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为兴趣而生，贴吧更懂你。或数学教学不仅是数学活动的结果——理论，而且还要反映得到这些理论的思维活动的过程。因此在新知识教学中展示数学思维过程（过程教学），使数学教学成为数学活动的教学。
&&&&& 现代认知心理学认为，学习过程是学习主体对学习客体主动探索，不断改进已有认识和经验，建构自己认知结构的过程，而不是通过静听、静观、静练来接受现有知识的过程。所以数学教学以学生主动探索发现和解决问题为立足点，让学生去重演、再现知识的产生过程，掌握数学思想方法，发展思维，形成能力。著名数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学。”也就是说，数学教学不仅是数学活动的结果——理论，而且还要反映得到这些理论的思维活动的过程。因此在新知识教学中展示数学思维过程（过程教学），使数学教学成为数学活动的教学。它不仅是让学生从“学会”到“会学”的一条最有效的途径，而且有利于提高学生学习积极性，促进对知识的理解和掌握，培养良好的思维能力。&&&&& 一、“过程教学”的内涵&&&&& 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。学生新知识的形成一定经历从浅到深，从简到繁，由零散到概括，由概括到扩充，再由扩充到概括的过程。一般来说，“过程教学”的教学过程就是教师在课堂教学中有步骤地引导学生对所学知识进行感知、联想，形成表象，回想相关知识，通过比较、分析与综合，找出新旧知识的联系，揭示本质属性，从而抽象概括出数学结论和规律，并与原有认知结构相互作用，进一步系统化，构建新的认知结构，并用以指导后续的再实践、再认识字。“过程教学”以学生主动探索发现和解决问题为立足点，强调学生去重演、再现新知识的产生过程，在揭示知识产生的过程中，让学生对学习对象主动操作，亲身体验，改造已有认知结构，真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获取广泛的数学活动经验，从中优化思维品质，培养学生探究和创新能力。“过程教学”核心是展现过程，是展示数学思维过程。数学“过程教学”可分为再现式教学和再创式过程教学。再现式过程教学就是将数学知识产生的真实背景和历史经过，概括学生当前的认知水平和简约化教学原则有选择地再现在学生面前，让学生充分感受前人的智慧能力和科学方法。再创式教学按照数学知识的本质与内在联系，着重归纳推理或类比推理，进行思维仿真式的推演重组知识的发生过程。&&&&& 二、“过程教学”的作用&&&&& （1）过程教学有利于提高学生学习积极性&&&&& 教学中，展示数学的发展和数学理论的形成过程，暴露数学家对命题的发现和证明思维过程，由一系列的思维活动贯穿其中，使知识“活起来”，使学生领悟到数学知识深化发展的动态过程，有利于启迪思维、激发学生兴趣。同时，在解题教学中，教师把自己的思路，甚至是从学生的角度来思考问题的过程暴露给学生，把曾遇到的因难、一次次的失败、怎样调整自己解题方案、最后走向成功的过程展示给学生。这样，学生能正视挫折，消除对数学望而生畏的心理，从而提高学生的学习积极性，培养了学生参与意识。&&&&& （2）过程教学促进学生对数学知识的理解与掌握&&&&& 过程教学是学生由“学会”向“会学”转变的高效有力的方法。在过程教学中展示形成数学概念、数学规律的思维过程，能帮助学生了解知识的来龙去脉，使学生参与知识的产生和发展过程的教学活动，全面了解知识的体系，吃透知识的联系，了解数学知识实质，加强学生理解和记忆，真正理解数学，提高学生认识事物的能力。&&&&& （3）有利与培养学生思维能力&&&&& 现代教育理论是把培养学生的能力作为教学的重要任务，一个人的数学素质，不仅是掌握数学知识的多少，更重要的看他能否善于思考，用数学思维方法解决问题，在教学中不仅要使学生掌握思维活动的结果，还要使学生理解思维的过程。只讲结论，不讲过程，会使学生思维僵化或形成定势，以数学问题为载体，通过有目的、有重点地暴露解决问题的思维过程，可帮助学生真正参与教学，从体验教学过程中吸取营养，受到启示和教益，从而提高数学素养和数学思维能力。
&三、“过程教学”的教学设计&&&&& （1）概念教学的过程设计&&&&& 数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽象出其本质属性概括而成的。具有抽象性、概括性等特点。教材中数学概念的学习往往要通过“展示事例——分析事例共同属性——抽象本质属性——概括定义”或者通过奥苏伯尔提出的数学概念同化论：“直接揭示概念本质属性——分类和比较——建立新旧概念的联系（同化）——实例辨认——完善原认知结构。”因此概念教学的过程设计，要遵循从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。首先要创设情境，用典型实例，动手操作或复习相关概念引入；然后通过对实例的研究、比较、分析抽象概括概念；再通过肯定例证和否定例证，进一步分析探讨概念的内涵与外延；最后通过多种形式的训练巩固概念。如“弦切角”概念教学中，可先复习圆周角的定义，然后运用运动的观点，借助投影机操作实验，让圆周角一边固定不变，另一边绕顶点旋转，观察一边与圆的两个交点逐渐靠近，成为圆的切线时，发生了质的变化，形成新的概念——弦切角，引导学生提炼、概括出弦切角定义。这样把静止的问题变成动态的问题，使学生了解到此概念产生的过程，加深了概念的理解。如在“绝对值”概念教学中，教师列出一些题目：①画出数轴，并在数轴上找出6和-6的点；②表示6和-6的点到原点的距离是几个单位长度？它们有什么关系？③什么叫做数a的绝对值；④一个正数、负数和0的绝对值各什么？；⑤怎样求一个数的绝对值？由①②小题得到③，既得出了绝对值的几何意义，同时得出结论：互为相反数的绝对值相等，由④的分类讨论不难得出绝对值的定义，⑤小题是绝对值概念的应用。在此过程中，实现了由形到数，由具体到抽象的思维过程，从而培养学生的概括和抽象思维能力。&&&&& （2）定理教学的过程设计&&&&& 斯托利亚尔：“我们必须首先发现定理，然后再去证明它，我们应当猜测证明的思路，然后才能作出证明。”这就是说明定理的学习过程要从具体例子出发，通过操作、实验、分析、推理，发现一般结论，然后证明结论，再应用结论。