如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR-∠BRN=45°时，求点R的坐标．
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如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR-∠BRN=45°时，求点R的坐标．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-哈尔滨
分析与解答
揭秘难题真相，上天天练！
习题“如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不...”的分析与解答如下所示：
（1）利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值；（2）已知MN=d，PF=t，由图可知MN=MF+FN，不妨将MF和FN用PF代替，即可得到MN与PF的关系：利用45°的直角三角形和平行线性质可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得BDOD=MFPF=3，从而有MF=3PF=3t，从而得出d与t的函数关系；（3）过点N作NH⊥QR于点H，由图象可知R点横坐标为OC-HN，纵坐标为CN-RH．OC=OA-AC，其中OA已知，利用S△ACN=S△PMN求得AC=2t，再将用t表示的M点坐标代入抛物线解析式求得t值，即得AC的值，又由（2）中AC=CN，可知CN，则求得HN和RH的值是关键．根据tan∠HNR=tan∠NOC，可得RHHN=CNOC=13，设RH=n，HN=3n，勾股定理得出RN的值，再利用已知条件证得△PMQ∽△NBR，建立比例式求得n值，即可得出HN和RH的值，从而得到R的坐标．
解：（1）∵y=-x+4与x轴交于点A，∴A（4，0），∵点B的横坐标为1，且直线y=-x+4经过点B，∴B（1，3），∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），∴{16a+4b=0a+b=3，解得：{a=-1b=4，∴a=-1，b=4；（2）如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，∴AD=3，∴AD=BD，∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，∴NF=PF=t，∵∠PFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，∴∠MPF=∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴BDOD=MFPF=3，∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；（3）如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，∴S△PMN=12MN×PF=12×4t×t=2t2，∵∠CAN=∠ANC，∴CN=AC，∴S△ACN=12AC2，∵S△ACN=S△PMN，∴12AC2=2t2，∴AC=2t，∴CN=2t，∴MC=MN+CN=6t，∴OC=OA-AC=4-2t，∴M（4-2t，6t），由（1）知抛物线的解析式为：y=-x2+4x，将M（4-2t，6t）代入y=-x2+4x得：-（4-2t）2+4（4-2t）=6t，解得：t1=0（舍），t2=12，∴PF=NF=12，AC=CN=1，OC=3，MF=32，PN=√22，PM=√102，AN=√2，∵AB=3√2，∴BN=2√2，作NH⊥RQ于点H，∵QR∥MN，∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，∴NH∥OC，∴∠HNR=∠NOC，∴tan∠HNR=tan∠NOC，∴RHHN=CNOC=13，设RH=n，则HN=3n，∴RN=√10n，QN=3√2n，∴PQ=QN-PN=3√2n-√22，∵ON=√CN2+OC2=√10，OB=√OD2+BD2=√10，∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，∵PM∥OB，∴∠OBN=∠MPB，∴∠MPB=∠BNO，∵∠MQR-∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，∴∠BRN=∠MQP，∴△PMQ∽△NBR，∴PQRN=PMBN，∴3√2n-√22√10n=√1022√2，解得：n=27，∴R的横坐标为：3-2×37=157，R的纵坐标为：1-27=57，∴R（157，57）．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，得出△PMQ∽△NBR，进而得出n的值是解题关键．
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如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动...
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与“如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不...”相似的题目：
[2002o广州o模拟]直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（　　）（2，2），（1，1）（2，2），（-1，-1）（-2，-2），（1，1）（-2，-2），（-l，-1）
[2015o网上课堂o练习]直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是（　　）（1，3）（-2，0）（1，3）或（-2，0）以上都不是
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“如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到题库，查看习题“如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR-∠BRN=45°时，求点R的坐标．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR-∠BRN=45°时，求点R的坐标．”相似的习题。 上传我的文档
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如图：抛物线Y=AX2+BX+C与X轴交于点A（1,0）和B（3,0）
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如图：抛物线Y=AX2+BX+C与X轴交于点A（1,0）和B（3,0）
官方公共微信（2014年张家界中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点_中考试题_初中数学网
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（2014年张家界中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点
&&&热&&&&&★★★
（2014年张家界中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 10:12:23
（;张家界）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，-），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点． （1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．
