的 3 倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发 10 分钟，他不得不跑 步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多 少分钟？学生版Page 27 of 100第四讲小升初专项训练-----行程篇（一）小升初考试热点及命题方向行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行 程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点， 这可以充分体现学生对题目的分析能力。基本公式【基本公式】 ：路程＝速度×时间 【基本类型】 相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程； 追及问题：速度差×追及时间＝路程差； 流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个就可求另外 2 个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏； 【复杂的行程】 1、多次相遇问题； 2、环形行程问题； 3、运用比例、方程等解复杂的题；典型例题解析1 典型的相遇问题【例 1】 （★★）甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。 相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原 来的速度。 提示：环形跑道的相遇问题。【例 2】 （★★）小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途 中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小 强两人的家相距多少米？学生版Page 28 of 100【例 3】 （★★★）甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点。如果甲车速度 不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米，如 果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千米。甲车原来每小时向多少千米？（13 届迎春杯决赛题）2典型的追及问题【例 4】 （★★★）在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出 发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追 上乙需要时间是多少秒？3相遇与追及的综合题型【例 5】 （★★）甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，它们同时从甲地出发到乙地去， 出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。【拓展】:甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48 千米 ／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 时、7 时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车 的速度。【拓展】:快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用 6 分、10 分、12 分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为 24 千米／时和 19 千米／时，求中速车的速度。学生版Page 29 of 1004多次折返的行程问题【例 6】 （★★★★）一个圆的圆周长为 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。 这两只蚂蚁每秒钟分别爬行 5.5 厘米和 3.5 厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次 调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是 1 秒、3 秒、5 秒、??，即是一个由连续奇数组成的数列。 问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？5上山下山的行程问题【例 7】 （★★★★）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都 是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙 到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？6流水行船问题关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 必须熟练运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个量求另外 2 个量 【例 8】 （★★）一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米也用 16 时。求水流的速度。【例 9】 （★★★）某河有相距 45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出 发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距 1 千米，预计 乙船出发后几小时可与此物相遇。学生版Page 30 of 100【拓展】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的 A 站顺水向下游的 B 站驶去，与此同时乙轮船自 B 站出 发逆水向 A 站驶来。7.2 时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪 2.5 时后相距 31.25 千米，甲、乙两船航速相等，求 A，B 两站的距离。【例 10】 （★★★）江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船 同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入 江中（该物品可以浮在水面上） ，6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相 遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？【例 11】 （★★★）一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 时，回来时顺水，比去时每时多行驶 8 千米， 因此第 2 时比第 1 时多行驶 6 千米。求甲、乙两地的距离。小结本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）典型的相遇问题。参见例 1，2，3 2）典型的追及问题。参见例 4 3）相遇与追及的综合题型。参见例 5 4）多次折返的行程问题。参见例 6 5）上山下山的行程问题。参见例 7 6）流水行船问题。参见例 8，9，10，11【课外知识】美国作家欧；亨利在他的小说《最后一片叶子》里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间 里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。病人望着眼前的萧萧落叶，身体也随之每况愈下，一 天不如一天。她说：“当树叶全部掉光时，我也就要死了。”一位老画家得知后，用彩笔画了一片叶脉青 翠的树叶挂在树枝上。最后一片叶子始终没掉下来。只因为生命中的这片绿，病人竟奇迹般地活了下来。 温馨提示：人生可以没有很多东西，却唯独不能没有希望。希望是人类生活的一项重要的价值。有希 望之处，生命就生生不息！学生版Page 31 of 100作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1，6，7―类型 1；题 2，4，5―类型 3；题 3，8―类型 2； 1、 （★★★）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲乙从 东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两镇间的 路程有多少米？2、 （★★）在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一 人改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？3、 （★★★）晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走 60 米，则要迟到 5 分钟，如果每分钟走 75 米，则可 提前 2 分钟到校.