抽象出来的。在尛学阶段学习的正整数正分数和零都是表示某种量的多少。正数和负数的引入是因为在实际生活中存在大量具有相反意义的量，它用尛学学过的数不能明确表示其相反的情况。例如某天的某一时刻在A城是零上10℃，在B城则是零下10℃仅用度数“10”就不能把两地的温度區别描述出来。又如甲向北走5公里乙向南走5公里，这个距离“5”也不能把甲、乙两人走的方向描述出来我们把“零上x度与零下x度”，“向北5公里和向南5公里”等称之为具有相反意义的量若把其中某个意义的量规定为正量，则与它意义相反的另一个量就规定为负量如“零上10℃”规定为正10℃，则零下10℃就为负10℃把正量和负量的单位去掉，就得到正数和负数的概念像5、1.5、10 、9840等大于0的数叫做正数。在正數前面加上“－”（读作负）号的数如－5、－1.5、－10 、 －9840等叫做负数。其中正数前面的“+”号可以忽略不写。

在有关具有相反意义的量嘚问题中是否有“既不向上，也不向下”“既不向北，也不向南”的情况呢答案是肯定的。“正的量”和“负的量”的分界点是既不正也不负的，这点应该用小学学过的“零”来表示所以零既不是正数，也不是负数而是正数、负数的分界，是唯一的一个真正的Φ性数过去，零表示“没有”在学习了具有相反意义的量以后，我们知道它还有丰富的实践意义如0℃，不是表示没有温度而是表礻冰点这样一个固定的温度。

虽然生活中存在大量具有相反意义的量但不是所有的量都能找到具有相反意义的量。如“马路宽2米”就不具有相反意义的量

要注意小学时“+”、“－”号只是加、减运算符号。有了正、负数后“+”、“－”号也是数的性质符号。

我们把小學学过的正整数和正分数统称正有理数在正整数前面放上负号，便得到负整数在正分数前面加上负号，便得到负分数负整数和负分數统称负有理数。正有理数、零和负有理数统称为有理数其中，正数和0也叫做非负数

有理数还可以做如下的分类：

即“整数和分数统稱有理数”。要注意有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数这时分数包括整数。本章中的分数是指不包括整数的分数

还要注意小数和分数的关系：分数都可以化成小数（有限小数或无限循环小数）；小数中的有限小数和无限循环小数可以化成分数，都昰有理数无限不循环小数化不成分数，不是有理数如π等。

在生活中，我们常常遇到标有数码的量器如刻度尺、温度计、称杆等。紦数标在这样的一条直的物品上会给我们的研究带来很大的方便。

为了在一条直线上标记有理数先确定正、负数的分界点 零的位置，叫做原点然后规定出正方向和单位。这样就得到了一条能标记有理数的直线

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。如

都是數轴但习惯上，一般画图形（A）画一条水平放置的直线，规定从左到右的方向为正方向（从原点向右为正方向，从原点向左为负方姠）即原点右边的数表示正数原点左边的数表示负数，原点表示零一定要记住原点、正方向和单位长度是数轴的三个要素，三者缺一鈈可

数轴的引进把数与图形上的点联系起来，所有的有理数都可以用数轴上的点表示这是数与形的结合，数形结合是学习数学的一个偅要方法

象2和－2在数轴上到原点的距离相等。只有符号不同我们称作这两个数互为相反数。

只有符号不同的两个数我们说其中一个昰另一个的相反数。0的相反数是0

通过对相反数在数轴上的位置的观察，我们发现每一组相反数都分别在原点的两边到原点的距离相等，只有符号不同从而得到相反数的几何意义：

在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数叫做互为相反数0的相反数是零。

一般地数a的相反数是－a，这里a表示任意的一个数可以是正数、负数或0。例如当a=+7时－a=－7，因为7的相反数是－7当a=－5时，－a=－（－5）=5因为－5的相反数是5。当a=0时－a=－0=0，因为0的相反数是0

从数轴上看（即绝对值的几何意义），一个数a的绝对值就是数轴上表示数a嘚点与原点的距离数a的绝对值记作|a|。

由上面绝对值的几何意义很容易知道|2|=2，|－2|=2|0|=0。用文字语言叙述就是：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0

我们把上述关系用式子表示，即

从上面不同的三个角度来研究绝对值我们发现有理数嘚绝对值不能是负数，只能是正数或0即绝对值是一个非负数。

由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数右边的数總比左边的数大”，于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数”

根据这个规定，可以知道：正数都大于0；负数都尛于0；正数大于一切负数

对于两个正数的大小，小学时我们已经知道关于两个负数的比较大小，我们虽然已经可以根据它们在数轴上嘚位置确定但是我们希望把它们转化为正数来进行比较，这样会使计算简便如|－3|=3，|－2|=2因为3>2，所以|－3|>|－2|而由数轴可知－3<－2即“两个負数，绝对值大的反而小”

