x趋近于o（e的tanx次方减e的x次方）与x的k次方是同阶无穷小,求K的值
x趋近于0,lim[(e^tanx-e^x)/(x^k)]=lim{e^x*[(e^(tanx-x)-1]/x^k}=lim [e^(tanx- x)/x^k]=lim(tanx- x)/x^k=lim{[sec(x)]^2-1}/(kx^(k-1))=lim(tanx)^2/(kx^(k-1))=lim [x^2/(kx^(k-1))]2=k-1,k = 3写得比较详细,具体做时可以简写若熟悉x趋近于0,tanx- x 等价于 (1/3)x^3 (泰勒级数展开）=lim(tanx- x)/x^k = (1/3)limx^(3-k)=常数 ,k=3
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令y=x^tanx,且两边同时取对数.则lim(x趋于0+)x^tanx=lim(x趋于0+)y=lim(x趋于0+)e^lny=lim(x趋于0+)e^(tanx*lnx)=e^[lim(x趋于0+)tanxlnx].现在分析[lim(x趋于0+)tanxlnx],=lim(x趋于0+) [ lnx / (1/tanx) ]=lim(x趋于0+) (1/x) / { [-sec^(2)x]/[tan^(2)x] }=lim(x趋于0+) (1/x)/[(-secx/tanx)^2] =lim(x趋于0+) (1/x) / -{ [1/cosx)/tanx]^2 }=lim(x趋于0+) (1/x) / -{1/[sin^(2)x] }=lim(x趋于0+) -sin^(2)x/x=lim(x趋于0+) (x^2)/x=-x=0,所以待求极限为e^0=1.
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e^tan-e^x=e^x(e^(tanx-x)-1),x→0时,e^x→1,e^(tanx-x)-1等价于tanx-x,所以e^tan-e^x等价于tanx-x.所以,x→0时,tanx-x等价于x^n,所以1=lim(x→0) (tanx-x)/x^n=lim(x→0) ((secx)^2-1)/nx^(n-1)=lim(x→0) (tanx)^2/nx^(n-1)=lim(x→0) x^2/nx^(n-1)=lim(x→0) x^(3-n)/n.所以n=3.
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3，，，，，
如何求的？给个分析谢谢
我给你找找，我是觉得再写一遍麻烦
好的，十分感谢
这个简单啊，分子提取e^x，e^(tanx-x）-1/x^3=tanx-x/x^3=1-cos^2x/3x^2=1/3,其中利用了第一步等价代换第二步 洛必达
扫描下载二维码数学若x→0时，e^(tanx)-e^x与x^k是同阶无穷小，求 - 爱问知识人
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若x→0时，e^(tanx)-e^x与x^k是同阶无穷小，求K的值。
即：lim&x→0&[e^(tanx)-e^x]/x^k=a（a为非零实数）
===& lim&x→0&[e^(tanx)*sec^2 x-e^x]/[k*x^(k-1)]=a
===& lim&x→0&[e^(tanx)*(1+tan^2 x)-e^x]/[k*x^(k-1)]=a
===& lim&x→0&[e^x*(1+x^2)-e^x]/[k*x^(k-1)]=a
【因为x→0时，x与tanx为等价无穷小】
===& lim&x→0&x^2/[k*x^(k-1)]=a
所以，k-1=2
楼主确实选择了一个彻底错误的答案，但是楼主有权这样做的。真正的杯具不在于系统赋予了这样的权利，而在于系统不理睬任何纠错行动。
来信收到，你的解题思路清晰，运算也简单。看得出你是动过脑筋的，为学生解答问题就应该这样。“快速抢答，争分数”没有任何意义。
计算极限时，只有乘除式子中的因子才可以使用等价无穷小代换
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