求晶晶到校的路程？4、 （★★★）小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接 到书包后又走了 10 分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的 4 倍，那么小 马虎从家到学校共用多少时间？学生版Page 32 of 1005、 （★★★）某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答： “10 分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了 10 分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车 的速度是人步行速度的 3 倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？6、 （★★）甲、乙同时从 A， B 两地相向走来。甲每时走 5 千米，两人相遇后，乙再走 10 千米到 A 地， 甲再走 1.6 时到 B 地。乙每时走多少千米？7、 （★★）甲、乙两车同时从 A，B 两地相向而行，它们相遇时距 A，B 两地中心处 8 千米，已知甲车速度 是乙车的 1.2 倍，求 A，B 两地的距离。8、 （★★★）甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 分甲车超过了一名长跑运动员，2 分 后乙车也超过去了，又过了 2 分丙车也超了过去。已知甲车每分走 1000 米，乙车每分走 800 米，丙车每 分钟走多少米？学生版Page 33 of 100名校真题时间：15 分钟 满分 5 分测试卷 5（行程篇二）姓名_________ 测试成绩_________1 （人大附中考题） 如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从 CD的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米?2 （清华附中考题） 已知甲车速度为每小时 90 千米， 乙车速度为每小时 60 千米， 甲乙两车分别从 A,B 两地同时出发相向而行， 在途径 C 地时乙车比甲车早到 10 分钟；第二天甲乙分别从 B,A 两地出发同时返回原来出发地，在途径 C 地时甲车比乙车早到 1 个半小时，那么 AB 距离时多少？3 （十一中学考题） 甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走 90 米，乙走 75 米，丙走 60 米。甲、丙从某长街的西头、 乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好 4 分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是 米.4 （西城实验考题） 甲乙两人在 A、B 两地间往返散步，甲从 A、乙从 B 同时出发；第一次相遇点距 B 处 60 米。当乙从 A 处返 回时走了 lO 米第二次与甲相遇。A、B 相距多少米?5 (首师大附考题) 甲，乙两人在一条长 100 米的直路上来回跑步，甲的速度 3 米/秒，乙的速度 2 米/秒。如果他们同时分别 从直路的两端出发，当他们跑了 10 分钟后，共相遇多少次？学生版Page 34 of 100第五讲小升初专项训练-----行程篇（二）小升初考试热点及命题方向多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度， 这类题型往往需要学生结合六年级所 学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件 ，诸如人大附中，首师附中，西城四中，东城二中和五中 都涉及了这一类题型，希望同学们扎实掌握。基本公式【基本公式】 ：路程＝速度×时间 【基本类型】 相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程； 追及问题：速度差×追及时间＝路程差； 流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个就可求另外 2 个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏； 【复杂的行程】 1、多次相遇问题； 2、环形行程问题； 3、运用比例、方程等解复杂的题；典型例题解析1 直线型的多次相遇问题如果甲乙从 A，B 两点出发，甲乙第 n 次迎面相遇时，路程和为全长的 2n-1 倍，而此时甲走的路程也是第 一次相遇时甲走的路程的 2n-1 倍（乙也是如此） 。 总结：若两人走的一个全程中甲走 1 份 X 米， 则两人走 3 个全程中甲就走 3 份 X 米。 请自己总结追及，以及从同一起点出发的情况。 【例 1】 （★★）湖中有 A，B 两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从 A，B 两岛同时出 发，他们第一次相遇时距 A 岛 700 米，第二次相遇时距 B 岛 400 米。问：两岛相距多远？学生版Page 35 of 1002 【例 2】 （★★★）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时相向而行，乙的速度是甲的 3 ,二人相遇后继续行进， 甲到 B 地、乙到 A 地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是 20 千米，那么，A、 B 两地相距＿＿＿千米。 【来源】北京市第一届“迎春杯”初赛第二题第 5 题【练习】甲、乙两车同时从 A，B 两地相向而行，在距 B 地 54 千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即 返回原地，途中又在距 A 地 42 千米处相遇。求两次相遇地点的距离。【例 3】 （★★★）甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每 小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地 点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于_________ 千米。 【来源】1993 年小学数学奥林匹克初赛 A 卷第 12 题【例 4】 （★★★）有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发 开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一 辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从 甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟? 【来源】第一届“华杯赛”初赛第 16 题学生版Page 36 of 1002环形跑道的多次相遇问题【例 5】 （★★★）在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？【例 6】 （★★★）如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇。已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长。【例 7】（★★★）甲、乙两名同学在周长为 300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟 跑 3.5 米，乙每秒钟跑 4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【例 8】 （★★★★）甲、乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道上进行 10000 米长跑比赛，两人从同一 起跑线同时起跑，甲每分跑 400 米，乙每分跑 360 米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速 度比原来快1 ，甲每分比原来多跑 18 米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终 4点？ 【来源】 第九届《小数报》数学竞赛决赛应用题第 3 题学生版Page 37 of 100【例 9】（★★★） 右图中，外圆周长 40 厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从 A，B 同时 爬行。甲蚂蚁从 A 出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬 3 厘米；乙蚂蚁从 B 出发，沿外圆圆周顺时 针爬行，每秒爬行 5 厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？5钟表问题【例 10】 （★★★）王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒。