有理数、无理数的证明（三：证明）
1、（1）证明：有理数与无理数的和是无理数；【假设法】
（2）两个无理数的和是否一定是无理数？【否，互为相反数的】
（3）有理数与无理数的积是否一定是无理数？【否，0】
2、 证明：（1）1.1是循环节）是有理数，【循环小数化分数】
（2）0.。。。是无理数。【假设法，循环小数的特征】
3、 证明：如果正整数x满足 x^2 = 2，那么x是无理数。【假设法，互质，矛盾】
4、 请问： 1
2&&&&&&&&&&&&
是有理数还是无理数？【设为x，解方程】
&&&&&&&&&&&&&&
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&&&&&&&&&&&&&&&
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——————
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2 +& 。。。
5、 证明：（1）任两个不同的有理数之间有无数个有理数，【平均数细分】
（2）任两个不同的有理数之间有无数个无理数；【可以利用根号2】
&&&&&&&&&&&&&&
证明：设这两个为a,b,且a&b.
构造无穷数列{c(n)}，为
c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
(1)先证明{c(n)}所有项都在(a,b)内.
对任意n属于N+,有
0&1/(2^n)&=1/2.
又因为 0&根号2&2,
所以 0&(根号2)/(2^n)&1,
所以 a&a+(根号2)*(b-a)/(2^n)&b.
即 c(n)属于(a,b).
由n的任意性知，{c(n)}所有项都在(a,b)内.
(2)再证明{c(n)}各项不等.
对任意m,n属于N+,且m不等于n,有
2^m不等于2^n.
所以 a+(根号2)*(b-a)/(2^m)不等于a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
由m,n的任意性知，{c(n)}各项不等.
(3)最后证明{c(n)}所有项都是.
因为对任意n属于N+，2^n是,
且 根号2是,b-a不等于0,
所以 c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n) 是.
综上,a,b间有无穷多个无理数
c(1),c(2),...
即任意两个之间有无穷多个无理数.
= = = = = = =
构造方法是：
(1)在(0,1)内“按一定规律”找无穷多个无理数，记为数列{d(n)}。
这里选用 d(n)=(根号2)/(2^n).
(2)将d(n)进行线性变换，成为c(n)，使{c(n)}在(a,b)内。
则 c(n)=a+(b-a)*d(n).
(3)根据有理数和无理数的“有理性”，可知c(n)都是无理数。
注意：非零有理数*无理数=无理数。
（3）任两个不同的无理数之间有无数个有理数；【小数法】
6、已知 a,b,c,d都是有理数且cd 不等于 0，x是无理数，y = ( ax + b ) / ( cx + d
)& 。求证：当且仅当 bc=ad 时，y是有理数。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
7、用严格的数学方法证明0.……为无理数。【构造数，如0.22...（相邻两个1之间依次多一个2）等，这类构造数成为魏尔斯特拉斯数，这不光是个无理数，还是超越数。】
8、证明：√2& +&
的和是无理数。【设为x，两边平方，得矛盾】
9、两个实数之间必有有理数的证明:
设a, b 为实数, a&b, 取正整数n,
使得[n(b-a)]&1([x]为取整函数)，则n(b-a)&=[n(b-a)]&1,
从而在区间(na,nb)上至少有一个整数m, 故r=m/n
为有理数，且a&r&b.
就是小数.初中阶段主要有以下几种形式：
1.构造的数，如0.22...（相邻两个1之间依次多一个2）等；
2.有特殊意义的数，如π=3.……，等；
3.部分带根号的数，如√2=1.41421...，√3=1.732...等；
4.部分，如sin35°，tan40°等。
补充知识：
1 任何一个有限小数p都可以表示为分数.
方法: 设它最低位为小数点后k位, 那么把令q = p * 2^k, 则q为一个整数. q/ 2^k 就是所求的分数, 约分即可
2 任何一个无限循环小数p可以表示为分数.
方法: 拆分 p = p1 + p2, 其中p1是有限小数, p2是纯粹循环节部分.
由1可知, p1能表示为分数; 那么假如循环节p2能表示为分数, 则p可以表示为分数.
设循环节有k位, 那么考虑下面的小数:
A = 0. n1 n2 ... nk n1 n2 .. nk n1 n2 .. nk ... (注意,n1~nk是循环节k位的数字, 这里不是乘法 )
观察除法算式:
0.n1 n2 ... nk
y / x.0 0 ... 0 0000...
y* [ n1 n2 ... nk ] + A = A * 2^k
其中 [ n1 n2 ... nk ] 为一个每位是n1~nk的k位整数
这是一个一次整数方程, 解之即得A的分数形式
移位即得p2的分数形式, 则 p = p1 + p2 可表为分数
3 任何一个无限不循环小数都不能表示为分数.
1 任何分数都可以表示为有限或者无限循环小数.
