79概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章-第4页
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79概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章-4
=112∑i=112(Xi-232)2-(232；习题12；设随机变量X服从二项分布；P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k,k=0；X1为其一个样本，试求p2的无偏估计量.；解答：；\becauseX～b(n,p),；∴E(X)=np,D(X)=np(1-p)=E(；?p2=1n[E(X)-D(X)]=1n[E(X；?p2=1n[E(X(1-X))]+1
=112∑i=112(Xi-232)2-(232.
=0.4=0.0245.习题12设随机变量X服从二项分布P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,?,n,X1为其一个样本，试求p2的无偏估计量.解答：\becauseX～b(n,p),∴E(X)=np, D(X)=np(1-p)=E(X)-np2?p2=1n[E(X)-D(X)]=1n[E(X)-E(X2)+(EX)2]?p2=1n[E(X(1-X))]+1nn2p2=1nE(X(1-X))]+np2?p2=E[X(X-1)]n(n-1), 由于E[X(X-1)]=E[X1(X1-1)],故 p2=X1(X1-1)n(n-1).习题13设X1,X2,?,Xn是来自总体X的随机样本，试证估计量Xˉ=1n∑i=1nXi和Y=∑i=1nCiXi(Ci≥0为常数，∑i=1nCi=1)都是总体期望E(X)的无偏估计，但Xˉ比Y有效.解答：依题设可得E(Xˉ)=1n∑i=1nE(Xi)=1n×nE(X)=E(X),E(Y)=∑i=1nCiE(Xi)=E(X)∑i=1nCi=E(X).从而Xˉ,Y均为E(X)的无偏估计量，由于D(Xˉ)=1n2∑i=1nD(Xi)=1nD(X),D(Y)=D(∑i=1nCiXi)=∑i=1nCi2D(Xi)=D(X)∑i=1nCi2.应用柯西―施瓦茨不等式可知1=(∑i=1nCi)2≤(∑i=1nCi2)(∑i=1n12)=n∑i=1nCi2, ?1n≤∑i=1nCi2,所以D(Y)≥D(Xˉ), 故Xˉ比Y有效.习题14设X1,X2,?,Xn是总体X～U(0,θ)的一个样本，证明：θ1=2Xˉ和θ2=n+1nX(n)是θ的一致估计.解答：因E(θ1)=θ,
D(θ1)=θ23n; E(θ2)=θ,D(θ2)=θn(n+2),X(n)=max{Xi}. 依切比雪夫不等式，对任给的?&0, 当n→∞时，有P{Oθ1-θO≥?}≤D(θ1)?2=θ23n?2→0,(n→∞)P{Oθ2-θO≥?}≤D(θ2)?2=θ2n(n+1)?2→0,(n→∞)所以，θ1和θ2都是θ的一致估计量.习题15某面粉厂接到许多顾客的订货，厂内采用自动流水线灌装面粉，按每袋25千克出售. 现从中随机地抽取50袋，其结果如下：25.8,
25.2,24.8,
25.0,24.6,
24.6,21.1,
25.1,24.7,
25.1,25.1,
25.3,25.0,
25.2,25.1,试求该厂自动流水线灌装袋重总体X的期望的点估计值和期望的置信区间(置信度为0.95). 解答：设X为袋重总体，则E(X)的点估计为E(X)=Xˉ=150(25.8+24.7+?+25.1)=24.92kg.因为样本容量n=50, 可作为大样本处理，由样本值算得xˉ=24.92, s2≈0.4376, s=0.6615, 则E(X)的置信度为0.95的置信区间近似为(Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn),查标准正态分布表得uα/2=u0.025=1.96, 故所求之置信区间为(24.92-1.96×0..92+1.96×0.661550)=(24.737,25.103),即有95%的把握，保证该厂生产的面粉平均每袋重量在24.737千克至25.103千克之间. 习题16在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这批货物次品率的置信度为0.95的置信区间.解答：这是(0-1)分布参数区间的估计问题.这批货物次品率p的1-α的置信区间为(p1,p2)=(12a(-b-b2-4ac),12a(-b+b2-4ac)).其中a=n+uα/22,b=-(2nXˉ+uα/22), c=nXˉ2.由题意，xˉ=,n=100,1-α=0.95,u0.025=1.96. 算得a=100+1.962=103.842,b=-(2×100×0.16+1.962)=-35.842,c=100×0.162=2.56.p的0.95的置信区间为(p1,p2)=(12a(-b±b2-4ac)), 即(12×103.842(35.23)),亦即(0.101,0.244).习题17在某校的一个班体检记录中，随意抄录25名男生的身高数据，测得平均身高为170厘米，标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高μ和身高的标准差σ的置信度为0.95的置信区间(假设测身高近似服从正态分布).解答：由题设身高X～N(μ,σ2), n=25,
xˉ=170, s=12，α=0.05.(1)先求μ置信区间(σ2未知)，取U=Xˉ-μS/n～t(n-1),tα/2(n-1)=t0.025(24)=2.06.故μ的0.95的置信区间为(170-,170+)=(170-4.94,170+4.94)=(165.06,174,94).(2)σ2的置信区间(μ未知)，取U=(n-1)S2σ2～χ2(n-1),χα/22(n-1)=χ0..364, χ1-α/22(n-1)=χ0..401,故σ2的0.95的置信区间为(24××)≈(87.80,278.69), σ的0.95的置信区间为(87.80,278.69)≈(9.34,16.69).习题18为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止. 记录所行驶的路程(以千米计)如下：4