而闹钟却比标准时间 每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差＿＿秒。 【来源】北京市第三届“迎春杯”决赛第一题第 8 题6与分数百分数相结合的行程问题【例 11】 （★★）一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高 20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以 原速行驶 120 千米后，再将车速提高 25%，则可以提前 40 分钟到达。那么甲乙两地相距多少千米？ 【来源】92 年小学数学奥林匹克竞赛决赛试题5其它常考的行程问题 【例 12】某城市东西路与南北路交汇于路口 A，甲在路口 A 南边 560 米的 B 点，乙在路口 A。甲向北， 乙向东同时匀速行走。4 分钟后二人距 A 的距离相等。再继续行走 24 分钟后，二人距 A 的距离恰又相等。 问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【来源】第六届“华杯赛”决赛第 7 题学生版Page 38 of 100【例 13】 （★★★）学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原 路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平地为 4 千米／时，上山为 3 千米／时，下山为 6 千米 ／时。问：他们一共走了多少路？【例 14】 （★★★★）如下图所示，A 至 B 是下坡，B 至 C 是平路，C 至 D 是上坡。小张和小王在上坡时 步行速度是每小时 4 千米，平路时步行速度是每小时 5 千米，下坡时步行速度是每小时 6 千米。小张和小 王分别从 A 和 D 同时出发，1 小时后两人在 E 点相遇。已知 E 在 BC 上，并且 E 至 C 的距离是 B 至 C 距离 的 1/5。当小王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D。那么 A 至 D 全程长是多少千米？小结本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）直线型的多次相遇问题。 参见例 1，2，3，4 2）环形跑道的多次相遇问题。 参见例 5，6，7，8，9 3）钟表问题。 参见例 10 4）与分数百分数相结合的行程问题。参见例 11 5）其它常考的行程问题。 参见例 12，13，14【课外知识】断金链难题 一位来自阿肯色州的年轻太太格罗丽亚,正在加利福尼亚州旅行.她想在旅馆租用一个房间,租期一周. 办事员此时正心绪不佳.办事员:&房费每天 20 元,要付现钱.格罗丽亚:&很抱歉,先生,我没带现钱.但是我 有一根金链,共 7 节,每节都值 20 元以上.办事员:&好吧,把金链给我.& 格罗丽亚:&现在不能给你.我得请 珠宝匠把金链割断,每天给你一节,等到周末我有了现钱再把金链赎回.办事员终于同意了,但格罗丽亚必 须决定如何断开金链的方法.格罗丽亚:&我该三思而行,因为珠宝匠是按照他所切割和以后重新连接的节 数来索价的.格罗丽亚想了一下,悟到她不必把每一节都割断,因为她可以把一段段金链换进换出,以这种 方式来付房费.当她算出需要请珠宝匠割断的节数时,她几乎不能自信.你想一想需要割开多少节? 只需要割开一节.这一节应是从一端数起的第三节.把金链断开成 1 节,2 节,4 节这样三段后就能以换 进换出的方式每天付给办事员一节作为房费. 啊哈!领悟到下列两点才能解题.第一,至少需要有 1 节,2 节,4 节这样三段(即其节数成二重级数的一 些段),这样才能以各种不同的组合方式组成 1 节,2 节,3 节,4 节,5 节,6 节和 7 节.我们在药品混乱问题中 已经知道,这就是作为二进制记数法基础的幂级数.学生版 Page 39 of 100第二,只需要割开一节就可以把金链分成符合要求的三段.关于这个问题,若把金链的长度增加,则可 以想出一些新的问题.例如,假设格罗丽亚有一根 63 节的金链,她想把金链割开,以上面那种方式来付 63 天 的房费(价格不变).要达到此种目的只需要割开三节.你想出来了吗?你能否根据金链的不同长度设计一个 通用的解题程序,要求分割开的节数为最少? 有一个有趣的变相问题:若所经手的 n 节首尾相连的闭合回路,例如说格罗丽亚有一串金项链,由 79 节相连而成,若每天房费为一节,试问最少需要分割开几节才能支付 79 天房费? 这些问题使我们想到了二进制记数法.比如格罗丽亚的 63 节金项链如何分割?将 63 化成二进制表示: 等于&111111&即 63=1+2+4+8+16+32 但是要把其中的 2 分成两个 1，因为在 4、8、16、32 之间有三个间隔， 这条金链子被分割成 4 段，也就从那三个间隔处割开了三节，所以 63 应该分成 1、1、1、4、8、16、32。 对于其他任意类型的数,却不能奏效,比如对于 19 节金项链,19 的二进制记数法表示为&10011&.即 19=1+2+0+0+16,这样从 1 到 3 都能表示,可是从 4 到 15 都没法表示了。 可以这样:你不是要求节数最少吗? 假设 n=a+b 其中 a 是已经找到的最大的那一节数,b 是比 n 小的已经解决了的金链问题,由于 b 已经 解决,因此 b 的拆分能够表示从 1,2,3,...b-1,b 的所有金链节数,而再大一些的数就不能够表示了,比如 b+1,所以必须要 a 参加进来,如果 n 是奇数,可令 a=b+1,这样 n=2b+1,所以 b=(n-1)/2,a=(n+1)/2,这 样就找到了最大的一节的节数 a ,然后对 b=(n-1)/2 继续应用如上的办法,即可解决问题.如果 n 是偶数, 可令 a=b ,这样虽然 a 本身不能表示出 b+1,但是可以从 b 的拆分中拿出一个 1 来(这个 1 是必须存在的, 因为要表示从 1,2,3,...b-1,b 的所有数)与 a 组成 a+1 也就是 b+1.所以 n=a+b=2a=2b,a=b=n/2.这样 也找到了 n 为偶数时最大的一节金链的节数.对于 b 继续如上的过程,就可以找到全部应该断开的金链 节数,我算出了从 1 到 16 的所有拆分如下: 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=1+1+2 5=1+1+3 6=1+2+3 7=1+2+4 8=1+1+2+4 9=1+1+2+5 10=1+1+3+5 11=1+1+3+6 12=1+1+2+3+5 13=1+1+2+3+6 14=1+1+1+4+7 15=1+1+1+4+8 16=1+1+2+4+8 上面的分成偶数节数是这样分的，比如 8=1+1+2+4，是将第三节、第四节割开。对于 19 节金链 子,19+1=20,20/2=10,最大的一节是 10 节,19-10=9,9+1=10,10/2=5,又找到了一节是 5,9-5=4,4 的表示法 如上已经列出来了:4=1+1+2.最后得到 19 节的金链子的分割法:1,1,2,5,10.过去我也碰到过一道类似的 题,是 23 节金链子,也能够很容易地解决:23+1=24,24/2=12;23-12=11,11=1+1+3+6;所以 23 的分割法 为:1,1,3,6,12.显然,对于 2k-1 类型的数,用这里的办法与用二进制记数法得出的结果是一致的.当然,一 个数的拆分不是唯一的,例如把 15 这样分割,会得到:1,1,2,4,7.也能够满足付房费的要求. 上面提到的都是对于金链子的分割问题，对于金项链这样闭环的情况，要增加一节，只要把第一个不 为 1 的 数 分 出 去 一 个 1 即 可 达 到 目 的 。 如 上 面 提 到 的 79 节 金 项 链,(79+1)/2=40,79-40=39,(39+1)/2=20,39-20=19,19=1+1+2+5+10，所以我们得到 1，1，2，5，10，20， 40，但是在 2，5，10，20，40 之间有 4 个空隙，要将 2 分成 1+1，这样也满足闭环的分割要求了，最后 得到 1，1，1，1，5，10，20，40。作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1，2―类型 4；题 3，4，6―类型 5；题 5―追及问题，题 7―火车问题。 1、 （★★★）客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 10 时，货车行完全程需 15 时。两 车在中途相遇后，客车又行了 90 千米，这时客车行完了全程的 80％，求甲、乙两地的距离。学生版Page 40 of 1002、 （★★★）甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后， 甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，这样，当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米。那么 A、B 两地 相距多少千米？3、 （★★）一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟，在同样的风速下，逆风跑 70 米，也用了 10 秒 钟。问：在无风的时候，他跑 100 米要用多少秒？4、 （★★★）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上 山速度的 2 倍。