高等数学（29）
§11.5&&函数展开成幂级数
一、泰勒级数
如果在处具有的导数，我们把级数
称之为函数在处的泰勒级数。
它的前项部分和用记之，且
由上册中介绍的，有
当然，这里是，且
因此，当时，函数的泰勒级数
就是它的另一种精确的表达式。即
这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。
特别地，当时，
这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。
将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数&&在&&处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。
【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。
证明：设在的某邻域内可展开成的幂级数
据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有
把代入上式，有
于是，函数在处的幂级数展开式其形式为
这就是函数的麦克劳林展开式。
这表明，函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。
二、函数展开成幂级数
1、直接展开法
将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行
OE求出函数的各阶导数及函数值
若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；
写出麦克劳林级数
并求其收敛半径。
?考察当时，拉格朗日余项
当时，是否趋向于零。
若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；
若，则函数无法展开成麦克劳林级数。
【例1】将函数展开成麦克劳林级数。
于是得麦克劳林级数&&
对于任意&，有
这里是与无关的有限数，
考虑辅助幂级数
的敛散性。 由比值法有
故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即&&
因此&&，故
【例2】将函数在处展开成幂级数。
于是得幂级数&&
容易求出，它的收敛半径为&
对任意的，有
由例一可知，，故&
因此，我们得到展开式
2、间接展开法
利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质(&如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。
【例3】将函数展开成的幂级数。
解：对展开式
两边关于逐项求导， 得
【例4】将函数展开成的幂级数。
将上式从到逐项积分得
当时，交错级数
下面，我们介绍十分重要牛顿二项展开式
【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。
于是得到幂级数
因此，对任意实数，幂级数在内收敛。
下面，我们证明，该幂级数收敛的和函数就是函数。
设上述幂级数在内的和函数为，即
两边同乘以因子，有
引入辅助函数
因此，在内，我们有展开式
?在区间端点处的敛散性，要看实数的取值而定，这里，我们不作进一步地介绍。
·若引入广义组合记号&，牛顿二项展开式可简记成
最后，我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。
【例6】将函数展开成的幂级数。
解：作变量替换，则&，有
§11.6&&函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算。
1、一些近似计算中的术语
OE误差不超过
设为精值，而为近似值，则表示与之间的绝对误差。
近似值与精值之差，在小数点后的位是完全一样的，仅在小数点后的第位相差不超过一个单位。
有时，也将误差不超过说成：位。
截断误差(或方法误差)
函数用泰勒多项式
来近似代替，则该数值计算方法的截断误差是
用计算机作数值计算，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，用这些近似表示的数据作计算，又可能造成新的误差，这种误差称为舍入误差。
例如，用3.14159&近似代替&p，产生的误差
d&=p&- 3.14159 = 0.0000026L
就是舍入误差。
2、根式计算
【例1】计算的近似值(&精确到小数四位)。
求根式的近似值，要选取一个函数的幂级数展开式,可选牛顿二项展开式
要利用此式，需要将表示成的形式，通常当较小时，计算效果会较好。
这里，可取，。
解：利用二项展开式，有
如果我们截取前四项来作计算， 则
由于的系数是单调递减的，其截断误差可如下估计
?表达式也可选其它形式，如
?在数列的极限理论学习中，我们已形究过数列
，它单调下降，下界为，且
利用此迭代算式,编写Matlab程序gs1101.m,运行此程序，更容易获得的高精度近似值。
3、对数的计算
【例2】计算的近似值(精确到小数后第4位)。
解：我们已有展开式
利用此数项级数来计算的近似值，理论上来说是可行的。其部分和的截断误差为
欲使精度达到，需要的项数应满足，即
，亦即，应要取到10000项，这实在是太大了。
运行Matlab程序gs1102.m,取级数前一万项(n=10000)来作近似计算，可获得下表。并仔细观察项数与所求近似值对照表与计算速度。
