九年级上册数学第22章一元二次方程导学案
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九年级上册数学第22章一元二次方程导学案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
九年级上册数学第22章一元二次方程导学案
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
第14--15课时 《一元二次方程》小结与复习学& 习目& 标&1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点&运用知识、技能解决问题。学习难点&解题分析能力的提高．教&&&& 学&&&& 互&&&& 动&&&& 设&&&& 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当S&0时，方程有两个不相等的实数根；当S=0时，方程有两个相等的实数根；当S&0时，方程没有实数根；当S≥0时，方程有实数根。5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当S=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x= ；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2= ，x1•x2= 。若一元二次方程 +px+q=0的两根为 、 ，则：x1＋x2==& -p&& ， x1•x2=& q 。6、一元二次方程的应用。二、基本知识训练1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 C 】A． &B．&& C． &D． 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。3、已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 B 】&A． 1&B．1&C．0&D．无法确定4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。5、用配方法解关于x的一元二次方程x22x3=0，配方后的方程可以是【 A 】A．（x1）2=4　　B．（x+1）2=4&&& C．（x1）2=16　　D．（x+1）2=166、若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是【 B 】&& A．&&&&&&&& B．&&&&&&&&& C．&&&&&&&& D．& 7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【 D 】A． x2+2x-4=0&&&&&&& B． x2-4x+4=0& C． x2+4x+10=0&&&&&& D．x2+4x-5=08、已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则 - 。
三、典型例题分析【例1】用适当的方法解下列方程：⑴x24x+2=0&&& ⑵&&&& ⑶ 解：⑴x= ；⑵x1=1，x2=-3；⑶x= 。【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式 的值．解：∵ = = &&& = 又∵x2+2x-8＝0，∴x1＝-4，x2＝2，但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式= = 【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.解：（1）∵原方程有两个实数根，&&&&&&&& ∴S=9-4( m-1)≥0，&&&&&&&&&&& 解之得： .&&& （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= m-1，&&&&&&&&& ∴2 ×(-3)+ ( m-1)+10=0&&&&&&&&& 解之得：m=-3.【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1•x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；&（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求 ＋ 的值；&（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．解：（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1，x2．∴x1＋x2＝－m，x1•x2＝n．∴ ＋ ＝ ＝－ ， • ＝ ．∴所求一元二次方程为x2＋ ＋ ＝0，即nx2＋mx＋1＝0．（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，∴a＋b＝15，ab＝－5．∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－47．②当a＝b时， ＋ ＝1＋1＝2．∴ ＋ ＝－47或2．（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝ ．∴a，b是方程x2＋cx＋ ＝0的两根．∴△＝c2－ ≥0．∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元。试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。解：（1）设平均每次下调的百分率为 ，依题意可列方程：&解这个方程，得 ，& 因为降价的百分率不可能大于1，所以 不符合题意，符合题目要求的是 %答：平均每次下调的百分率是20%。（2）小华选择方案一购买更优惠。理由：方案一所需费用为： （元）方案二所需费用为： （元）∵ 1，& ∴小华选择方案一购买更优惠。四、经典考题训练1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。&①3x2+x=20，& ②2x2-3xy+4=0， ③ ， ④ x2=0，& ⑤& 2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m=& -2&& 。3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 C 】A．1&&&&&& B． &&&&&& C．2&&&&&& D． 4、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【 B 】A、1&&&&&&&&&& B、&&&&&&&&& C、1或&&&&&&& D、0.55、方程 的解是 ．6、已知关于 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：如x2=1等．7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= -6 ．9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥1　．10、用适当的方法解下列方程：⑴x2-2x-3=0&&&&& ⑵x(x-2)+x-2=0&&&& ⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8&&&& ⑷x2-3x-1=0解：⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷ 11、先化简，再求值：&，其中 是方程 的根．