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泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归 纳法对带有佩亚诺型余项、 拉格朗日型余项、 积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明， 从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差 估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分 别给出例题. 关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用Several Proofs and Applications of Taylor FormulaAbstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role intheoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.Keywords: T P Lag Intapplication1. 引言大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项 式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用 f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 这个 ( x ? x0 ) 的一次多项式近似代替 f (x) 且求其在 x0 附近的函数值是很方便的， 但是1它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于( x ? x0 ) 的 n 次多项式.由此，著名数学家泰勒在 1912 年 7 月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理――泰勒定理， 用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较 复杂函数这类复杂的问题.2.泰勒公式的证明泰勒公式有几种不同的形式， 在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给 予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 定理 1[1] 若函数 f 在点 xo 存在直至 n 阶导数，则有nf ?? ? x0 ? f ? ? ? x0 ? 2 n n f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? o ? x ? x0 ?? ? 2! n!??证：设Tn ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ?f ?? ? x0 ? f ? ? ? x0 ? 2 n x ? x0 ? ? ? ? ? ? x ? x0 ? 2! n!nn（1）Rn ? f ? x ? ? Tn ? x ?现在只要证 limQn ( x) ? ? x ? x0 ?Rn ? x ? ?0 x ? x0 Q ? x ? nn?由关系式（1）可知 Rn ? x0 ? ? Rn? ? x0 ? ? ? ? Rn ? 并易知 Qn ? x0 ? ? Qn? ? x0 ? ? ? ? Qn ?n ?1?? x0 ? ? 0Qn? n? ? x0 ? ? n !? x0 ? ? 0,因为 f ? n ? ? x0 ? 存在，所以在点 xo 的某邻域 U ? x0 ? 内 f 存在 n ? 1 阶导函数.于是，当x ?U ? ? x0 ? 且 x ? x0 时，允许接连使用洛必达法则 n ? 1 次，得到n ?1 Rn ? x ? Rn? ? x ? Rn? ? ? x ? lim ? lim ? ? ? lim ? n?1? x ? x0 Q ? x ? x ? x0 x ? x0 Q ? x? Qn? ? x ? n nf ? n ?1? ? x ? ? f ? n ?1? ? x0 ? ? f ? n ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? lim x ? x0 n ? n ? 1? ? 2 ? x ? x0 ?2? f ? n?1? ? x ? ? f ? n?1? ? x0 ? ? 1 ? lim ? ? f ? n? ? x0 ? ? ? 0 n ! x? x0 ? x ? x0 ? ? ?所以有f ?? ? x0 ? f ? ? ? x0 ? 2 n n f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? o ? x ? x0 ? 2! n!n??则此式得证. 2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 定理 2[2] 设函数 f 在某个包含 x0 的开区间 ( a, b) 中有 1 到 n +1 阶的各阶导数，则?x ?? a, b? ，有f ?? ? x0 ? f ? ? ? x0 ? 2 n f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? 2! n!n?f ? n ?1? ?? ? n ?1 ? x ? x0 ? ? n ? 1?!（2）其中 ? 是介于 x0 与 x 之间的某个点，当 x0 固定之后， ? 只与 x 有关. 证：(2)式可以改写成n f ?? ? ? n ?1 f ?? ? x0 ? f ? ? ? x0 ? 2 n? f ? x ? ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? ? n ? 