ln2近似值
由上述程序的运行与结果，有几点感受
?部分和的项数取得太大，达到了一万；
?其近似值仅有小数点后三位是精确的；
?项数增加几十项，并未提供多少有效位数字；
?计算花费了太多的时间。
这迫使我们去寻找计算ln2更有效的方法。
中的换成，得
两式相减，得到不含有偶次幂的展开式
令，解出。以代入得
再对此数项级数编程Matlab下的计算程序gs1103.m，运行该程序可获得项数与所求近似值对照表如下
ln2近似值
由表可发现，计算速度大大提高，近似值的精度有十分显著的改进，这种处理手段通常称作幂级数收敛的加速技术。
4、p&的计算
在小学数学学习中，我们就已接触到了圆周率p，可对它的计算却从未真正做过。现在是我们了却这一夙愿的时候了。
两边积分，有
令，则，于是有
利用此式可以进行计算，效果(速度与精度)也不错，只是需要的值。借助三角公式，作适当地变形，可构造出不需要计算表达式。
据上式，编写Matlab程序gs1104.m,运行它可获得如下结果。
p近似值
5、定积分的近似计算
【例3】计算定积分
的近似值，精确到0.0001。
解：因，所给积分不是广义积分，只需定义函数在处的值为1，则它在上便连续了。
展开被积函数，有
在区间上逐项积分，得
因为第四项
所以可取前三项的和作为积分的近似值
对上述级数展开式，我们编写了Matlab程序gs1105.m,运行此程序，可给出截取级数任意项时，此定积分含有更多位有效数值的近似值。
定积分的近似值
&二、欧拉公式
设有复数项级数为
&&&&&&&&&&&&&&(1)
其中为实常数或实函数。如果实部所成的级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
收敛于和，并且虚部所成的级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
收敛于和，就说级数(1)收敛且其和为。
如果级数(1)各项的模所构成的级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4)
收敛，由于
则级数(2)、(3)绝对收敛，从而级数(1)收敛，这时就说级数(1)绝对收敛。
&&&&&&&&&&&(5)
它的模所形成的级数
绝对收敛。因此，级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的。
在轴上()，它表示指数函数，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作。于是定义为
&&&&&&&&&&&(6)
当时，为纯虚数，(6)式成为
把换写为，上式变为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(7)
这就是欧拉公式。
应用公式(7)，复数可以表示为指数形式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(8)
其中：&是的模，是的辐角。
在(7)式中把换为，又有
与(7)相加、相减，得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(9)
这两个式子也叫做欧拉公式。
(7)式与(9)式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系。
根据定义(6)
并利用幂级数的乘法，我们不难验证
特殊地，取为实数，为纯虚数，则有
这就是说，复变量指数函数在处的值是模为、辐角为的复数。
§11.8&&傅立叶级数
一、三角级数与三角函数系的正交性
描述简谐振动的函数
就是一个以为周期的正弦函数，其中ｙ表示动点的位置，ｔ表示时间，A为振幅，为角频率，为初相。
在实际问题中，还会遇到一些更复杂的周期函数，如电子技术中常用的周期为T的矩形波。
如何深入研究非正弦周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，我们也想将周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体的来说，将周期为的周期函数用一系列三角函数组成的级数来表示，记为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
其中都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义量很明确的，这就是把一个复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加，在电工学上这种展开称为谐波分析。
为了讨论的方便，我们将正弦函数变形成为
并且令则(1)式右端的级数就可以改写为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
一般地，形如(2)式的级数叫做三角级数，其中都是常数。
如同讨论幂级数时一样，我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题，以及给定周期为2的周期函数如何把它展开成三角级数(2)。
我们首先介绍三角函数系的正交性。
所谓三角函数系
&&&&&&&&&&&&&(3)
在区间[]上正交，就是指在三角函数系(3)中任何两个不同函数乘积在区间[]上的积分等于零，即