解：原式= = = = ∵ 是方程 的根，∴ ∴原式= = 12、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：∵方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根∴(k-2)2≠0，且△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-16&0∴k & 且k≠213、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求 的值. 解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，∴ = = = =- ．14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且 ，求m的值，并求出此时方程的两根．（1）证明：∵△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．&&&&&&&&& ∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0,&&&&&&&&& ∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，&&&&&&&& ∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵ ；∴ ，&&&&&&&&& ∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，∴m2+2m-3=0,&&&&&&&&&&&& 解得：m1=-3，m2=1．&&&&&&& 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得： ．&&&&&&& 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得： 15、阅读下面的材料，回答问题：解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0& ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，&&& 解得y1=6，y2=－2．&&& 由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．&&& 由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，&&& b2－4ac=1－4×2=－7&0，此时方程无解．&&& 所以原方程的解为x1=－3，x2=2．16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．解：设AB=xm，则BC=（502x）m．根据题意可得，x（502x）=300，解之得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[1200.5（x60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x2=220时，1200.5×（22060）=40＜100，∴x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，1200.5×（8060）=110＞100，∴x=80，答：该校共购买了80棵树苗．一元二次方程单元测试题（一）
一、填空题（每题2分，共计12分）1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.2.已知关于x的二次方程4x2+4kx+k2=0的一个根是-2，那么k=__________________.3.若分式 的值为0，则x的值是________________.4.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为___________________.5.如果关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________________.6.已知关于x的方程x2-（a＋b)x＋ab-2=0.x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：（1）x1≠x2;（2）x1x2＞(3) x12＋x22＞a2＋b2.则正确结论的序号是________________.（在横线上填上所有正确结论的序号）二、选择题（每题5分，共计20分） 7.方程x2+3x-6=0与x2-6x+3=0所有根的乘积等于（& ）A.-18&&&&&&&&&&&&&&& B.18&&&&&&&&&&&&&&& C.-3&&&&&&&&&&&&&&&& D.38.以1，-2为根的一元二次方程是（& ）A.x2+x-2=0&&&&&&&&&& B.x2-x+2=0&&&&&&&&& C.x2-x-2=0&&&&&&&&&&& D.x2+x+2=09.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（& ）A.9&&&&&&&&&&&& B.11&&&&&&&&&& C.13&&&&&&&&&&&&& D.11或1310.某钢厂今年1月份生产某种钢2 000吨，3月份生产这种钢2 420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（& ）A.2 000（1+2x）=2 420&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.2 000（1+x2）=2 420C.2 000（1+x）2=2 420&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.2 420（1-x）2=2 000三、解答题11.不解方程判断根的情况. （每题3分，共计9分）（1）x2-2x-4=0;&&&&& （2）2x2+4x+2=0;&&&&& （3） x2-x+2=0.
12.解下列方程（每题5分，共计15分）（1）3x2+x-2=0;&& （2）4（x-3）2=25;&&& （3）x2+6x-10=0(配方法).
13.（10分）已知x1，x2是方程3x2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.（1）x12x2+ x22x1;&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2） + .&
14.列方程解实际问题（第一小题10分，第二小题12分，共计22分）（1）在一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53 m2，那么小路的宽为多少？&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
（2）△ABC中，∠B=90°,AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，①如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2？②如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2？
15.（12分）已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为56?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
一元二次方程单元测试题（二）