1 ! ? x ? x0 ? ? ? 2! n! ? ? ? ?? n ?1?或者Rn ? x ?? x ? x0 ?n ?1f ( n ?1) ?? ? ? . ? n ? 1?!（3）为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出n Rn ? x0 ? ? Rn? ? x0 ? ? ? ? Rn ? ? ? x0 ? ? 0 ） ：Rn ? x ?? x ? x0 ?n ?1?Rn ? x ? ? R ? x0 ?? x ? x0 ?n ?1?? Rn ??1 ?? n ? 1???1 ? x0 ??n?? ? Rn ??1 ? ? Rn ? x0 ??? Rn ?? 2 ? n ? n ? 1??? 2 ? x0 ? ??n ?1? n ? 1???1 ? x0 ?n??? ?? Rn ?? 2 ? ? Rn ? x0 ? n ? n ? 1??? 2 ? x0 ?n ?13Rn ? n ? ?? n ? ? 2 ? 3? n ? n ? 1??? n ? x0 ? Rn ? n ? ?? n ? ? Rn ? n ? ? x0 ? ? 2 ? 3? n ? n ? 1??? n ? x0 ? ? Rn ? n ?1? ?? ? ? n ? 1? !（4）在此推导过程中， 1 是介于 x0 与 x 之间的某个点； 2 是介于 x0 与 ?1 之间的某个点， ， ? ? ?? 是介于 x0 与 ?n 之间的点.因而， ? 介于 x0 与 x 之间.又注意到Rn? n?1? ?? ? ? f ? n?1? ?? ? ，所以（4）式就可以得到（3）式 ，进而推出（2）式. 即定理得证. 在这里定理 1 和定理 2 我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推 法或数学归纳法来进行证明，下面的定理 3 我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3 带有积分型余项的泰勒公式 定理 3[3] 设函数 f ? x ? 在点 x0 的某邻域 U ? x0 ? 内有 n +1 阶连续导函数，则f ?? ? x0 ? f ? ? ? x0 ? 2 n f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? 2! n!n?1 x ? n ?1? n ?x0 f ? t ?? x ? t ? dt ，t ?[ x0 , x]. n!（5）证：从已知条件可知 f , f ?,?, f ? n?1? 在 [ x0 , x] 上是连续的. 那么我们有 f ? x ? ? f ? x0 ? ? ? f ? ?t ?dtx x0（6）在（6）中令 u ? f ? ?t ? , v ? ?( x ? t ) 则 du ? f ?? ?t ? dt , dv ? dt .利用分部积分公式 我们就有 ? f ? ? t ?dt ? uv |x0 ?? vdu ? ? f ? ?t ?? x ? t ? |x0 ? ? x xx x x0 x0 x x0? x ? t ? f ?? ?t ?dtx x0（7）结合（6）式和（7）式得到 f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ?? x ? t ? f ?? ?t ?dt这就是 n ? 1 时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出 n ? 2 时也成立. 假设 n ? 1 （此时指的是 n ? 2 的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的， 即是有4f ?? ? x0 ? f ? n ?1? ? x0 ? 2 n f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? 2! ? n ? 1?!?x 1 n ?1 ? n? ?x0 ? x ? t ? f ?t ?dt ? n ? 1?!（8）n ?1在（8）式中令 u ? f ? n ? ? t ? , v ? ?? x ? t ? dt ( x ? t )n n ?1 则 du ? f ? ? ? t ? dt , dv ? . n! ? n ? 1?!利用推广分部积分公式我们就有?x ?t? ?x ? n ? 1?!x0n ?1f? n?? t ?dt ? ? f ? t ?? n??x ?t?n!n x??x0x?x ?t?n!nx0f ? n ?1? ? t ?dt?f? n?? x0 ?? x ? x0 ?n!n??x?x ?t?n!nx0f?n ?1??t ?dt（9）将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在 n 的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立. 定理 3 运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理 3 也是可以用分析法来证明的. 经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可 以相互转化的，例如：在定理 3 中存在 ? ? ( x0 , x) 有由推广的积分第一中值定理得到R(x) ?1 x ? n ?1? 1 n ( n ?1) n ?1 ?x0 f ?? ?? x ? t ? dt = (n ? 1)! f (? )(x ? x0 ) .这就转化成了定理 2 中的余 n!