以上等式都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下。利用三角学中的积化和差公式
在三角函数系(3)中，两个相同函数的乘积在区间[]上的积分不等于零，且有
&&&&&&&&&&&&&&
二、函数展开成傅立叶级数
设是以为周期的周期函数，且能展开成三角级数
我们自然要问：
系数与函数之间存在怎样的关系？换句话说，如何利用把表达出来？
为此，我们进一步假设级数(4)可以逐项积分。
先求，对(4)式从－到逐项积分有
根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，故
其次求，用乘(4)式两端，再从－到逐项积分，我们得到
根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除一项外，其余各项均为零，故
类似地，用乘(4)式的两端，再从－到逐项积分，可得
由于当时，的表达式正好为，因此，已得结果可以合并写成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&(5)
如果公式(5)中的积分都存在，则系数叫做函数的傅立叶系数，将这些系数代入(4)式右端，所得的三角级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(6)
叫做函数的傅立叶级数。
一个定义在上周期为的函数，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出的傅立叶级数(6)，但(6)不一定收敛，即使它收敛，其和函数也不一定是，这就产生了一个问题：
需满足怎样的条件，它的傅立叶级数(6)收敛，且收敛于？换句话说，满足什么条件才能展开成傅立叶级数(6)？
下面我们叙述一个收敛定理（不加证明），它给出了关于上述问题的一个重要结论。
【定理】（收敛定理，狄利克雷充分条件）
设是周期为的周期函数，如果它满足：
1、在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
2、在一个周期内至多有有限个极值点，
则的傅立叶级数收敛，并且
当是的连续点时，级数收敛于；
当是的间断点时，级数收敛于
收敛定理告诉我们：只要函数在上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值，可见，函数展开成傅立叶级数的条件比展开成幂级数的条件要低得多。
【例1】设是以为周期的周期函数，它在上的表达式为
将展开成傅立叶级数。
解:函数的图形如下：
函数仅在处是跳跃间断，满足收敛定理的条件，由收敛定理，的傅立叶级数收敛，并且当时，级数收敛于
当时，级数收敛于。
计算傅立叶系数如下：
的傅立叶级数展开式为
【例2】设是周期为2的周期函数，它在上的表达式为
将展开成傅立叶级数。
解：函数的图形如下：
如图可知，满足收敛定理条件，在间断点处，的傅立叶级数收敛于
在连续点)处收敛于。
计算傅立叶系数如下：
的傅立叶级数展开式为
如果函数仅仅只在[-，]上有定义，并且满足收敛定理的的条件，&仍可以展开成傅立叶级数，
1、在或外补充函数的定义，使它被拓广成周期为的周期函数，按这种方式拓广函数定义域的过程称为周期延拓。
2、将展开成傅立叶级数。
3、限制，此时，这样便得到的傅立叶级数展开式。根据收敛定理，该级数在区间端点处收敛于。
【例3】将函数&&展开成傅立叶级数。
解：将在上以为周期作周期延拓，其函数图形为
因此拓广后的周期函数在上连续，故它的傅立叶级数在上收敛于，计算傅立叶系数如下
故的傅立叶级数展开式为
利用这个展开式，我们可以导出一个著名的级数和。
令，有，于是有
若记&&&&，&，
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第九章 第九章 第三节 将函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
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结束 第九章 一、泰勒级数 一、泰勒级数 1. 泰勒公式 定理1
如果函数 在点 x 的某邻域内有直到n+1阶导数， f
x 0 则在此邻域内任意一点，有 的n阶泰勒公式 f
x ?? n ? f
? x? x ? ??x x ?R
x ? 0 n 0 0 0 0 2! n! 1 n? f ? n?1 R
x ? 在?x 与x 之间）. 其中余项 n 0 0 1 !n ? 当 时x 0 0
泰勒公式变成麦克劳林公式 ?? n ? f 0 2 f
0 f x0 ? ?
?x ??? x R
? 2! n! n 1 n? f ? n?1 其中余项
x 在.? 与 x之间） 1 !n ? 荆门职业技术学院《高等数学》电子教案 机动
结束 第九章 2、泰勒级数 f
给定函数 下面形式的幂级数 ?? n ? f
? x? x ? ? x
?? 0 0 0 0 0 2! n! f
x 称为函数 的泰勒级数. 当x 0 0
时, 泰勒级数变成 ?? n ? f 0 2 f
?x ?? x ?? 2! n! f
x 称为函数 的麦克劳林级数. 两个问 题： 1）泰勒级数在什么情况下收敛？ f
x 2）如果收敛的话，是否收敛于 下面定理解决了这两个问题. 荆门职业技术学院《高等数学》电子教案 机动
结束 第九章 f x x
在点 定理2