解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵直线BC经过B、C，∴0＝10k+b-245＝185k+b，解得：k＝34b＝-152，∴直线BC的解析式为；y=34x-152．（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（185，-245），∴c＝00＝102a+10b+c-245＝(185)2a+185b+c，<BT△AOE≌RT△AME（HL）， ∴∠OAE=∠MAE，同理可证∠BAF=∠MAF，∴∠EAF=90°，在RT△EAF中，根据射影定理得AM2=EM&#8226;FM，∵AM=12OB=5，ME=m，MF=n，∴m&#8226;n=25；（4）如图3．有三种情况；①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，∵直线BC的斜率为34，∴HQ：BQ=3：5，HBbr&解得a＝524b＝-2512c＝0，∴抛物线的解析式为：y=524x2-2512x；∴x=-b2a=--，y=524x2-×52-524，∴顶点坐标为（5，-12524）； （3）m&#8226;n=25；如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，在RT△AOE与RT△AME中OA＝MAAE＝AE ∴R4：5；∵HB=（10-t）×12，BQ=t，∴(10-t)×12t=45，解得；t=5013，②当PB=QB时，则10-t=t，解得t=5，③当PQ=PB时，作QH⊥OB，则PQ=PB=10-t，BQ=t，HP=45t-（10-t），QH=35t；∵PQ2=PH2+QH2，∴（10-t）2=【45t-（10-t）]2+（35t）2；解得t=8013．
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　　网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m
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抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m
二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
TA的最新馆藏[转]&[转]&本题难度：0.40&&题型：综合题
（2016o呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，-5），BC=4，抛物线过点（2，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）记抛物线的顶点为M，求△ACM的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
来源：2016o呼和浩特一模 | 【考点】二次函数综合题．
（2016o宜兴市一模）如图，在平面直角坐标中，点D在y轴上，以D为圆心，作⊙D交x轴于点E、F，交y轴于点B、G，点A在⊙D上，连接AB交x轴于点H，连接AF并延长到点C，使∠FBC=∠A．（1）判断直线BC与⊙D的位置关系，并说明理由；（2）求证：BE2=BHoAB；（3）若点E坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2），AB=8，求F与A两点的坐标．
（2016o江干区一模）如图，在平面直角坐标中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，4），O（0，0），B（6，0），点M是射线OB上的一动点，过点M作MN∥AB，MN与射线OA交于点N，P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN，设△PMN的面积为S．（1）点M的坐标为（2，0）时，求点N的坐标．（2）当M在边OB上时，S有最大值吗？若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．（3）是否存在点M，使△PMN和△ANB中，其中一个面积是另一个2倍？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标中，已知四边形ABCD是正方形，点A在原点，点B的坐标是（3，1），则点D的坐标是&&&&．
如图，在平面直角坐标中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（3，0），OD⊥AB于点D，试求D点的坐标．
如图，在平面直角坐标中，四边形ABCD的四个顶点都在双曲线y=上，其中，点A、B在第一象限，点C、D在第三象限，对角线AC经过原点O，求证：∠BAD=∠BCD．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，-5），BC=4，抛物线过点（2，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）记抛物线的顶点为M，求△ACM的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）由点A的坐标可求得c的值将（23）代入抛物线的解析式得到关于a、b的二元一次方程设B（x10）C（x20）由题意可得到（x1-x2）2=16．结合一元二次方程根与系数的关系可得到关于a、b的另一个方程将两个方程联立可求得a、b的值从而得到抛物线的解析式（2）记AM与x轴的交点坐标为D．先求得点M的坐标从而可求得AM的解析式然后再求得点D的坐标最后依据S△ACM=S△CDA+S△CDM求解即可（3）先求得AC的解析式①当∠PCA=90°时可求得PC的解析式然后求得PC与抛物线的交点坐标即可②当∠PAC=90°时可求得PC的解析式然后求得PC与抛物线的交点坐标即可．
【解答】解：（1）由点A的坐标为（0-5）可知c=-5又∵抛物线经过点（23）∴4a+2b-5=0①设B（x10）C（x20）则（x1-x2）2=16．即（x1+x2）2-2x1x2=16．∵x1+x2=-bax1x2=ca∴b2a2+20a=16②．将方程①与方程②联立解得：a=-1b=6．∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5．（2）如图1所示：记AM与x轴的交点坐标为D．∵y=-x2+6x-5=-（x-3）2+4∴点M的坐标为（34）．设直线AM的解析式为y=kx+b．∵将A（0-5）、M（34）代入得b=-53k+b=4解得：k=3b=-5∴直线AM的解析式为y=3x-5．∵令y=0得：3x-5=0．解得：x=53∴D（530）．∵令抛物线的y=0得：-x2+6x-5=0解得x1=1x2=5∴C（50）．∴S△ACM=S△CDA+S△CDM=12×（5-53）×（4+5）=15．（3）①当∠PCA=90°时如图2所示：过点C作CP⊥AC交抛物线与点P．设AC的解析式为y=kx+b．∵将点A、C的坐标代入得：b=-55k+b=0解得：k=1b=-5∴直线AC的解析式为y=x-5．设PC的解析式为y=k1x+b1．∵PC⊥AC∴k1=-1．∴直线PC的解析式为y=-x+b1．∵将C（50）代入得：-5+b=0解得b=5∴PC的解析式为y=-x+5．∵将y=-x+5代入y=-x2+6x-5得：-x2+6x-5=-x+5整理得：x2-7x+10=0解得x1=2x2=5（舍去）．∴点P的坐标为（23）②当∠PAC=90°时如图3所示：∵AP⊥ACA（0-5）∴AP的解析式为y=-x-5．将y=-x-5代入y=-x2+6x-5得：-x2+6x-5=-x-5整理得：x2-7x=0解得x1=7x2=0（舍去）．∴点P的坐标为（7-12）．综上所述点P的坐标为（23）或（712）．
【考点】二次函数综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，开口向下”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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