项形式， 这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可 以相互转化的， 经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之 间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可 以轻松证明出其它型余项的泰勒公式， 当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的 泰勒公式.3.泰勒公式的应用泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具， 但是很多同学仅仅对泰勒公式的 展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式5在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重 要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1 近似计算及误差估计 例 1：应用泰勒公式求 3 30 的近似值，并估计误差范围. 解：因为 3 30 ? 3 27 ? 3 ，且 27 ? 33 ，所以可以设 f ( x) ? 3 x ， 先求 x0 ? 27 处 f ( x) 的三阶泰勒公式：1 ?2 2 ?5 10 ? 8 x 3 . 因 f ? ? x ? ? x 3 ， f ?? ? x ? ? ? x 3 ， f ??? ? x ? ? 9 27 3所以得 f (27) ? 3 ， f ?(27) ? 及 f3(4)1 2 10 ， f ??(27) ? ? 7 ， f ???(27) ? 11 3 3 3 380 ?11 ( x) ? ? 4 x 3 ，故 3x ? 3?1 1 5 ( x ? 27) ? 7 ( x ? 27) 2 ? 12 ( x ? 27)3 ? 3 3 3 380 4!? 34 [27 ? ? ( x ? 27)]11 3( x ? 27) 4 .其中 ? ? ? 0,1? ， 又 x ? 30 ， 于是| R3 |??80 4!? 34 [27 ? ? ( x ? 27)]11 3(30 ? 27) 480 10 ? 34 ? 12 ? 1.88 ?10?5 4 11 4!? 3 ? 3 3 1 1 5 3 30 ? 3 ? 2 ? 5 ? 9 3 3 3? 3 ? 0.111111 ? 0.004115 ? 0.000254 ? 3.10725计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过 0.3 ?10?5 , 再加上余项误差，总 误差不超过 2.2 ?10?5. 用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用， 且应用高阶导数可以进 一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据 实际需要取） ，作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来 估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的 n ，我们先令 | f ( n?1) ( x) |? M ，则有估6计误差 | Rn |? 3.2 求极限f ( n?1) (? ) M ( x ? x0 ) n?1 ? x ? x0 (n ? 1)! (n ? 1)!n ?1.1 1 ? x2 ? 1 ? x2 2 例 2：求 lim 的极限值. 2 x ?0 cos x ? e x sin x 2??解： 在这里由于 sin x 2 ~ x 2 ，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式， 则有 1 ? x 2 ? 1 ?1 2 1 4 1 1 x ? x ? o( x 4 ) ，那么分子变为 1 ? x 2 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? o( x 4 ) ， 2 8 2 8分子式 n ? 4 ,则分母中可以将括号里展开成 n ? 2 的情形，即有2 1 2 x ? o( x 3 ) ， e x ? 1 ? x 2 ? o( x 2 ) ， 2 2 3 则有 cos x ? e x ? ? x 2 ? o( x 2 ) ，所以此求极限的式子可以简化为 2cos x ? 1 ?1 4 1 x ? o( x 4 ) 1 ? x2 ? 1 ? x2 1 8 2 lim ? lim ?? . x2 2 x ?0 x ?0 ? 3 12 2 2 ? 2 (cos x ? e )sin x ? ? 2 x ? o( x ) ? x ? ?故所求极限值是 ?1 . 120 对于求 型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导 0数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由 此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.0 有些求极限的问题并非 型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例： 0? ? 1 ?? 例 3：求 lim? x ? x 2 ln?1 ? ?? 的极限值. x ?? ? x ?? ?? 1? 1 1?1? ? 1 ? 解：因为 ln?1 ? ? ? ? ? ? ? o? 2 ? ， ( x ? ?) ， ? x? x 2? x? ?x ?? ? 1 ?? 所以得到 lim? x ? x 2 ln?1 ? ?? x ?? ? x ?? ?? ? 1 ?? ? 1 o ? x2 ? ? 1 ? lim ? ? ? ? ? ? x ?? 2 1 ? 2 ? ? x2 ? ? ?27得到极限值是1 . 