甲到山顶时，乙距山顶还有 400 米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶 的距离。5、 （★★★）甲、乙、丙三辆车先后从 A 地开往 B 地，乙比丙晚出发 5 分，出发后 45 分追上丙；甲比乙 晚出发 15 分，出发后 1 时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？6、（★★★★）游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行 400 米，下坡每分行 600 米。已知从 A 点 到 B 点需 3.7 分，从 B 点到 A 点只需 2.5 分。问：AC 比 BC 长多少米？7、 （★★）铁路旁的一条平等小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6 千米/小时， 骑车人速度为 10.8 千米/小时。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒钟，通过骑 车人用 26 秒钟。这列火车的车身总长是＿＿＿＿（①386 米②56 米③781 米④286 米⑤308 米） 【来源】北京市第三届“迎春杯”第二题第 1 题学生版Page 41 of 100名校真题时间：15 分钟 满分 5 分测试卷 6（找规律篇）姓名_________ 测试成绩_________1 （清华附中考题） 如果将八个数 14，30，33，35，39，75，143，169 平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分 组的情况是什么？2 （三帆中学考题） 观察 1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 然后填写 2001 ＋（216+9=25 ； 25+11=36这五道算式，找出规律，）＝200223（西城实验考题）一 串 分 数 ： 是 .1 21 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 8 1 2 , , , , , , , , , , , , ..... , , ,......, 其 中 的 第 2000 个 分 数 3 3, 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 9 9 9 11 114 （东城二中考题） 在 2、3 两数之间,第一次写上 5,第二次在 2、5 和 5、3 之间分别写上 7、8(如下所示),每次都在已写上的 两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2??7??5??8??35 (人大附中考题) 请你从 01、02、03、?、98、99 中选取一些数，使得对于任何由 0～9 当中的某些数字组成的无穷长的一 串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。 (1)请你说明：11 这个数必须选出来； (2)请你说明：37 和 73 这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出 55 个数满足要求吗？学生版Page 42 of 100第六讲小升初考试热点及命题方向小升初专项训练-----找规律篇找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型出现。在刚刚结束的 06 年 小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并 考察了这一类题型。典型例题解析1 与周期相关的找规律问题【例 1】（★★） 、n 化小数后，小数点后若干位数字和为 1992，求 n 为多少？ 7【例 2】（★★）将八个数从左到右排成-行，从第 3 个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和.如 、 果第 7 个数与第 8 个数分别是 81，131，那么第 1 个数是 【来源】 1993 年小学数学奥林匹克初赛 B 卷第 5 题【例 3】（★★★）某人连续打工 24 天，赚得 190 元(日工资 10 元，星期六做半天工，发半工资，星期 、 日休息，无工资).已知他打工是从 1 月下旬的某一天开始的，这个月的 1 号恰好是星期日. 问：这人打工 结束的那一天是 2 月几日? 【来源】 第五届“华杯赛”初赛第 16 题2图表中的找规律问题【例 4】（★★）将自然数 1，2，3，4，?按箭头所指方向顺序排列(如图)，依次在 2， 3，5，7，10，? 、 等数的位置处拐弯. (1)如果 2 算作第-次拐弯处，那么，第 45 次拐弯处的数是 . (2)从 1978 到 2010 的自然数中，恰在拐弯处的数是 . 【来源】 北京市第十二届“迎春杯”决赛第三题第 3 题学生版 Page 43 of 100【例 5】 （★★★）自然数如下表的规则排列：求： （1）上起第 10 行，左起第 13 列的数； （2）数 127 应排在上起第几行，左起第几列？7较复杂的数列找规律【例 6】（★★★）设 1，3，9，27，81，243 是 6 个给定的数。从这六个数中每次或者取 1 个，或者取 、几个不同的数求和（每一个数只能取 1 次） ，可以得到一个新数，这样共得到 63 个新数。把它们从小到大 一次排列起来是 1，3，4，9，10，12，?，第 60 个数是______。 【来源】1989 年小学数学奥林匹克初赛第 15 题【例 7】（★★★）在两位数 10，11，?，98，99 中，将每个被 7 除余 2 的数的个位与十位之间添加、个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 【来源】 第五届“华杯赛”初赛第 15 题学生版Page 44 of 100【例 8】（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出 100 个.肥皂泡吹出之后，经过 1 分钟有-半 、1 破了，经过 2 分钟还有 20 没有破，经过 2 分半钟全部肥皂泡都破了?小明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个. 【来源】 1990 年小学数学奥林匹克决赛第 8 题8与斐波那契数列相关的找规律【引言】 ：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。 已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有 发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？ 现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因 此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有 三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。 第 1 个月到第 6 个月兔子的对数是： 1，2，3，5，8，13。 我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第 3 个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继 续按这规律写下去，一直写到第 12 个数，就得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。 显然，第 12 个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内 1 对兔子能繁殖成 233 对。 在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列 前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，??叫做“斐波那契数列”， 这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。【例 9】 （★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以 后长出一条新枝， 然后休息一年。 再在下一年又长出一条新枝， 并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。 那么，第 1 年它只有主干，第 2 年有两枝，问 15 年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？【例 10】 （★★）有一堆火柴共 10 根，如果规定每次取 1～3 根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取 法？学生版Page 45 of 100【例 11】 （★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1，如此进行直到 得数为 1 操作停止。问经过 9 次操作变为 1 的数有多少个？ 