设函数 0 的某个邻域内具有任意阶导数, f则 x
在该邻域内能展成泰勒级数的充分必要条件是: f
x当 n 时 ?? 的泰勒公式中的余项 n 极限为零. 即 1 n? f
lim limR x n ??0 x
x 0 在x?与x0
之间 ?n? ?n? 1 !n ? 说明: 1
如果函数具有任意阶导数, 我们能写出函数的泰勒级数, 但是这个级数不一定收敛于该函数; 2
当函数的泰勒公式中的余项趋于零时, 泰勒级
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《高等数学下》
课 程 学 习 指 导 资 料
适用专业：
电气自动化
适用层次：
四川大学网络教育学院
二零零三年十一月
《高等数学下》课程学习指导资料
编写：谭满益
审稿（签字）：
审批（主管教学负责人签字）：
本课程学习指导资料根据该课程教学大纲的要求，参照现行采用教材《高等数学及其教学软件》上、下册（上海交通大学、集美大学编，科学出版社，2003年）以及课程学习光盘，并结合远程网络业余教育的教学特点和教学规律进行编写，适用于电气自动化专业业余专科学生。
课程的学习目的及总体要求
一、课程的学习目的
《高等数学》是大学中最重要的课程之一，它是讲授微积分的基础知识及其应用的一门重头基础课。它的内容很丰富，既要为理、工、经、商等各专业后续课程提供必要的基础的数学工具，又负责培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力的任务。它不仅为后续课程和科技工作提供了必备的数学工具，而且对学生科学素质的形成和分析解决问题能力的成长产生着重要而深远的影响。通过本课程的学习，要求学生掌握理论基础知识并结合实际应用，提高学生的综合分析能力和创新能力。
二、本课程的总体要求
1. 基本要求：
要求学生掌握课本中介绍的重要概念，借助几何知识直观领会概念的意义；掌握多元函数微积分和级数；注意微积分与实际问题的联系，尝试用学过的方法解决一些简单的应用问题；学会使用数学软件；学会自学，培养自学能力。
2. 技能要求：
要求学生学会使用数学软件Mathmatica进行各种运算、绘制图形和完成应用课题，培养学生的动手能力。
3. 素质要求：
培养良好的分析问题和解决问题的能力，能综合运用所学内容独立进行实际问题的解决，善于归纳总结，具有创新意识。
第二部分 课程的学习的基本要求及重点难点内容分析 考试内容：第七章微分方程（上册）、
第九章多元函数微分学、
第十章多重积分、
第十二章无穷级数与逼近
第七章：微分方程
本章是微分学在实际和理论问题中应用最广的理论之一，是高等数学的一个重要内容。本章知识结构图：
?微分方程的基本概念??变量可分离方程????其次微分方程???一阶微分方程可积类型?一阶线性方程
??伯努利方程?????全微分方程????y(n)?f(x)????微分方程??可降阶的高阶微分方程?y???f(x,y?)
?y???f(y,y?)????????方程解的理论??高阶微分方程?高阶微分方程???二阶常系数线性方程???可化为常系数线性方程的方程????????? ??微分方程的简单应用?
本章主要介绍了常微分方程四个方面的内容：
? 有关常微分方程的基本概念；
? 关于常微分方程的解的理论――线性微分方程解的性质与通解结构的研究； ? 常见微分方程的解法；
? 微分方程的简单应用。
1. 本章学习要求
1) 应熟悉的内容：
了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；会识别下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次微分方程、一阶微分方程、伯努利方程和全微分方程。
2) 应掌握的内容：
会解简单的全微分方程；会用微分方程解决一些简单的应用问题；知道特殊的高阶方程y(n)?f(x),y???f(x,y?),y???f(y,y?)的降阶解法；理解线性微分方程的性质与解的结构定理，并会用其识别线性微分方程的通解和特解。
3) 应熟练掌握的内容：
掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；会解齐次微分方程和伯努利方程，从中领会用变量代换求解方程的思想；掌握二阶常系数齐次线性方程的解法；会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数等，会解二阶常系数非齐次线性方程的特解和通解。
2. 重点难点分析
重点：微分方程的概念；一阶微分方程可积类型的解法；高阶线性方程的性质与结构定理；
二阶常系数齐次线性方程与常系数非齐次线性方程的解决。
难点：一阶微分方程的类型识别；由实际问题建立微分方程和确定初始条件；高阶线性方
程的理论应用；解二阶常系数线性方程的特征根法和待定系数法。
3. 本章典型例题解答
例1：求微分方程xy'?ylny?0的通解。
解：原式变为： dydxdyylny，即
。 ??ylnyxdxx
两端积分有：?dydx??，ln|lny|?ln|x|?C1。 ylnyx
lny?eC1?C，?lny?Cx，因此 y?eCx。 x
dy22dy例2：解方程y?x?xy。 dxdx从而
?y???dyy2x。令u?y，则有：式子y?ux和dy?u?xdu成??解：原方程可写为：dxxy?x2?y?xdxdx???1?x?2
duu2duu?立。于是原方程变为：u?x，即x。 ?dxu?1dxu?1
分离变量得：?1??