23.3 研究函数的极值问题 在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、 快速解题 的效果. 例 4：设 f 在 x0 的某邻域内存在直到 n ? 1 阶导数，在 x0 处 n 阶可导，且 f ( k ) ( x0 ) ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1) ， f ( n) ( x0 ) ? 0 ，证明:若 n 为偶数，则 x0 是 f (x) 的极值点；若 n 为奇数，则 f (x) 在 x0 处不取极值. 证:由定理 1 我们知道 f 在点 x0 处的 n 阶泰勒公式即为f ?? ? x0 ? f ? ? ? x0 ? 2 n n f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? o ? x ? x0 ?? ? 2! n!n??又由题目条件可以看到 f ?( x0 ) ? f ??( x0 ) ? ? ? f ( n?1) ( x0 ) ? 0 ，则上式可以简化成f ( x) ? f ( x0 ) ? 1 (n) f ( x0 )( x ? x0 ) n ? o(( x ? x 0 ) n ) ，因此有 n!?1 ? f ( x) ? f ( x0 ) ? ? f ( n ) ( x0 ) ? o(1)?( x ? x0 ) n ? n! ?（10）又因为 f ( n) ? 0 ，故存在正数 ? ? ? ? ， 当 x ?U ( x 0 ; ? ?) 时，1 (n) 1 f ( x0 ) 与 f n! n!(n)( x0 ) ? o(1) 同号.所以，若 n 为偶数，则当 f ( n) ( x0 ) ? 0 时（10）式取负号，从而对任意 x ?U ( x 0 ; ? ?) 有f ( x) ? f ( x 0 ) ，则此时 f 在 x0 处取得极大值；同理 f ( n) ( x0 ) ? 0 时 f 在 x0 处取得极小值. 故若 n 为偶数， x0 是 f (x) 的极值点. 若 n 为奇数， 则任取 x1 ? ( x0 , x0 ? ? ?) ， 2 ? ( x0 ? ? ?, x0 ) ， ( x1 ? x0 ) n ? 0 ， x2 ? x0 ) n ? 0 且 x ( 当 f ( n) ( x0 ) ? 0 时， f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ， x0 处取不到极值； 有 在 同理当 f ( n) ( x0 ) ? 0 时也在 x0 处取不到极值.故若 n 为奇数， f (x) 在 x0 处不取极值. 题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想 到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4 证明等式或不等式8证明等式或不等式的方法有很多种， 但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰 勒公式进行证明.3.4.1 证明等式问题例 5：证明：若 f ? x ? 在 [a, b] 上有 n 阶导数存在，且f ? a ? ? f ? b ? ? f ? ? b ? ? f ?? ? b ? ? ? ? f ? n?1? ?b ? ? 0 ，则在 (a, b) 内至少存在一点 ? ，使得 f ? n ? ?? ? ? 0 .证：由于 f ? x ? 在 [a, b] 上有 n 阶导数，故可在 x ? b 处展成 n ? 1 阶泰勒公式f ? ? ?b? f ? ? ??1 ? f ??(b) n ?1 n 2 f ( x) ? f (b) ? f ?(b)( x ? b) ? ( x ? b) ? ? ? ? x ? b? ? ? x ? b? . 2! (n ? 1)! n!n ?1 n其中 ?1 在 x 与 b 之间. 又因为 f ? b ? ? f ? ? b ? ? f ?? ? b ? ? ? ? f ? n?1? ? b ? ? 0, 故由上式可得1 ?n? n f ??1 ?? x ? b ? . n! 1 n n 当 x ? a 时，有 f ? a ? ? f ? ? ?? ?? a ? b ? , ? a ? ? ? b ? . n! f ? x? ?又 f ? a ? ? 0, ? a ? b ? ? 0, 故知在 ? a, b ? 内必有一点 ? , 使得 f ? n? (? ) ? 0.n3.4.2 证明不等式问题例 6：证明：若函数 f ? x ? 在 [a, b] 上存在二阶导数，且 f ? ? a ? ? f ? ?b? ? 0 ，则在 ? a, b ? 内 存在一点 c ，使 | f ?? ? c ? |?4?b ? a ?2| f ?b ? ? f ? a ? | .? a?b? 证：将 f ? ? 分别在点 a 和点 b 展成泰勒公式，并注意 f ? ? a ? ? f ? ?b? ? 0 ， ? 2 ?有2 f ?? ??1 ? ? b ? a ? a?b ? a?b ? ; f? ? ? f ?a? ? ? ? , a ? ?1 ? 2! ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 f ?? ??2 ? ? b ? a ? a ? b ? a?b ? f? ? f ?b ? ? ? ?2 ? b . ? ? ? , 2! ? 2 ? 2 ? 2 ?令| f ?? ? c ? |? max{| f ?? ??1 ? |,| f ?? ??2 ? |} .9则? a?b ? ? a?b ? | f ? b ? ? f ? a ? |? f ? b ? ? f ? ?? f? ? ? f ?a? ? 2 ? ? 2 ??2 2 f ?? ?? 2 ? ? b ? a ? f ?? ??1 ? ? b ? a ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??1 ? ?b ? a ? ? ? ?