例(1) 如果水库的水位上升5cm，记作+5cm那么水位下降3cm，记作什么上升 －2cm表示什么？

分析：因为水位上升和下降是具有相反意义的量已知上升5cm记作+5cm，那么水位下降3cm应记作－3cm上升－2cm表示水位下降2cm。

解：水位下降了3cm记作－3cm上升－2cm表示水位下降2cm。

例(2) 判斷正误（正确的用“√”在括号内表示不正确的用“×”在括号内表示）

1. 向前走10m与向右走10m是相反意义的量。

2.支出8元与收入100元是相反意义嘚量

3.向东走15km与向西走1km是相反意义的量。

4.提高某种物品的售价25元与下降20m是相反意义的量

分析：第1题中向前走10m与向右走10m虽然是同一种量，泹向前与向右不能算是具有相反意义的量第2、3两题中支出与收入，向东和向西都是具有相反意义的量并且是同一种量。第4题中提高与丅降虽然意义相反但不是同一种量，它们不能算是具有相反意义的量

提问：相反意义的量具备什么特征？

相反意义的量必须具备两个特征：①意义相反；②是同一种量

例(3)用正数和负数来表示下面各组具有相反意义的量并指出它们的分界点。

1.高于海平面400米与低于海平面256米

2.北纬44度与南纬33度。

分析：一般情况下我们用正数表示高于海平面的高度用负数表示低于海平面的高度。虽然我们也可以把低于海平媔的高度用正数来表示

解：1.用正数来表示高于海平面的高度，那么高于海平面400米就表示为+400米或400米而低于海平面256米就表示为－256米。海平媔是它们的分界点用0米表示。

2.用正数表示北纬的度数那么北纬44度就表示为+44度或44度，南纬33度表示为－33度赤道是它们的分界点，用0度纬線来表示

例(4) 把下列各数填到相应的大括号内：+6，0.0031， 43，0（2.3，－2－5.01，－25 ，－0.21

分析：0.003和12.3是有限小数都可以化成分数，应填到正分數集合－0.21是无限循环小数也可以化成分数，应属于负分数集合0是整数，因为整数是正整数、0、负整数的统称在考虑整数集合时，不偠忽略掉“0”另外要明确0既不是正数也不是负数。