?1?dx，两边求积分有：u?ln|u|?C?ln|x|，即ln|ux|?u?C，?du?u?x
?ln|y|?y?C。 x
5dy2y例3：求解方程??(x?1)2。 dxx?1
解：先求对应齐次方程的通解：dy2dxdy2。 ??y?0，变形为：yx?1dxx?1
lny?2ln(x?1)?lnC，?y?C(x?1)2。
用常数变易法，把C换成x的函数u，即令（*）y?u(x?1)，那么
1dy2?u'(x?1)?2u(x?1)。代入所给非齐次方程，得u'?(x?1)2。两端积分dx2
2u?(x?1)2?C。再代入（*）式即得： 3
3?2?y?(x?1)?(x?1)2?C?。
例4：求微分方程y???sinx 满足初始条件y(0)=2，y′(0)=1的解。 - cosx
解：逐次积分得：
y???(sinx - cosx)dx??-(cosx?sinx)?C1
y???-(cosx?sinx)?C1?dx?cosx - sinx?C1x?C2
由y′(0)=1，得C1=2；由y(0)=2，得C2=1，于是所求初值问题的特解为
y=cosx–sinx+2x+1。
例5：求yy''?y'?0的通解。 2
解：y'?P，则y''?PdPdP?P2?0。 。代入方程得：yPdydy
在y?0和P?0时的去P并分离变量，得：dPdy。 ?xPy
两端积分有：ln|P|?ln|y|?l|C1|。即P?C1y。
再分离变量并两端积分得通解：ln|y|?C1x?ln|C2|，所以y?C2eC1x。
4. 本章例题分析和作业
例题：P282例1；P285例5；P294例4；P296例1、例2、例3；P304例1、例2、例3、
例4、例5、例6。
作业：P290作业1 （1）、（3），3（2）、（3）；7（2）、（3）、（8）；P302习题3；P308习题
1（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；2（2）、（4）；3（1）、（2）、（4）。
第九章 多元函数微分学
本章把一元函数拓广到多元函数，并且同一元函数微分学类似地讨论了多元函数的三个重要问题：
? 给出了函数的一般定义，简要地介绍了多元函数的极限（多重极限与多次极限），
多元函数的连续性以及多元连续函数中与一元连续函数类似的性质；
? 给出了多元函数的偏导数与全微分的定义，并详细地介绍了多元函数的微分方程
（包括复合函数的偏导数与全微分，隐函数的偏导数与全微分的计算方法），以
及微分形式的不变性；
? 介绍多元函数的偏导数在几何上的应用。几何上——曲面的切平面与法线方程；
曲线的切线与法平面方程；极值与最值问题。
本章知识结构图
??定义域???多元函数?函数关系（对应规则）???初等函数??分段函数????定义??极限??极限存在与否的判断??求极限的方法?????某点连续的保号性?????有界性定理????定义——连续函数的性质?有界闭区域上连续函数的?最值定理??????介值定理????????连续?不连续点——间断点??初等函数在定义区域内连续???????????????多元函数微分学?偏导数的定义——偏导数的几何意义
?全微分的定义——全微分存在的必要条件与充分条件???复合函数的微分法????隐函数微分法?一个方程所确定的隐函数??微分法???方程组所确定的隐函数????一阶微分形式的不变性????高阶偏导数、高阶微分
???曲面的切平面与法线?几何应用????曲线的切线与法平面?????无条件极值?应用极值????条件极值——拉格朗日乘数法????最值问题??????? ??????
1. 本章学习要求
1) 应熟悉的内容：
了解二元函数的极限与连续的概念；了解有界闭区域上连续函数的性质；理解多元函数极值与条件极值的概念。
2) 应掌握的内容：
理解多元函数的概念；掌握多元函数的微分；理解偏导数与全微分的概念；会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
3) 应熟练掌握的内容：
掌握复合函数的一阶、二阶偏导数的求法；会求隐函数（包括由方程所确定的隐函数）的偏导数；掌握多元函数极值的必要条件，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值。
2. 本章重点难点分析
重点：多元函数的极限与连续；多元函数中的可导、可微以及可导与可微的关系；复合函
数和隐函数的微分法；极值与最值。
难点：极限不存在的判别；求极限的方法；可微的判别；分段函数在分段点处的偏导数；
抽象复合函数及隐函数的偏导数；极值的判别；条件极值；最大最小问题。
3. 本章典型例题解答
?x2y???,x、y不同时为0?22例1：设f(x,y)??x?y，求证：limf(x,y)?0。 x?0?0
，x?y?0y?0?