| f ?? ??2 ? | ? | f ?? ??1 ? |?? ?2 ? 4?| f ?? ? c ?即 | f ?? ? c ? |?2?b ? a ? |424?b ? a ?2| f ?b ? ? f ? a ? | .由例 4、 5 可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数. 例 应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最 高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5 关于界的估计 泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的. 例 7： 设函数 f 在 (??, ??) 上有三阶导数， 如果 f ( x) 与 f ???( x) 有界， 试证 f ?( x ) 与 f ??( x) 也有界. 证： 设 | f ? x ? |? M0 , | f ??? ? x ? |? M3 ,(?? ? x ? ??) ， 其中 M 0 , M3 都是常数. 将 f 在任意一点 x 处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式 即有1 1 f ?? ? x ? ? f ??? ?? ? , 2 6 1 1 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? f ?? ? x ? ? f ??? ?? ? , 2 6 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ?其中 ? ? ? x, x ?1? ,? ? ? x ?1, x ? . 以上两式加减分别得到 f ? x ?1? ? f ? x ?1? ? 2 f ? x ?1 ? f ?? ? x ? ? [ f ??? ?? ? ? f ??? ?? ?], 6101 f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? 2 f ? ? x ? ? [ f ??? ?? ? ? f ??? ?? ?], 6由以上两式分别得到1 | f ?? ? x ? |? f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? ? [ f ??? ?? ? ? f ??? ?? ?] 61 ? 4M 0 ? M 3 , 31 | 2 f ? ? x ? |? f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? [ f ??? ?? ? ? f ??? ?? ?] 61 ? 2M 0 ? M 3 ， 3即 f ?( x ) 与 f ??( x) 在 (??, ??) 上也有界.4.总结从泰勒公式在微积分的重要地位可以看出对泰勒公式进行证明是非常有必要的， 进一步加深了我们对泰勒公式的理解及应用.通过上述证明及应用举例，我们能够知 道： ①泰勒公式是应用高阶导数研究函数性态的工具，凡是已知函数 f ? x ? 的高阶导 数研究函数 f ? x ? 的性态都要应用泰勒公式； ②泰勒公式有两种不同类型的余项：一种是定性的，如佩亚诺型余项；一种是定 量的，如拉格朗日型余项等.参考文献： [1] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社， 页. [2] 韩云端，扈志明. 微积分教程（上）[M].北京：清华大学出版社， 页. [3] S.I.Grossmon，周性伟.微积分及其应用[M].天津：天津科学技术出版社， 页. [4] 蔡光兴，李德宜.微积分（经管类）[M].北京：科学出版社， 页. [5] 王元殿.带不同型余项泰勒公式的证明[J].电大理工，2000，第 205 期：36-38 页. [6] 同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社， 页. [7] 王素芳，陶荣，张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[N].洛阳工业高等专科学校学报，112003-6-第 13 卷第 2 期. [8] 耿晓哲.Taylor 公式及其应用[J].潍坊高等职业技术教育,2009,第 5 卷第 3 期：45 页. [9] 刘云，王阳，崔春红.浅谈泰勒公式的应用[N].和田师范专科学院学报，2008-7-第 28 卷第 1 期. [10] 董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用[J].科技信息，2010，第 31 期：243 页. [11] 郭顺生，微积分入门指导（一元函数部分）[M].河北：河北人民出版社， 页. [12] 刘红艳.一元泰勒公式在解题中的应用[J].林区教学，2008，第 8 期：140-141 页. [13] 刘玉琏，杨奎元，吕凤. 数学分析讲义学习指导书――附解题方法提要[M].北京：高等教 育出版社， 页. [14] 潘劲松.泰勒公式的证明及应用[N].廊坊师范学院学报，2010-4-第 10 卷第 2 期.12
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求常见函数的泰勒展开式，含高阶无穷小那一项！！！（这点很重要）