【来源】 仁华考题5有趣的猫捉耗子规律注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一 只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。 【例 12】（★★★）50 只耗子排成一排，1 到 50 报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列 、 出列?一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？【拓展】123 自然数列一直写到 100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号?? 这样请问最后留下的 3 个数字是＿＿＿。【例 13】（★★★）50 枚棋子围成圆圈，编上号码 1、2、3、4、??、50，每隔一枚棋子取出一枚，要 、 求最后留下的一枚棋子的号码是 42 号，那么该从几号棋子开始取呢？ 【来源】03 年圆明杯数学竞赛试题学生版Page 46 of 100【例 14】（★★★）把 1～1993 这 1993 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图 12―1， 、 从 1 开始沿顺时针方向，保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；??（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下 去。求最后剩的是哪个数？练习 按照例 14 的操作规则 （1）如果是 1～900 这 900 个自然数，最后剩的是哪个数？ （2）如果是 1～1949 这 1949 个自然数，最后剩的是哪个数？把 1～n 这 n 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从 1 开始，顺时针方向，隔过 1，擦去 2， 隔过 3，擦去 4，??（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数 x 是哪个数？【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；??（每隔一个数，擦去一个数）， 转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？小结本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）与周期相关的找规律问题 参见例 1，2，3 2）图表中的找规律问题 参见例 4，5 3）较复杂的数列找规律 参见例 6，7，8 4）与斐波那契数列相关的找规律 参见例，9，10，11 5）有趣的猫捉耗子规律 参见例 12，13，14，15学生版Page 47 of 100作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1―类型 3；题 2，3，4―类型 5；题 5，6，7，8―类型 2， １、 （★）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，?。那么，在这串数中，从左往右数，第 10 个数是________。２、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上 1、2、3、?、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向 每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数 1。求从哪个数起？３. （★★★）把 1～1992 为 1992 个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从 1 开始逆时针方向，保留 1， 涂掉 2；保留 3，涂掉 4，??。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？４. （★★★）把 1～1987 这 1987 个数，均匀排成一个大圆圈。从 1 开始数，隔过 1，划掉 2，3；隔过 4，划掉 5，6；??，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数？５.（★★）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从 A 跳到 B，每次可跳 1 步或 2 步；小张从 C 跳到 D，每次可跳 1 步、2 步或 3 步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一 方多 种。 A C B D学生版Page 48 of 1006、 （★★）如下图，从 A 处穿过房间到达 B 处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多 少种不同的走法？7、 （★★★）如数表： 第1行 1 2 3 ? 14 15 第2行 30 29 28 ? 17 16 第3行 31 32 33 ? 44 45 ?? ? ? ? ? ? ? 第n行 ????A?????? 第 n＋1 行 ????B?????? 第 n 行有一个数 A，它的下一行（第 n＋1 行）有一个数 B，且 A 和 B 在同一竖列。如果 A+B＝391，那么 n=_______。 【来源】1995 年小学数学奥林匹克初赛 A 卷第 7 题、B 卷第 9 题8、观察下面数表(横排为行)：1991 根据前 5 行数所表达的规律，说明： 1949 这个数位于由上而下的第几行?在这-行中，它位于由左向右的第几个? 【来源】 第三届“华杯赛”决赛-试第 3 题学生版Page 49 of 100名校真题时间：15 分钟 满分 5 分测试卷 7（工程篇）姓名_________ 测试成绩_________1 （三帆中学考题） 原计划 18 个人植树，按计划工作了 2 小时后，有 3 个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种 1 棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.2 （首师附中考题） 一项工程，甲做 10 天乙 20 天完成，甲 15 天乙 12 也能完成。现乙先做 4 天，问甲还要多少天完成？3 （人大附中考题） 一部书稿，甲单独打字要 14 小时完成，乙单独打字要 20 小时完成。如果先由甲打 1 小时，然后由乙接替 甲打 1 小时，再由甲接替乙打 1 小时，??两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用 了多少小时？4 （西城四中考题） 如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1 小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1 小时 20 分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1 小时 15 分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这 一池的水需要 ______小时。5 (北大附中考题) 一项工程，预计 15 个工人每天做 4 个小时，18 天可以完成。为了赶工期，增加 3 人并且每天工作时间增 加 1 小时，可以提前_______天完工。学生版Page 50 of 100第七讲小升初考试热点及命题方向小升初专项训练-----工程篇罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题： ??某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用 4 天完成；若甲先做 2 天后，再和乙一起做，则共用 7 天 可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？ 答案： ??设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用 4 天，所以每人 单独完成一半时，甲比乙多用 2 天。 ??另外，已知甲先做 2 天，然后与乙合作，7 天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做 一半） ，相差刚好 2 天，那么很明显，甲在 7 天中正好完成了工程的一半，而乙在 5 天中也完成了工程的 一半。 ??这样，甲单独完成要 14 天，乙单独完成要 10 天。 工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。还有就是学生欠缺一些 固定的条件的理解和转化能力。知识要点在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位 时间内完成的工作量） 。 【基本公式】 ：这三个量之间有下述一些关系式： 工作效率×工作时间＝工作总量； 工作总量÷工作时间＝工作效率； 工作总量÷工作效率＝工作时间。 为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。 