- 0?2y?y?x?y，所以，当x和y趋近于0时，必有f(x,y)证明：因为222x?yx?y
趋近于0,故得：limf(x,y)?0。 x?0y?0
例2：求limlim10。 y?5x?2x2?y2
x2y?xy2101010?lim?解：limlim2。例3：求limlim。 3y?2x?-1y?5x?2x?y2y?54?y2(x?y)29
x2y?xy2y-y22-4?lim???2。 解：limlim3y?2x?-1(x?y)3y?2(-1?y)3(-1?2)
例4：求u?e
x2y?3y2x?5x2的偏导数?u?u?u,
?和 。 ?x?y?z
?u2x2y?3y2x?5z2解：?(2xy?3y)e?x
例5：求?u2x2y?3y2x?5z2?(x?6xy)e?y?ux2y?3y2x?5z2。 ?10ze?zz=xln(x+y) 的二阶偏导数。
解：?zx?zx， ?ln(x?y)??,
??xx?y?yx?y
?2z1x?y-xx?2y?2zx?????- ，， ?x2x?y(x?y)2(x?y)2?y2(x?y)2
?2z1xy?2zx?y-xy?- ???，。 ?x?yx?y(x?y)2(x?y)2?y?x(x?y)2(x?y)2
例6：求函数
解：因为f(x,y)=x2y3在点（2，－1）处的全微分。
fx(x,y)?2xy3,
fy(x,y)?3x2y2,fx(2,-1)?2?2?(-1)3?-4,fy(2,-1)?3?22?(-1)2?12。 且它们是连续的，故dz?-4dx。 ?12dy
例7：z?x,而x?sint, y?cost,求
解： ydz。 dt
dz?fdx?fdy?????yxy-1cost?xylnx(-sint) ?yxy-1cost - xylinxsintdt?xdt?ydt
?(sint)cost-1cos2t - (sint)cost?1lnsint。
例8：求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值。
?fx(x,y)?4 - 2x?0，得驻点：x=2,y=-2。 f(x,y)??-4 - 2y?0?y解：解方程组?
因为A=fxx(2,-2)=-2<0，C=fyy(2,-2)=-2<0,B=fxy(2,-2)=0，
因此，对点(2,-2)，B2-AC=-4<0，故（2，－2）为极值点，
又由于A<0故（2，－2）为极大值点，其极大值为f(2,-2)=4(2+2)-22-(-2)2=8。 例9：求函数f(x,y)=xy在约束条件x+y=1下的可能极值点。
解：作拉各朗日函数F(x,y,?)?xy??(x?y-1)，求F的各一阶偏导数，令其等于零，得
?Fx?y???0111?，解之得：。 ??- ,
y?F?x???0?y222??x?y-1?0
故??,?是函数f(x,y)的可能极值点。 ?1
例10：求上半球z?9?x2?y2在点（1，2，2）处的切平面方程及法线方程。
解：因z?x??x
9?x2?y2,z?y?1,z??1,故球面在点（1，2，2）处有法向量n?{,1,1},z2229?x?y?y
因而，所求切平面的方程为
法线方程为1x?1）?(y?2)?(z?2)?0,2x?1y?2z?2＝?。122
4. 本章例题分析和作业
1) 本章例题：P72例5；P75例8，例9，例10；P77例11；P80例1，例2，例3； P83
例7；P84例8，例9；P87例10，例11，例12；P91例1，例2； P92例3； P93例5； P96例8，例9； P97例10； P98例12 ；P99例13；P112例2，例3； P113例4； P117例6，例7。
2) 本章作业：P77习题1；习题2；习题3（2）、（4）、（5）；P78习题7（1）、（3）、（7）、
（8）；P88习题1（1）、（3）、（5）、（7），习题2（1）、（3）、（5），习题3习题4（1）、
（3）；P89习题5（1）、（4），习题7，习题10（1）、（3）、（5）；P99习题1（4）、（4）、
（6），习题3； P100习题5，习题9（1）、（3）、（4），习题11； P119习题1，习题2，习题3，习题7。
第十章 多重积分
重积分是定积分概念的推广和发展。在重积分中被积函数是二元或三元函数，积分区域是平面或空间的区域。
本章主要讨论以下三个问题：
? 二重积分的概念、性质；
? 二重积分的计算；
? 二重积分在数学（特别是几何方面）中的应用。
1. 本章学习要求：
1) 应熟悉的内容：
二重积分的性质；三重积分的概念。 2) 应掌握的内容：
二重积分的概念及其几何意义。 3) 应熟练掌握的内容：
掌握在直角坐标下及极坐标下二重积分的计算方法；会利用区域的对称性及函数关于相应变量的奇偶性化简二重积分的计算，通过交换积分顺序求二次积分。
2. 本章重点难点分析
重点：二重积分的计算方法
难点：积分次序的选取；化为二次积分的定理。
3. 本章典型例题解答
，其中D是由抛物线y?x及直xyd???