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baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6cf15011d3afa828ba61e4690.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="https://gss0.baidu.com/-Po3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=f4bfb8cc6/cdbf6cf15011d3afa828ba61e4690.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=3bbe616ba44bd6a9f8837/cdbf6cf15011d3afa828ba61e4690.jpg" esrc="http://d如图所示<a href="http://d.hiphotos
这一张清晰一点
没有o(x^n)这一项啊
在后面加上就行了，对应是多少次幂就加多少次幂
不是吧比如sinx 是o(x^(2n+2))
这无所谓的，不影响
你在计算极限时根本可以不用管高阶无穷小，反正是要忽略的
求极限用到这个的时候，要把o(x^n)和x^n消掉吧
比如只有o(x^3)才能消掉x^3
比如计算lim(x→0)x-sinx&#47;x∧3
sinx=x-x∧3&#47;6+o(x∧3)
哪里需要写o(x∧4)？
这些东西，要搞清楚本质
有不懂的继续问
没有问题了的话，记得。。谢谢
这个sinx第一项和第三项不是为0吗，所以不应该是sinx=x+o(x^3)吗
很明显错误
不信，你可以用洛必达法则验证
刚刚给你发的图片，是我给我学生总结的，怎么可能有问题
那我再看看，谢谢
恩，确实是我弄错了
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分类：数学
我是这样理解的 书上设的是2m.说明最终的展开式有偶数项,也就是说,余项一定为奇数阶,注意,一定是啊~对于m=1时 f(x)=f'(0)+f'(0)x+f''(0)x+R2(x),四项 对于这个题目 楼主把植代入 sinx=0+x+0*x^2/2!+R2(x) 可能是因为其1阶展开也是sinx=0+x+R1(x) 所以,楼主在看到sinx=x时后当成下面的了吧.其实,书上求的是2阶的哦~由于所求近似为2阶.所以余项R2(x)为3阶的 所以,最后R3的时候,我觉得你把误差放小似乎有所不妥当 因为sinx=x产生的误差是x的高阶无穷小 而sinx=x+0产生的误差是x^2的高阶无穷小 后者精度较高...补充 你说的对
450÷18 =(50×9)÷(2×9) =50÷2 =25
x^3-3x^2-6x+8 =x^3-4x^2+x^2-6x+8 =x^2(x-4)+(x-4)(x-2) =(x-4)(
已知关于X的一元二次不等式ax^2+bx+c＞-2x的解为
(1)一元二次不等式ax^2+bx+c＞-2x可化为ax^2+（b+2）
x?+2xy-8y?+2x+14y-3 =(x+4y)(x-2y)+2x+14y-3 =(x+4y-1)(x-2y+3
因为A=B 所以分情况讨论 1.x=2x,y=2x^2 所以x=0,y=0 与
其他相关问题截断误差与舍入误差
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|个人分类:|系统分类:|关键词:差分|
（1）在数学中，有限差分方法（Finite Differenc Methods,FDM），是一种微分方程的数值方法，是通过有限差分来近似导数或者偏导数，从而求得微分方法的近似解。在实际中，许多数学问题都很难得到其解析解，所谓解析解就是可以通过给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何自变量对应值；而数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值。举个例子：一般一元二次方程a x^2 + b x + c == 0 (a ≠ 0)的解析解为x = (- b ±√(b^2 - 4 a c)) / (2 a)数值解只能由具体的系数确定。（2）导数的有限差分近似由泰勒展开的推算假设f(x)在x0处各阶可导，则根据定理，其在x0+h的泰勒展开式为：其中n!表示是n的，Rn(x)為餘數，表示泰勒多項式和原函數之間的差。可以推導函數f一階導數的近似值：设定x0=a，可得：除以h可得：求解f&#39;(a)：R1(x)是x(x-&a时)的高阶无穷小，假设R1(x)很小并可以忽略，可以将&f&的一阶导数近似为： (一阶近似）定理：设 n 是一个。如果定义在一个包含 a 的上的函数 f 在 a 点处 n+1 次，那么对于这个区间上的任意 x，都有：其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。由于在近似过程中，我们截断了Rn（x），因此数值差方法本来存在误差，这种由于截断所引起的误差就是结尾误差。差分的方法有不同分类，如前向，后向和中心差分：前面两种是对偏微分方程一阶近似，中心差分式二阶近似。差分还可以分为，explicit and implicit difference热传导方程最常用显式方法的利用在时间的前向差分，以及在位置的二阶中央差分（），可以得到以下的迭代方程：这是用求解一维导热传导方程的。可以用以下的式子求解其中因此配合此迭代关系式，已知在时间n的数值，可以求得在时间n+1的数值。及的数值可以用边界条件代入，在此例中为0。此显式方法在时，为且。其数值误差和时间间隔成正比，和位置间隔的平方成正比：隐式方法的模版若使用时间的后向差分，及位置的二阶中央差分（BTCS 格式），可以得到以下的迭代方程：这是用求解一维导热传导方程的。在求解线性联立方程后可以得到：此方法不论的大小，都数值稳定且收敛，但在计算量会较显式方法要大，因为每前进一个时间间隔，就需要求解一个联立的数值方程组。其数值误差和时间间隔成正比，和位置间隔的平方成正比：（3） 舍入误差是由于计算机数字限制（四舍五入）引起的由于计算机的有限，进行数值计算的过程中，对计算得到的中间结果数据要使用“四舍五入”或其他规则取，因而使计算过程有。这种误差称为舍入误差。在python中输入0.1+0.2，得到的结果是0.00004，这是舍入误差带来的结果。