一、选择题1、一元二次方程 的解是（&& ）A．&&&&&&&&& B．&&&& C．&&&& D． ２、方程 的解是（&&&&& ）& A． ，& B． ，& C． ，& D． ，& ３、如果2是方程 的一个根，那么c的值是(&&& )A． &&&& B．－4&&& C．2&&&&&&&&& D．－2４、已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根为（ ）&& A． &&B． &&C． &&D． ５、某商品原价100元，连续两次涨价 后售价为120元，下面所列方程正确的是（&&& ）A．& B． ;C&& D． ６、下列方程中，有两个不等实数根的是（&&& ）A． &B． &C． &D． ７、已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（& ）A．没有实数根; B．可能有且只有一个实数根; C．有两个相等的实数根; D．有两个不相等的实数根 ８、如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么& 的取值范围是（&& ）&& A. ＞&& B. ＞ 且&&& C. ＜&&& D. 且 ９、若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m的值等于& （& ）A．1&&&&& &B．2&&&&&& C．1或2&& &&D．0&&&&&& 11、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（&&& ）& A． &&B． C． &&& D． 12、已知代数式& 的值为9，则 的值为A．18&&&& B．12&&&& C．9&&&&&& D．713、如果x＝4是一元二次方程 的一个根，那么常数a的值是（&& ）．& &&& A.2&&&& B.－2&&&& C.±2&&& D.±414、5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（&&& ）&
15、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （　　）A.甲&&&&&&& B.乙&&&&&&& C.丙&&&&&& D. 乙或丙二、填空题&&& 16、关于 的一元二次方程 的一个根为1，则方程的另一根为&&&&&&&&& 17、若 为方程 的两个实数根，则 ___18、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是&&&&& ．19、在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm ，设金色纸边的宽为 cm，那么 满足的方程为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& . 20、三角形的每条边的长都是方程 的根，则三角形的周长是&&&&&&&& ．21、方程 的解是&&&&&&&&&&&& .& 22、若x＝1是一元二次方程x2＋x＋c＝0的一个解，则c2＝&&&&&&& ．23、阅读材料：设一元二次方程 的两根为 ， ，则两根与方程系数之间有如下关系 ，& . =& 根据该材料填空： 已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为___ __24、关于 的一元二次方程& 有两个实数根，则 的取值范围是&&&&&&&& ． 25、一元二次方程 的解是&&&&& 　　 ． 26、已知关于 的一元二次方程 有两个不相同的实数根，则& 的取值范围是&&&&&&&&&& .&& 28、已知一元二次方程 的一个根为 ，则 30、一元二次方程 可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是 ，则另一个一次方程是&&&&& ．& 31、等腰 两边的长分别是一元二次方程 的两个解，则这个等腰三角形的周长是&&&&&&&& ．& 32、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是　　　　（填上一个符合条件的方程即可）．三、解答题33、（1）解方程： （配方法）
34、解方程：（1） ．&&&&&& （2）&
35在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
36、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？&
37、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．&& ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
38、某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧的侧内墙保留3m宽的空地.其它三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?&
39如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图17②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．&
４０、本题满分8分．已知关于 的一元二次方程 2-& -2=0………①．a)&若 =-1是这个方程的一个根，求 的值和方程①的另一根；b)&对于任意的实数 ，判断方程①的根的情况，并说明理由．文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?一元二次方程的应用 02
一元二次方程的应用 02
北 京 四 中
撰稿：梁威　 审稿：徐晓阳　 责编：张杨
一元二次方程的应用
　　在学习了一元二次方程的定义、基本解法、根的判别式、根与系数关系之后，我们不妨考虑一下，我们可以通过学过的这些内容解决什么问题呢？　　一、旧问题的发展——可以化为一元二次方程的分式方程　　例1、解方程：　　解：方程两边都乘以(x+1)(x-1),约去分母，得　 　　　6-3(x+1)=(x+1)(x-1)，　　整理后，得x2+3x-4=0（这里出现了用我们现在学习的一元二次方程可解决的问题）　　解这个方程，得　 x1=1，x2=-4.　　检验：把x=1代入(x+1)(x-1)，等于0，所以x=1是增根；　　把x=-4代入(x+1)(x-1)不等于0，所以x=-4是原方程的根　　因此原方程的根是x=-4.　　例2、解方程　　分析：注意到的倒数关系，可考虑设换元解之.　　解：设　　　　原方程化为　　　　即2y2-7y+6=0，　　　　　　　　当y=2时，即，去分母，得　　　　x2-2x-1=0，　　　　　　　　当，去分母，得　　　　2x2-3x-1=0，　　　　.　　　　　∴原方程的根是：　　　　　二、衍生的新问题——二元二次方程组　　例1、解方程组　　解法1：由①，得　x=7-y． ③　　把③代入②，整理，得y2-7y+12=0．　　解得 y1=3，y2=4．　　把y1=3代入③，得x1=4；　　把y2=4代入③，得x2=3．　　所以原方程组的解是.　　解法2：　　分析：观察方程组，其特征不难使人联想到一元二次方程根与系数的关系，即视x、y是方程az2+bz+c=0的两根，从而通过解方程即可求出x、y了．　　据题意，设方程组中的x、y是一元二次方程z2-7z+12=0的两个根，解这个方程，得z1=3，或z2=4．　　所以原方程组的解是.　　例2、解方程组　　解：由①分解因式，得(x-y)(x-2y)=0，　　即 x-y=0，或x-2y=0．　　　　解之，得　　　　　 　　　小结：一些特殊的二元二次方程组可用分解降次法解之，关键是将其中一个方程分解因式．　　三、实际问题的解决——应用题　　不妨先回顾一下解决应用题的基本步骤是什么？　　审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；　　设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；　　列（根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程）；　　解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；　　答（切忌答非所问）。　　