线y?x?2所围成的闭区域。
解：画出积分区域D，y的变动范围是[－1，2]，固定y，x以y2变到y+2，
??xyd???????
xydx?dy???y??dy??y(y?2)2?y5dy?5。
??1?2?18?2?y2
dxdy，其中D是由中心在原点，半径为a的为圆周所围成的闭区域。
解：在极坐标系中，闭区域D可表为0?r?a，0?Q?2?。从而
dxdy???e?rrdrdQ????e?rrdr?dQ
?ae?r2rdr?dQ?1(1?e?a2)2?dQ??(1?e?a2)。 ?0????0?2
4. 本章例题分析和作业
1) 本章例题：P130例1；P133例1，例2；P134例3；P135例4；P136例5；P137例6，
例7，例8，例9；P153例1，例2；P154例3；P155例4。
2) 本章作业：P131习题5； P144习题1，习题2（1）、（4）、（5）、（6）、（7）；P145习
题3，习题4； P146习题8（1）、（2）、（5）、（6）。
无穷级数与逼近
级数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质的一个重要工具，在理论和应用中占有十分重要的地位，本章主要研究二个问题：
? 常数项级数的概念、性质及其审敛法；
? 函数项级数的概念，及其在理论与应用中都很重要的两类函数项级数——幂级数
和傅立叶级数；
1. 本章学习要求：
应熟悉的内容：
理解常数项级数收敛性以及收敛级数的和的概念；了解傅立叶级数的概念。 2)
应掌握的内容：
会用交错级数的莱布兹定理；会写出函数f(x)的傅立叶级数的和函数的表达式。
3) 应熟练掌握的内容：
掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与P级数的收敛性；掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法；掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛的求法；掌握函数e,sinx,cosx,
,ln(1?x),(1?x)a(a?R)的麦克劳林展开1?x
试，会用它们将一些简单函数展开成幂级数。
2. 本章重点难点分析
重点：常数项级数敛散性的判断；幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域；用间接方法将
函数展成幂级数。
难点：绝对收敛；条件收敛；比较审敛法的灵活应用；抽象数项级数敛散的判定；求幂级
数的和函数。
3. 本章典型例题解答
例1：判断无穷级数
111??????的收敛性。 1?22?3n(n?1)
解：由于un?
n(n?1)nn?1
。 ?????(1?)?(?)???(?)?1?
1?22?3n(n?1)223nn?1n?1
)?1，所以级数收敛，它的和是1。 n?1
例2：证明级数
是发散的。
证明：因为
?1，由定理知此级数发散。 n
例3：判断级数
的敛散性。 n
??un?1，limun?lim?0，所以级数收敛。 nn?1n??n??n
例4：求幂级数1?x????xn??的收敛区间。
解：因为??
?lim?0， n??n?1n!
所以收敛半径R=+∞，从而收敛区间是（－∞，+∞）。 例5：写出函数f(x)=ln(1+x)的泰勒级数。 解：因为f?(x)?
的展开式为： ，而
?1 - x?x2 - x3???(-1)nxn??
-1?x?1， 1?x
将上式从0到x逐项积分，并注意到f(0)=ln1=0，得
x2x3x4xn?1n
ln(1?x)?x - ?- ???(-1)???
解：因为sinx?x????，所以
??????3!5!??6。 ??
4. 本章例题分析和作业
1) 本章例题：P225例1；P226例2，例3，例4；P227例5，例6，例7；P231例1；P233
例2；P234例3；P235例4，例5，例6；P236例7；P237例8；P238例9，例10；P239例11；P243例1，例2； P245例3，例4，例5，例6，例7； P247例8，例9；P248例10；P249例11；P252例1，例2；P254例3，例4；P257例5；P258例6；P259例7，例8，例9；P260例10。
2) 本章作业：P229习题1，习题2，习题3（1）、（3）、（4），习题4的奇数； P230习题
8，习题9，习题10； P240习题4偶数；P241习题5，习题6，习题7，习题8，习题9（1）、（4）、（7）、（10），习题10（1）、（3）、（8）、（9），习题12（1）、（4）、（7）、（10）；P249习题1（1）、（3）、（5）、(9)、（12）、（15）、（18），习题3，习题5；P250习题6，习题7（1）、（2）、（7），习题8，习题10。
综合练习题
一、填空题（21分，每题3分） 1、设z??1?xy?，则2、设f(x,y,z)?