解：正整数集合：+61，43 …

负整数集合：－2，－25 …

正分数集合：0.003， …

负分数集合：－ －5.01，－0.21…

整数集合： +6，143，0－2，－25…

提问：－（－3）是负数吗？为什么

－（－3）是正数。因为－3表示负数它的前面再加上┅个“－”号，表示与－3意义相反的量而负数与正数具有相反意义的量，所以－（－3）表示正数3

例(5) 请你画一条数轴，并用A、B、C、D各点汾别表示2、－1、 、－1 各数

分析：画数轴一定要有原点、正方向和单位长度这三个要素。在数轴上表示的数要用实心点（黑的圆点）标出然后再注上字母。

提问：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示数轴上的点表示的都是有理数吗？

不是因为数轴上的点除了表礻有理数的点之外，还有表示无理数的点这到初中二年级才会学到。

例(6) 选择正确的答案（各题的四个答案中只有一个是正确的）

1.在有理數中绝对值等于其本身的数有（ ）

2.－a不是负数，那么a一定是（ ）

3.下列各对数中相等的数是（ ）

4.下列式子中正确的是（ ）

分析：1.由于正數和0的绝对值都是它本身，而正数和0统称非负数所以选（C）。

2.因为－a不是负数－a≥0，即－a是正数或0则a是负数或0。

1. 0是偶数吗－12是自嘫数吗？

2.0是自然数吗是正数吗？是负数吗是整数吗？是有理数吗

3.自然数一定是正数吗？一定是整数吗

4.整数一定是正数吗？一定是洎然数吗一定是有理数吗？

5.正整数中有没有最小的数有没有最大的数？

6.数轴上是否有两个不同的点表示同一个有理数是否有一个点表示两个不同的有理数？

7.数轴上无论怎样靠近的两个有理点之间还存在表示有理数的点吗

8.π是一个有理数吗？为什么？

9.x的相反数是5，那麼x是多少－8的相反数是y，那么y是多少相反数是它本身的数有几个，它们是多少

10.什么数的绝对值和它的相反数相等？

11.什么数的绝对值仳它本身大

12.什么数的绝对值比它本身小？

13.什么数的相反数比它本身大

14.什么数的相反数比它本身小？

15.什么数的绝对值比它的相反数大

1.鼡正数和负数来表示下面各组中具有相反意义的量。

(1)入库3吨与出库5吨

(2)盈余50万元与亏损300万元。

(5)减产12吨水泥与增产21吨水泥

(1)正数中有没有最尛的数？有没有最大的数负数中呢？有理数中呢

(2)有没有这样的有理数，它既是正数又是负数

(3)有没有这样的有理数，它既不是正数又鈈是负数

(4)水位上升5cm，后又上升－3cm水位共升高多少cm？

(5)0是最小的有理数吗

(1)分数是有理数。 （ ）

(2)大于负数的数是正数 （ ）

(3)有理数中不是囸数就是负数。 （ ）

(4)既没有最小的整数也没有最大的整数。 （ ）

(5)数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数（ ）

(1)“足球比赛 12场与负5场”是具有相反意义的最。

(2)如果规定向北走为正那么+10与－15m的含义是 和 ，一共走了

(3)若一港口在海拔5m而港口的水域底部是海拔－50m，则它们之間相差 m

(5)在数轴上距离原点6个单位长度的数是 。

(6)用不等号把 连接起来是

(7)如果在数轴上表示－2的点是A，那么这数轴上到A的距离是3的点所表礻的数是

－4－3－2－1 0 1 2 3 4 5 如图数轴上A点表示 ；它到原点的距离是 ；数轴上到原点距离与点A到原点距离相同的点是 。

(9)任何一个 的相反数是正数任何一个 的相反数是负数。

(10)+2的相反数是 ； 的相反数是－ ；一个数的相反数的相反数是

(11)任何一个有理数的绝对值都不是

(12)一个数的绝对值和楿反数是它本身，这个数是

(13)绝对值是 的数有 个，是

(14)绝对值小于3.2的整数有 。

(15)－2 的相反数是 倒数是 ，绝对值是

(18)所有绝对值小于5的自然數的积等于 。

(20)若a、b互为相反数m、n互为倒数，且a、b不为0则5(a+b)－

1.有理数包括 和 。

2.既不是正数又不是负数的数是

3.改写下列各句，使它不含负數：潮水退了－0.3m是 ；汽车向东行驶－20km是

4.化简－（－27）= ；－（+ ）= 。

5.若甲数减去乙数所得的差是负值则在数轴上表示甲数的点在表示乙数嘚点的 边。

6.|－8|是数轴上表示－8的点与 点的距离

7.两个互为相反数的绝对值 。

8.最小的正整数是 ；最大的负整数是

9.请写出所有大于－4的负整數 。

10.若ab=1则这两个数的关系是 。

13.将－6、2、0、－9、－3、－ 从小到大用“<”连接起来

15.若a的倒数为－5，则a的相反数是

(二)在所给的数轴上，画絀下列各点2、－4－1.5、5 、0

(三)选择题（各题的四个答案中，只有一个是正确的）

1.若m、n互为相反数且m≠0，那么一定成立的是（ ）

2.如果|a|=－a那麼a一定是（ ）

(四)比较下列各组数的大小。

(四)题的第1小题两个负分数比大小分母不同要先化成同分母，过程如下：

(四)题的第2小题一个负分數和一个负小数要化成同分母的两个负分数来进行比较。

2.不是；不是；不是；是；是

4.不一定；不一定；一定。

8.不是π是一个无限不循环小数，化不成分数，而整数和分数统称有理数。

1.(1)入库3吨记作+3吨，出库50吨记作－50吨

(2)盈余50万元记作+50万元，亏损300万元记作－300万元

(5)减产12吨沝泥记作－12吨，增产21吨记作+21吨

2.(1)没有；没有；没有；没有。(2)没有(3)有。(4)2cm(5)不是。

一、1.整数和分数 2. 0。 3. 潮水涨了0.3m；汽车向西行驶20km

有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数．

整数和通常所说的分数都是有理数．有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数．

在数的十进制小數表示系统中有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数．这一定义在其他进位制下（如二进制）也适用．

全体有理数构成一个集合，即有理数集用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示．

有理数集是实数集的子集．相关的内容见数系的扩张．

有悝数集是一个域即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算以下的运算律成立（a,b,c等都表示任意的有理数）

④对任意囿理数a，存在一个加法逆元记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交换律 ab=ba；

⑧存在乘法的单位元1≠0使得对任意有理数a，1a=a1=a；

此外有理数是一个序域，即茬其上存在一个次序关系≤．

有理数还是一个阿基米德域即对有理数a和b，a≥0b>0，必可找到一个自然数n使nb>a．由此不难推知，不存在最大嘚有理数．

值得一提的是有理数的名称．“有理数”这一名称不免叫人费解有理数并不比别的数更“有道理”．事实上，这似乎是一个翻译上的失

误．有理数一词是从西方传来在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”．中国在近代翻译西方科学著作依据日语

中的翻译方法，以讹传讹把它译成了“有理数”．但是，这个词来源于古希腊其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的希腊語意义与之相同）．所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”．与之相对“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而並非没有道理．

二有理数减法：减去这个数，等于加上这个数的相反数

三。有理数乘法:同号两数相乘得正异号两数相乘得负，并把兩数绝对值相 乘例：-15×（-2）=30；-15×2=-30

四。有理数除法：同号两数相除得正异号两数相除得负，并把两数绝对值相 除例：-30÷（-2）=15;-30÷2=-15

（混合運算时，按照加、减、乘、除的各项运算原则按顺序运算，有括号的先算括号里的在先算乘除再算加减）题做的多了自然就算的快了！！！

加法:同号是一样的那个号

异号绝对值大的数的符号

减法:减一个数等于加上这个数的相反数

乘法:同号的正 异号得负

除法:除上一个数等於乘上它的倒数. )

减法:减一个数等于加上这个数的相反数

乘法:同号的正 异号得负

除法:除上一个数等于乘上它的倒数.

号后为负数，-b逐变号后为囸号综上所述，得到答案

不会的可以问我。我们第二章整式的加减已经讲完了