因此在定理教学中要遵循“实例观察（操作）→探索发现→归纳猜想→表述猜想结论→证明结论”的程序。要为学生“发现”数学定理创设情境，引导学生弄清定理的来源，给学生展示数学定理的创造和建立过程。例如：教三角形内角和定理的过程：首先进行探索，让每个学生任意画一个或多个三角形，用量角器量出每个三角形的三个内角，并计算三个内角的和；然后观察发现这些三角形的三个内角和都是180゜或都接近180゜，于是提出假设，三角形的三个内角和等于180゜；接着再通过演绎推理，证明了这个假设成立；最后“发现”了三角形内角和定理。又如在学习了三角形内角和定理后，通过将四边形分割成两个三角形，可以发现得到四边形内角和等于360゜，通过将五边形分分割成三个三角形，得到五边形内角和为540゜，依次类推，通过归纳可以得到多边形内角和定理。通过这种定理教学的过程设计、不仅有助于学生对数学知识和技能、数学思想和方法的理解和掌握，而且培养学生的猜想、观察和分析能力，以及创造能力。&&&&& （3）法则、公式教学的过程设计&&&&& 法则、公式在教科书中展现在学生面前是一幅经过千锤百炼“完美无缺”的逻辑体系。这种完美的形式掩盖了数学的思维过程，如果教师在教学中照本宣科，以“就是这样”的方式把法则、公式灌输给学生，无疑会扑灭学生思维创造性的火花，学生学到的则是死的数学知识，思维能力得不到发展。教师要认真研究教材，勇于创新，揭示法则、公式的探索过程。如在同底数幂乘法法则教学中，首先让学生通过以下五个事例：○123×22=（2×2×2）×（2×2）=2×2×2×2×2=25=23+2；○3=（10×10×10×10）×（10×10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107=104+3；○0=（5×5×…×5）×（5×5×…×5）=5×5×…×5=550=520+30；○44）a10×a20=（a×a×…×a）×（a×a×…×a）=a×a×…×a=a30=a10+20；○55）am•an=（a×a×…×a）×（a×a×…×a）=a×a×…×a =am+n，不断深入探索，使学生能从简单例子发现“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”法则的来源，促进了学生思维品质的培养。
（4）例题教学的过程设计&&&&& 例题是经过专家精选的典型范例，课本一般给出了一种比较好的分析和解答。如果教师就题论题，例题数学的风采就被扼杀了，对于例题的教学，教师应注重在引路指津，认真分析例题解法的思路选择，探询是否还有其他更妙的方法。讲例题要体现知识从理解到应用的升华，总结归纳方法，揭示规律，发展智能。因此，教学中教师在解证思路的探寻过程，要突出“解法是怎样想出来的”。如在解决两圆相交的问题，一般都要作出公共弦，教师不能直接作出，要讲清根据题目条件、结论、运用所学性质、定理、公理，经过分析得到辅助线的添加方法。&&&&& （5）习题教学的过程设计&&&&& 习题课不只是让学生做几个题而已，要让学生仔细审题，需要求证或求解的问题是什么？已知条件是什么？思考需要运用哪些所学知识来解决问题，教师在分析教学过程，要站在学生的立场去分析问题，思考问题，充分暴露思维过程，培养学生应用所学知识解决问题的能力，让学生休验解决问题的思维过程，使完成习题变成自己的思维活动过程。&&&&& （6）讲评课教学的过程设计&&&&& 作业、试卷分析课，是引导学生剖析过程的有利时机，因此教师在教学中可根据学生考试或作业中存在问题设计一些疑问，启发学生积极思考，从中认识到自己的不足，进而探究正确、合理的解决思路和步骤，教师可用幻灯片把不同的解法呈现给学生，让学生选择最优化或把解法错误典型呈现给学生，深化学生的理解和运用。&&&&& （7）复习课教学的过程设计&&&&& 数学本身是一个有机整体，各部分之间有着紧密的内在联系，对所学的知识进行分类、整理、总结使之系统化时，要揭示、理清各部分之间的关系。分析比较它们的异同，形成知识网络的思维过程，有助于学生知识深化，学到的知识不只是死知识，若自然遗忘，也很可能通过想象回忆再现，如在复习“四边形“一章内容时，可从一般的四边形开始，通过变化边和角，进行条件改变成为特殊情形，回忆复习平行四边形、矩形、菱形、梯形、等腰梯形、直角梯形等几何图形的概念。结合各种图形的关系，区别、比较它们各自的性质、判定等，体现转换过程。这样使学生学到的知识具有条理性、准确性，有助于牢固地理解掌握知识。&&&&& 总之，在教学中注重“过程教学”，不仅能使学生掌握扎实的基础知识，而且有利于学生对知识的理解，提高学生的素质，培养学生创造性思维及解决问题的能力。
TA的最新馆藏[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&以《九章算术·卷一》为例○方田（以御田畴界域）今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。〔图：从十四，广十二。〕方田 术曰：广从步数相乘得积步。〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存善去非，略为料简，遗诸后学。〕以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。〕今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。○约分〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三分之五十。又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得二、六十分之四十三。○合分〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕实如法而一。不满法者，以法命之。〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕其母同者，直相从之。今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。○减分〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰减分。