?_______。 ?x
,则fz(1,0,2)?________.。 222
?________。
4、交换二次积分的次序
f(x,y) dx=________。.
5、设 D 是由直线
y = 5 + x,
y = - x + 7, x = 0 及 x = 1 所围的区域，
??(3x?5)dxdy?_________.。
求微分方程xlnxdy?(y?lnx)dx?0满足条件y
7.y?sinnx?cosnx，则y?(0)?____。
?1的特解为____。
二、选择题（15分，每题3分, 只有一个正确） 1、R2的任意点集的全部边界点所组成的集合 (
（A） 是开集；（B）是闭集；（C）既是开集又是闭集；（D）两者都不是. 2、f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在是f(x,y)在(x0,y0)处可微的（
） （A）必要条件；（B）充分条件；（C）充分必要条件；（D）以上都不是。 3、非齐次线性微分方程 x
(A)(At?B)esin2
(B) et???At?B?cos2t??Ct?D?sin2t??；
(C) t(At?B)etsin2t;；
tet???At?B?cos2t??Ct?D?sin2t??
?xy??(1?x)y?e2x2y(2)4、设?(0?x???)，则2?e2?_____. (
? ex, ?0x?1
5、设f(x)?? 的正弦级数
的和函数为S(x)，则S(?1)?2
（A）0 ； （B）?1 ； （C）
三、( 8分) 设方程 x2?y2?z2?yf?
?确定函数z?z(x,y),其中f(u)可微， y?
? (xy?0)的极值。 xy
四、( 9分) 求函数 z?f(x,y)?xy?
五、( 9分) 将函数
f(x)?arctanx?展开为x的幂级数，并说明展开式
成立的区间。
六、(8分) 求函数z?exysin(x?y)的全微分和偏导数。 七、(10分)计算二重积分I???
y?x2d?，其中D?{(x,y)|x?1，0?y?2}。.
八、(10分)求微分方程y???4y??4y?eax的通解，其中a为实数。
九、(10分) 设un?0 (n?1,2,?)且 lim
?1，求证： n??un
1?n?1?1(?1)???条件收敛.。 ?n?1?unun?1?
综合练习题答案
一、填空题（21分，每题3分） 1.、y(1?xy)
；2.、 (-2/25)；3、(ln2)；4、=
f(x,y)dy；
5、(-4)；6、
e?；7、(0)。 xx
二、选择题（15分，每题3分, 只有一个正确） 1、B；2、A；3、D；4、C；5、D。 三、( 8分)
令F(x,y,z)?x2?y2?z2?y f?
?z?z?z??z?
Fy?2y?f???f???,
Fz?2z?f???
?y?y?y??y?
????.?xFz,?xFz,四、解
z?x??0,(1, 1)z?, A=2,
AC?B?3?0, A>0; 故有极小值 z(1,1)?3
zxy?1,B?1,
11x2n2nn2n
f?(x)?[arctanx?ln(1?x)]????(?1)x?x(?1)x??22
21?x1?xn?0n?0
??(?1)nx2n??(?1)nx2n?1??(?1)n(x2n?x2n?1);
f(x)?f(x)?f(0)??
?x2n?1x2n?2?x2
f?(t)dt??(?1)??,
2n?12n?2nn?0n?1??
八 ( 10分)
解：对应齐次方程的通解为y?(c1?c2x)e?２x，当a??2时，设原方程的特解为y??Aeax，解得y??y?(c1?c2x)e?2x
e。非齐次方程的通解为2
(a?2)1?eax。2(a?2)
当a??2时，设方程的一个特解为y?Axe非齐次方程的通解为y?(c1?c2x)e
，解得y?e。
x2?2x?e。2
n1n1?1,?un???
(n??), ?N?N?,?n?N,un?0; lim?lim?0.n??un??un??unnnn
?uun?1nnnn?1
limn?lim?lim?1?lim?2;
?级数不绝对收敛。
n??n??un??un??n?1u1nn?1n?1
?11??11??11?1?1n?1?1n?11?Sn??(?1)k?1?????????(?1)???(?1),???????uuuuuuuuuuk?1k?1??12??23?n?1?1n?1?k?n
故级数收敛且为条件收敛。 u1
《高等数学下》课 程 学 习 指 导 资 料编写 谭满益适用专业： 电气自动化 适用层次： 业余专科四川大学网络教育学院二零零三年十一月 《高等数学下》课程学习指导资料编写：谭满益审稿（签字）：审批（主管教学负责人签字）：本课程学习指导资料根据该课…
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