接下来，我们看几个考察了一元二次方程问题的应用题。　　例1、如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？　　　　分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．　　解法1：如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为32x米2　　纵向的路面面积为20x米2　　那么所列的方程是不是 32×20-(32x+20x)= 540？　　不是。大家要想清楚，这两个面积的重叠部分是x2米2．图中的道路面积不是(32x+20x)米2，而是从其中减去重叠部分，即应是(32x+20x-x2)米2．　　所以正确的方程是32×20-(32x+20x-x2)=540．　　化简得，x2-52x+100=0 　　解得x1=50，x2=2 　　其中的x=50超出了原矩形的长和宽，不符合实际，应舍去．　　当x=2时，道路总面积=(32×2+20×2-22)(米2)=100(米2)，　　耕地面积=(32×20-100)(米2)=540(米2)，符合原题意　　答：所求道路的宽为2米.　　解法2：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)　　如图3，设路宽为x米，　　　　耕地矩形的长(横向)为 (32-x)米　　耕地矩形的宽(纵向)为 (20-x)米　　相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2，　　即(32-x)(20-x)=540．　　化简得x2-52x+100=0，x1=50，x2=2．　　再往下的计算、格式书写与解法1相同．　　例2、建造一个长方体形的水池，原计划水池深3米，水池周围为1400米．经过研讨，修改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来方案的水池的长与宽各是多少米？　　　　解：如图4，设原方案水池宽为x米，则原方案水池长(700-x)米．　　新方案水池宽为 (x+2x)米．　　新方案水池长为 (700-x+2x)米 ．(图5)　　　　相等关系是新方案水池容积等于270万米3，据题意，列方程　　3x(700+x)×3=2700000　　化简，得x2+700x-．　　解得：　　　　　　　　　　　x1=300，x2=-1000(舍去)　　答：原方案水池宽为300米，长为400米．　　小结：　　1、面积、体积问题，常要用到割、补、运动等技法；　　2、像例1中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略.　　例3、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？　　分析：什么叫做平均每月增长率？平均每月增长率是在假定每月增长的百分数相同的前提下所求出的每月增长的百分数．即，设1月份到2月份的增长率为x，则2月份到3月份的增长率也是x，3月份到4月份的增长率也是x，……(平均每月增长率不是每月增长率的平均数)　　解：设平均每月增长百分率为x，　　则2月份比1月份增产5000x吨　　2月份的产量是（x）吨，即5000(1+x)吨　　3月份比2月份增产5000(1+x)x吨　　3月份的产量是5000(1+x)+5000(1+x)x即5000(1+x)(1+x)=5000(1+x)2吨　　相等关系：3月份产量等于7200吨．　　列方程5000(1+x)2=7200．　　化简，得(1+x)2=1.44．　　所以1+x=±1.2，x1=0.2，x2=-2.2(舍去)　　检验：2月份产量为.2)=6000(吨)．　　3月份产量为.2)=7200(吨)符合题意．　　答：平均每月增长率是20％．　　从这道题中，我们可以总结出一个常用的知识点：如果某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x，则增长1次后的值是a(1+x)，增长2次后的值是a(1+x)2，……增长n次后的值是a(1+x)n，这是增长率公式．同样，若原来的量的值是a，每次降低的百分率是x，则n次降低后的值是a(1-x)n，这是降低率公式．　　例4、某人购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不变)，再到期后他兑换得到1308元．求这种债券的年利率．　　解：设年利率为x，则　　第1年后的利息为1500x元　　1年后连本带利为1500(1+x)元　　第2次债券的钱数为[1500(1+x)-435]元　　第2次期满后连本带利为 [1500(1+x)-435](1+x)元　　相等关系是第2次期满后连本带利为1308元．　　据题意，列方程[1500(1+x)-435](1+x)=1308．　　整理，得1500x2+．　　解得：　　检验：x=9％符合题意．　　答：这种债券的年利率为9％．　　小结：　　求平均增长率的步骤是：　　第1步：设平均每次增长率为x；　　第2步：利用原有产量与平均增长率x表示历次的产量；　　第3步：根据题目的相等关系，列出方程；　　第4步：解方程，求出x；　　第5步：检验所求结果，做出答案．
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解一元二次方程的-换元法 一、知识回顾　　1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式： a是二次项系数, b是一次项系数,c是常数项　　2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作“德尔塔”，在一元二次方程中△＝b2－4ac △＝b2－4ac＞0 ＜
＞ 方程有两个不相等的实数根，即：x1，x2 △＝b2－4ac＝0 ＜
＞ 方程有两个相等的实数根，即：x1＝x2 △＝b2－4ac＜0 ＜
＞ 方程没有实数根。　　二、典型例题　　例1：（2004?金华）方程（x2-3）2-5（3-x2）+2 0，如果设x2-3 y，那么原方程可变形为（　　） A．y2-5y+2 0 B．y2+5y-2 0 C．y2-5y-2 0 D．y2+5y+2 0　　分析：此题主要利用换元法变形，注意变形时3-x2与x2-3互为相反数，符号要变化．　　解答：∵x2-3 y ∴3-x2 -y 用y表示x后代入（x2-3）2-5（3-x2）+2 0得： y2+5y+2 0． 故选D．_________________________________________________________________________________________　　例2：已知 x2+y2+1
8，则x2+y2的值为（　　） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1　　分析：解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单　　解答：设x2+y2 t，t≥0，则原方程变形得 t+1
8，化简得： t+5
0， 解得：t1 -5，t2 1 又t≥0 ∴t 1 ∴x2+y2的值为只能是1． 故选B．_________________________________________________________________________________________ 三、解题经验　　换元法在解特殊一元二次方程的时候用的特别多，也可以称为整体思想法，在数学中，整体思想是重要思想之一，因此我们要掌握。上面例题中，例3我们要注意，不要误认为有两个值，一定要化到最简，然后判断是否有跟。
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