〕术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。○课分〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。○平分〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。〕术曰：母互乘子，〔齐其子也。〕副并为平实。〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，限为平。〕母相乘为法。〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之四。又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰：人得二钱八分钱之一。○经分〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以人数分所分，故曰经分也。〕术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令两分母相乘法实也。〕重有分者同而通之。〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内子，又令分母互乘上下。〕今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十二。又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。○乘分〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则三术同归也。〕今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百二十步九分步之五。又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：一亩二百步十一分步之七。○大广田〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕术曰：分母各乘其全，分子从之，〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕相乘为实。分母相乘为法。〔犹乘分也。〕实如法而一。〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘为法而连除之。〕今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十三步六分步之五。术曰：半广以乘正从。〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？答曰：九亩一百四十四步。又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？答曰：二十三亩七十步。术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。〔并而半之者，以盈补虚也。〕今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩一百三十五步。又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几何？答曰：四十六亩二百三十二步半。术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕今有圆田，周三十步，径十步。〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径九步十一分步之六。〕问为田几何？答曰：七十五步。〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，径五十七步二十二分步之一十三。〕问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕术曰：半周半径相乘得积步。〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故置诸检括，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以为四十八觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者知所裁焉。〕又术曰：周、径相乘，四而一。〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之于微多。淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一，即周。依术求之，即得。〕又术曰：径自相乘，三之，四而一。〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕又术曰：周自相乘，十二而一。〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步四分步之一。术曰：以径乘周，四而一。〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说圆方诸率甚备，可以验此。〕今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步一百五十七分步之一百二十二也。淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕问为田几何？答曰：二亩五十五步。〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径八步一百七十六分步之一十三。〕问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕参考文献资料/page/bec5d5c2cbe3caf5/1.html
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