【规律总结】 ：不要求记忆，但要求能够理解和运用。 （1） 工效提高了 a%,工作总量不变的前提下， 工时则变为原来的 100/(100+a)。 时间缩短了 a/(100+a)。 （2） 工效降低了 a%,工作总量不变的前提下， 工时则变为原来的 100/(100-a)。 时间延长了 a/(100-a)。 (3)工效提高了 a/b, 工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 a/(a+b)。时间缩短了 b/(a+b)。 (4)工效降低了 a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 b /（b-a） 。时间延长了 a/(b-a)。 (5)当出现甲工作了一段时间 a，乙工作了一段时间 b，则通常是把条件处理为甲乙和干了 a（或 b 时 间）后甲单干（a-b） （或乙单干（b-a）段时间）典型例题解析1 涉及二者的工程问题【例 1】 （★★）一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 12 天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几 天，这样用了 4.5 天才完成任务。乙因病休息了几天？学生版Page 51 of 100【例 2】 （★★）有 240 个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始 加工了 4 小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚 40 分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车 间的 3 倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？2涉及三者的工程问题【例 3】 （★★★）一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在甲、乙两队先合做 8 天，剩下的由丙队单独做了 6 天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？【例 4】 （★★★）某工程由甲、乙两个工程队合作需要 12 天完成。甲工程队工作 3 天后离开，同时乙、 丙两个工程队加入，又工作了 3 天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由 丙工程队单独完成，还需要几天？【例 5】 （★★★）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工 8 个零件，共 用了 15 天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮忙，结果师徒俩每天反比 马师傅还多加工 4 个零件，这样用了 12 天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？【例 6】 （★★★）有甲、乙、丙三组工人，甲组 4 人的工作，乙组需要 5 人来完成；乙组的 3 人工作， 丙组需要 8 人来完成。一项工作，需要甲组 13 人来完成，乙组 15 人 3 天来完成。如果让丙组 10 人去做， 需要多少天来完成？4涉及多者的工程问题【例 7】 （★★）一项工程，45 人可以若干天完成。现在 45 人工作 6 天后，调走 9 人干其他工作。这样， 完成这项工程就比原来计划多用了 4 天。原计划完成这项工程用多少天？学生版Page 52 of 100【例 8】 （★★★）A、B、C、D、E 五个人干一项工作，若 A、B、C、D 四人一起干需要 6 天完成；若四人 干，需要 8 天完工；若 A、E 两人一起干，需要 12 天完 工。那么，若 E 一人单独干需要几天完工？【例 9】 （★★★★）某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12 天都能完成；如果由第一、三、五小队 合干需要 7 天完成；如果由第二、四、五小队合干需要 8 天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要 42 天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？5水箱注水的工程问题【例 10】 （★★★）水池安装 A、B、C、D、E 五根水管，有的专门放水，有的专门进水。如果每次用两根 水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示： A，B 2 C，D 6 E，A 10 D，E 3 B，C 15如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？【例 11】 （★★★）有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池 A 和 B 注水，在相同时间内甲、 乙两管注水量之比 7：5。经过 2 时，A、B 两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度 提高 25％，乙管的注水速度降低 30％。当甲管注满 A 池时，乙管还需多长时间注满 B 池？1 35较复杂的工程问题【例 12】 （★★★★）一项工程，乙单独做需要 17 天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替 轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法 要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？ 【来源】 ：人大附测试题学生版Page 53 of 100【例 13】 （★★★★）有甲乙两个工程，现分别由 A、B 两个施工队完成。在晴天 A 队完成工程需要 8 天， B 队完成工程需要 12 天，在雨天，A 施工队的工作效率下降 60，B 施工队的工作效率下降 20。最后 两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？【选讲】 ： 有一个蓄水池装有 9 根水管，其中一根为进水管，其余 8 根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地 向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水） 。如果把 8 根进水管全部打开，需要 3 小时把池内的水全部排出；如果仅打开 5 根出水管，需要 6 小时把池内的水 全部排光。问要想在 4.5 小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？【拓展】 “牛吃草”问题 例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放 24 只羊，则 6 天吃完草；如果放牧 21 只羊， 则 8 天吃完，每天吃草的量都是相等的．问： 1、如果放牧 16 只羊，则几天可以吃完牧草？ 2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？[补充试题]：一块 1500 平方米的牧场上长满牧草，每天都匀速生长。可供 18 头牛吃 16 天，或是供 27 头 牛吃 8 天。如果这片牧场有 6000 平方米，6 天中最多可供几头牛吃？【课外知识】牛吃草问题 由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的 材料。假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是负／天）。如果公司聘任 5 名打字员，24 天就恰好打完所有材料；如果公司聘任 9 名打字员，12 天就恰好打完所有材料。公司聘任 了苦干名打字员，工作 8 天之后，由于业务减少，每大新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员 共用 40 天才恰好完成打字工作。问：公司聘任了多少名打字员？学生版Page 54 of 100小结本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）涉及二者的工程问题 2）涉及三者的工程问题 3）涉及多者的工程问题 4）水箱注水的工程问题 5）较为复杂的工程问题 参见例 1，2 参见例 3，4，5，6 参见例 7，8，9 参见例 10，11 参见例 12，13，作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1，4，6，7―类型 1；题 2―类型 4；题 3，5―类型 5，题 8―类型 2 1、 （★★）某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期 3 天才能完成，现在两队合作 2 天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。那么该工程限期是多少天？2． （★★）某水池有甲、乙、丙 3 个放水管，每小时甲能放水 100 升，乙能放水 125 升。