高一 向量 题目.急.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,且e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角,求实数t的取值范围我解出来是个4次的方程 不知道怎么解了_百度作业帮
高一 向量 题目.急.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,且e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角,求实数t的取值范围我解出来是个4次的方程 不知道怎么解了
高一 向量 题目.急.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,且e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角,求实数t的取值范围我解出来是个4次的方程 不知道怎么解了
2te1+7e2与e1+te2的夹角余弦为cosa=(2te1+7e2)(e1+te2)/|2te1+7e2||e1+te2|=(2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2)/|2te1+7e2||e1+te2|因为夹角为锐角则2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2>0且(2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2)/|2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2|0时,满足以上两个条件.而|e1|=2,|e2|=1则e1^2=e2^2=1而e1,e2的夹角为60°则cos60°=e1e2/|e1||e2|=1则e1e2=1/2*|e1||e2|=1则8t+(2t^2+7t)*1+7>0则2t^2+15t+7>0（t+7)(2t+1)>0,且所以恒成立,则t>-1/2,t
e1*e2＝|e1|×|e2|×cos60°＝2×1×1/2＝1若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角，则(2te1＋7e2)*(e1＋te2)＞0(2te1＋7e2)*(e1＋te2)＝2t|e1|^2＋7t|e2|^2＋(2t^2+7)e1*e2＝8t＋7t＋2t^2＋7＝2t^2＋15t＋7＝(2t+1)(t+7)所以，当－7＜t＜－1/2时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连接O1A、O1B、O2A、O2B和AB．（1）如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；（2）设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）由（2），若y=2π，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系，为什么？除此之外，它们还有其它的位置关系，写出其它位置关系时x的取值范围．（奖励提示：如果你还能解决下列问题，将酌情另加1～5分，并计入总分．）在原题的条件下，设∠AO1B的度数为2n，可以发现有些图形的面积S也随∠AO1B变化而变化，试求出其中一个S与n的关系式，并写出n的取值范围．
（1）根据圆的对称性，该图形的周长是一条弧长的2倍，根据弧长公式计算；（2）只需把圆心角换成x°即可计算；（3）根据（2）中的关系式，计算出x的值，根据四边形的形状即可分析判定直线和圆的位置关系．
（1）如图②由题意知解法一：依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°，∴l=2×[$\frac{1}{3}$×（2π×2）]=$\frac{8π}{3}$，解法二：∵O1A=O1B=O2A=O2B，∴四边形AO1BO2是菱形，∴∠AO2B=∠AO1B=120°，∴l=2×$\widehat{A{O}_{2}B}$的长=$2×\frac{120×π×2}{180}=\frac{8π}{3}$；（2）由（1）知菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B，且度数都是x，∴$y=2×\frac{x?π×2}{180}$，得y=$\frac{π}{45}$x（0≤x≤180）；（3）若y=2π，则线段O2A所在直线与圆O1相切，因为y=2π，由（2）知$\frac{π}{45}x=2π$，解得x=90，∴∠AO1B=90°，知菱形AO1BO2是正方形，∴∠O1AO2=90°，即O2A⊥O1A，而O1A是圆O1的半径，且点A为O1A的外端，∴线段O2A所在的直线与圆O1相切．还有线段O2A所在的直线与圆O1相交，此时0≤x＜90和90＜x≤180，如：扇形O1AB的面积：S=$\frac{2n}{360}π×{2^2}=\frac{π}{45}$n（0≤n≤90）；△O1AB的面积：S=4sinn°cosn°（0≤n≤90）；半重叠部分图形的面积：S=$\frac{π}{45}n$-4sinn°cosn°（0≤n≤90）．这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~分析：（1）根据△OFP的面积为m，设向量OF与FP的夹角为θ，因为12×|OF|×|FP|sinθ=m，OF×FP=1，∴|OF|?|FP|cosθ=1，可得tanθ=2m，进而可得答案．（2）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，设|OF|=c，P点坐标为（x0，y0），所以|OF|=43m12?|OF|?|y0|=12×43m×|y0|=m，即|y0|=32．因为OF=（c，0），FP=（x0-c，y0），OF?FP=1所以c(x0-c)=1，∴x0=c+1c所以可得|OP|=x02+y02=(c+1c)2+94，设f(c)=c+1c，判断知f（c）在[2，+∞）上是增函数．所以当c=2时，f（c）为最小，从而|OP|为最小，此时P（52，32）．最终得到答案．解答：解：（I）∵△OFP的面积为m，设向量OF与FP的夹角为θ．12×|OF|×|FP|sinθ=m ①∵OF×FP=1，∴|OF|?