3假设这些数据来自正态总体N(μ,σ2). 其中μ,σ2未知，试求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限.解答：由P{μ&Xˉ-Sntα(n-1)=1-α, 得μ的1-α的单侧置信下限为μˉ=Xˉ-Sntα(n-1).由所给数据算得xˉ≈41119.38,s≈1345.46,n=16.查t分布表得t0.05(15)=1.7531, 则有μ的0.95的单侧置信下限为 μˉ=5.464×1..73.习题19某车间生产钢丝，设钢丝折断力服从正态分布，现随机在抽取10根，检查折断力，得数据如下(单位：N):578,572,570,568,572,570,570,572,596,584.试求钢丝折断力方差的置信区间和置信上限(置信度为0.95).解答：(1)这是一个正态总体，期望未知，对方差作双侧置信限的估计问题，应选统计量 χ2=(n-1)S2σ2～χ2(n-1).σ2的1-α的置信区间是((n-1)S2χα/22(n-1),(n-1)S2χ1-α/22(n-1)).由所给样本值得xˉ=575.2,
(n-1)s2=∑1=110(xi-xˉ)2=681.6;根据给定的置信度1-α=0.95(即α=0.05).查自由度为10-1=9的χ2分布表，得双侧临界值χα/22(n-1)=χ0..0, χ1-α/22(n-1)=χ0..7,代入上公式得σ2的95%的置信区间为(681.619.0,681,62.70)=(35.87,232.44),即区间(35.87,232.44)包含σ2的可靠程度为0.95.(2)这是一个正态总体期望未知时，σ2的单侧区间估计问题，σ2的置信度为1-α=95%(α=0.05)的单侧置信上限为(n-1)S2χ1-α2(n-1)=∑i=110(xi-xˉ)2χ1-α2(n-1),已算得(n-1)S2=∑i=110(xi-xˉ)2=681.6, 根据自由度1-α=0.95.查自由度10-1=9的χ2分布表得单侧临界值χ1-α2(n-1)=χ0.952(9)=3.325,代入上式便得σ2的0.95的置信上限为681.63.325=205, 即有95%的把握，保证σ2包含在区间(0,205)之内，当然也可能碰上σ2超过上限值205的情形，但出现这种情况的可能性很小，不超过5%.习题20设某批铝材料比重X服从正态分布N(μ,σ2)，现测量它的比重16次，算得xˉ=2.705，s=0.029，分别求μ和σ2的置信度为0.95的置信区间。解答：（1）对1-α=0.95，即α=0.05，查t-分布表得tα/2(15)=2.131,于是xˉ+tα/2(15)sn=2.705+2.131×0.+0.016=2.721,xˉ-tα/2(15)sn=2.705-0.016=2.689.则由题意知，关于μ的所求置信区间为(2.689,2.721)。（2）对α=0.05,查χ2-分布表，得χ0.052(15)=27.5,χ0.952(15)=6.26.于是，1-α的σ2的置信区间为 ((n-1)s2χα/22(n-1),(n-1)s2χ1-α/22(n-1))=(0..002150).习题21某公司欲估计自己生产的电池寿命.现从其产品中随机抽取50只电池做寿命试验，这些电池的寿命的平均值xˉ=2.266(单位：100小时), s=1.935, 求该公司生产的电池平均寿命的置信度为95%的置信区间.解答：查正态分布表得uα/2=u0.025=1.96, 由公式(Xˉ-uα/2S/n,Xˉ+uα/2S/n), 得到 (2.266±1.96×1.93550),经简单计算上式化为(1.730,2.802).于是，我们有如下近似结论：该公司电池的平均寿命的置信度约为95%的置信区间为(1.730,2.802).习题22某印染厂在配制一种染料时，在40次试验中成功了34次，求配制成功的概率p的置信度为0.95的置信区间.解答：总体是试验的分布，p是成功率.已知n=40, p=34/40, u0.025=1.96, 所以，p的置信度为0.95的置信区间为
(p1,p2)≈(p-uα/2p(1-p)n,p+uα/2p(1-p)n)=(440×640/40,440×640/40),即(0.7).习题23两家电影公司出品的影片放映时间如表所示，假设放映时间均服正态分布，求电影公司的影片放映时间方差比的置信度为90%的置信区间. 时间/分钟公司Ⅰ103
118解答：由所给数据算出x1ˉ=98.40,x2ˉ=110.71,s12=8.732,s22=32.192,n1=5,n2=7.因为是求方差比的区间估计，故选用F分布变量，即F=S12S22/σ12σ22～F(n1-1,n2-1).对于置信度1-α, 取双侧概率相等的置信区间为(S12S22?1Fα/2(n1-1,n2-1),S12S22?Fα/2(n2-1,n1-1)).本题所给1-α=0.90,α=0.10,α2=0.05,n1=5,n2=7.查F分布表得F0.05(6,4)=6.16,F0.05(4,6)=4.53, s12s22=8,.0376, 于是σ12σ22的0.90的置信区间为(0.073×14.53,0.), 即(0.016,0.453). 习题24公共汽车站在一单位时间内(如半小时或一天等)到达乘客数服从泊松分布P(λ), 对不同的车站，所不同的仅仅是参数λ的取值不同. 现对一城市某一公共汽车站进行了100个单位时间的调查，这里单位时间是20分钟，计算得到每20分钟内来到该车站的乘客数平均值xˉ=15.2人，试求参数λ的置信度为95%的置信区间.解答：n=100,α=0.05, uα/2=u0.025=1.96, xˉ=15.2,应用公式(Xˉ-uα/2Xˉ/n,Xˉ+uα/2Xˉ/n), 得(xˉ±uα/2xˉ/n)=(15.2±1.)=(14.44,15.96),即(14.44,15.96)为参数λ的置信度约为95%的置信区间. 包含各类专业文献、应用写作文书、生活休闲娱乐、中学教育、各类资格考试、专业论文、高等教育、79概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章等内容。　
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