现在先使用甲放 水，2 小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙 3 管同时放水，直到把水放完。计 算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。那么水池中原有多少水？3．（★★★）张师傅加工 540 个零件。他前一半时间每分生产 8 个，后一半时间每分生产 12 个，正好完 成任务。当他完成任务的 45％时，恰好是上午 9 点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？4. （★★★） 甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的 1/3 时乙加 工了 50 个零件，甲完成 3/5 时乙完成了一半。问：这批零件共多少个？学生版Page 55 of 1005. （★★★）李师傅加工一批零件，第一天加工了 48 个，第二天比第一天多加工 25％，第三天比第二 天多加工 5％，三天共完成这批零件的 95％。这批零件共有多少个？6. （★★★） 单独完成一件工程，甲需要 24 天，乙需要 32 天。若甲先做若干天以后乙接着做，则共用 26 天时间，问：甲独做了几天？7. （★★） 修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在 距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？8. （★★★）有 A，B 两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要 20 时，乙车需要 24 时，丙 车需要 30 时。现在甲车装运 A 堆煤，乙车装运 B 堆煤，丙车开始先装运 A 堆煤，中途转向装运 B 堆煤， 三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。丙车装运 A 堆煤用了多少时间？9、 （★★★）某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了 4 天后改用新施工方法，由于新施工方法比 旧施工方法效率高 50％，因此比计划提前 1 天完工。如果用旧施工方法干了 200 米后就改用新施工方法， 那么可以比计划提前 2 天完工。问：原计划每天筑路多少米？几天完工？学生版Page 56 of 100名校真题时间：15 分钟 满分 5 分测试卷 9（比例百分数篇）姓名_________ 测试成绩_________1 （清华附中考题） 甲、乙两种商品，成本共 2200 元，甲商品按 20%的利润定价，乙商品按 15%的利润定价，后来都按定价 的 90%打折出售，结果仍获利 131 元，甲商品的成本是________元.2 （101 中学考题） 100 千克刚采下的鲜蘑菇含水量为 99%，稍微晾晒后，含水量下降到 98%，那么这 100 千克的蘑菇现在还 有多少千克呢？3 （实验中学考题） 有两桶水：一桶 8 升，一桶 13 升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是 5：7，那麽往每个 桶中加进去的水量是 升。4 （三帆中学考题） 有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运 12 吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。如果从乙堆运 12 吨给甲堆，那么甲 堆煤就是乙堆煤的 2 倍。这两堆煤共重（ ）吨。5 （人大附中考题） 一堆围棋子黑白两种颜色，拿走 15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为 2:1；再拿走 45 枚黑棋子后，黑 子与白子的个数比为 1:5，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？学生版Page 57 of 100第九讲小升初专项训练-----比例百分数篇小升初考试热点及命题方向分数百分数是小学六年级重点学习的知识点，也是小升初重点考察的知识点，这一部分主要考察三大块， 分百应用题；比和比例；经济浓度问题；三块的地位是均等的，在考试中都有可能出现，希望同学们全面 复习，而不要厚此薄彼。知识要点分数百分数应用题 分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用 题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及 “量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确 解答带来一定困难． 为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作． ①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用 于分数、百分数应用题． ②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用． ③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分 率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推 理． ④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠 统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种 解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路． 比和比例 这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等几个知识。 在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要 对题中各个量之间的关系作出正确的判断． 成正比或反比的量中都有两种相关联的量． 一种量 （记作 x） 变化时另一种量 （记作 y） 也随着变化． 与 这两个量联系着，有一个不变的量（记为 k） 。在判断变量 x 与 y 是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住 这个不变量 k．如果不变量 k 是变量 y 与 x 的商，即在 x 变化时，y 与 x 的商不变：y/x=k，那么 y 与 x 成 正比例；如果 k 是 y 与 x 的积，即在 x 变化时，y 与 x 的积不变：xy＝k，那么 y 与 x 成反比例．如果这 两个关系式都不成立，那么 y 与 x 不成（正和反）比例． 经济浓度问题 这一节的内容与生活实际联系很紧密，在浓度问题中要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关 系。而经济问题中，则要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系。典型例题解析1 分数百分数应用题学生版Page 58 of 100【例 1】 （★★）某班有学生 48 人，女生占全班的 37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全 班人数的 40％，问转来几名女生？【例 2】 （★★）把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加 2 米，得到一个长方形.它与原来的正方形 面积相等.问正方形的面积是多少？【例 3】 （★★★）学校男生人数占 45％，会游泳的学生占 54％。男生中会游泳的占 72％，问在全体学生 中不会游泳的女生占百分之几？【例 4】某校四年级原有 2 个班，现在要重新编为 3 个班，将原一班的 1/3 与原二班的 1/4 组成新一班， 将原一班的 1/4 与原二班的 1/3 组成新二班，余下的 30 人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人 数多 10%，那么原一班有多少人？2比和比例【例 5】 （★★★）一个长方形长与宽的比是 14：5，如果长减少 13 厘米，宽增加 13 厘米，则面积增加 182 平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？学生版Page 59 of 100【例 6】 （★★★）有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为 2∶5。 现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方 形纸板做侧面（左下图） ，横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（右下 图） ，那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？【例 7】 （★★★）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是 4∶3.