|FP|cosθ=1 ②由①、②得：tanθ=2m∵12＜m＜32，∴1＜tanθ＜3，∴θ∈(π4，π3)即向量OF与FP的夹角θ的取值范围为θ∈(π4，π3)（II）如图，以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系设|OF|=c，P点坐标为（x0，y0）∵|OF|=43m∴12?|OF|?|y0|=12×43m×|y0|=m，∴|y0|=32∵OF=（c，0），FP=（x0-c，y0），OF?FP=1∴c(x0-c)=1，∴x0=c+1c∴|OP|=x02+y02=(c+1c)2+94设f(c)=c+1c，当c≥2时，任取c2＞c1≥2有f(c2)-f(c1)=c2+1c2-c1-1c1=(c2-c1)+c1-c2c1c2=(c2-c1)(1-1c1c2)当c2＞c1≥2时，1c1c2＜1，(1-1c1c2)＞0，c2-c1＞0∴f（c2）-f（c1）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函数∴当c=2时，f（c）为最小，从而|OP|为最小，此时P（52，32）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，则a2-b2=b2=1∴a2=10，b2=6故椭圆的方程为x210+y26=1．点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的标准方程的求法．属难题．
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中数学
来源：模拟题
题型：解答题
如图，设△OFP的面积为S，已知=1，(1)若，求向量与的夹角θ的取值范围；(2)若S=且≥2，当取最小值时，建立适当的直角坐标系，求以O为中心，F为一个焦点且经过点P的椭圆方程。
科目：高中数学
来源：2010年北京十二中高考数学一模试卷（文科）（解析版）
题型：解答题
如图，已知△OFP的面积为m，且=1．（I）若，求向量与的夹角θ的取值范围；（II）设，且．若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．
科目：高中数学
来源：2006年高考第一轮复习数学：5.5
向量的应用（解析版）
题型：解答题
如图，已知△OFP的面积为m，且=1．（I）若，求向量与的夹角θ的取值范围；（II）设，且．若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．
科目：高中数学
来源：2006年高考第一轮复习数学：8.1
椭圆（解析版）
题型：解答题
如图，已知△OFP的面积为m，且=1．（I）若，求向量与的夹角θ的取值范围；（II）设，且．若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．（2012o随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：
（1）解方程x2-2x-3=0
巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：
（2）解关于x的方程mx2+（m-3）x-3=0（m为常数，且m≠0）．
老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：
（3）已知关于x的函数y=mx2+（m-3）x-3（m为常数）
①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；
②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B．当△ABC为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题．
（1）直接根据因式分解法解得x2-2x-3=0的根；
（2）观察方程mx2+（m-3）x-3=0可把原方程分解成（x+1）o（mx-3）=0，解出方程的两根即可；也可以运用公式法进行解答；
（3）①首先进行分类讨论，当m=0时，函数是一次函数，可以求出函数恒过x轴、y轴上的两个定点，当m≠0时，该函数是二次函数，函数的图象是抛物线，结合（2）问知识，可以得到恒过x轴、y轴上的两个定点；②当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（，0），观察图象并结合题干条件，当△ABC为Rt△时，可知△AOC∽△COB，进而求出OB的长度，若△ABC为锐角三角形时，则0＜＜9，解出m的取值范围即可．
解：（1）由x2-2x-3=0，得（x+1）（x-3）=0，
∴x1=1，x2=3；&&&&&&&&&&&&&&&…（3分）
（2）方法一：由mx2+（m-3）x-3=0，得（x+1）o（mx-3）=0，
∵m≠0，∴x1=-1，x2=…（3分）
方法2：由公式法：1，2=
(m-3)2+12m
3-m±|m-3|
∴x1=-1，x2=；
（3）①1°当m=0时，函数y=mx2+（m-3）x-3为y=-3x-3，
令y=0，得x=-1；令x=0，则y=-3．
∴直线y=-3x-3过定点A（-1，0），C（0，-3）…（2分）
2°当m≠0时，函数y=mx2+（m-3）x-3为y=（x+1）o（mx-3），
∴抛物线y=（x+1）o（mx-3）恒过两定点A（-1，0），C（0，-3）；
②当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（，0），…（1分）
观察图象，可知，当△ABC为直角三角形时，
则△AOC∽△COB，
∴|OC|2=|OA|o|OB|，
∴32=1×|OB|，
∴OB=9，即B（9，0），
∴当．即：m＞，
当m＞时，△ABC为锐角三角形；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（2分）
②观察图象可知
当m＜0且m≠-3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合．
∴△ABC中的∠BAC＞90°，
∴△ABC是钝角三角形．
∴当m＜0且m≠-3时，△ABC为钝角三角形，
综上当m＞时，△ABC为锐角三角形．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（2分）}