设分数为p/q, 除法式时每位余数必然是一个小于q的整数, 其排列有限,若不除断则必然在q次之内重复出现. 于是循环
2 假设无限不循环小数p 能表示为分数x, 则该分数x必能表为有限或无限循环小数p'.
由小数的唯一性知 p!= p', 与假设矛盾, 证毕
1.只需证明：
b= 0.001...不是循环小数
2。设：b= 0.001...=0.a1a2a3a4...an..
an=1,n=k(k+1)/2，k=1，2，3，。。。
an=0,其他。
3。反证法：设b是循环节的长度为q的循环小数，
即an=a（n+q）==》
1=a1=a（1+sq），s=0，1，2，。。==》
1+sq=k（s）[k（s）+1]/2==》
q=1+（s+1）q-（1+sq）=
=[k（s+1）-k（s）][k（s+1）+k（s）+1]/2
2q=[k（s+1）-k（s）][k（s+1）+k（s）+1]，
由于2q只有有限个约数，所以矛盾，
所以反证法的假设错误，
所以b不是循环小数。
修改：3。反证法：设b是循环节的长度为q的循环小数，
即an=a（n+q），n&n0==》
有p=t（t+1）/2， 使1=ap=a（p+sq），s=0，1，2，。。==》
p+sq=k（s）[k（s）+1]/2==》
q=p+（s+1）q-（p+sq）=
=[k（s+1）-k（s）][k（s+1）+k（s）+1]/2
2q=[k（s+1）-k（s）][k（s+1）+k（s）+1]，
由于2q只有有限个约数，所以矛盾，
所以反证法的假设错误，
所以b不是循环小数。
【通过学习，我了解到证明某个数是否是无理数需要用到反证法，而反证法中是通过有理数的定义来证的，例如根号二、根号三用既约分数
法，0.000100…用到了无限循环小数的定义，那么请问如何证明根号二与根号三的和，亦为无理数
【x=√2+√3 &&
x^2=2+3+2√6 &&
x^2&-5=2√6
如果x是有理数则右端也为有理数
整系数方程又有理根当且仅当有整数根
然后用爱森斯坦因判别法】
骁霄，狄利克雷函数（Dirichlet
Function），在实数上处处不连续的证明(日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式
&本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明
&& &√2代表
&证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程
前提：1、任何有理数均可写成既约分数&&p/q
(p,q∈Z 且q≠0)
&& &<font COLOR="#、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数
&3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数
命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数
证明：假设命题不成立
&设&&p/q (p,q∈Z
且q≠0)为任意有理数
X为任意无理数
p/q+X=m/n&&(m,n∈Z
&X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题1成立
命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数
证明：假设命题不成立
&设&&p/q (p,q∈Z
且q≠0,p≠0)为任意非零有理数
X为任意无理数
X/(p/q)=m/n&&(m,n∈Z
&X=(p*m)/(q*n)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题2成立
命题3：√2为无理数
证明：假设命题不成立
则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z
2=(p*p)/(q*q)
则p必须是偶数
&#8757;p/q是既约分数
q=2m+1(m,n∈Z)
&#8757;2*q*q=p*p
∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n
∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n&&而m,n∈Z时本式不能成立
故假设不成立，命题3成立
命题4：任何有限小数都是有理数
证明：显而易见~~
下面进入本证明的关键部分
首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet
Function）
1(x为有理数)
&&&0(x为无理数)
命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数&&
证明：设&&p/q、m/n (p,q,m,n∈Z
且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设 p/q＜m/n
m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数
设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)
则&&0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)
p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n
根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数
∴命题5成立
命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数&&
证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y
将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数
直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y
去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z
显而易见X＜Z＜Y
Z为有理数，命题6成立
根据命题5、6，
任意有理数都不连续，
任意无理数也都不连续，
根据前提3，
则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续
1)存在两个不同的无理数,它们的差是整数,
解 设两个无理数分别为:√m+n,√m-n,
其中m,∈N，n∈Z，且m不是完全平方数。则(√m+n)-(√m-n)=2n.正确。
(2)存在两个不同的无理数,他们的积是整数.
解 设两个无理数分别为:√m+n,√m-n,
其中m,∈N，n∈Z，且m不是完全平方数。则(√m+n)*(√m-n)=m-n^2.正确。
(3)存在两个不同的非整数的有理数,它们的和与商都是整数.
解两个有理数为4/5,1/5，则它们的和与商都是整数.正确。
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haoyyyang滰
假设tan3°是有理数,根据倍角公式及和角公式tan6°=2×tan3°/(1-tan&#178;3°),也是有理数tan9°=（tan3°+tan6°）/（1-tan3°tan6°）,也是有理数tan15°=（tan9°+tan6°）/（1-tan9°tan6°）,也是有理数tan30°=2×tan15°/(1-tan&#178;15°),也是有理数而已知,tan30°=√3/3,是无理数产生矛盾所以tan3°是无理数
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