结果录取 91 人，其中男生与女 生人数之比是 8∶5.未被录取的学生中，男生与女生人数之比是 3∶4.问报考的共有多少人？【例 8】 （★★★）幼儿园大班和中班共有 32 名男生，18 名女生。已知大班男生数与女生数的比为 5:3， 中班中男生数与女生数的比为 2:1，那么大班有女生多少名？6经济浓度问题【例 9】（★★）某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早 销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？【例 10】 （★★★）A，B，C 三个试管中各盛有 10 克、20 克、30 克水。把某种浓度的盐水 10 克倒入 A 中，混合后取出 10 克倒入 B 中，混合后又从 B 中取出 10 克倒入 C 中。现在 C 中盐水浓度是 0.5％。 问最早倒入 A 中的盐水浓度是多少？【例 11】 （★★★）小明到商店买红、黑两种笔共 66 支。红笔每支定价 5 元，黑笔每支定价 9 元。由于买 的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价 85％付钱，黑笔按定价 80％付钱，如果他付的钱比按定价少 付了 18％，那么他买了红笔多少支？ 【来源】北京市第 14 届迎春杯数学竞赛初赛试题学生版 Page 60 of 100【例 12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分 10 个档次，生产最低档次（即第 1 档次）的皮鞋每双利润为 24 元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加 6 元。最低档次的皮鞋每天可生产 180 双，提高一个档次每天将 少生产 9 双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？小结本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）分数百分数应用题 2）比和比例 3）经济浓度问题 参见例 1，2，3，4 参见例 5，6，7，8 参见例 9，10，11，12【课外知识】勾股定理 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。 这个定理在中国又称为&商高定理&，在外国称为&毕达哥拉斯定理&。为什么一个定理有这么多名 称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约 是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：&?故折矩，勾 广三，股修四，经隅五。&什么是&勾、股&呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称 为&勾&，下半部分称为&股&。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为 3（短边） 和 4（长边）时，径隅（就是弦）则为 5。以后人们就简单地把这个事实说成&勾三股四弦五&。由于 勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作&商高定理&。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。 希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个 定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为&毕达哥拉斯定理&，以后就流传开了。 关于勾股定理的发现， 《周髀算经》上说：&故禹之所以治天下者，此数之所由生也。&&此数&指 的是&勾三股四弦五&，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。 勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：& 禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系 生也。&这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因 势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。学生版Page 61 of 100作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题 1―类型 1；题 2，4，5，6，8―类型 4；题 3，7―类型 5 1、 （★★★）某中学，上年度高中男、女生共 290 人.这一年度高中男生增加 4％，女生增加 5％，共增加 13 人.本年度该校有男、女生各多少人？2、 （★★★）在下图中 AB，AC 的长度是 15，BC 的长度是 9.把 BC 折过去与 AC 重合，B 点落在 E 点上， 求三角形 ADE 与三角形 ABC 面积之比.3、 （★★★）成本 0.25 元的练习本 1200 本，按 40％的利润定价出售。当销掉 80％后，剩下的练习本打 折扣出售，结果获得的利润是预定的 86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？1 4、 （★★★）甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的 ，如果甲给乙 20 本，那么乙比 4 甲多的数量恰好是两人总数的 1 。那么他们共有多少本书？ 65、 （★★★）甲、乙、丙三位同学共有图书 108 本.乙比甲多 18 本，乙与丙的图书数之比是 5∶4.求甲、 乙、丙三人所有的图书数之比.学生版Page 62 of 1006、 （★★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出， 把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中。现在知道每次从容器中溢出水量的情况 是，第一次是第二次的三分之一，第三次是第一次的 2.5 倍，求三个球的体积之比。7、 （★★）某种密瓜每天减价 20％.第一天妈妈按定价减价 20％买了 3 个密瓜，第二天妈妈又买了 5 个密 瓜，两天共花了 42 元.如这 8 个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？8. （★★★★） 袋子里红球与白球数量之比是 19：13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为 5： 3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为 13：11。已知放入的红球比白球少 80 只，那么原先 袋子里共有多少只球？学生版Page 63 of 100名校真题时间：15 分钟 满分 5 分测试卷 10（数论篇一）姓名_________ 测试成绩_________1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除 它本身。2 （101 中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的 9 倍，问这个两位数 是＿＿。3 （首师附中考题）1 202 505
? + + =＿＿。 21
4 （人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。5 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( A、125 B、126 C、127) D、128学生版Page 64 of 100第十讲小升初专项训练-----数论篇（一）小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样， 变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合 数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比 重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。基本公式1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。 [讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题） 2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。 3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1a1× p2a2×...×pkak（#)其中p1&p2&...&pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。 该式称为n的质因子分解式。 [练习]：连续3的自然数的积为210，求这三个数为＿＿. 4）约数个数定理：设自}