There &are &two &approximations &in &numerical &modelling. &One &needs to &ask &the &questions: &&How &well &is &the &natural &system &modelled &by &the differential &equations?&, &and, &&How &well &is &the &solution &to &the &differential equations &represented &by &the &computational &algorithm?&. &I n & the &analysis here &more &attention &is &paid &to &the &second &question. &The &first &question can &only &be &answered &by &studying &the &behaviour &of &the &natural &system and &comparing &i t & to &the &equations &applied &to &it. &Therefore &i t & will &be assumed &here &that &the &differential &equations &approximate &the &system &we1 I despite &the &fact &that &i t & has &been &noticed &that &this &is &not &necessarily the &case. &Abbott &(1974) &noticed &that &a &difference &scheme &considerably different &from &the &differential &equations &used &to &describe &a &system, &can yield &more &accurate &results &than &a &difference &scheme &similar &to &the differential &equations &when &compared &with &experimental &results. There &are &three &possible &sources &of &error &associated &with &finite difference &solutions &to &partial &differential &equations. &I t & is &important that &one &understands &these &sources, &their &consequence &if &not &control led, and &means &for &controlling &them. &These &three &sources &of &error &are: truncation, &discretization, &and &round-off. &Truncation &error &occurs &when a &derivative &is &replaced &with &a &finite &difference & &discretization error &is &due &to &the &replacement &of &a &continuous &model &(function) &with a &discrete & &and &round-off &error &is &essentially &machine &error &in that &the &algebraic &finite &difference &equations &are &not &always &solved exactly . For &finite &difference &solutions &to &be &accurate, &they &must &be &con- sistent &and &stable. &Consistency &simply &means &that &the &truncation &errors tend &to &zero &as &Ax &and &At &- && &0, &i.e., &as &Ax &and &At &- & &0 &the &finite difference &equation &becomes &the &original &differential &equation. &This &is examined &i n & the &follcwing &paragraphs. &Stability &implies &the &controlled growth &of &round-off &error. &Stability &considerations &apply &principally &to explicit &schemes &to &be &discussed &later. &Any &numerical &scheme &that &allows the &growth &of &error, &eventually &&swamping& &the &true &solution, &is &unstable. References(1) (2) (3) Stephenson, D., kinematic hydrology and modelling. 1986.(4) Chow, E.A., Applied hydrology. 1988.
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